魏 宇

1.簡(jiǎn)述

設(shè)想一個(gè)機(jī)器人的世界。現(xiàn)在有兩個(gè)機(jī)器人，分別是A和B。A發(fā)生了故障，于是通過(guò)公共廣播系統(tǒng)發(fā)出求助信息。B是機(jī)器人世界的維修工，負(fù)責(zé)維修壞損的機(jī)器人。此時(shí)B可能接收到或者沒(méi)有接收到A 的求助信息，A 下一步的行動(dòng)將取決于其是否有“我（A）知道B知道我需要幫助”這條知識(shí)。①例子來(lái)源于A.J.Grove，“Naming and Identity in Epistemic Logic PartⅡ：A First-order Logic for Naming，”Artificial Intelligence，Vol.74 No.2（1995）：311-350。如果有，A可以等待救助，否則它將嘗試其他的方式自救。那么，認(rèn)知邏輯里如何形式化“我知道B知道我需要幫助”這樣的知識(shí)呢？

當(dāng)代認(rèn)知邏輯的研究起源于亨迪卡（J.Hintikka）自上世紀(jì)六十年代開(kāi)始的一系列工作。②參見(jiàn)J.Hintikka，Knowledge and Belief：An Introduction to the Logic of the Two Notions，Ithaca，New York：Cornell University Press，1962，pp.40-57。辛提卡開(kāi)創(chuàng)了研究“知識(shí)”、“信念”概念的模態(tài)邏輯路徑，他提出“知道”模態(tài)算子Ki以表達(dá)“主體i 知道命題φ”這樣的知識(shí)（公式表示：Kiφ）。語(yǔ)義上說(shuō)，根據(jù)模態(tài)邏輯的可能世界語(yǔ)義學(xué)，一個(gè)命題是必然的意味著該命題在所有可能世界上為真，應(yīng)用到認(rèn)知邏輯上，一個(gè)命題是知識(shí)被刻畫(huà)為其在所有認(rèn)知可能的世界上為真。而認(rèn)知上的可能性被定義為可能世界之間的一種二元的可通達(dá)關(guān)系，如w、v 是兩個(gè)可能世界，Ri表示這樣一種可通達(dá)關(guān)系，那么wRiv 表示對(duì)于世界w 上的主體i而言，世界v 是認(rèn)知可能的。斯塔爾內(nèi)克（R.Stalnaker）指出，這樣做的想法是給出對(duì)認(rèn)知狀態(tài)的結(jié)構(gòu)的一個(gè)準(zhǔn)確描述，同時(shí)在什么構(gòu)成了知識(shí)等更實(shí)質(zhì)性的問(wèn)題上保持中立，而集中于有關(guān)知識(shí)的邏輯問(wèn)題上。③R.Stalnaker，“On Logics of Knowledge and Belief，”Philosophical Studies，Vol.128 No.1（2006）：169-199.

把可能世界語(yǔ)義學(xué)應(yīng)用到認(rèn)知概念上，在某種意義上是更合理的。如，原本的可能世界語(yǔ)義學(xué)意在刻畫(huà)必然性、可能性等真勢(shì)（alethic）概念，卻很難解釋為什么可通達(dá)關(guān)系不是全局關(guān)系，畢竟每個(gè)可能世界都是“可能”的。而在認(rèn)知情形下，由于可通達(dá)關(guān)系反映了認(rèn)知主體的可設(shè)想性，因此它理應(yīng)是局部的。辛提卡認(rèn)為描述知識(shí)的可通達(dá)關(guān)系應(yīng)該是自返的和傳遞的，這兩條模型性質(zhì)分別對(duì)應(yīng)于其認(rèn)知邏輯系統(tǒng)中的公理Kiφ→φ（簡(jiǎn)稱T）和Kiφ→KiKiφ（簡(jiǎn)稱4）。T公理又被稱為真實(shí)性公理（factivity axiom），體現(xiàn)知識(shí)蘊(yùn)涵真的想法；4公理又稱正自省公理（positive introspection axiom），說(shuō)的是主體知道就蘊(yùn)涵知道自己知道。在后來(lái)認(rèn)知邏輯的發(fā)展和應(yīng)用中，學(xué)者們常常假設(shè)刻畫(huà)知識(shí)的邏輯還應(yīng)該加上一條負(fù)自省公理：～Kiφ→Ki～Kiφ（簡(jiǎn)稱5），即主體不知道就蘊(yùn)涵知道自己不知道。以T、4、5為基礎(chǔ)的認(rèn)知邏輯系統(tǒng)（簡(jiǎn)稱S5）在分布式計(jì)算系統(tǒng)、博弈論和人工智能等領(lǐng)域有著廣泛而成功的應(yīng)用。以上的簡(jiǎn)述是在命題邏輯的層面。

