石紅國，高明瑤

SHI Hongguo, GAO Mingyao

（西南交通大學(xué) 交通運輸與物流學(xué)院，四川 成都 611756)

0 引言

隨著我國“一帶一路”戰(zhàn)略的實施，集裝箱運輸在我國社會經(jīng)濟發(fā)展中起著越來越重要的作用。由于我國生產(chǎn)力發(fā)展水平和自然資源分布不均衡，區(qū)域之間的貿(mào)易也呈現(xiàn)出不均衡性，最終造成集裝箱運輸過程中空重箱需求不均衡問題。為了解決該問題，需要在不同地區(qū)之間進行空箱調(diào)運?？茖W(xué)合理的調(diào)運方法能夠壓縮集裝箱調(diào)運時間，降低調(diào)運成本，提高集裝箱運輸效率。通過深入分析集裝箱空箱調(diào)運過程，研究集裝箱空箱調(diào)運費用、運達(dá)時間的多目標(biāo)綜合優(yōu)化方法。

近年來，隨著集裝箱運輸?shù)目焖侔l(fā)展，很多學(xué)者對集裝箱運輸進行了一系列的研究。張得志等[1]對鐵路集裝箱空箱調(diào)度問題建立基于顧客偏好的運輸規(guī)劃模型和帶時間窗的運輸規(guī)劃模型，并采用遺傳算法對其進行求解；閆海峰等[2]充分考慮集裝箱班列的開行特點，建立了混合箱流輸送時間最少，距離最短，費用最低為優(yōu)化目標(biāo)的混合0-1 規(guī)劃模型，并設(shè)計了二級耦合反饋系統(tǒng)算法進行求解；Song 等[3]針對動態(tài)和隨機環(huán)境下的空箱配送問題，將其分成空箱裝載和卸載2 個部分，分別制定配送策略，該方法在貿(mào)易不均衡時的求解結(jié)果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的方法，降低了20%的成本；Chou 等[4]建立了混合模糊決策模型，將空箱配送問題分為兩個階段：模糊缺貨存儲模型和網(wǎng)絡(luò)模型，優(yōu)化各個港口之間的空箱調(diào)運問題；Cheung 等[5]針對帶時間窗和帶回程的車輛徑路問題，建立了多屬性標(biāo)號匹配算法；Braekens 等[6]對滿載集裝箱和空集裝箱的調(diào)運進行綜合規(guī)劃并采用啟發(fā)式算法進行求解；Imai等[7]將單個集裝箱卡車運輸問題描述成0-1 線性規(guī)劃模型，并設(shè)計了拉格朗日松弛算法對其進行求解；Jula 等[8]將單個集裝箱接駁運輸問題描述成帶社會約束的帶時間窗的非對稱多旅行商問題，并基于動態(tài)規(guī)劃和遺傳算法的混合算法對其進行求解；Fischer 等[9]將鐵路智能體系統(tǒng)應(yīng)用于集裝箱運輸資源的調(diào)度中。

在上述研究中，各個鐵路集裝箱車站的集裝箱需求量(供給量)均設(shè)置為確定值。而在實際應(yīng)用中，集裝箱供給和需求一般是不確定的，準(zhǔn)確地估算集裝箱調(diào)運數(shù)量能夠降低成本，提高整個運輸系統(tǒng)的運營效益。針對這種不確定的問題可以將集裝箱需求量與供給量處理為服從一定分布的隨機變量。在此基礎(chǔ)上，以最小化集裝箱運輸費用和最大化集裝箱到達(dá)時刻總體滿意度為優(yōu)化目標(biāo)，構(gòu)建帶有時間窗約束的集裝箱調(diào)運隨機機會約束模型，通過將隨機機會約束轉(zhuǎn)化為確定性的等價類，將模型轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的確定性模型，并設(shè)計基于TOPSIS方法和限定參數(shù)區(qū)間搜索的模型求解方法。

1帶時間窗約束的集裝箱調(diào)運隨機機會約束模型構(gòu)建

在整個鐵路網(wǎng)中，存在多個集裝箱站對集裝箱有需求的情況，設(shè)D= {D1，…，Dn}為集裝箱需求站；同時也存在多個集裝箱站能夠供給集裝箱，設(shè)S= {S1，…，Sn}為集裝箱供給站。為便于模型描述，在此對變量統(tǒng)一定義，變量定義如表1 所示：

表1 變量定義Tab.1 Variables definition

在實際的集裝箱運輸問題中，如果集裝箱過早到達(dá)，則需要在目的地進行等待，降低了集裝箱的運用效率；如果集裝箱到達(dá)過晚，則會影響其他的貨物運輸，引起損失，因而集裝箱的到達(dá)時刻應(yīng)在一定范圍內(nèi)，可考慮利用函數(shù)來描述這種時間限制。集裝箱調(diào)運到達(dá)時刻滿意度如圖1 所示。

用函數(shù)μij(tij)來描述上述集裝箱到達(dá)時刻滿意度，如公式 ⑴。

圖1 集裝箱調(diào)運到達(dá)時刻滿意度Fig.1 Arrival time satisfaction of container transportation

