寬帶取樣示波器時(shí)基誤差補(bǔ)償?shù)男路椒ㄑ芯?/h1>
2020-02-19 03:17:40朱江淼王世鏢趙科佳喬孟元
計(jì)量學(xué)報(bào) 2020年1期
朱江淼，王世鏢，趙科佳，喬孟元
(1.北京工業(yè)大學(xué) 信息學(xué)部, 北京 100124； 2.中國計(jì)量科學(xué)研究院, 北京 100029)
1 引 言
隨著科技的快速進(jìn)步，高頻、高帶寬的通信和雷達(dá)信號劇增。當(dāng)利用寬帶取樣示波器對信號和儀器進(jìn)行精準(zhǔn)測量時(shí)，寬帶取樣示波器的時(shí)基誤差對測量結(jié)果的影響愈加明顯，因此對其時(shí)基誤差的補(bǔ)償越來越重要。
寬帶取樣示波器時(shí)基誤差主要包括時(shí)基漂移、時(shí)基失真和時(shí)基抖動(dòng)。國內(nèi)外學(xué)者對時(shí)基誤差補(bǔ)償算法進(jìn)行了深入研究，通常采用時(shí)基失真和時(shí)基抖動(dòng)獨(dú)立處理的方法。時(shí)基漂移相對簡單，通?；诨ハ嚓P(guān)算法[1]估計(jì)和補(bǔ)償。時(shí)基失真的估計(jì)和補(bǔ)償算法主要有過零檢測法和正弦擬合法，實(shí)現(xiàn)也較為簡單，但無法補(bǔ)償時(shí)基失真不連續(xù)的影響[2]。對于高速取樣示波器，美國國家標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)研究院(NIST)提出了基于多頻率多相位的最小二乘算法[3～5]估計(jì)寬帶取樣示波器時(shí)基失真，該方法能夠修正時(shí)基不連續(xù)，一定程度上提高了測量準(zhǔn)確度。時(shí)基抖動(dòng)具有不確定性，主要通過傳統(tǒng)的PDF反卷積方法[6，7]和EEMD綜合法[8]補(bǔ)償時(shí)基抖動(dòng)對測量信號的影響，但會在一定程度上導(dǎo)致平滑失真。通過分析發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)單獨(dú)處理兩種時(shí)基誤差存在明顯缺陷：一是兩種抖動(dòng)誤差理論上無法嚴(yán)格區(qū)分，人為硬性劃分具有較大主觀性；二是采樣不同方法單獨(dú)處理會引入額外的偏差。
為統(tǒng)一處理時(shí)基失真和時(shí)基抖動(dòng)誤差，對多通道間同步測量信號進(jìn)行了理論分析和大量實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)將時(shí)基失真和時(shí)基抖動(dòng)統(tǒng)一處理是合理且可行的。為此，提出正交距離回歸算法統(tǒng)一估計(jì)，插值法補(bǔ)償被測信號時(shí)基誤差的新方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法能夠有效補(bǔ)償寬帶取樣示波器的時(shí)基誤差。
2 時(shí)基誤差分析
為統(tǒng)一估計(jì)和補(bǔ)償時(shí)基誤差，設(shè)計(jì)了如圖1所示的三通道同步測量系統(tǒng)。
圖1 同步測量系統(tǒng)Fig.1 Synchronous measurement system
如圖1所示，信號發(fā)生器1輸出已知頻率的正弦參考信號，通過正交耦合器分別接入寬帶取樣示波器的采樣通道S1和S2，信號發(fā)生器2輸出的被測信號接入寬帶取樣示波器的采樣通道S3。任一采樣通道測量信號的時(shí)基誤差δi可表示為：
δi=di+τsignal+τsampler+τtrigger
(1)
式中：di為時(shí)基失真；τsignal為信號源的抖動(dòng)；τsampler為采樣器抖動(dòng)；τtrigger為時(shí)基觸發(fā)發(fā)生器的抖動(dòng)。