回到文章開(kāi)頭的例子，形式化要用到謂詞邏輯的語(yǔ)言。對(duì)機(jī)器人A 的知識(shí)“我知道B知道我需要幫助”標(biāo)準(zhǔn)的形式化是：KAKBH（A），其中H 是一元謂詞“需要幫助”。但這樣一個(gè)公式并不能區(qū)分以下四種A的知識(shí)，即A知道：

（1）名字叫B的機(jī)器人知道名字叫A的機(jī)器人需要幫助；

（2）名字叫B的機(jī)器人知道它這個(gè)損壞機(jī)器人需要幫助；

（3）那個(gè)維修機(jī)器人知道名字叫A的機(jī)器人需要幫助；

（4）那個(gè)維修機(jī)器人知道它這個(gè)損壞機(jī)器人需要幫助。

這些不同知識(shí)的區(qū)分常常被稱為從物（de re）和從言（de dicto）知識(shí)的區(qū)分。這里的區(qū)分對(duì)于例子中的場(chǎng)景是關(guān)鍵的。如，為了使A能夠安心等待救援，A不僅僅需要知道“維修機(jī)器人知道名字叫A的機(jī)器人需要幫助”，某種意義上這等同于知道“維修機(jī)器人知道發(fā)送求助信息的機(jī)器人需要幫助”，A還需要確認(rèn)維修機(jī)器人知道它需要幫助，因?yàn)榫S修機(jī)器人很可能并不從物地知道A是誰(shuí)。

在一階模態(tài)邏輯的基礎(chǔ)上，僅僅把模態(tài)算子處理成知道算子Ki并不能使我們?cè)谶壿嬚Z(yǔ)言中（語(yǔ)形上）區(qū)分從物、從言的不同情形。客觀上，量化的認(rèn)知邏輯也并沒(méi)有像命題認(rèn)知邏輯一樣受到應(yīng)有的關(guān)注。①盡管在認(rèn)知邏輯的開(kāi)端亨迪卡本人就做過(guò)大量有關(guān)量化的認(rèn)知邏輯的工作，并且量化也被很多應(yīng)用領(lǐng)域驅(qū)動(dòng)著（有關(guān)博弈、加密知識(shí)、安全協(xié)議等），一階認(rèn)知邏輯的研究遠(yuǎn)沒(méi)有成為主流。參見(jiàn)Y.Wang，“Beyond Knowing That：A New Generation of Epistemic Logics，”Jaakko Hintikka on Knowledge and Game-Theoretical Semantics，Hans van Ditmarsch&Gabriel Sandu（eds.），Springer，2018，pp.499-533。在斯坦福哲學(xué)百科全書(shū)中，最新修訂的“認(rèn)知邏輯”詞條里有這樣的說(shuō)法：“直到最近，認(rèn)知邏輯幾乎完全集中在命題知識(shí)上?！雹賀.Rendsvig&J.Symons，“Epistemic Logic，”The Stanford Encyclopedia of Philosophy（Summer 2019 Edition），Edward N.Zalta（ed.），URL〈https：//plato.stanford.edu/archives/sum2019/entries/logic-epistemic/〉.根據(jù)王彥晶和謝立民（J.Seligman）的梳理②參見(jiàn)Y.Wang &J.Seligman，“When Names are not Commonly Known：Epistemic Logic with Assignments，”Advances in Modal Logic，Vol.12 No.1（2018）：611-628。，面對(duì)文章開(kāi)頭例子中的問(wèn)題，邏輯學(xué)家們?cè)岢鲞^(guò)不少方案，比如費(fèi)廷（M.Fitting）曾提出一種一階內(nèi)涵邏輯，應(yīng)用謂詞抽象（predicate abstraction）的技術(shù)來(lái)刻畫(huà)不同的從物/從言情形。③參見(jiàn)M.Fitting& R.L.Mendelsohn，F(xiàn)irst-Order Modal Logic，Dordrecht：Springer Science&Business Media，1998，pp.187-195。例如，＜λx.KbH（x）＞（a）表達(dá)了個(gè)體b 從物的知道a 需要幫助，而不論b是否知道該個(gè)體名字叫做a；KbH（a）說(shuō)的是個(gè)體b從言的知道a 需要幫助，而不論b是否知道a 是誰(shuí)。

