蘭子君執(zhí)教 張麗穎設(shè)計(jì)整理

議課人員：張麗穎名師工作室 蘭子君 郭海燕 道盛琴 馮玉嬌 秦桂霞 王麗霞 田 璐 王麗媛 劉 麗 高 燕

指導(dǎo)專家：秦皇島市海港區(qū)教師發(fā)展中心 張麗穎

課堂展示

一、游戲引入（說(shuō)反話游戲）

師:同學(xué)們喜歡玩游戲嗎？今天我們玩?zhèn)€“說(shuō)反話”的游戲。

（師生輕松愉快地玩起游戲，忽然教師故意大聲地說(shuō)：“我是男的?！保?/p>

生:（憋了半天）我是女的。（笑聲四起。）

師:誰(shuí)愿意再來(lái)和老師比試比試？（氣氛開(kāi)始活躍，教師有意找了個(gè)女生。）

師:我越長(zhǎng)越漂亮。

生：（很無(wú)奈地）我越長(zhǎng)越丑陋。

師:剛才同學(xué)們都笑了，但笑過(guò)以后要有思考。你們有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，剛才的游戲在玩的過(guò)程中有一個(gè)人始終占著便宜。是誰(shuí)呀？（生齊喊：老師?。?/p>

師:剛才都是老師先說(shuō)，這樣很容易把你們逼到不好回答的境地，想不想反一下？

（學(xué)生紛紛站起來(lái)比拼，屢屢讓老師陷入尷尬境地，學(xué)生已相當(dāng)興奮，完全沒(méi)有了課前的緊張。）

師:看來(lái)呀，在玩游戲的時(shí)候，有時(shí)先說(shuō)和后說(shuō)結(jié)果會(huì)截然不同。我們?cè)賮?lái)玩?zhèn)€游戲，好嗎？

二、探究策略（撲克牌比大?。?/h3>

1.明確規(guī)則。

兩組牌，一組是紅桃9、7、4，一組是黑桃8、5、3，紅桃比黑桃相應(yīng)的牌稍大些（把牌貼到黑板上）。游戲規(guī)則：兩人各選一組牌；每人每次出一張牌，各出三次，每張牌只能出一次，誰(shuí)出的牌點(diǎn)數(shù)大誰(shuí)贏；第一場(chǎng)誰(shuí)先出，后面兩場(chǎng)還是誰(shuí)先出；三局兩勝。

2.獲勝——靠實(shí)力。

師:兩組牌，讓你們先選擇，你們選哪組？

（學(xué)生異口同聲：“9、7、4?！苯處熥穯?wèn)：“為什么？”學(xué)生回答：“第一組點(diǎn)數(shù)大，獲勝機(jī)會(huì)大?！保?/p>

師:果真這樣嗎？我們?cè)囈辉嚒?/p>

（教師出8、5、3，學(xué)生出9、7、4，學(xué)生3∶0獲勝。）

師:看來(lái)選擇大牌確實(shí)占優(yōu)勢(shì)。

3.獲勝——靠對(duì)策。

（1）組內(nèi)比試討論。

師:這次我先選牌，我選紅色的三張大牌，你們拿黑色的三張小牌，還有辦法獲勝嗎？怎樣出牌，才能獲勝？（學(xué)生獨(dú)立思考。）

師:已經(jīng)想到小牌獲勝的同學(xué)拿小牌，還沒(méi)想到的同學(xué)拿大牌，同桌之間過(guò)過(guò)招，在過(guò)招的同時(shí)互相討論、研究。（同桌比試，思考討論。）

（2）現(xiàn)場(chǎng)比試啟思。

師:現(xiàn)在，哪個(gè)同學(xué)能夠自信地說(shuō)“我拿小牌也能打敗對(duì)手”，請(qǐng)舉手！請(qǐng)同學(xué)們邊見(jiàn)證邊思考：他用什么辦法以弱勝?gòu)?qiáng)？

（教師故意設(shè)陷阱：“你拿小牌，請(qǐng)你先出，好吧？”學(xué)生不中計(jì)：“不，請(qǐng)老師先出?！苯處煶?，學(xué)生出3。）

師:第一局你就輸給我了，請(qǐng)問(wèn)你現(xiàn)在要不要投降？下面的同學(xué)有誰(shuí)知道，他為什么不投降？（學(xué)生紛紛舉手發(fā)言，表示后面8 比7 大，5 比4 大，三局兩勝。）

師:我明白了，他第一局輸給老師是有目的的，目的是什么？

生:用他最小的牌輸給你最大的牌。之后，他剩下的兩張牌都比你大，就能贏兩局。

師:我拿大牌怎么就輸啦，我不服，我還要跟你再比一場(chǎng)。（教師出4，學(xué)生出5；教師出9，學(xué)生出3；教師出7，學(xué)生出8。學(xué)生2∶1獲勝。）