實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，三通道信號均由標(biāo)準(zhǔn)信號發(fā)生器產(chǎn)生，其精度較高，信號本身的抖動(dòng)微乎其微，可忽略其影響，三通道信號源抖動(dòng)關(guān)系如式(2)所示。
τsignal1(i)≈τsignal2(i)≈τsignal3(i)≈0
(2)
對于同一寬帶取樣示波器相同型號的采樣模塊而言，不同采樣通道造成的抖動(dòng)基本相同，如式(3)所示。
τsampler1(i)≈τsampler2(i)≈τsampler3(i)
(3)
由于不同采樣通道的測量信號共用一個(gè)觸發(fā)，具有相同觸發(fā)時(shí)基，故三通道測量信號的觸發(fā)抖動(dòng)[9]引起的誤差是相同的，即有：
τtrigger1(i)≈τtrigger2(i)≈τtrigger3(i)
(4)
因此，三通道測量信號的采樣時(shí)基和采樣通道無關(guān)，測量信號可統(tǒng)一表示為：
Sp(ti)=Sp(Ti+di+τsampler(i)+τtrigger(i))
(5)
式中：p=1，2，3。
通過以上分析可知，三通道采樣信號的時(shí)基誤差δi是相同的，可用已知頻率參考正弦信號S1和S2的信息進(jìn)行時(shí)基誤差估計(jì)，并用其時(shí)基誤差估計(jì)值對被測信號S3進(jìn)行時(shí)基誤差補(bǔ)償。
3 時(shí)基誤差估計(jì)算法研究
3.1 構(gòu)建時(shí)基誤差估計(jì)模型
正交距離回歸算法[10](ODR)是一種誤差模型參數(shù)估計(jì)方法，主要用于解決因變量和自變量均存在誤差的非線性誤差問題，具有良好的穩(wěn)定性和有效性。根據(jù)一組近似正交的參考正弦信號[11]的信息，用正交距離回歸算法統(tǒng)一估計(jì)時(shí)基誤差，一組近似正交的參考正弦信號模型可表示為：
(6)
式中：yij是第j個(gè)參考正弦信號第i個(gè)采樣時(shí)刻的采樣幅度值；f是一組近似正交參考正弦信號的頻率；h是諧波數(shù)，通常取值為3[12]；βik和γrk是第j個(gè)參考信號第k次諧波的幅度；Ts是理想的采樣間隔；εij表示噪聲引起的幅度誤差；δi表示第i個(gè)采樣時(shí)刻的時(shí)基抖動(dòng)誤差值。
將時(shí)基失真和時(shí)基抖動(dòng)總時(shí)基誤差統(tǒng)一進(jìn)行分析,可針對式(6)，將諸參數(shù)θj=(αj，βj1，…，βjh，γj1，…，γjh)的影響綜合為一個(gè)函數(shù)F，參考信號模型可簡化為式(7)。
yij=F(Ti+δi；θj)+εij
(7)
為了能夠充分利用兩參考信號的信息，得到更加準(zhǔn)確的參數(shù)估計(jì)值，具有權(quán)重的正交距離回歸算法的誤差函數(shù)[13]可表示為：
(8)
3.2 誤差模型參數(shù)估計(jì)
當(dāng)誤差函數(shù)式(8)取得最小值時(shí)，獲得較為準(zhǔn)確的擬合曲線，求得誤差模型參數(shù)(θ，δ)的估計(jì)值，具體步驟如下:
第一，求參數(shù)的雅克比矩陣，J(θ，δ)是誤差函數(shù)E(θ,δ)的雅克比矩陣，矩陣表示為：
(9)
式中：m、n分別表示參數(shù)θ和δ的維數(shù)。
將雅可比矩陣進(jìn)行分塊可表示為：
(10)
式中：G是關(guān)于參數(shù)θ的雅克比矩陣；V是關(guān)于參數(shù)δ的對角矩陣；Z的所有元素均為零；D是關(guān)于δ的常數(shù)矩陣。
第二，采用信賴域迭代算法[14]求解迭代步長(h1，h2)。將最小二乘法得到的參數(shù)估計(jì)值作為迭代初始值，根據(jù)文獻(xiàn)[11]中給出的迭代步長求解方法，解決如式(8)所示的最優(yōu)化問題，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)取得最小值時(shí)的最小二乘解即為迭代步長。