本文將采用王彥晶和謝立民所提出的帶賦值算子的認(rèn)知邏輯的研究進(jìn)路。該邏輯沿循庫(kù)伊（B.Kooi）所提出的動(dòng)態(tài)項(xiàng)模態(tài)邏輯的想法④B.Kooi，“Dynamic Term-modal Logic，”A meeting of the minds.Proceedings of the workshop on Logic，Rationality and Interaction，Beijing，2007 Texts in Computing Computer Science 8，J.Van Benthem，S.Ju&F.Veltman（eds.），London：College publications，2007，pp.173-185.，而二者都可以追溯到費(fèi)廷與其學(xué)生提出的項(xiàng)模態(tài)邏輯（term-modallogic）。⑤M.Fitting，L.Thalmann&A.Voronkov，“Term-modal Logics，”Studia Logica，Vol.69 No.1（2001）：133-169.項(xiàng)模態(tài)邏輯的主要想法是把一階邏輯中的項(xiàng)當(dāng)做多元模態(tài)詞中的指標(biāo)（indexes），從而使得模態(tài)詞指標(biāo)本身也可以被量化。應(yīng)用到認(rèn)知邏輯上，如Kf（a）～?x Kxφ 表達(dá)了“a的爸爸知道并非所有人都知道φ”。在此基礎(chǔ)上，庫(kù)伊借用一階動(dòng)態(tài)邏輯中的賦值算子來(lái)更改名字的所指。然后王彥晶和謝立民在動(dòng)態(tài)項(xiàng)模態(tài)邏輯之上采取了一種最小化的方法，僅把動(dòng)態(tài)邏輯中基礎(chǔ)的賦值算子加入無(wú)量詞的項(xiàng)模態(tài)邏輯中，其表達(dá)力就足以自然地區(qū)分開(kāi)多種從物/從言情形。

王彥晶和謝立民的工作的主要技術(shù)結(jié)果是給出了帶賦值算子的認(rèn)知邏輯在S5的常論域模型上可靠完全的公理系統(tǒng)。注意到庫(kù)伊的工作也是在常論域模型上，這就啟發(fā)我們進(jìn)一步放松對(duì)論域的限制，并討論由此可能引發(fā)的不同情況。正如庫(kù)伊在動(dòng)態(tài)項(xiàng)模態(tài)邏輯提出之初所言，動(dòng)態(tài)項(xiàng)模態(tài)邏輯的一個(gè)發(fā)展方向就是允許論域變化，并從認(rèn)知的視角研究存在的問(wèn)題①參見(jiàn)B.Kooi，“Dynamic term-modal logic，”A meeting of the minds.Proceedings of the workshop on Logic，Rationality and Interaction，Beijing，2007 Texts in Computing Computer Science 8，J.Van Benthem，S.Ju&F.Veltman（eds.），London：College publications，2007，pp.173-185。，本文在這個(gè)方向上做出了第一步的嘗試。下文可以看到，通過(guò)定義變論域情形下恰當(dāng)?shù)恼J(rèn)知模型，盡管邏輯語(yǔ)言中沒(méi)有量詞，我們也能夠通過(guò)特殊的項(xiàng)-模態(tài)公式表達(dá)一個(gè)個(gè)體在某可能世界中存在，即把元語(yǔ)言層面的“存在”概念引入目標(biāo)語(yǔ)言中。更進(jìn)一步，如果我們放松對(duì)項(xiàng)的解釋的限制，允許某些項(xiàng)可能在某些可能世界是空指的，則我們也可以通過(guò)特定的帶賦值算子的公式表達(dá)一個(gè)名字在一個(gè)可能世界上有指，即把元語(yǔ)言層面的“指稱”（designation）概念引入邏輯語(yǔ)言。相對(duì)于新的模型設(shè)定，我們還將給出一個(gè)可靠完全的公理化系統(tǒng)。語(yǔ)義上的放松限制亦將很好得體現(xiàn)在該公理系統(tǒng)中。

2.形式語(yǔ)言與變論域認(rèn)知模型

首先給出形式語(yǔ)言。給定一個(gè)名字的可數(shù)集N，一個(gè)變?cè)目蓴?shù)集X，一個(gè)謂詞符號(hào)的可數(shù)集P，一個(gè)函數(shù)符號(hào)的可數(shù)集F：

（1）項(xiàng)t的定義：①x∈X 是項(xiàng)；②a∈N 是項(xiàng)；③任意n元函數(shù)符f∈F應(yīng)用到任意n個(gè)項(xiàng)上，得到的f（t1，…，tn）是項(xiàng)。

（2）公式φ 的定義：①t≈t是公式；②任意n元謂詞符P∈P，P（t1，…，tn）是公式；③如果φ，ψ 是公式，那么～φ，φ∧ψ 都是公式；④如果φ 是公式，那么Ktφ 是公式；⑤如果φ 是公式，那么[xt]φ 是公式。