師:明白了，他這叫用最小的代價(jià)換取最大的利益。看起來(lái)，選擇小牌也能戰(zhàn)勝對(duì)手。在對(duì)抗競(jìng)爭(zhēng)中開(kāi)動(dòng)腦筋尋求最優(yōu)方法以戰(zhàn)勝對(duì)手，這就是對(duì)策！剛才你們用實(shí)力弱的小牌戰(zhàn)勝老師，靠的就是對(duì)策！

（3）探究以弱制強(qiáng)。

師：剛才以弱勝?gòu)?qiáng)的對(duì)策中哪一局最為關(guān)鍵？為什么這一局最關(guān)鍵？最關(guān)鍵的這一局厲害在哪兒？（學(xué)生一致認(rèn)為3 對(duì)9 最關(guān)鍵，只要把大牌的9對(duì)掉了，就能2∶1獲勝。）

師：我明白了。當(dāng)我出9 的時(shí)候，你們無(wú)論出幾都是輸，所以干脆犧牲最小的3，浪費(fèi)掉我最厲害的9，用最小的代價(jià)損失掉我最強(qiáng)的力量，用暫時(shí)的失利換取后兩局的勝利！這就是古人常說(shuō)的“以弱制強(qiáng)”！

（4）探究后發(fā)制人。

師:你們會(huì)全盤考慮、以弱制強(qiáng)，就一定能取得整體勝利嗎？

生:我知道，我知道，必須老師先出牌！

師:如果大牌不先出牌，小牌還能以弱勝?gòu)?qiáng)嗎？（學(xué)生紛紛搖頭，表示小牌先出的話，大牌每一局都可以出一張大過(guò)小牌的，大牌肯定完勝。）

師:必須想法讓對(duì)手先出牌，然后在知己知彼的情況下，后發(fā)制人，取得整體勝利！

（5）探究實(shí)力相近。

師:有了知己知彼、后發(fā)制人、以弱制強(qiáng)，弱者就一定能取得勝利嗎？如果老師把小的這組牌繼續(xù)調(diào)小，比如把8、5、3 換成6、5、3，還是大牌先出，小牌還能勝嗎？為什么？（學(xué)生悟到只有一張6 大過(guò)對(duì)方4，無(wú)法取勝。）

師:如果非要把小牌調(diào)小，你們覺(jué)得可以調(diào)小幾張？調(diào)哪幾張？（學(xué)生積極思考，交流并達(dá)成共識(shí)。明確只能把3 調(diào)小，另兩張必須保證大于對(duì)方的4和7。）

師:通過(guò)剛才的思考，你們覺(jué)得要想以弱勝?gòu)?qiáng)，除了后發(fā)制人、以弱制強(qiáng)這兩招外，弱者還必須滿足什么條件？（學(xué)生悟到小牌不能太弱，至少有兩張大于大牌。這就是“實(shí)力相近”。）

三、解讀經(jīng)典

1.引導(dǎo)審題，理解問(wèn)題解決的條件。

師：老師特別佩服你們，在玩牌游戲中不知不覺(jué)就研究了一門重要的學(xué)問(wèn)——對(duì)策問(wèn)題。剛才用小牌戰(zhàn)勝大牌就是對(duì)策問(wèn)題的一種——以弱勝?gòu)?qiáng)。對(duì)策思想在我國(guó)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，著名的歷史故事《田忌賽馬》就運(yùn)用了這一思想。下面就讓我們穿越時(shí)空，回到二千多年前的戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，去看一看古人是如何運(yùn)用這一對(duì)策的，好嗎？（課件出示《田忌賽馬》課文，學(xué)生獨(dú)立閱讀。）

師:根據(jù)課文提供的信息，你們能用數(shù)學(xué)符號(hào)把雙方的賽馬按照戰(zhàn)力從強(qiáng)到弱進(jìn)行排序嗎？試一試。（學(xué)生獨(dú)立嘗試，然后交流。）

生1:齊上>田上>齊中>田中>齊下>田下。

生2:A>a>B>b>C>c。

師:大小寫的字母分別表示什么？A>a，B>b，C>c，是根據(jù)什么知道的？a>B，b>C，又是根據(jù)什么知道的？（學(xué)生結(jié)合課文內(nèi)容分析。）

師:分析問(wèn)題首先必須明確并理解條件。齊王和田忌六匹馬的戰(zhàn)力排列與我們六張撲克牌的實(shí)力排列是一樣的。實(shí)力相差不太懸殊，這是孫臏后面決策的前提條件。

