鄧鎮(zhèn)國

（廣西大學(xué) 廣西·南寧 530004）

0 引言

科學(xué)、技術(shù)、自然和社會中出現(xiàn)的大量數(shù)學(xué)問題由于無法通過解析方法得到準(zhǔn)確解，只能尋求這些數(shù)學(xué)問題的近似解，因此借助計(jì)算機(jī)技術(shù)獲取這些數(shù)學(xué)問題近似解的方法在實(shí)踐中得到廣泛應(yīng)用和深入發(fā)展。這類方法通常稱為數(shù)值計(jì)算方法，而數(shù)值分析正是這樣一門介紹這類方法的課程。

如何上好工科本科生數(shù)值分析？首先，在第一堂課要跟學(xué)生講清楚三個問題：為什么需要數(shù)值分析？什么是數(shù)值分析？如何應(yīng)用數(shù)值分析？激發(fā)學(xué)生們對這門課程的學(xué)習(xí)熱情。有了良好的開端，接下來要把學(xué)生們的這股學(xué)習(xí)熱情引導(dǎo)到學(xué)習(xí)各種具體數(shù)值計(jì)算方法上面，引領(lǐng)學(xué)生重現(xiàn)這些方法的構(gòu)造過程。通過這些過程，學(xué)生可以領(lǐng)悟到這些方法的構(gòu)造思想和數(shù)學(xué)原理，從中獲取重溫經(jīng)典的成就感。最后，作為一門實(shí)踐類課程，光是理論學(xué)習(xí)是不夠的，需要加強(qiáng)課外上機(jī)實(shí)驗(yàn)，更好地為課堂教學(xué)服務(wù)，提高課堂教學(xué)效率。

下面將通過說課的方式，講述如何給工科學(xué)生上好數(shù)值分析第一堂課，如何講授數(shù)值分析中的各種數(shù)值計(jì)算方法，如何加強(qiáng)課外數(shù)值實(shí)驗(yàn)。

1 如何給工科學(xué)生上好數(shù)值分析第一堂課

工科學(xué)生一般在大二第一學(xué)期或第二學(xué)期選修數(shù)值分析（或計(jì)算方法）這門課程，此時他們已經(jīng)學(xué)完高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)，已經(jīng)具備學(xué)習(xí)數(shù)值分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。因此，數(shù)值分析第一堂課可以從學(xué)生熟悉的高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)無法求解或不好求解的一些簡單問題導(dǎo)入為什么需要數(shù)值分析這一問題，然后通過數(shù)學(xué)軟件（如MATLAB）向?qū)W生演示數(shù)值分析可以輕松地求解這些問題，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)值分析的熱情。

例如，在高等數(shù)學(xué)中，定積分的計(jì)算對工科學(xué)生來說，是個難點(diǎn)。學(xué)過微積分的同學(xué)都知道，利用微積分基本公式通過求被積函數(shù)的原函數(shù)計(jì)算定積分，比起通過定積分定義求一類特殊乘積和式的極限簡單多了。但是在實(shí)際問題中，被積函數(shù)可能只滿足可積條件但不存在原函數(shù)，或者原函數(shù)都很難得到，或者原函數(shù)的形式復(fù)雜，甚至不能用初等函數(shù)來表示，如

此外，在實(shí)際問題中，根本就沒有被積函數(shù)的具體表達(dá)式，只有實(shí)驗(yàn)采集的數(shù)據(jù)表，這種情形下，高等數(shù)學(xué)書介紹的計(jì)算定積分的方法完全失效，只能求助數(shù)值計(jì)算方法。因此，可以先選擇上面兩個定積分以及一張用其中一個被積函數(shù)在積分區(qū)間[0,1]內(nèi)一些離散點(diǎn)上取值構(gòu)造的函數(shù)表作為應(yīng)用引例導(dǎo)入為什么要數(shù)值分析，再用最簡單的矩形公式通過數(shù)學(xué)軟件（如MATLAB）演示數(shù)值計(jì)算方法是如何近似計(jì)算定積分的，激起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)值分析的熱情，為后面深入學(xué)習(xí)數(shù)值積分法埋下伏筆。

又如，在線性代數(shù)中，解線性方程組的方法主要有克拉默法則和初等變換法兩種。根據(jù)克拉默法則，解n元線性方程組，需要計(jì)算n+1個n階行列式，當(dāng)n大于3時，手工計(jì)算量很大，一般線性代數(shù)考試都不會出這類計(jì)算題，除了有歸納性質(zhì)的題目。初等變換法源于高斯消去法，雖然有了很大改進(jìn)，但是手工計(jì)算也是不可取的。因此，可以通過數(shù)學(xué)軟件（如MATLAB）演示高斯消去法是如何高效求解高階線性方程組的，代替手工計(jì)算，擺脫重復(fù)繁重的計(jì)算工作，煥發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)值分析的激情，為后面深入學(xué)習(xí)解線性方程組的直接法和迭代法埋下引子。