如果把a(bǔ)∈N 稱為專名（propername），把f（t1，…，tn）稱為函數(shù)名（function name），并把專名和函數(shù)名統(tǒng)稱為名字，那么所有的項(xiàng)就分為兩類，變?cè)兔郑鼈儤?gòu)成了邏輯語(yǔ)言的基本元素。相比于王彥晶和謝立民的工作，引入函數(shù)符號(hào)增加了我們邏輯語(yǔ)言的表達(dá)力，使得我們能夠表達(dá)“a的爸爸知道φ”（公式表示成Kf（a）φ）這樣的知識(shí)。引入，＜xt＞φ 分別表示公式～Kt～φ 與～[xt]～φ 的縮寫(xiě)。[xt]φ 直觀上說(shuō)的就是，把t在當(dāng)前世界的值賦給x 以后，φ 成立。由下文即將引入的語(yǔ)義可以看出，在該形式語(yǔ)言里，只有變?cè)獂 是嚴(yán)格的（rigid），即在所有可能世界中指示同一個(gè)對(duì)象，名字并非嚴(yán)格指示詞。

在謂詞邏輯的框架下，可能世界語(yǔ)義學(xué)的內(nèi)容變得更加豐富。常論域的克里普克模型只帶有唯一的一個(gè)論域，本質(zhì)上假設(shè)了論域是一種公共知識(shí)。這種假設(shè)在許多應(yīng)用中是合理的。比如在分析紙牌類游戲的時(shí)候，游戲者通常被假定擁有關(guān)于桌子上都有什么牌的公共知識(shí)。①R.Fagin，J.Y.Halpern，Y.Moses & M.Vardi，Reasoning about Knowledge，Cambridge，Massachusetts：MIT Press，2004，pp.86-87.然而這樣的假定顯然并不總是合理的，尤其在認(rèn)知場(chǎng)景里，認(rèn)知主體并不總能確定有且僅有哪些個(gè)體是存在的。

定義2.1：一個(gè)變論域的克里普克模型M 是一個(gè)七元組＜W，I，R，D，ρ，δ，η＞，其中：

（1）W 是一個(gè)非空的可能世界集；

（2）I 是一個(gè)非空的個(gè)體（agents）集合，稱為模型的全體論域（global domain）；

（3）R：I→2W×W為I 中的每個(gè)個(gè)體i 賦上一個(gè)可能世界間的二元關(guān)系Ri；

（4）D：W→2I為W 中的每個(gè)世界w 賦上一個(gè)I 的子集Iw，稱為世界w的局部論域（local domain）；

（5）ρ：P×W→∪n∈ω2In為每個(gè)n元謂詞P 在每個(gè)可能世界w 上賦上一個(gè)個(gè)體間的n元關(guān)系ρ（P，w）；

（6）δ：F×W→∪n∈ω2In→I為每個(gè)n元函數(shù)f 在每個(gè)可能世界w 上賦上一個(gè)I上的部分（partial）n元函數(shù)δ（f，w）；

（7）η：N→W 為每個(gè)專名a 在部分可能世界w 上（可能沒(méi)有）賦上一個(gè)個(gè)體η（a，w）。

在語(yǔ)義中我們把每個(gè)世界上的局部論域當(dāng)作事實(shí)上存在于該世界上的個(gè)體集，而且，我們還設(shè)定邏輯語(yǔ)言中的項(xiàng)在一個(gè)世界上可以指示不存在的個(gè)體。克里普克最初在給出一階模態(tài)邏輯語(yǔ)義的時(shí)候，曾限定全體論域等于局部論域之和，即I＝∪w∈WIw。②S.Kripke，“Semantical Consideration on Modal Logic，”Acta Philosophica Fennica，Vol.16 No.1（1963）：83-94.進(jìn)一步，我們?cè)试SI?∪w∈WIw，即存在項(xiàng)的指稱在所有可能世界上都不存在。憑借在全體論域和局部論域之間的這個(gè)“開(kāi)口”（gap），我們可以在邏輯語(yǔ)言中有意義地談?wù)撓瘛袄畎住?、“孫悟空”等在所有認(rèn)知可能世界上都不存在的名字，如“李白有胡子”，并使這樣的語(yǔ)句在模型中為真。

