韋德賢

（廣西科技大學(xué) 理學(xué)院，廣西 柳州）

一 引言

在日常中，我們知道舞動(dòng)軟絲綢的時(shí)候絲綢橫位移的峰值可以從一端幾乎完整地傳遞到另一端，而一端燒紅的鐵絲卻很難將熱峰值傳遞到另一端。這是我們生活當(dāng)中經(jīng)?？吹降奈锢憩F(xiàn)象。這些日常的物理現(xiàn)象可以用數(shù)學(xué)物理方程來(lái)描述。在數(shù)學(xué)物理方程當(dāng)中，我們知道軟絲綢舞動(dòng)是弦振動(dòng)現(xiàn)象，弦振動(dòng)現(xiàn)象所滿足的方程是波動(dòng)方程；燒紅鐵絲的熱傳遞現(xiàn)象所滿足的方程是熱傳導(dǎo)方程。這兩類方程在空間中傳播的性質(zhì)是不同的[1]。

數(shù)學(xué)物理方程是物理學(xué)在其他自然科學(xué)或工程技術(shù)科學(xué)中的應(yīng)用，即指在其他相應(yīng)科學(xué)中滿足物理學(xué)規(guī)律的偏微分方程。例如，描述海洋流動(dòng)和大氣運(yùn)動(dòng)的內(nèi)維——斯托克斯流體力學(xué)方程，描述鋼板彈性變化的彈性力學(xué)[2]，以及前文中我們所說(shuō)的描述弦振動(dòng)現(xiàn)象的波動(dòng)方程、描述熱傳遞現(xiàn)象的熱傳導(dǎo)方程。數(shù)學(xué)物理方程是高校理工類專業(yè)的重要課程。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)物理方程的教學(xué)是面對(duì)一堆繁冗的數(shù)學(xué)公式及推導(dǎo)，這在今天的現(xiàn)代化教學(xué)當(dāng)中顯得有些枯燥。盡管有學(xué)者嘗試提出精選教學(xué)內(nèi)容、利用多媒體創(chuàng)新教學(xué)方法等理念[3]。但這些教學(xué)理念還是停留在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)公式和解方程這樣的教學(xué)模式上。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理方程的過(guò)程中，繁雜的數(shù)學(xué)形式和數(shù)學(xué)描述在無(wú)形中削弱了物理規(guī)律及物理圖像的意義。尤其是普通高校的理工類學(xué)生，他們的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)相對(duì)于重點(diǎn)院校的學(xué)生要薄弱一些。這就會(huì)使得普通高校學(xué)生在數(shù)學(xué)物理方程的學(xué)習(xí)上更加費(fèi)力而且效果不顯著。因此，我們應(yīng)該對(duì)數(shù)學(xué)物理方程的教學(xué)做出一些探索。特別是計(jì)算機(jī)迅猛發(fā)展的今天，現(xiàn)代的數(shù)學(xué)物理方程教學(xué)更應(yīng)該結(jié)合先進(jìn)的信息與網(wǎng)絡(luò)資源來(lái)發(fā)展。在這樣的信息化背景下，可視化是現(xiàn)代高校教學(xué)中一個(gè)強(qiáng)有力的工具。目前，數(shù)學(xué)物理方程的可視化教學(xué)方面，基于MATLAB 仿真軟件已經(jīng)有一些探討[4-8]。這些基于MATLAB 仿真軟件的教學(xué)，充分利用了多媒體和計(jì)算機(jī)的資源，在教學(xué)上實(shí)現(xiàn)了一定的可視化功能，教學(xué)的效果也有一定的積極性。但是有必要指出的是，基于MATLAB 軟件是封裝指令集軟件，學(xué)生們?cè)谶M(jìn)行仿真時(shí)，往往只需要幾個(gè)簡(jiǎn)單的指令就能實(shí)現(xiàn)可視化，這種底層的封裝性會(huì)讓學(xué)生的動(dòng)手操作性受到一定程度上的折扣。所以，我們認(rèn)為基于MATLAB 軟件的仿真教學(xué)模式在培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力、分析問(wèn)題及解決問(wèn)題能力方面是有所欠缺的。