(11)
式中：H1和H2是(h1,h2)的對角縮放矩陣，用于控制迭代步長的縮放比例；τ是信賴域值。得到迭代步長后，將每次迭代值代入誤差函數(shù)判斷當(dāng)前迭代誤差函數(shù)值是否小于上次迭代的誤差函數(shù)值，若滿足，繼續(xù)迭代，否則停止迭代，則當(dāng)前迭代值即為參數(shù)估計(jì)值，最終得到參數(shù)(θ，δ)的估計(jì)值。此時(shí)，可根據(jù)參考信號的時(shí)基誤差估計(jì)值δi補(bǔ)償被測信號的時(shí)基誤差。
4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證
4.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)獲取
參照圖1所示的同步測量方案，準(zhǔn)確連接測量儀器設(shè)備，用重復(fù)頻率為10 MHz的晶振對兩臺 20 GHz 標(biāo)準(zhǔn)信號發(fā)生器進(jìn)行同步。設(shè)置參考信號和測量信號均為10 GHz，實(shí)際實(shí)驗(yàn)中參考信號頻率必須已知，被測量信號已知和未知均可,采樣點(diǎn)數(shù)為4 096個(gè)，采樣時(shí)間窗為0.5 ns。通過寬帶取樣示波器測量功能得到存在時(shí)基誤差的被測信號原始波形如圖2所示，根據(jù)寬帶取樣示波器自帶均方根抖動(dòng)測量功能，被測信號的均方根抖動(dòng)高達(dá)2.8 ps。
圖2 時(shí)基補(bǔ)償前的被測波形Fig.2 Measured waveform before time-base compensation
4.2 時(shí)基誤差估計(jì)
通過正交距離回歸算法對同步測量的一組近似正交的參考正弦信號進(jìn)行時(shí)基誤差估計(jì)，以計(jì)算被測信號在每個(gè)采樣點(diǎn)(共計(jì)4 096個(gè))的時(shí)基誤差值，得到每一點(diǎn)的時(shí)基誤差估計(jì)值如圖3所示。
圖3 時(shí)基誤差估計(jì)圖Fig.3 Time-base error estimation
從圖3可看出，被測信號時(shí)基誤差在0.1 ns處出現(xiàn)突變，這剛好與原始波形不連續(xù)處的特征相符合，也進(jìn)一步驗(yàn)證了該時(shí)基誤差估計(jì)的合理性與準(zhǔn)確性。
4.3 時(shí)基誤差補(bǔ)償
根據(jù)一組近似正交的參考信號，通過正交距離歸回算法得到時(shí)基誤差估計(jì)值，通過插值法補(bǔ)償被測信號的時(shí)基誤差。首先計(jì)算被測信號的真實(shí)采樣時(shí)基，并對新的采樣時(shí)基序列由小到大進(jìn)行排序，同時(shí)調(diào)整對應(yīng)的采樣值，其次取相鄰兩個(gè)采樣時(shí)刻采樣值的均值作為真實(shí)采樣時(shí)刻的采樣值，完成對被測波形的時(shí)基誤差補(bǔ)償，被測信號時(shí)基誤差補(bǔ)償后結(jié)果如圖4所示。
圖4 時(shí)基誤差補(bǔ)償后波形Fig.4 Measured waveform after time-base compensation
由圖4可看出被測波形整體變得更加平滑，左右的晃動(dòng)顯著減小，不連續(xù)處得到有效補(bǔ)償。通過計(jì)算補(bǔ)償后被測信號均方根抖動(dòng)值降低到0.25 ps左右，整體波形的時(shí)基誤差得到較好補(bǔ)償。
5 結(jié) 論
本文對寬帶取樣示波器時(shí)基誤差進(jìn)行了深入分析，基于正交距離回歸法構(gòu)建了時(shí)基誤差估計(jì)模型，設(shè)計(jì)了時(shí)基誤差估計(jì)算法，組建了實(shí)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的方法能夠有效地估計(jì)和補(bǔ)償寬帶取樣示波器時(shí)基誤差，進(jìn)一步提高了寬帶取樣示波器測量準(zhǔn)確度。