如果在變論域模型上僅允許名字所指的個(gè)體可以不存在，那么我們實(shí)際上還是接受了這樣的語(yǔ)義原則：項(xiàng)總是有指的。這條原則在某種意義上也太過(guò)嚴(yán)苛。很多經(jīng)典的例子，如“當(dāng)今法國(guó)國(guó)王”，都涉及對(duì)空指的項(xiàng)的討論。嚴(yán)格說(shuō)，當(dāng)今法國(guó)國(guó)王”等很多空指的項(xiàng)的例子都是限定摹狀詞。但在討論指稱問(wèn)題的時(shí)候，我們不必要專門在語(yǔ)言里引入形式化的限定摹狀詞，否則可能使我們的工作不得不引入量詞。①參見(jiàn)M.Fitting，“On Height and Happiness，”Rohit Parikh on Logic，Language and Society，R.Ramanujam，L.Moss&C.Bakent（eds.），Verlag：Springer，2017，pp.235-258。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，在不引入更多內(nèi)容的前提下，我們?cè)谡Z(yǔ)義中設(shè)定對(duì)函數(shù)符號(hào)和專名的解釋是一個(gè)部分函數(shù)。在n元函數(shù)f 的解釋中，δ（f，w）是一個(gè)從In的子集（不必然是全體子集）到I 的函數(shù)，δ（f，w）可能沒(méi)有定義。對(duì)專名a 的解釋，η（a，w）可能沒(méi)有定義。如果有定義，則滿足η（a，w）∈I。

為定義認(rèn)知模型，我們需要在R 的關(guān)系上施加以下條件：

定義2.2：對(duì)任意變論域的克里普克模型M，任意i∈I，w，v，u∈W，Ri?W×W，M 被稱作一個(gè)認(rèn)知模型如果滿足以下條件：

（1）如果w Riv，那么i∈Iw；

（2）如果i∈Iw，那么wRiw；

（3）如果wRiv，并且vRiu，那么wRiu；

（4）如果wRiv，那么vRiw。

條件一說(shuō)的是只有存在于某世界w 的個(gè)體才能設(shè)想w 上可能的或可通達(dá)的世界，這是在認(rèn)知框架下合理的約束。亨迪卡在認(rèn)知邏輯之初的語(yǔ)義中就提出，w 的替代（alternative）就是w 中的知識(shí)者認(rèn)為可能的情況②參見(jiàn)J.Hintikka，Knowledge and Belief.An Introduction to the Logic of the Two Notions，Ithaca，New York：Cornell University Press，1962，pp.44-45。，后來(lái)的研究者也提到，只有在某世界w 中存在的、生活的、或有意義的個(gè)體才能設(shè)想另一些世界是可能的。③參見(jiàn)A.J.Grove，“Naming and Identity in Epistemic Logic PartⅡ：A First-order Logic for Naming，”Artificial Intelligence，Vol.74 No.2（1995）：311-350，以及A.Padmanabha& R.Ramanujam，“Propositional Modal Logic with Implicit Modal Quantification，”Logic and Its Applications，ICLA 2019，M.A.Khan and A.Manuel（eds.），Berlin，Heidelberg：Springer，2019，pp.6-17。條件二對(duì)應(yīng)于一種有條件的自返關(guān)系，即如果個(gè)體i屬于一個(gè)世界的局部論域，那么該世界是i自返的。條件三和條件四分別對(duì)應(yīng)于傳遞性和對(duì)稱性。

根據(jù)認(rèn)知模型的定義，我們還有如下的觀察。第一，個(gè)體i存在于世界w當(dāng)且僅當(dāng)w 是Ri自返的，這是定義里條件一和條件二的直接推論。第二，如果wRiv，那么i一定既在w 的局部論域、也在v 的局部論域里，這是考慮到對(duì)稱性的結(jié)果。第三，如果一個(gè)認(rèn)知模型是常論域的，并且局部論域等于全體論域，那么所有Ri都是W 上的等價(jià)關(guān)系?？梢?jiàn)，標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)知邏輯S5語(yǔ)義中的可通達(dá)關(guān)系，是我們現(xiàn)在所定義的認(rèn)知關(guān)系的一種特殊情況。相比常論域模型，變論域的認(rèn)知模型提供了一個(gè)更一般化的技術(shù)平臺(tái)。

為了解釋自由變?cè)?，我們還需要一個(gè)變?cè)概搔遥篨→I。在給定指派σ的情況下，邏輯語(yǔ)言中所有的項(xiàng)就都有了解釋。首先變?cè)偸怯兄傅模瞀襴（x）＝σ（x）。其次，如果η（a，w）有定義，則稱a 在w 上有指，令σw（a）＝η（a，w）；同樣，如果t1，…，tn中的每個(gè)項(xiàng)在w 上都有指，并且σw（t1），…，σw（tn）在函數(shù)δ（f，w）的定義域中，則稱f（t1，…，tn）在w 上有指，令σw（f（t1，…，tn））＝δ（f，w）（σw（t1），…，σw（tn））。最后，對(duì)于任意項(xiàng)t，如果項(xiàng)t在w 上空指，則σw（t）沒(méi)有定義。