因此，對(duì)于數(shù)學(xué)物理方程課程，我們有必要對(duì)教學(xué)方法進(jìn)行深入的探討。我們的目標(biāo)是既要保證理論學(xué)習(xí)的質(zhì)量，同時(shí)也要繼續(xù)探索可視化教學(xué)。我們從課程所學(xué)的振動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)方程理論出發(fā)，結(jié)合基本的Fortran 編程語(yǔ)言進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，來(lái)實(shí)現(xiàn)方程其解的可視化功能。由于Fortran 編程語(yǔ)言是面向過(guò)程的高級(jí)編程語(yǔ)言，它簡(jiǎn)單易學(xué)而且可操作性強(qiáng)。通過(guò)Fortran 編程語(yǔ)言進(jìn)行數(shù)值計(jì)算并實(shí)現(xiàn)方程其解的可視化功能，以此提高學(xué)生的動(dòng)手能力、分析及解決問(wèn)題相關(guān)方面的能力是有很大的幫助。本文主要是對(duì)數(shù)學(xué)物理方程的可視化教學(xué)方法進(jìn)行探索與改革，以期得到更形象、更直觀、更加清晰明了的物理圖像，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)物理方程的理解，達(dá)到深刻理解知識(shí)并能夠靈活應(yīng)用的教學(xué)目的。

二 理論模型

我們知道，經(jīng)典數(shù)學(xué)物理方程一般分為雙曲線型方程、拋物線型方程、橢圓型方程。弦振動(dòng)方程是屬于雙曲線型方程，而熱傳導(dǎo)方程是屬于拋物線型方程。當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)模型滿足一定的邊界和初始條件（邊界條件與初始條件一般合稱為邊值條件）時(shí)，方程與邊值條件構(gòu)成數(shù)學(xué)物理偏微分方程的定解問(wèn)題。因此，數(shù)學(xué)物理方程的模型所面臨的具體問(wèn)題是解決滿足一定邊值條件的數(shù)學(xué)物理方程。在一些不是特別復(fù)雜的邊值問(wèn)題上，數(shù)學(xué)物理方程的定解問(wèn)題是可以進(jìn)行解析求解的，常用的一些方法有如分離變量法、傅里葉變換法、拉普拉斯變換法等[9]。當(dāng)然，在一些復(fù)雜的邊值問(wèn)題上，數(shù)學(xué)物理方程的定解問(wèn)題是很難進(jìn)行解析求解的，那么就需要引入數(shù)值求解的方法了。數(shù)值求解偏微分?jǐn)?shù)學(xué)物理方程常用的如差分法[10,11]。

工作中，為了避免數(shù)學(xué)物理方程復(fù)雜的邊值問(wèn)題，同時(shí)又要重點(diǎn)突出可視化的教學(xué)思想，我們是以簡(jiǎn)單的一維振動(dòng)方程和一維熱傳導(dǎo)方程為例子進(jìn)行分析。

例1，一根弦的振動(dòng)所滿足的一維波動(dòng)方程：

在此模型中，弦的兩端是固定的，在弦當(dāng)中某處給一個(gè)初始的擾動(dòng)（微小的振動(dòng)），擾動(dòng)通過(guò)弦本身的介質(zhì)向兩端傳遞波和能量。為了方便，此模型中波形的傳播速度已經(jīng)取為單位速度。此一維波動(dòng)方程的定解問(wèn)題可以用分離變量法來(lái)求解[9]，其通解為：

從解的形式上看，弦的橫向位移u(x,t)滿足正弦波的耦合形式。兩端固定的弦在其中某處產(chǎn)生的振動(dòng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，振動(dòng)會(huì)以波的形式傳播到兩端并從兩端反射回來(lái)，前進(jìn)波的波形與反射波的波形經(jīng)過(guò)疊加之后形成駐波。

例2，一根弦受熱所滿足的一維熱傳導(dǎo)方程：

在此模型中，弦的兩端絕熱，在弦當(dāng)中某處給一個(gè)初始的熱源，熱源通過(guò)弦本身的介質(zhì)向兩端傳遞熱量。為了方便，此模型中熱量的傳播速度同樣取為單位速度。一維熱傳導(dǎo)方程的定解問(wèn)題同樣可以用分離變量法求解[9]，其通解為：

從解的形式上看，熱源在弦介質(zhì)中的溫度u(x,t)滿足指數(shù)與正弦波的耦合形式。兩端絕熱的弦在其中某處給定初始熱源，熱量會(huì)以梯度的方式向外（向弦的兩個(gè)端點(diǎn)方向）擴(kuò)散并衰減掉。

在本文中，我們并不是數(shù)值求解偏微分方程。而是從偏微分方程及其定解問(wèn)題出發(fā)，用分離變量法給出解析解，然后對(duì)數(shù)學(xué)物理方程其解進(jìn)行可視化處理，這樣是為了給數(shù)理方程的學(xué)習(xí)者對(duì)數(shù)理方程的解的性質(zhì)有更加直觀的理解，同時(shí)也能在教學(xué)過(guò)程中突出可視化功能的重要性。