2.類比溝通，理解賽馬策略。

師:第二次比賽孫臏戰(zhàn)勝齊王的對(duì)策和你們用小牌戰(zhàn)勝大牌的對(duì)策有什么相通之處？（因?yàn)橛星懊娴拈喿x討論，學(xué)生很順利做出分析：都是在實(shí)力相近的情況下，采用了后發(fā)制人、以弱制強(qiáng)的策略，從而取勝。）

3.猜想驗(yàn)證說(shuō)理，探究對(duì)策是否唯一。

師:假設(shè)驕傲的齊王一直按上、中、下的順序出馬，孫臏想到的這種策略是不是唯一能贏齊王的對(duì)策呢？（出示對(duì)陣表格）

第一場(chǎng)第二場(chǎng)第三場(chǎng)齊王田忌A C B A C B勝負(fù)——田忌2勝1負(fù)

（學(xué)生意見(jiàn)不一。）

師:看來(lái)取勝對(duì)策是否唯一，大家有不同看法。那么田忌總共有多少種可采用的對(duì)策呢？你是怎么想的？（學(xué)生出現(xiàn)兩種意見(jiàn)，9種和6種。）

師:到底是9 種還是6 種，只要把各種對(duì)策一一寫出來(lái)就知道了。聯(lián)想搭配知識(shí)中的有序思考策略，認(rèn)真填一填。（學(xué)生獨(dú)立完成課本中表格，然后交流。課件完成填表。）

4.深度思考，體悟博弈。

師:如果齊王按上、中、下的順序出馬，田忌共有6種應(yīng)對(duì)策略，這6種應(yīng)對(duì)策略中只有一種能贏齊王。也就是說(shuō)田忌獲勝的可能性只有六分之一。為什么獲勝的可能性很小，孫臏卻胸有成竹呢？

生:因?yàn)辇R王正在得意忘形之際，以為自己實(shí)力強(qiáng)必勝，還是按上中下的順序出馬。

師:這就叫知己知彼。就好比玩“石頭、剪刀、布”，田忌看到了對(duì)方出什么才出手。（學(xué)生笑了起來(lái)。）

師：?jiǎn)栴}又來(lái)了——如果第二次比賽齊王改變出馬順序，田忌還能贏嗎？贏的可能性有多大呢？我們來(lái)試一試。（將上面表格的第一行改成C、B、A，根據(jù)學(xué)生回答完成填表。）

師:齊王按下、中、上的順序出馬，田忌按方案3出馬可以獲勝，獲勝的可能性還是——

生（齊）:六分之一。

師:像這樣在了解對(duì)方出馬順序的前提下，按順序列出自己可以采用的所有方案再一一進(jìn)行分析，從中找到能夠戰(zhàn)勝對(duì)手的最合理行為方案也就是最優(yōu)方案的過(guò)程，就是優(yōu)化！沏茶問(wèn)題我們研究的是程序的優(yōu)化，烙餅問(wèn)題我們研究的是空間的優(yōu)化，而今天的田忌賽馬我們研究的是出馬順序的優(yōu)化。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是不斷尋找解決問(wèn)題方法，并努力尋求最優(yōu)解決方法的過(guò)程。

四、應(yīng)用拓展

1.拍球比賽。

（教材107頁(yè)第3題）學(xué)生獨(dú)立思考后交流。

2.游戲——取撲克。

游戲說(shuō)明：10 張撲克牌，兩人輪流取，每次只能取2 張，誰(shuí)最先取到第10 張撲克牌，誰(shuí)就獲勝。請(qǐng)仔細(xì)思考必贏策略，并用你喜歡的方式表示出來(lái)。

改變游戲規(guī)則：10 張撲克牌，兩人輪流取，每次只能取1 張或2 張，誰(shuí)最先取到第10 張撲克牌，誰(shuí)就獲勝。（先獨(dú)立思考，再同桌過(guò)招，最后學(xué)生打擂，啟發(fā)思考，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。）

議課現(xiàn)場(chǎng)

議題一：《田忌賽馬》這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)涵是什么？

張麗穎：要上好課，首先必須把握教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)。今天我們就子君老師《田忌賽馬》一課，談?wù)勥@節(jié)課的教學(xué)內(nèi)涵是什么？