一個(gè)公式總是解釋在帶指派σ的點(diǎn)模型（M，w）上。以下定義邏輯語(yǔ)言的真值條件：

定義2.3：

在上述定義中，原子公式、布爾式的定義與標(biāo)準(zhǔn)的語(yǔ)義定義一致。對(duì)于Ktφ 公式，其在點(diǎn)模型（M，w）上的賦值基于t在當(dāng)前世界w 上的指稱。根據(jù)定義，當(dāng)t在世界w 上空指的時(shí)候，Ktφ 總是成立的。語(yǔ)義中對(duì)空指情況處理的要點(diǎn)可以總結(jié)為：第一，變?cè)偸怯兄傅?；第二，允許名字在某些可能世界上空指；第三，當(dāng)動(dòng)態(tài)賦值算子中包含有空指的名字時(shí)，賦值操作不再執(zhí)行。

雖然該邏輯僅僅是動(dòng)態(tài)項(xiàng)模態(tài)邏輯的一個(gè)最小片段，但它已經(jīng)具備充分的表達(dá)力。如，根據(jù)語(yǔ)義不難看出Kt（x＝x）是一個(gè)有效式，它說(shuō)的不是每個(gè)人都被知道，而是每個(gè)已知個(gè)體（known individuals）都被知道。說(shuō)的是在個(gè)體a 所有可以設(shè)想的可能世界上名字a 的指稱相同，即，a 知道c是誰(shuí)。說(shuō)的是在個(gè)體a 的每個(gè)可設(shè)想的世界都通達(dá)到一個(gè)b所設(shè)想的世界，并且在那個(gè)世界上c的指稱恢復(fù)到當(dāng)前世界的指稱，即a 知道b可以想到c是誰(shuí)?；氐轿恼麻_(kāi)頭機(jī)器人的例子，此時(shí)我們的語(yǔ)言已經(jīng)足以區(qū)分不同的從物/從言場(chǎng)景：

（1）KaKbH（a）說(shuō)的是a 知道名字叫b 的機(jī)器人知道一個(gè)名字叫a 的機(jī)器人需要幫助；

如游戲法、問(wèn)答法、探究法等教學(xué)方法，以及場(chǎng)景模擬、表演、演講、動(dòng)手操作、辯論教學(xué)手段，讓課堂變得生動(dòng)有趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生積極投入到教學(xué)過(guò)程中從而提高學(xué)習(xí)效率，體驗(yàn)成功，獲得幸福感。如在教學(xué)《小山羊與小灰兔》時(shí)，讓學(xué)生進(jìn)行角色扮演，惟妙惟肖的表演讓學(xué)生都動(dòng)了起來(lái)，在學(xué)生用肢體語(yǔ)言對(duì)課文進(jìn)行感悟、體驗(yàn)的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生要做一個(gè)守信用的人。學(xué)生的成就感也就不知不覺(jué)地得到了體驗(yàn)。

3.公理化系統(tǒng)

在前文區(qū)分個(gè)體與個(gè)體的名字、不固定論域、不假定名字都有指的形式化設(shè)定下，我們可以給出認(rèn)知模型上有效公式的一個(gè)公理系統(tǒng)。該系統(tǒng)中的公理和規(guī)則可以分成七類：

另一方面，關(guān)于量化的公理和規(guī)則顯示了，賦值算子不僅可以被看成某種模態(tài)算子，還能被看作一種量詞，并且和通常一階邏輯中的量詞具有著相同的邏輯規(guī)律。

我們可以證明該公理系統(tǒng)相對(duì)于變論域的認(rèn)知模型的可靠性和強(qiáng)完全性定理：

定理3.1：上述的公理系統(tǒng)在本文定義的帶指派的變論域認(rèn)知模型下是可靠的。

根據(jù)語(yǔ)義定義，這一結(jié)果不難被驗(yàn)證。

定理3.2：上述公理系統(tǒng)在帶指派的變論域認(rèn)知模型下是強(qiáng)完全的。

完全性證明的具體技術(shù)細(xì)節(jié)不在本文的討論范圍之中。下面給出基于王彥晶和謝立民文章中的證明思路，①參見(jiàn)Y.Wang &J.Seligman，“When Names are not Commonly Known：Epistemic Logic with Assignments，”Advances in Modal Logic，Vol.12 No.1（2018）：611-628。結(jié)合本文的語(yǔ)義特點(diǎn)證明完全性定理的主要想法。首先觀察到任意模型M 的任意點(diǎn)w 都關(guān)聯(lián)于一個(gè)公式集，即{φ｜M，wφ}。該公式集實(shí)際上是一個(gè)極大一致集，從而如果φ 在某個(gè)模型上為真，那么φ 一定從屬于一個(gè)極大一致集。從這個(gè)角度看，在一個(gè)模型M 中，如果w與w′直接有可通達(dá)關(guān)系，則意味著與w 相關(guān)聯(lián)的極大一致集和與w′相關(guān)聯(lián)的極大一致集之間具有某種內(nèi)在的聯(lián)系。因此，給定一個(gè)模型就等同于給出了一個(gè)有內(nèi)在聯(lián)系的極大一致集的集合。在證明完全性定理中，經(jīng)典的構(gòu)造典范模型的方法其實(shí)就是試圖反向還原上述的觀察結(jié)果，從一個(gè)有內(nèi)在聯(lián)系的極大一致集的集合出發(fā)，去構(gòu)造想要的模型。