三 數(shù)值計(jì)算及可視化結(jié)果

從一維波動(dòng)方程的解(公式(2)) 和一維熱傳導(dǎo)方程的解(公式(4))兩個(gè)解的形式來(lái)看分別是不同的耦合形式。這種抽象、冗長(zhǎng)的數(shù)學(xué)形式讓學(xué)生理解起來(lái)比較費(fèi)力，學(xué)生對(duì)這種形式的理解也很難深入。相比于文字和符號(hào)形式的認(rèn)知，學(xué)生們對(duì)圖像和動(dòng)畫(huà)的認(rèn)識(shí)更容易接受。因此，我們有必要將一維波動(dòng)方程的解(公式(2))和一維熱傳導(dǎo)方程的解(公式(4))進(jìn)行可視化，然后以圖像的形式呈現(xiàn)給學(xué)生。

本文所進(jìn)行的數(shù)值計(jì)算及圖像描述所采用的軟件分別為：Fortran 和Origin（理工類學(xué)生可以結(jié)合并利用自己所學(xué)的編程語(yǔ)言，如C 語(yǔ)言，進(jìn)行編程）。有關(guān)于一維波動(dòng)方程的解(公式(2))和一維熱傳導(dǎo)方程的解(公式(4))的Fortran 源代碼如下所示：

基于Fortran 編程語(yǔ)言，本文分別對(duì)一維振動(dòng)方程的解（公式（2））和一維熱傳導(dǎo)方程的解（公式（4））進(jìn)行數(shù)值模擬。在本例中，我們?nèi)∠业拈L(zhǎng)度L為1 m，演化時(shí)間t 為 5 s，解的級(jí)數(shù)展開(kāi)到100000階。數(shù)值結(jié)果則是輸出時(shí)間依賴、位置依賴的位移函數(shù)（或者溫度函數(shù)），然后利用Origin 軟件將位移函數(shù)（或者溫度函數(shù)）展示成時(shí)間、位置的三維圖像，結(jié)果如圖1-4 所示。

圖1 和圖2 給出的是一維振動(dòng)方程解的數(shù)值結(jié)果，橫平面坐標(biāo)分別為時(shí)間刻度t、位置刻度x，縱坐標(biāo)為位移函數(shù)u(t,x)。其中圖1 給出的是一維波動(dòng)方程解的時(shí)空分布等勢(shì)圖。從圖1 我們可以看到，在x=0 m 和x=1 m 附近的橫向位移u(t,x)基本上不隨著時(shí)間發(fā)生變化。這是因?yàn)閤=0 m 和x=1 m 是端點(diǎn)固定的，波形在端點(diǎn)處無(wú)法形成橫向位移。但是波形可以沿著端點(diǎn)反射回去，所以我們可以在弦中間某處如x=0.4 m 處看到波形隨著時(shí)間演化而呈正弦波形形狀。為了更加形象地給出波動(dòng)的時(shí)空分布，在圖2 中給出了一維波動(dòng)方程解的3 維時(shí)空分布圖。從圖2 我們可以更加清晰地看到，越遠(yuǎn)離端點(diǎn)的位置，波形的橫向位移越大，換句話說(shuō)，邊界決定了振動(dòng)只能在邊界內(nèi)部傳遞，而往返的傳遞形成了波形的疊加效應(yīng)，即駐波現(xiàn)象。這就說(shuō)明了舞動(dòng)軟絲綢的時(shí)候絲綢橫位移的峰值可以從一端幾乎完整地傳遞到另一端，從而形成一個(gè)個(gè)周期性的波形。圖1 和圖2 都說(shuō)明了波動(dòng)方程在時(shí)空演化下會(huì)形成駐波現(xiàn)象。