蘭子君：《田忌賽馬—對(duì)策問(wèn)題》是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)第八單元數(shù)學(xué)廣角的第三課時(shí)。本單元共編排了3個(gè)例題。例1沏茶問(wèn)題，思考怎樣合理安排沏茶的各個(gè)環(huán)節(jié)才能讓客人盡快喝上茶，其中“合理”“省時(shí)”是優(yōu)化沏茶各程序的思考角度；例2 烙餅問(wèn)題，在探究烙3 張餅怎樣省時(shí)的基礎(chǔ)上，探索烙更多張餅的最優(yōu)方法和策略，探究其中的規(guī)律且明確道理；本課時(shí)“田忌賽馬”是歷史上“以弱勝?gòu)?qiáng)”的經(jīng)典案例，它是在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)廣角“搭配”的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，意在引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)簡(jiǎn)單的事例，借助有序思考尋找多種解決問(wèn)題的方案，之后探尋最佳策略，體會(huì)運(yùn)籌優(yōu)化思想在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用。

王麗霞：本單元的副標(biāo)題“優(yōu)化”，本是各行各業(yè)的共同追求，在數(shù)學(xué)中“優(yōu)化”也具有非常豐富的含義，本單元集中體現(xiàn)運(yùn)籌學(xué)的“最優(yōu)化”思想。3 個(gè)例題各有側(cè)重，其中例1 沏茶問(wèn)題、例2 烙餅問(wèn)題運(yùn)籌內(nèi)涵屬于規(guī)劃論。例3“田忌賽馬”以弱勝?gòu)?qiáng)通常被認(rèn)為是博弈論問(wèn)題。3 個(gè)例題的核心目標(biāo)都是讓學(xué)生感受并初步理解運(yùn)籌優(yōu)化思想。運(yùn)籌是優(yōu)化的前提，運(yùn)籌的本質(zhì)是各種數(shù)量關(guān)系和空間形式的分析、梳理、統(tǒng)籌與推理建模的過(guò)程。因此，本單元的教學(xué)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的推理能力與模型思想也是極為有益的。

王麗媛：“數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)所需的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的作用?！边@樣的描述明確了我們作為數(shù)學(xué)教師的任務(wù)，也指出了數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)?！短锛少愸R》學(xué)習(xí)后要給學(xué)生留下些什么呢？是從不同角度分析問(wèn)題、周密思考的思維品質(zhì)，是在所有可能采取的策略中甄選最優(yōu)策略的能力，是對(duì)運(yùn)籌優(yōu)化思想的感悟和理解。

議題二：如何讓《田忌賽馬》這節(jié)課上得既有意義又有意思？

張麗穎：關(guān)于《田忌賽馬》，歷來(lái)有兩種設(shè)計(jì)：一是遵循教材，由田忌賽馬的故事（大多是視頻）引入，然后圍繞“田忌采用的策略是否是唯一能贏齊王的策略”這一核心問(wèn)題展開(kāi)探究，分析策略，體會(huì)優(yōu)化思想，有味道但容易陷入單薄枯燥；二是創(chuàng)設(shè)撲克牌比大小的游戲情境，然后圍繞“小牌如何戰(zhàn)勝大牌”，讓學(xué)生在玩中尋找對(duì)策，體會(huì)優(yōu)化，有意思但容易陷入膚淺熱鬧。那么，如何讓這節(jié)課既有意義又有意思呢？

秦桂霞：讓數(shù)學(xué)課既有意思又有意義，是我們一直的追求。結(jié)合這節(jié)課，我想從“游戲與經(jīng)典完美結(jié)合，讓有意義與有意思和諧統(tǒng)一”這個(gè)角度談?wù)勎业南敕?。田忌賽馬是學(xué)生耳熟能詳?shù)慕?jīng)典故事，可是對(duì)四年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們的關(guān)注點(diǎn)是有趣的故事情節(jié)，若揉碎情節(jié)談策略的選擇，探究必定索然無(wú)味。本節(jié)課從師生共玩說(shuō)反話游戲開(kāi)始，同學(xué)們?cè)谂d趣盎然的游戲中體悟到了處于主動(dòng)地位的優(yōu)勢(shì)；緊隨其后的撲克牌游戲，學(xué)生全程參與，經(jīng)由一系列有意思的比拼，大家經(jīng)歷了優(yōu)化策略及策略有效前提的探索過(guò)程；隨后田忌賽馬故事的重溫，讓同學(xué)們體會(huì)古人對(duì)策略的應(yīng)用，經(jīng)歷策略產(chǎn)生的過(guò)程。這樣讓游戲與經(jīng)典完美結(jié)合，在有意思中體會(huì)有意義的思想，可謂潤(rùn)物無(wú)聲。