以最小化集裝箱運輸費用和最大化集裝箱到達(dá)時刻總體滿意度為優(yōu)化目標(biāo)，考慮車站的集裝箱供給量與需求量的不確定性，構(gòu)建帶有時間窗約束的集裝箱調(diào)運隨機機會約束規(guī)劃模型如下。

式中：αi，βj分別表示供給與需求滿足的概率；N為正整數(shù)集合。

公式 ⑵ 表示最小化總的集裝箱調(diào)運費用；公式⑶ 表示最大化集裝箱總體調(diào)運滿意度；公式 ⑷ 表示車站i的第k種集裝箱供給量發(fā)生變化時，從車站i到車站j運輸?shù)牡趉種集裝箱的數(shù)量小于等于車站i的第k種集裝箱供給量的概率在αi以上，即車站i的第k種集裝箱供給量發(fā)生變化時的機會約束條件成立的概率在αi以上；公式 ⑸ 表示車站i的第k種集裝箱需求量發(fā)生變化時，從車站i到車站j運輸?shù)牡趉種集裝箱的數(shù)量小于等于車站j的第k種集裝箱需求量的概率在βj以上，即車站j的第k種集裝箱需求量發(fā)生變化時的機會約束條件成立的概率在βj以上；公式 ⑹ 為對變量取值的約束。

2集裝箱空箱調(diào)運隨機機會約束模型求解

2.1 不確定性變量的處理

當(dāng)各車站的需求和供給量為確定值時，集裝箱的調(diào)運問題即轉(zhuǎn)換成運輸問題，采用表上作業(yè)法進行求解。當(dāng)各車站的需求和供給量為不確定值時，即對于第2 節(jié)建立的隨機機會約束模型，可以考慮將其轉(zhuǎn)換成一個確定的等價類模型。

設(shè)隨機變量Sik服從正態(tài)分布N(μi，σi2)，將其分布函數(shù)代入公式 ⑷，可得公式 ⑺。

式中：F(*)表示分布函數(shù)。

公式 ⑺ 將不確定的概率表達(dá)式轉(zhuǎn)化為常規(guī)不等式。對公式 ⑺ 進行標(biāo)準(zhǔn)化，得

對公式 ⑻ 兩邊取反函數(shù)，得公式 ⑼。

同理，可得

利用分布函數(shù)的相關(guān)知識做上述不等式化簡，可以得出關(guān)于兩地集裝箱運輸量的限制條件，為模型的求解奠定基礎(chǔ)。

2.2 多目標(biāo)模型的非劣解擇優(yōu)

TOPSIS 方法根據(jù)有限個評價對象與理想化目標(biāo)的接近程度進行排序，在現(xiàn)有的對象中進行相對優(yōu)劣的評價，是多目標(biāo)決策分析中常用的有效方法。為此采用TOPSIS 方法評價方案。

式中：β1，β2分別為關(guān)于集裝箱調(diào)運的總的調(diào)運費用與總體到達(dá)滿意度所占的權(quán)重，且β1+β2= 1；f1(Xa)為方案Xa的集裝箱調(diào)運總調(diào)運費用；f2(Xa)為方案Xa的集裝箱調(diào)運總體滿意度。

則方案Xa對理想點的相對接近度εa為

εa越大，方案越優(yōu)。

2.3 限定范圍的帕累托最優(yōu)解搜索算法

非劣解是滿足帕累托最優(yōu)條件的解集中的向量。多需求站，多供給站，多集裝箱種類的集裝箱調(diào)運問題屬于具有復(fù)雜、不連續(xù)的帕累托前沿的多目標(biāo)優(yōu)化問題，其非劣解的數(shù)量，將隨系統(tǒng)內(nèi)需求站，供給站和集裝箱種類的增加而呈幾何級數(shù)增長。為有效減少計算量，提高計算效率，采用一種限定參數(shù)區(qū)間的帕累托最優(yōu)解搜索方法進行模型求解。

選擇總調(diào)運費用為限定參數(shù)。若限定調(diào)運費用不超過某值，則定義該值為限定調(diào)運費用，用表示。設(shè)調(diào)運總費用單目標(biāo)模型對應(yīng)的最少調(diào)運費用為，調(diào)運總體滿意度最大單目標(biāo)對應(yīng)的最少調(diào)運費用為，則可以將非劣方案的調(diào)運費用限定在閉區(qū)間[，]，由于＜方案是實際不可行的方案，而＞的方案對應(yīng)的費用不少于總體滿意度單目標(biāo)模型最優(yōu)解，顯然也為較劣解。當(dāng)＞時，不考慮該方案，令所有的為0，并將該約束加入總體滿意度最大單目標(biāo)模型。求解費用在[，]之間，且滿意度最大的非劣解，確保得到的帕累托最優(yōu)解均在帕累托前沿，并通過與理想點的相對接近度確定最優(yōu)方案。具體求解步驟如下。

（1）不考慮目標(biāo)函數(shù)公式 ⑶，以目標(biāo)函數(shù)公式 ⑵為單優(yōu)化目標(biāo)，求解公式 ⑵ 對應(yīng)的最優(yōu)解，即最少調(diào)運總費用。