圖1 一維波動(dòng)方程解的時(shí)空分布等勢(shì)圖

圖2 一維波動(dòng)方程解的3 維時(shí)空分布圖

圖3 和圖4 給出的是一維熱傳導(dǎo)方程解的數(shù)值結(jié)果，橫平面坐標(biāo)分別為時(shí)間刻度t、位置刻度x，縱坐標(biāo)為溫度函數(shù)u(t,x)。圖3 給出的是一維熱傳導(dǎo)方程解的時(shí)空分布等勢(shì)圖。從圖3 我們可以看到，在x=0 m 和x=1 m 附近的溫度基本上不隨著時(shí)間發(fā)生變化。這是因?yàn)閤=0 m 和x=1 m 是端點(diǎn)絕熱的，熱量無(wú)法在端點(diǎn)處傳遞。在圖1 中振動(dòng)的波形可以傳遞到端點(diǎn)并沿著端點(diǎn)反射回去，與振動(dòng)模型有所不同的是，圖3 中熱量傳遞到端點(diǎn)卻無(wú)法沿著端點(diǎn)反射回去，這是由于兩種不同物理性質(zhì)的傳播規(guī)律所決定的[1]。所以我們可以在弦中間某處如xL=0.4 m 處看到溫度隨著時(shí)間增大而呈指數(shù)形式快速地衰減掉。為了更加形象地給出熱量傳遞的時(shí)空分布，在圖4 中 給出了一維熱傳導(dǎo)方程解的3 維時(shí)空分布圖。從圖4 我們可以更加清晰地看到，越遠(yuǎn)離端點(diǎn)的位置，溫度值越大，換句話說(shuō)，邊界決定了溫度只能在邊界內(nèi)部傳遞，而傳遞滿足梯度形式，即離熱源越遠(yuǎn)，溫度衰減得越快。在時(shí)間t ＞ 0.2 s 的弦上，幾乎看不到溫度的分布。這也就是為什么日常生活中我們看到燒紅的鐵絲不繼續(xù)受熱的話就會(huì)快速冷卻掉，同時(shí)很難將熱峰值傳遞到另一端。圖3 和圖4 同時(shí)指出熱量在時(shí)空演化下是以梯度的方式向外迅速衰減掉的。

圖3 一維熱傳導(dǎo)方程解的時(shí)空分布等勢(shì)圖

圖4 維熱傳導(dǎo)方程解的3 維時(shí)空分布圖

四 討論

本工作是根據(jù)數(shù)學(xué)物理方程理論，結(jié)合數(shù)值計(jì)算方法，將數(shù)學(xué)物理方程中的兩類經(jīng)典方程:一維振動(dòng)方程和一維熱傳導(dǎo)方程進(jìn)行分析，并實(shí)施可視化教學(xué)。

（一）課程難度適合普通高等院校的學(xué)生

我們選取的一維振動(dòng)方程和一維熱傳導(dǎo)方程難度適合普通高校的學(xué)生的水平。既要讓學(xué)生們能夠?qū)W到數(shù)學(xué)物理方程的基本思想和基本方法，同時(shí)又要保證他們對(duì)學(xué)習(xí)的內(nèi)容有興趣和積極性。從課程內(nèi)容的選材來(lái)說(shuō)，一方面易于理解，一方面也易于實(shí)現(xiàn)可視化，操作性也很強(qiáng)，學(xué)生是相對(duì)容易接受的。

（二）可視化的方法簡(jiǎn)單易行但對(duì)動(dòng)手能力有要求

與基于MATLAB 仿真軟件的教學(xué)有所不同，本文是基于Fortran+Origin 的仿真教學(xué)。Fortran 是屬于底層的高級(jí)編程語(yǔ)言，在可視化教學(xué)的實(shí)施當(dāng)中，它能夠讓學(xué)生看到數(shù)值過(guò)程的每一個(gè)細(xì)節(jié)，它的動(dòng)手操作性比較強(qiáng)，同時(shí)Fortran 語(yǔ)言和Origin 軟件還容易學(xué)習(xí)上手，在教學(xué)上對(duì)學(xué)生更有吸引力。因此，在數(shù)學(xué)物理方程的可視化教學(xué)中，可以鼓勵(lì)學(xué)生參與可視化處理，這對(duì)于提高學(xué)生的動(dòng)手能力、分析或解決問(wèn)題能力有重要意義。

五 結(jié)語(yǔ)

本文的工作是在大學(xué)理工類的數(shù)學(xué)物理方程課程教學(xué)方法改革中，根據(jù)數(shù)學(xué)物理方程理論，結(jié)合數(shù)值計(jì)算方法，將數(shù)學(xué)物理方程中的兩類經(jīng)典方程——一維振動(dòng)方程和一維熱傳導(dǎo)方程這兩類方程的解進(jìn)行可視化處理。可視化結(jié)果可以清晰地看到波動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)方程的時(shí)空傳播性質(zhì)存在明顯的差異性。可視化將數(shù)學(xué)物理方程繁雜的解形象直觀化，在教學(xué)上更加吸引學(xué)生的興趣，更能加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)物理方程的理解，還可以鼓勵(lì)學(xué)生積極參與可視化處理過(guò)程（可視化的操作簡(jiǎn)易，對(duì)動(dòng)手能力有更基本的鍛煉），這對(duì)于提高學(xué)生的動(dòng)手能力、分析或解決問(wèn)題能力有重要意義。因此，基于Fortran編程語(yǔ)言的可視化處理在大學(xué)理工類數(shù)學(xué)物理方程教學(xué)方法改革的探索上具有非常積極的意義。