蘭子君：我同意秦老師的看法。這節(jié)課突破以往設(shè)計(jì)的窠臼，將經(jīng)典與游戲完美結(jié)合，起到了“攝人魂魄”的效果?！疤锛少愸R”的故事學(xué)生并不陌生，在平時(shí)的課堂中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“策略皆知”和“知其然而不知其所以然”的現(xiàn)象。為了激發(fā)探究興趣，教師創(chuàng)造性地使用教材，以“撲克牌比大小”的游戲貫穿前半節(jié)課，從靠實(shí)力到靠對(duì)策，從組內(nèi)比試到現(xiàn)場(chǎng)比拼，給抽象的思想賦予形象化的情境，使其在動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口中主動(dòng)參與，自主建構(gòu)，體驗(yàn)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法。最后教師又回歸經(jīng)典，將“田忌賽馬”與撲克牌游戲進(jìn)行類比，引導(dǎo)學(xué)生抓住它們之間的本質(zhì)聯(lián)系。在驗(yàn)證唯一性之后，教師再次引導(dǎo)學(xué)生思考“如果第二次比賽齊王改變出馬順序，田忌還能贏嗎”，將學(xué)生的思維觸角向深處延伸，深刻感悟優(yōu)化思想，帶來(lái)認(rèn)識(shí)上的再突破。整堂課將游戲與經(jīng)典完美結(jié)合，好玩有趣又充滿濃濃的數(shù)學(xué)味。

田璐：數(shù)學(xué)是思維的體操，思維是智力的核心。我覺(jué)得本節(jié)課在“關(guān)注數(shù)學(xué)思考，讓思維在生動(dòng)中走向深刻”這點(diǎn)上做得也非常有特色。前半節(jié)課，教師引領(lǐng)學(xué)生在撲克牌游戲中層層深入地挖掘獲勝策略——在實(shí)力相近的情況下，以弱制強(qiáng)、后發(fā)制人，實(shí)現(xiàn)整體勝利。后半節(jié)課在解讀經(jīng)典中引導(dǎo)學(xué)生將撲克牌游戲中獲得的體驗(yàn)有效遷移，認(rèn)知前后貫通，理性提升，由對(duì)陣策略提升為一種對(duì)策思想。整節(jié)課學(xué)生自始至終一直在思考。

郭海燕：我同意田璐的看法。沒(méi)有數(shù)學(xué)思考，就沒(méi)有真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。撲克牌游戲探究策略環(huán)節(jié)，從“獲勝靠實(shí)力”到“獲勝靠對(duì)策”，再到探究“以弱制強(qiáng)”“后發(fā)制人”“實(shí)力相近”，不停地將學(xué)生帶到疑惑的邊緣，幫助學(xué)生逐步學(xué)會(huì)更清晰、更深入、更全面、更合理地進(jìn)行思考。而游戲過(guò)后，回歸經(jīng)典，從“引導(dǎo)審題、理解問(wèn)題解決的條件”，到“類比溝通、理解賽馬策略”，再到“猜想驗(yàn)證說(shuō)理、探究對(duì)策是否唯一”，學(xué)生對(duì)運(yùn)籌優(yōu)化的理解從淺顯逐步走向深刻。這無(wú)疑也是思考的力量。

道盛琴：“田忌賽馬”是我國(guó)民間流傳的經(jīng)典故事。本身極具趣味性又具有訓(xùn)練智能的現(xiàn)實(shí)價(jià)值。在本案例中，教師以“說(shuō)反話”游戲?yàn)閷W(xué)生的“說(shuō)”搭好臺(tái)子，用“撲克牌游戲”為學(xué)生的數(shù)學(xué)思考提供熟悉生動(dòng)的素材。學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立的思考，體驗(yàn)“以弱勝?gòu)?qiáng)”的快樂(lè)，思考制勝的秘訣。思維在不斷變化的情景中，圍繞如何求勝而步步深入，智慧在互動(dòng)中自然生長(zhǎng)。

劉麗：數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)教學(xué)最基本的目標(biāo)就是發(fā)展數(shù)學(xué)思維。如何才能讓學(xué)生真實(shí)地思考？我覺(jué)得“設(shè)計(jì)有價(jià)值的問(wèn)題，讓問(wèn)題引領(lǐng)探究”十分重要。本節(jié)課以“核心問(wèn)題+不斷追問(wèn)”的形式，通過(guò)問(wèn)題鏈不斷把學(xué)生的思考引向深入，讓學(xué)生經(jīng)歷了找尋獲勝方法、感悟獲勝策略、升華對(duì)策思想的全過(guò)程，特別難能可貴。

馮玉嬌：我繼續(xù)劉麗老師的話題。課堂中，教師用兩個(gè)核心問(wèn)題（小牌如何戰(zhàn)勝大牌、田忌的策略是否是唯一的）引領(lǐng)教學(xué)，牢牢把準(zhǔn)學(xué)生的思考方向。而游戲與閱讀經(jīng)典中通過(guò)問(wèn)題鏈引導(dǎo)策略形成，又引發(fā)了學(xué)生對(duì)策略產(chǎn)生過(guò)程的探索及策略有效條件的感悟，拓展了學(xué)生的思維廣度，提高了學(xué)生的思維深度。