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1 引 言
隨著科技的快速進(jìn)步，高頻、高帶寬的通信和雷達(dá)信號劇增。當(dāng)利用寬帶取樣示波器對信號和儀器進(jìn)行精準(zhǔn)測量時(shí)，寬帶取樣示波器的時(shí)基誤差對測量結(jié)果的影響愈加明顯，因此對其時(shí)基誤差的補(bǔ)償越來越重要。
寬帶取樣示波器時(shí)基誤差主要包括時(shí)基漂移、時(shí)基失真和時(shí)基抖動(dòng)。國內(nèi)外學(xué)者對時(shí)基誤差補(bǔ)償算法進(jìn)行了深入研究，通常采用時(shí)基失真和時(shí)基抖動(dòng)獨(dú)立處理的方法。時(shí)基漂移相對簡單，通?；诨ハ嚓P(guān)算法[1]估計(jì)和補(bǔ)償。時(shí)基失真的估計(jì)和補(bǔ)償算法主要有過零檢測法和正弦擬合法，實(shí)現(xiàn)也較為簡單，但無法補(bǔ)償時(shí)基失真不連續(xù)的影響[2]。對于高速取樣示波器，美國國家標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)研究院(NIST)提出了基于多頻率多相位的最小二乘算法[3～5]估計(jì)寬帶取樣示波器時(shí)基失真，該方法能夠修正時(shí)基不連續(xù)，一定程度上提高了測量準(zhǔn)確度。時(shí)基抖動(dòng)具有不確定性，主要通過傳統(tǒng)的PDF反卷積方法[6，7]和EEMD綜合法[8]補(bǔ)償時(shí)基抖動(dòng)對測量信號的影響，但會在一定程度上導(dǎo)致平滑失真。通過分析發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)單獨(dú)處理兩種時(shí)基誤差存在明顯缺陷：一是兩種抖動(dòng)誤差理論上無法嚴(yán)格區(qū)分，人為硬性劃分具有較大主觀性；二是采樣不同方法單獨(dú)處理會引入額外的偏差。
為統(tǒng)一處理時(shí)基失真和時(shí)基抖動(dòng)誤差，對多通道間同步測量信號進(jìn)行了理論分析和大量實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)將時(shí)基失真和時(shí)基抖動(dòng)統(tǒng)一處理是合理且可行的。為此，提出正交距離回歸算法統(tǒng)一估計(jì)，插值法補(bǔ)償被測信號時(shí)基誤差的新方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法能夠有效補(bǔ)償寬帶取樣示波器的時(shí)基誤差。
2 時(shí)基誤差分析
為統(tǒng)一估計(jì)和補(bǔ)償時(shí)基誤差，設(shè)計(jì)了如圖1所示的三通道同步測量系統(tǒng)。
圖1 同步測量系統(tǒng)Fig.1 Synchronous measurement system
如圖1所示，信號發(fā)生器1輸出已知頻率的正弦參考信號，通過正交耦合器分別接入寬帶取樣示波器的采樣通道S1和S2，信號發(fā)生器2輸出的被測信號接入寬帶取樣示波器的采樣通道S3。任一采樣通道測量信號的時(shí)基誤差δi可表示為：
δi=di+τsignal+τsampler+τtrigger
(1)
式中：di為時(shí)基失真；τsignal為信號源的抖動(dòng)；τsampler為采樣器抖動(dòng)；τtrigger為時(shí)基觸發(fā)發(fā)生器的抖動(dòng)。
實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，三通道信號均由標(biāo)準(zhǔn)信號發(fā)生器產(chǎn)生，其精度較高，信號本身的抖動(dòng)微乎其微，可忽略其影響，三通道信號源抖動(dòng)關(guān)系如式(2)所示。