因此完全性證明的關(guān)鍵是確定我們需要什么樣的語(yǔ)言，構(gòu)造什么樣的極大一致集，以及這些極大一致集之間該如何的聯(lián)系在一起。按照通常一階模態(tài)邏輯中的證明思路，首先我們要給語(yǔ)言中所有的非嚴(yán)格項(xiàng)找見(jiàn)證（witnesses）。這就需要我們?cè)谥罢Z(yǔ)言的中新加入可數(shù)多個(gè)新變?cè)?，作為待選的見(jiàn)證。但由于允許名字空指，在極大一致集里我們只需要給每個(gè)有指的名字找見(jiàn)證，即對(duì)每個(gè)形如＜xt＞的公式，如果其被包含在極大一致集Δ中，那么Δ的語(yǔ)言中一定有一個(gè)變?cè)獃 滿足y≈t∈Δ。滿足這樣屬性的極大一致集被稱為有見(jiàn)證的。其次，那些有見(jiàn)證的極大一致集就能通過(guò)特定的可通達(dá)關(guān)系的定義條件（包括Δ與Θ之間Rx可通達(dá)的前提是∈Δ，以及保證Δ與Θ間沒(méi)有相沖突的等式）構(gòu)成一個(gè)偽（pseudo）典范框架。然后，給定一個(gè)有見(jiàn)證的極大一致集，從偽典范框架中將其生成子框架切割出來(lái)，通過(guò)取{｜x｜｜∈Δ}作為任一極大一致集Δ的局部論域，構(gòu)建一個(gè)變論域的典范模型。爾后證明真值引理（truth lemma）在該典范模型上成立。最后，對(duì)變論域典范模型上的可通達(dá)關(guān)系取傳遞、對(duì)稱的閉包，得到的最終模型正是一個(gè)符合我們定義的變論域認(rèn)知模型，并且可以證明如此改變可通達(dá)關(guān)系并不會(huì)影響原初語(yǔ)言里公式的真值。

4.結(jié)論與進(jìn)一步研究方向

本文沿循帶賦值算子的認(rèn)知邏輯研究進(jìn)路，討論了在變論域的克里普克模型中，分別允許項(xiàng)在一個(gè)可能世界上的解釋不在該世界的局部論域中，以及項(xiàng)在某些可能世界上的解釋沒(méi)有定義，即允許作為解釋的個(gè)體不存在、以及允許名字空指，所帶來(lái)的在認(rèn)知模型上的邏輯影響。文中給出一個(gè)相對(duì)于變論域的認(rèn)知模型的可靠完全的公理化系統(tǒng)。在該邏輯中公式表達(dá)了新的模型下笛卡爾式的“存在”概念，相應(yīng)地，公式表達(dá)了在新模型下類似的“指稱”概念。表現(xiàn)在公理系統(tǒng)里，→（Kxφ→φ）說(shuō)明在允許項(xiàng)指稱不存在的個(gè)體的情況下，以往S5認(rèn)知模型中的等價(jià)關(guān)系將具有有條件的自返性；而公理＜表明在允許項(xiàng)空指的情況下，語(yǔ)言中的相等關(guān)系也會(huì)具有有條件的自返性。這兩種有條件的自返性體現(xiàn)了當(dāng)我們?cè)谡Z(yǔ)義上放寬了對(duì)個(gè)體存在和名字有指的限制后，在邏輯上所得到的最顯著的結(jié)果。