（2）不考慮目標(biāo)函數(shù)公式 ⑵，以目標(biāo)函數(shù)公式 ⑶為單優(yōu)化目標(biāo)，求解公式 ⑶ 對應(yīng)的最優(yōu)解，即最大調(diào)運滿意度。

（5）比較所有方案對理想點的相對接近度，選出最優(yōu)方案。

限定參數(shù)區(qū)間的帕累托最優(yōu)解搜索算法，能在求解大規(guī)模問題時，減少最優(yōu)解的搜尋次數(shù)。

3算例分析

3.1 參數(shù)設(shè)置及模型處理

設(shè)某鐵路區(qū)域共有4 個集裝箱供給站S1，S2，S3，S4，4 個集裝箱需求站D1，D2，D3，D4。車站集裝箱供應(yīng)數(shù)量分布情況如表2 所示，表中數(shù)據(jù)表示各個集裝箱供給站集裝箱供給量的分布函數(shù)，例如，在表2 中，供給量參數(shù)S11服從均值為20，方差為2 的正態(tài)分布N(20，2)。車站集裝箱需求數(shù)量分布情況如表3 所示，表3 中數(shù)據(jù)表示各個集裝箱需求站的集裝箱需求量的分布函數(shù)，具體含義與表2 類似。車站間的集裝箱單位調(diào)運成本如表4 所示，表中數(shù)據(jù)表示各個集裝箱供給站到各個集裝箱需求站的單個集裝箱的運輸費用。

表2 車站集裝箱供應(yīng)數(shù)量分布情況Tab.2 Distribution of container supply quantity at station

設(shè)供給站i將集裝箱送達(dá)時刻tij分別為12 : 00，15 : 30，15 : 00，15 : 20。需求站j的集裝箱預(yù)計的最晚到達(dá)時間lj為15 : 00，16 : 00，14 : 20，15 : 30。lj與Lj之間間隔30 min。置信水平αi，βj均取95%，

表3 車站集裝箱需求數(shù)量分布情況Tab.3 Distribution of container demand quantity at station

表4 車站間的集裝箱單位調(diào)運成本 百元/TEUTab.4 Container unit transfer cost between stations

則

計算可得S11= -1.645×2 + 20 = 16.71，取整可得S11= 16。同理，處理其他隨機變量，得到各個車站的供給量和需求量分別為：

3.2 求解與分析

利用MATLAB中的GUROBI優(yōu)化軟件對集裝箱調(diào)運費用最小單目標(biāo)模型進行求解，得到最優(yōu)解X1′和最劣解X1′′；對集裝箱總體到達(dá)滿意度最大單目標(biāo)模型進行求解，得到最優(yōu)解X2′和最劣解X2′′，其對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值分別如下。

考慮到運輸費用和集裝箱到達(dá)滿意度在集裝箱調(diào)運系統(tǒng)中占的比重，取權(quán)重系數(shù)β1為0.6，β2為0.4。按公式(11)—(12)分別計算不同的方案與正負(fù)理想點的相對距離Ra和ra，按照公式 ⒀ 計算和理想點的相對接近度εa，最終得到的最優(yōu)方案X*的總費用與總滿意度為

如果αi=βj= 100%，則問題轉(zhuǎn)換為確定性問題，即可用表上作業(yè)法進行求解。集裝箱需求/供給量確定情形與不確定情形下的集裝箱調(diào)運結(jié)果對比如表5 所示。

表5 集裝箱需求/供給量確定情形與不確定情形下集裝箱 調(diào)運結(jié)果對比Tab.5 Comparison between the certain and uncertain amount of container demand (supply)

由表5 可知，與確定性情形相比較，不確定情形下的集裝箱調(diào)運總費用由7 120 減少為6 680，降低了6.2%，總體滿意度由58.7%提高為75.2%，提高了16.5%。綜合考慮需求/供給量不確定性、集裝箱調(diào)運總費用與總體滿意度，最優(yōu)調(diào)運方案如表6 所示。表6 中數(shù)據(jù)是各個集裝箱供給站到各個集裝箱需求站的最優(yōu)供給量。例如，表中第1 個數(shù)據(jù)16 表示第1 個集裝箱供給站S1到第1 個集裝箱需求站D1的第1 種集裝箱的最優(yōu)供給量為16 TEU。

表6 最優(yōu)調(diào)運方案 TEUTab.6 Optimal container transfer plan

4結(jié)束語

近年來，集裝箱運輸在我國經(jīng)濟發(fā)展中扮演著舉足輕重的作用，解決集裝箱空箱調(diào)運的均衡問題成為重中之重。合理分析完善集裝箱運輸過程，提高集裝箱運輸效率，可以使得集裝箱運輸發(fā)揮更大的經(jīng)濟效益。在整個集裝箱運輸問題中，涉及到的因素比較多，主要包括如何使集裝箱運輸時間最短，運輸費用最低，到達(dá)時間方面的約束，出發(fā)時間的約束，集裝箱存儲問題，接駁問題，空箱調(diào)運問題等，這些問題的妥善解決將有助于穩(wěn)固與發(fā)展集裝箱在國民經(jīng)濟中的作用。