又如，學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)應(yīng)用這章時，會學(xué)到用二分法和牛頓切線法計(jì)算方程的近似根，在那里使用手工計(jì)算。盡管這兩種方法的原理和計(jì)算公式都很簡單，但是為了得到比較精確的計(jì)算結(jié)果，往往要花費(fèi)很多重復(fù)的勞動。因此，可以通過數(shù)學(xué)軟件演示這兩種數(shù)值計(jì)算方法是如何計(jì)算近似值的，令學(xué)生不僅可以溫故知新，還可以看到手工計(jì)算與通過計(jì)算機(jī)計(jì)算在效率上的巨大差別，引起學(xué)生迫切了解計(jì)算機(jī)是如何做到的好奇心，產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)值分析的興趣。

又如，學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中常微分方程時，對最簡單的一階微分方程y'=f(x,y)，根據(jù)右端項(xiàng)函數(shù)f(x,y)分為可分離變量方程、齊次方程和線性方程三種類型，給出相應(yīng)的積分解法。在實(shí)際問題中，右端項(xiàng)函數(shù)f(x,y)往往都不是這三種類型，此時積分解法就失效了。有時即使可以用積分解法求出特解，解的形式不一定時初等函數(shù)，可能含有定積分，需要用到數(shù)值積分法求解。因此，可以選擇有應(yīng)用背景的馬爾薩斯人口預(yù)測模型作為引例，并通過數(shù)學(xué)軟件演示Euler方法時如何近似求解微分方程，一方面讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)是可以解決實(shí)際問題的，另一方面讓學(xué)生看到高等數(shù)學(xué)在應(yīng)用上的局限性，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)值分析的動力。

相信通過這些應(yīng)用舉例，學(xué)生應(yīng)該非常清楚為什么需要數(shù)值分析了。接下來，需要告訴學(xué)生，計(jì)算機(jī)只會簡單的加減乘除運(yùn)算以及邏輯運(yùn)算，所以運(yùn)算速度非常快，要想讓計(jì)算機(jī)處理復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，需要把算法通過專門的數(shù)學(xué)軟件翻譯成計(jì)算機(jī)能夠讀取的指令，計(jì)算機(jī)才能處理這些數(shù)學(xué)問題。因此就可以很順暢地向?qū)W生導(dǎo)入什么是數(shù)值分析了，即數(shù)值分析就是研究在計(jì)算機(jī)上處理各種離散數(shù)學(xué)問題的算法。

最后需要通過幾個簡單的數(shù)值算法演示下數(shù)值分析是如何求解數(shù)學(xué)問題的，給學(xué)生講清楚如何應(yīng)用數(shù)值分析的。那么選擇什么樣的算例合適呢？例如，選擇求解近似值的牛頓切線法與求解一階微分方程的Euler折線法，這兩種算法都是一個簡單的遞推式，并且具有直觀的幾何意義，非常適合用來講解如何應(yīng)用數(shù)值分析。

上好了數(shù)值分析第一堂課，能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)值分析的熱情，為講授后續(xù)的數(shù)值分析內(nèi)容起到了良好的開端。

2 如何講授數(shù)值分析中的各種數(shù)值計(jì)算方法

現(xiàn)行的數(shù)值分析教材內(nèi)容大致分為誤差、數(shù)值線性代數(shù)、非線性方程(組)的數(shù)值解法、數(shù)值逼近和常微分方程數(shù)值解五個部分。除了第一部分誤差外，其他四部分內(nèi)容基本相對獨(dú)立，當(dāng)然部分內(nèi)容之間還是會有一定的邏輯順序關(guān)系。例如，三次樣條插值問題轉(zhuǎn)化為解三對角的線性方程組，需要使用解線性方程組的追趕法；最佳平方逼近問題需要轉(zhuǎn)化為解對稱的線性方程組，當(dāng)該方程組的條件數(shù)不高時，需要使用解線性方程組的高斯列主元消去法。

通常先講誤差部分，為什么還沒講方法之前，就先介紹誤差呢？因?yàn)閿?shù)值分析課程的特點(diǎn)與已熟悉的數(shù)學(xué)課完全不同。比如在微積分中，由于研究的問題是連續(xù)的，因此，無論導(dǎo)數(shù)計(jì)算還是積分計(jì)算都是沒有誤差的；又如在線性代數(shù)中，因?yàn)樗械木仃囉?jì)算都是手工進(jìn)行，所以也是沒有誤差的?？墒?，在數(shù)值分析中，總是把連續(xù)問題先離散化，此時會產(chǎn)生截?cái)嗾`差，然后在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算，因此又會產(chǎn)生舍入誤差。又如，在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行大規(guī)模矩陣計(jì)算時會產(chǎn)生舍入誤差。因此，誤差是算法討論的核心問題，必須在講算法前介紹清楚。那么如何引入誤差理論呢？一般從學(xué)生熟悉的泰勒公式引入截?cái)嗾`差，從解二元線性方程組引入舍入誤差比較好。

