劉士達，趙會寧，于連棟

(合肥工業(yè)大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，安徽 合肥 230009)

1 引 言

隨著現(xiàn)代工業(yè)和制造業(yè)的迅猛發(fā)展，大尺寸坐標測量技術(shù)已廣泛應(yīng)用于航空航天、船舶汽車等大型科學(xué)裝置的制造、裝配和維護方面[1，2]。目前，大尺寸測量常用的測量系統(tǒng)有激光跟蹤儀、室內(nèi)GPS、經(jīng)緯儀、ACMM等[3～6]。在工業(yè)現(xiàn)場經(jīng)常會存在測量盲區(qū)，限制了光學(xué)測量儀器的使用；工業(yè)現(xiàn)場相對惡劣的測量環(huán)境和現(xiàn)代制造業(yè)更高的精度，也對精密測量儀器提出了更高的要求[7]。由于ACMM具有通用性強、靈活方便、測量效率高和對環(huán)境要求低等特點[8]，在精密工業(yè)測量領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。但是對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的大型工件，ACMM單站測量難以完成全部測量任務(wù)，故采用蛙跳法實現(xiàn)大尺寸工件的測量。蛙跳測量的實質(zhì)即坐標轉(zhuǎn)換，利用置于測量空間內(nèi)的公共基準點的三維空間坐標建立坐標轉(zhuǎn)換矩陣，進而得到坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)[9]。

由于ACMM的開鏈結(jié)構(gòu)、誤差因素多、誤差傳遞系數(shù)較大[10]，而且工業(yè)現(xiàn)場手持式測量的特點，測量力、環(huán)境、自重等因素[11]，傳統(tǒng)的公共基準點的蛙跳測量方法會存在較大誤差。王凌云[12]通過對轉(zhuǎn)換矩陣求解精度與蛙跳球位置關(guān)系的分析，給出了蛙跳球的最佳選位，并通過條件數(shù)和矩陣范數(shù)對坐標轉(zhuǎn)換矩陣精度進行分析，該方法僅對蛙跳球位置選取優(yōu)化，無法消除測量過程中產(chǎn)生的粗大誤差；王德元[13]設(shè)計了一種標準器，使用標準器的約束方法對公共基準點的誤差進行控制，可從根源上消除蛙跳球的誤差及測量過程中產(chǎn)生的粗大誤差，但對于滿足某些特定關(guān)系的隨機誤差無法很好地控制；劉湛基[14]采用RANSAC算法對測量點進行優(yōu)化，通過此方法篩選出最優(yōu)數(shù)據(jù)進行轉(zhuǎn)換參數(shù)的求解，此方法可以有效地優(yōu)化坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)模型，但需要大量測量數(shù)據(jù)作為支撐，使實際測量任務(wù)更加繁重，對于工業(yè)現(xiàn)場的使用有一定的局限性。

針對上述存在的問題，本文提出了一種以ACMM為研究對象，基于距離約束的蛙跳測量方法，即以蛙跳球為依托建立測量儀器的組合測量網(wǎng)絡(luò)，通過任意兩蛙跳球之間的位置關(guān)系作為距離約束條件，消除測量過程中產(chǎn)生的粗大誤差并優(yōu)化坐標轉(zhuǎn)換模型參數(shù)，提高坐標轉(zhuǎn)換精度。

2 蛙跳測量原理

當(dāng)被測工件的尺寸大于關(guān)節(jié)式坐標測量機的測量范圍時，不能在同一坐標系下完成全部測量，此時需要采用接力式的測量方法對大尺寸工件進行分段測量，即蛙跳。利用ACMM與蛙跳法進行組合測量的測量系統(tǒng)如圖1所示，建立n個蛙跳球的公共基準點系，利用三坐標測量機(CMM)對蛙跳球板進行測量，得到其蛙跳球球心之間的長度值作為距離約束條件。ACMM分別在O0和O1位置處測量蛙跳球的三維空間坐標值(x0,y0,z0)和(x1,y1,z1)，利用兩坐標系公共基準點即可求解坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)。