高燕：本節(jié)課練習(xí)環(huán)節(jié)“游戲——取撲克”中，問(wèn)題也是以問(wèn)題鏈的形式出現(xiàn)的：“每次只能取2張，誰(shuí)最先取到第10 張撲克牌，誰(shuí)就獲勝，怎么??？”“10 張撲克牌，兩人輪流取，每次只能取1 張或2 張，誰(shuí)最先取到第10 張撲克牌，誰(shuí)就獲勝，怎么?。俊眹@訓(xùn)練目標(biāo)精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題，不斷將探究引向深入，最終實(shí)現(xiàn)自我建構(gòu)。

專家指導(dǎo)

抓住數(shù)學(xué)本質(zhì) 體悟運(yùn)籌優(yōu)化

張麗穎

數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)是“努力提升學(xué)生核心素養(yǎng)”。要提升素養(yǎng)，首先要做的是讓學(xué)生學(xué)得進(jìn)去，其次是讓學(xué)生學(xué)得深入、深刻。因此小學(xué)數(shù)學(xué)教育應(yīng)該努力讓“有意義”變得“有意思”，用“有意思”來(lái)表達(dá)“有意義”。

本次觀課議課活動(dòng)，工作室選取《田忌賽馬》作為研究?jī)?nèi)容，我們想與更多的教師探討：如何抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生在深入的思考中體會(huì)理解運(yùn)籌優(yōu)化思想？如何讓這節(jié)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課有味道而且有意思？

一、凸顯數(shù)學(xué)味道

語(yǔ)文有同題課文《田忌賽馬》，教學(xué)中分析得非常透徹，故事蘊(yùn)含的各種道理幾乎都講到了。數(shù)學(xué)課若講哲理，發(fā)揮空間不大。鑒于數(shù)學(xué)的學(xué)科性質(zhì)，我們應(yīng)當(dāng)著重引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)的眼光透視故事，并將其數(shù)學(xué)化。

1.引領(lǐng)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度去分析歷史事件。

“根據(jù)課文提供的信息，你們能用數(shù)學(xué)符號(hào)把雙方的賽馬按照戰(zhàn)力從強(qiáng)到弱進(jìn)行排序嗎”，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光尋找故事背后的數(shù)學(xué)信息，將語(yǔ)文課形象化的“馬速排行榜”用數(shù)學(xué)符號(hào)表示:設(shè)齊王上、中、下等馬的速度為A，B，C，田忌上、中、下等馬的速度為a，b，c，則A>a>B>b>C>c。明確馬的實(shí)力相差不太懸殊，是孫臏后面決策的前提條件。

2.引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法尋找、分析最優(yōu)策略。

教學(xué)中，教師以“孫臏戰(zhàn)勝齊王的對(duì)策和你們用小牌戰(zhàn)勝大牌的對(duì)策有什么相通之處”為引領(lǐng)，讓學(xué)生通過(guò)類比分析，真正理解田忌“以弱勝?gòu)?qiáng)”所采用的策略；再通過(guò)“假設(shè)齊王一直按上、中、下的順序出馬，孫臏想到的這種策略是不是唯一能贏齊王的對(duì)策”引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想搭配知識(shí)中的有序思考，通過(guò)一一排列，找全田忌的6 種不同對(duì)策，發(fā)現(xiàn)只有一種對(duì)策能夠三局兩勝，既經(jīng)歷了田忌對(duì)策產(chǎn)生的過(guò)程，積累了相應(yīng)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)更深刻地體會(huì)了“謀略在先、以弱勝?gòu)?qiáng)”的不易，感悟到“優(yōu)化”的魅力。

3.指導(dǎo)學(xué)生分析實(shí)施“最優(yōu)策略”的基本條件。

理解田忌實(shí)施最優(yōu)策略的基本條件，才能體會(huì)對(duì)策論的重要性，感悟?qū)Σ哒摰乃枷?。本?jié)課無(wú)論是導(dǎo)入環(huán)節(jié)通過(guò)說(shuō)反話游戲讓學(xué)生體會(huì)“先說(shuō)和后說(shuō)結(jié)果會(huì)截然不同”，還是撲克牌比大小游戲中，讓學(xué)生抽絲剝繭領(lǐng)會(huì)只有在大小牌實(shí)力相近的前提下，讓大牌先出牌，小牌才能后發(fā)制人，以弱勝?gòu)?qiáng)，乃至閱讀經(jīng)典之后的戰(zhàn)力分析、出牌與出馬策略的類比、孫臏胸有成竹原因的思考，其目的都是為了讓學(xué)生知道：“最優(yōu)策略”能順利實(shí)施并取得“以弱勝?gòu)?qiáng)”的結(jié)果需要滿足以下前提條件：一是實(shí)力相近，二是齊王先出，三是全盤考慮，以弱制強(qiáng)。