τsignal1(i)≈τsignal2(i)≈τsignal3(i)≈0
(2)
對于同一寬帶取樣示波器相同型號的采樣模塊而言，不同采樣通道造成的抖動(dòng)基本相同，如式(3)所示。
τsampler1(i)≈τsampler2(i)≈τsampler3(i)
(3)
由于不同采樣通道的測量信號共用一個(gè)觸發(fā)，具有相同觸發(fā)時(shí)基，故三通道測量信號的觸發(fā)抖動(dòng)[9]引起的誤差是相同的，即有：
τtrigger1(i)≈τtrigger2(i)≈τtrigger3(i)
(4)
因此，三通道測量信號的采樣時(shí)基和采樣通道無關(guān)，測量信號可統(tǒng)一表示為：
Sp(ti)=Sp(Ti+di+τsampler(i)+τtrigger(i))
(5)
式中：p=1，2，3。
通過以上分析可知，三通道采樣信號的時(shí)基誤差δi是相同的，可用已知頻率參考正弦信號S1和S2的信息進(jìn)行時(shí)基誤差估計(jì)，并用其時(shí)基誤差估計(jì)值對被測信號S3進(jìn)行時(shí)基誤差補(bǔ)償。
3 時(shí)基誤差估計(jì)算法研究
3.1 構(gòu)建時(shí)基誤差估計(jì)模型
正交距離回歸算法[10](ODR)是一種誤差模型參數(shù)估計(jì)方法，主要用于解決因變量和自變量均存在誤差的非線性誤差問題，具有良好的穩(wěn)定性和有效性。根據(jù)一組近似正交的參考正弦信號[11]的信息，用正交距離回歸算法統(tǒng)一估計(jì)時(shí)基誤差，一組近似正交的參考正弦信號模型可表示為：
(6)
式中：yij是第j個(gè)參考正弦信號第i個(gè)采樣時(shí)刻的采樣幅度值；f是一組近似正交參考正弦信號的頻率；h是諧波數(shù)，通常取值為3[12]；βik和γrk是第j個(gè)參考信號第k次諧波的幅度；Ts是理想的采樣間隔；εij表示噪聲引起的幅度誤差；δi表示第i個(gè)采樣時(shí)刻的時(shí)基抖動(dòng)誤差值。
將時(shí)基失真和時(shí)基抖動(dòng)總時(shí)基誤差統(tǒng)一進(jìn)行分析,可針對式(6)，將諸參數(shù)θj=(αj，βj1，…，βjh，γj1，…，γjh)的影響綜合為一個(gè)函數(shù)F，參考信號模型可簡化為式(7)。
yij=F(Ti+δi；θj)+εij
(7)
為了能夠充分利用兩參考信號的信息，得到更加準(zhǔn)確的參數(shù)估計(jì)值，具有權(quán)重的正交距離回歸算法的誤差函數(shù)[13]可表示為：
(8)
3.2 誤差模型參數(shù)估計(jì)
當(dāng)誤差函數(shù)式(8)取得最小值時(shí)，獲得較為準(zhǔn)確的擬合曲線，求得誤差模型參數(shù)(θ，δ)的估計(jì)值，具體步驟如下:
第一，求參數(shù)的雅克比矩陣，J(θ，δ)是誤差函數(shù)E(θ,δ)的雅克比矩陣，矩陣表示為：
(9)
式中：m、n分別表示參數(shù)θ和δ的維數(shù)。
將雅可比矩陣進(jìn)行分塊可表示為：
(10)
式中：G是關(guān)于參數(shù)θ的雅克比矩陣；V是關(guān)于參數(shù)δ的對角矩陣；Z的所有元素均為零；D是關(guān)于δ的常數(shù)矩陣。
第二，采用信賴域迭代算法[14]求解迭代步長(h1，h2)。將最小二乘法得到的參數(shù)估計(jì)值作為迭代初始值，根據(jù)文獻(xiàn)[11]中給出的迭代步長求解方法，解決如式(8)所示的最優(yōu)化問題，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)取得最小值時(shí)的最小二乘解即為迭代步長。
(11)