講完了誤差理論，就要開始介紹數(shù)值分析中的各種常見數(shù)值計(jì)算方法了。在數(shù)值分析中，每章都會針對同一問題，給出不同的數(shù)值計(jì)算方法，這些方法都有其使用范圍及優(yōu)缺點(diǎn)，因此在講解過程中注意做比較分析。對工科學(xué)生來說，學(xué)習(xí)這門課的目的是為了遇到數(shù)值分析問題時，能夠靈活地使用適當(dāng)?shù)乃惴ㄌ幚碓搯栴}。因此，講授每種方法時，重點(diǎn)放在介紹方法是怎么構(gòu)造的，以及如何使用的，而不是過于抽象復(fù)雜的理論分析。建議以特殊到一般的方式介紹這些方法，不僅讓學(xué)生容易接受，又能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納能力，而且節(jié)省板書時間，從而提高教學(xué)效率。下面用幾個例子介紹如何講授數(shù)值計(jì)算方法。

首先，以解線性方程組的高斯消去法為例，介紹如何講授數(shù)值線性代數(shù)。最好從三階線性方程組的計(jì)算講起，然后引導(dǎo)學(xué)生從三階線性方程組的計(jì)算過程，通過觀察矩陣元素下標(biāo)的變化，歸納出n階線性方程組的直接法，高斯消去法本質(zhì)上是把線性代數(shù)中解線性方程組的初等行變換法轉(zhuǎn)化為計(jì)算機(jī)上能實(shí)現(xiàn)的算法，因此在介紹高斯消去法時，要跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)初等行變換在高斯消去法中必須按照一定規(guī)律來設(shè)計(jì)，不能隨意使用。接著，介紹高斯消去法使用條件，從而引出列主元高斯消去法。關(guān)于解線性方程組的迭代法也可以類似進(jìn)行講授。

其次，以n次拉格朗日插值多項(xiàng)式為例，介紹如何講授插值法。先從待定系數(shù)法構(gòu)造n次插值多項(xiàng)式講起，為了得到多項(xiàng)式的系數(shù)，需要解線性方程組，比較麻煩，由此引出通過構(gòu)造基函數(shù)的方法構(gòu)造插值多項(xiàng)式。接著，從線性插值、二次插值講起，引導(dǎo)學(xué)生從低次插值的構(gòu)造過程，通過觀察基函數(shù)的變化，歸納出n次拉格朗日插值多項(xiàng)式；緊接著，介紹下拉格朗日插值的缺點(diǎn)，即每增加一個節(jié)點(diǎn)，需要重新構(gòu)造基函數(shù)。由此引出下節(jié)內(nèi)容——牛頓插值多項(xiàng)式。

最后，以Newton-Cotes求積公式為例，介紹如何講授數(shù)值積分法。先從低階的Newton-Cotes求積公式，即梯形求積公式和拋物線求積公式(或稱Simpson求積公式)講起，然后引導(dǎo)學(xué)生從低階求積公式的構(gòu)造過程，通過觀察求積節(jié)點(diǎn)與求積系數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，歸納出Newton-Cotes求積公式。接著介紹高階Newton-Cotes求積公式的缺點(diǎn)，即當(dāng)n大于8時，求積公式是不穩(wěn)定的，由此引出下節(jié)內(nèi)容——復(fù)合求積公式。

從上面舉例可以看到，從特殊到一般的講授方式，對工科本科生來說，是比較容易接受的。如果先從一般形式出發(fā)，對工科本科生來說，過于抽象，會對這門課程產(chǎn)生畏懼感，從而影響聽課效率。

3 如何加強(qiáng)課外數(shù)值實(shí)驗(yàn)

在數(shù)值分析的教學(xué)中，數(shù)值實(shí)驗(yàn)是從理論到實(shí)踐的重要環(huán)節(jié)。通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)課，學(xué)生可以更直觀地理解算法思想和更快地掌握如何正確的使用算法；如果缺少這個實(shí)踐環(huán)節(jié)，對學(xué)生來說，算法僅僅是一堆抽象、復(fù)雜、長長的數(shù)學(xué)公式，算法的理解和使用難度都在加大，甚至無法掌握。因此，在學(xué)時數(shù)少且無數(shù)值實(shí)驗(yàn)課的情形下，需要加強(qiáng)學(xué)生課外自主上機(jī)進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)。每章結(jié)束后至少布置一個數(shù)值實(shí)驗(yàn)給學(xué)生課外練習(xí)，并提供與該數(shù)值實(shí)驗(yàn)相應(yīng)的指導(dǎo)性微課。學(xué)生課外自主上機(jī)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)框架圖如圖1。

圖1：學(xué)生課外自主上機(jī)實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)框架圖

4 結(jié)論與認(rèn)識

本文提出一些教學(xué)體會，包括如何給工科學(xué)生上好數(shù)值分析第一堂課，如何講授數(shù)值分析中的各種數(shù)值計(jì)算方法，如何加強(qiáng)課外數(shù)值實(shí)驗(yàn)，可以更好地幫助學(xué)生掌握這門課程，從而提高這門課程的教學(xué)質(zhì)量。