在該邏輯框架下，我們還可以做進(jìn)一步的探索，例如在邏輯語(yǔ)言中引入受限制的個(gè)體量詞，即某人知道（形式化為：?x Kx）或所有人都知道（形式化為：?x Kx），而將個(gè)體的量化視作單個(gè)模態(tài)詞，像一些新近文獻(xiàn)中所做的，把?x Kx打包為[?]x，把?x Kx打包成[?]x，①參見(jiàn)E.Orlandelli&G.Corsi，“Decidable Term-modal Logics，”Multi-Agent Systems and Agreement Technologies，F(xiàn).Belardinelli&E.Argente（eds.），Cham：Springer International Publishing，2018，pp.147-162，以及A.Padmanabha& R.Ramanujam，“Propositional Modal Logic with Implicit Modal Quantification，”Logic and Its Applications，ICLA 2019，M.A.Khan and A.Manuel（eds.），Berlin，Heidelberg：Springer，2019，pp.6-17。以期能得到一些很好得平衡表達(dá)力和復(fù)雜度的一階認(rèn)知邏輯片段。在上文中所定義的變論域克里普克模型M 之上，我們可以試圖定義打包模態(tài)公式的可滿足關(guān)系，如：

注意到上述[?]x和[?]x的真值條件也可以用項(xiàng)模態(tài)詞Kx來(lái)定義，分別是：

在之前的討論中，當(dāng)i?Iw的時(shí)候，根據(jù)文中變論域模型上項(xiàng)模態(tài)算子的語(yǔ)義定義，i的知識(shí)總是為真，即個(gè)體i在不存在的世界上是全知的。以上的定義表明，如果認(rèn)為這樣的結(jié)果不可以接受，那么以上所謂隱式的模態(tài)量化（implicit modal quantification）就給了我們一個(gè)更好的技術(shù)平臺(tái)，使我們的語(yǔ)言總是在談?wù)撁總€(gè)世界上存在或有意義的個(gè)體及其知識(shí)。

當(dāng)然潛在的方向不止于此，我們還引入類似項(xiàng)模態(tài)算子的帶項(xiàng)的公共知識(shí)算子，這是因?yàn)樵趥€(gè)體的名字不確定的情況下，公共知識(shí)算子就不能等價(jià)于通常的KAKB…的形式了。而且，還嘗試用現(xiàn)在的邏輯工具刻畫(huà)“信念”，在語(yǔ)義上舍棄現(xiàn)實(shí)世界上的自返關(guān)系。事實(shí)上，認(rèn)為某些主體和名字是不可知的在認(rèn)知的場(chǎng)景下其實(shí)是非常合理的。

指導(dǎo)教師評(píng)語(yǔ)

魏宇在本文中概述的研究擴(kuò)展了我和謝立民在《模態(tài)邏輯進(jìn)展》（第十二卷）中報(bào)告的工作。我們的文章討論了如何在不假設(shè)主體的身份都被知道的情況下建立一個(gè)認(rèn)知邏輯，并且用很清晰的語(yǔ)形的方式區(qū)分一個(gè)命題的各種從言、從物的解釋。魏宇的貢獻(xiàn)是把我們的工作從常論域模型推廣到變論域的認(rèn)知模型上，從而處理一個(gè)主體對(duì)其他主體的存在性抱有疑問(wèn)的情況。而且在邏輯語(yǔ)言里加入了帶函數(shù)符號(hào)的更一般的項(xiàng)，并允許項(xiàng)的空指以處理類似摹狀詞的名字。相應(yīng)的，他在我們的公理系統(tǒng)上也增加了一些有趣并且有意義的公理。比如，相較我們的T公理（主體的知識(shí)都是真的），在變論域的設(shè)定下，新的T公理要說(shuō)，如果x 在當(dāng)前世界存在，則其知識(shí)都是真的。這里要表達(dá)“x在當(dāng)前世界存在”，不需要像經(jīng)典一階模態(tài)邏輯那樣引入一個(gè)特殊的存在謂詞E，而是恰恰借用了包含項(xiàng)模態(tài)詞的公式～Kx～。能這么做的原因是在變論域模型中一個(gè)主體在當(dāng)前世界存在當(dāng)且僅當(dāng)其認(rèn)知關(guān)系在當(dāng)前世界上有后繼（即在當(dāng)前世界上該主體能“想”到一個(gè)不可區(qū)分的可能世界），這也是為什么這里也體現(xiàn)了所謂“我思故我在”的意思。類似的，在處理空指的時(shí)候，魏宇也是使用了一個(gè)公式＜xt＞來(lái)表示t有所指。這樣的創(chuàng)造性地使用項(xiàng)模態(tài)詞和賦值算子是非常有價(jià)值的，也為之后的公理化打開(kāi)了思路。文章還陳述了可靠性和完全性的結(jié)果，并且給出了類似于我和謝立民文章中的證明思路，這里變論域典范模型的構(gòu)造其實(shí)還是有一定的特殊性和技術(shù)難度的。在本文的基礎(chǔ)上，還可以進(jìn)一步探索這樣的邏輯在各種類別的變論域模型上的公理化和判定性問(wèn)題，也可以考慮放松認(rèn)知邏輯的框架條件，使其可以處理信念的推理。