式中：H1和H2是(h1,h2)的對角縮放矩陣，用于控制迭代步長的縮放比例；τ是信賴域值。得到迭代步長后，將每次迭代值代入誤差函數(shù)判斷當(dāng)前迭代誤差函數(shù)值是否小于上次迭代的誤差函數(shù)值，若滿足，繼續(xù)迭代，否則停止迭代，則當(dāng)前迭代值即為參數(shù)估計(jì)值，最終得到參數(shù)(θ，δ)的估計(jì)值。此時(shí)，可根據(jù)參考信號的時(shí)基誤差估計(jì)值δi補(bǔ)償被測信號的時(shí)基誤差。
4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證
4.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)獲取
參照圖1所示的同步測量方案，準(zhǔn)確連接測量儀器設(shè)備，用重復(fù)頻率為10 MHz的晶振對兩臺 20 GHz 標(biāo)準(zhǔn)信號發(fā)生器進(jìn)行同步。設(shè)置參考信號和測量信號均為10 GHz，實(shí)際實(shí)驗(yàn)中參考信號頻率必須已知，被測量信號已知和未知均可,采樣點(diǎn)數(shù)為4 096個(gè)，采樣時(shí)間窗為0.5 ns。通過寬帶取樣示波器測量功能得到存在時(shí)基誤差的被測信號原始波形如圖2所示，根據(jù)寬帶取樣示波器自帶均方根抖動(dòng)測量功能，被測信號的均方根抖動(dòng)高達(dá)2.8 ps。
圖2 時(shí)基補(bǔ)償前的被測波形Fig.2 Measured waveform before time-base compensation
4.2 時(shí)基誤差估計(jì)
通過正交距離回歸算法對同步測量的一組近似正交的參考正弦信號進(jìn)行時(shí)基誤差估計(jì)，以計(jì)算被測信號在每個(gè)采樣點(diǎn)(共計(jì)4 096個(gè))的時(shí)基誤差值，得到每一點(diǎn)的時(shí)基誤差估計(jì)值如圖3所示。
圖3 時(shí)基誤差估計(jì)圖Fig.3 Time-base error estimation
從圖3可看出，被測信號時(shí)基誤差在0.1 ns處出現(xiàn)突變，這剛好與原始波形不連續(xù)處的特征相符合，也進(jìn)一步驗(yàn)證了該時(shí)基誤差估計(jì)的合理性與準(zhǔn)確性。
4.3 時(shí)基誤差補(bǔ)償
根據(jù)一組近似正交的參考信號，通過正交距離歸回算法得到時(shí)基誤差估計(jì)值，通過插值法補(bǔ)償被測信號的時(shí)基誤差。首先計(jì)算被測信號的真實(shí)采樣時(shí)基，并對新的采樣時(shí)基序列由小到大進(jìn)行排序，同時(shí)調(diào)整對應(yīng)的采樣值，其次取相鄰兩個(gè)采樣時(shí)刻采樣值的均值作為真實(shí)采樣時(shí)刻的采樣值，完成對被測波形的時(shí)基誤差補(bǔ)償，被測信號時(shí)基誤差補(bǔ)償后結(jié)果如圖4所示。
圖4 時(shí)基誤差補(bǔ)償后波形Fig.4 Measured waveform after time-base compensation
由圖4可看出被測波形整體變得更加平滑，左右的晃動(dòng)顯著減小，不連續(xù)處得到有效補(bǔ)償。通過計(jì)算補(bǔ)償后被測信號均方根抖動(dòng)值降低到0.25 ps左右，整體波形的時(shí)基誤差得到較好補(bǔ)償。
5 結(jié) 論
本文對寬帶取樣示波器時(shí)基誤差進(jìn)行了深入分析，基于正交距離回歸法構(gòu)建了時(shí)基誤差估計(jì)模型，設(shè)計(jì)了時(shí)基誤差估計(jì)算法，組建了實(shí)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的方法能夠有效地估計(jì)和補(bǔ)償寬帶取樣示波器時(shí)基誤差，進(jìn)一步提高了寬帶取樣示波器測量準(zhǔn)確度。
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