4.合理延伸，體會(huì)博弈。

通常在小學(xué)教學(xué)“田忌賽馬”，只講齊王固定出馬順序，田忌共有6 種對(duì)策，只有一種能使田忌三局兩勝，到此為止。如此教學(xué)充其量只是講解了一個(gè)決策論故事，構(gòu)不成真正的博弈論問(wèn)題。因?yàn)椴┺膯?wèn)題最基本的特征是“策略互相牽制對(duì)抗”，通俗的說(shuō)就是雙方同時(shí)決策。這節(jié)數(shù)學(xué)課，教師在解讀經(jīng)典之后，以“如果第二次比賽齊王改變出馬順序，田忌還能贏嗎？贏的可能性有多大”這一問(wèn)題為載體，把田忌賽馬擴(kuò)展為一個(gè)博弈論問(wèn)題，即假設(shè)比賽之前，齊王和田忌互相不知道對(duì)方賽馬的出場(chǎng)順序，兩人都可以自由選擇己方賽馬的出場(chǎng)順序。通過(guò)再次列表分析，得出只要保證讓齊王先出馬，不管齊王怎樣出馬，田忌的出馬方案總是6 種，其中只有用“下對(duì)上、中對(duì)下、上對(duì)中”，才能夠三局兩勝。這樣，使數(shù)學(xué)模型更加精準(zhǔn)，讓運(yùn)籌思想以更加立體的形態(tài)植入學(xué)生心中。

二、選擇合適的教學(xué)策略

1.游戲中感悟，閱讀中理解，在探究類比中循序漸進(jìn)地理解運(yùn)籌優(yōu)化。

教師通過(guò)有趣的游戲，把學(xué)生不知不覺(jué)地帶入研究對(duì)策論的數(shù)學(xué)世界，讓學(xué)生在游戲中思考，在思考中感悟，在感悟中學(xué)習(xí)。首先，簡(jiǎn)單有趣的說(shuō)反話游戲不僅符合學(xué)生的天性，更重要的是瞬間就吸引住了學(xué)生。學(xué)生被教師逼得“狼狽不堪”，而在“反攻戰(zhàn)役”中，學(xué)生迸發(fā)的聰明智慧又令教師“招架不及”，師生在歡聲笑語(yǔ)中很快達(dá)到了情感的交融，奠定了整節(jié)課良好互動(dòng)的基礎(chǔ)。但游戲如果僅僅是游戲，就失去了意義。教師一句“笑過(guò)后要有思考”的提醒，其實(shí)已把本節(jié)課的核心策略之一——“先說(shuō)或后說(shuō)”的種子悄無(wú)聲息地種在了每名學(xué)生的心田，為后面的探究做好了堅(jiān)實(shí)的鋪墊。

接下來(lái)的撲克牌比大小游戲，核心在于必勝策略的探究，這也是本節(jié)課的核心所在。如何讓每名學(xué)生都能主動(dòng)參與探究建構(gòu)？如何讓每名學(xué)生都能尋找到思路的突破口？如何讓每名學(xué)生都能體驗(yàn)到成功的喜悅……顯然，教師站在學(xué)生的角度，經(jīng)過(guò)了精心地思考。第一輪比試證明選擇大牌占優(yōu)勢(shì)之后，出示問(wèn)題“你們拿黑色的3張小牌，還有辦法獲勝嗎？怎樣出牌才能獲勝”，先獨(dú)立思考，再同桌比試研究，有了初步的輸贏體驗(yàn)后，組織全班交流。而師生打擂的交流方式，不僅有看點(diǎn)，且非常符合學(xué)生爭(zhēng)強(qiáng)好勝的天性。師生高昂的斗智過(guò)程，吸引了所有人的眼球，在此過(guò)程中教師一個(gè)個(gè)看似輕描淡寫、其實(shí)是非常適時(shí)和重要的“明知故問(wèn)”，一層層撥開(kāi)迷霧，學(xué)生順藤摸瓜，輕松自如地發(fā)現(xiàn)了必勝的策略——以弱制強(qiáng)。

兩次打敗教師的經(jīng)歷，學(xué)生不僅充分享受到了勝利的愉悅，更重要的是在不斷的思考中，切身體會(huì)到運(yùn)籌策略在解決實(shí)際問(wèn)題中的重要作用。游戲之后關(guān)于后發(fā)制人的探究因?yàn)橛辛苏f(shuō)反話游戲做鋪墊，自然水到渠成；而最后借助“把8、5、3 換成6、5、3，小牌還能勝嗎？為什么？”“如果非要把小牌調(diào)小，你們覺(jué)得可以調(diào)小幾張？調(diào)哪幾張”兩個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生在余興未消之時(shí)進(jìn)行深入思考，不僅訓(xùn)練了思維，更讓學(xué)生對(duì)“實(shí)力相近”這一實(shí)施“最優(yōu)策略”的基本條件有了實(shí)實(shí)在在的體會(huì)。

激烈的游戲環(huán)節(jié)結(jié)束后，課堂回歸《田忌賽馬》經(jīng)典本身。在這一環(huán)節(jié)，教師要求學(xué)生靜靜閱讀，靜靜思考，在類比中不僅打通了游戲和經(jīng)典的聯(lián)系，進(jìn)一步體會(huì)了實(shí)力相近、以弱制強(qiáng)，而且經(jīng)歷了探究策略產(chǎn)生的過(guò)程，做到了知其然并知其所以然，豐富了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

本課中的撲克游戲與解讀經(jīng)典本質(zhì)都是對(duì)策的探究，課堂表現(xiàn)上是一動(dòng)一靜，而教學(xué)目標(biāo)上各有側(cè)重。前者重在探究必勝方法，達(dá)成知識(shí)技能目標(biāo)；后者重在感悟必勝策略，體會(huì)運(yùn)籌優(yōu)化思想，體現(xiàn)深度學(xué)習(xí)之魂。兩者相輔相成，珠聯(lián)璧合，實(shí)現(xiàn)了有意思與有意義的和諧統(tǒng)一。

2.問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)，思考引領(lǐng)建構(gòu)，在深入的思考中體會(huì)運(yùn)籌優(yōu)化的味道。

用“生動(dòng)”來(lái)詮釋“深刻”，用“有意思”來(lái)表達(dá)“有意義”，追求“生動(dòng)且深刻”的小學(xué)數(shù)學(xué)活力課堂，是小學(xué)數(shù)學(xué)教育觀的具體表現(xiàn)，而“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”則是為實(shí)現(xiàn)這一教育觀而提出的方法論。通過(guò)一系列的“問(wèn)題鏈”，引發(fā)學(xué)生主動(dòng)積極的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，使學(xué)生在研究與解決問(wèn)題的過(guò)程中持續(xù)獲得數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升與發(fā)展。

田忌賽馬的故事膾炙人口，加以多地語(yǔ)文課教學(xué)在先，學(xué)生對(duì)孫臏的取勝策略可謂一清二楚，沒(méi)有新奇感，教師也賣不了關(guān)子。于是，本節(jié)課采用游戲在先、解讀經(jīng)典在后的方式，利用游戲激趣，在有意思的游戲中通過(guò)一個(gè)個(gè)問(wèn)題不斷引發(fā)學(xué)生的思考。讓學(xué)生在討論“專家贏大牌的策略厲害在哪”“有了以弱制強(qiáng)就一定能贏嗎”“有了以弱制強(qiáng)、后發(fā)制人就一定能以弱勝?gòu)?qiáng)嗎”一系列問(wèn)題的過(guò)程中，從“實(shí)力相近、以弱制強(qiáng)、后發(fā)制人”三個(gè)維度真正地理解“以弱勝?gòu)?qiáng)”的對(duì)策。

在此基礎(chǔ)上出示原文，并再次通過(guò)一連串的問(wèn)題，啟發(fā)聯(lián)想、引發(fā)深度思考：“故事和游戲有什么相通之處”“田忌共有多少種可采用的對(duì)策，孫臏想到的是不是唯一能贏齊王的對(duì)策”“孫臏為什么胸有成竹”“如果齊王改變出馬順序，田忌還能贏嗎”……如此一套組合拳，既巧妙地將游戲與經(jīng)典完美結(jié)合，又彌補(bǔ)了游戲只尋找對(duì)策沒(méi)有驗(yàn)證說(shuō)理的缺憾，實(shí)現(xiàn)了既知其然又知其所以然的文化點(diǎn)撥，完成了對(duì)有序思考的回顧重溫，體驗(yàn)了解決問(wèn)題策略的多樣化，凸顯了“對(duì)策論”的應(yīng)用價(jià)值。問(wèn)題引領(lǐng)，不斷引發(fā)學(xué)生思想的碰撞，學(xué)生在不斷地質(zhì)疑解疑中思考越來(lái)越清晰、越來(lái)越深入，切實(shí)體會(huì)到了“運(yùn)籌優(yōu)化”的味道。