圖1 ACMM與蛙跳法組合測量系統(tǒng)示意圖Fig.1 Combined measurement system of the leapfrog method on ACCM

在實際測量中，常用的三維空間坐標轉(zhuǎn)換模型有Molodensky模型[15]、武測模型[16]和Bursa模型[17]。其中，Bursa七參數(shù)坐標轉(zhuǎn)換模型之間的參數(shù)是強相關(guān)的，且具有數(shù)值計算精度高、收斂性快的特點，適用于任意旋轉(zhuǎn)角的高精度坐標系轉(zhuǎn)換，故選取Bursa模型作為轉(zhuǎn)換模型。

(1)

將坐標系O0的測量值轉(zhuǎn)換到坐標系O1中，其中Δx、Δy、Δz為平移向量，εx、εy、εz為旋轉(zhuǎn)參數(shù)，m為尺度參數(shù)。將公式(1)等價變換為：

(2)

(3)

設(shè)公共基準點的觀測權(quán)重矩陣為M，根據(jù)間接平差原理，式(3)的求解方程需要滿足VTMV=min，即:

(4)

聯(lián)立上述等式，可得

(5)

由于各基準點為同一測量儀器處于相同測量環(huán)境中在較小時間間隔內(nèi)測量，可視為具有相同的觀測精度，故設(shè)觀測權(quán)重矩陣為單位矩陣，即M=E。則轉(zhuǎn)換參數(shù)改正數(shù)的協(xié)因數(shù)矩陣和單位權(quán)重誤差估計值分別為

(6)

運用上述方法，只需3個或3個以上的公共基準點的三維空間坐標，再為旋轉(zhuǎn)參數(shù)和尺度參數(shù)代入合適的初值，通過多次循環(huán)迭代，即可求出合適的三維坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)。

3 距離約束

3.1 距離約束對粗大誤差的控制作用

坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)的精度是由測量點和坐標轉(zhuǎn)換模型的準確性決定的，而在實際測量的過程中，每個點的測量都會帶來測量誤差。由于各測量點之間的三維空間距離與坐標系無關(guān)，故可將各點之間已知的距離值作為幾何約束條件對測量點的誤差進行控制。

對于兩個蛙跳球球心之間的距離為

(7)

將式(7)按照泰勒公式展開，由于高次項影響較小，故省略高次項，得：

(8)

(9)

在測量過程中滿足上述條件，可以有效消除由于環(huán)境或人為因素引入的粗大誤差。但是，僅應(yīng)用此方法難以完全剔除儀器測量過程中引入的粗大誤差和減小滿足一些特定關(guān)系的隨機誤差，仍對測量網(wǎng)絡(luò)的精度存在著較大影響。

3.2 距離約束對參數(shù)模型的優(yōu)化

決定蛙跳測量精度的重要因素之一就是轉(zhuǎn)換參數(shù)的精度，轉(zhuǎn)換參數(shù)是通過兩坐標系中公共基準點的三維空間坐標計算得到。當(dāng)測量數(shù)據(jù)誤差較小時，通過迭代計算可擬合出逼近客觀存在的坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)，擬合的原則是要求擬合模型適用于所有測量點。但是測量數(shù)據(jù)往往存在誤差，采用最小二乘原理，難以計算出準確的坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)。在利用最小二乘法求解坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系的過程中，至少需要n(n≥3)個公共基準點。在求出轉(zhuǎn)換關(guān)系T后，通過加入距離約束條件，判斷轉(zhuǎn)換關(guān)系是否正確及最優(yōu)。

(10)

實驗中共有n個公共基準點，每一個都與其它n-1個基準點相關(guān)聯(lián)，式(10)中的目標函數(shù)將n個基準點之間的距離與標準距離之間差值的絕對值求和。其算法流程如圖2所示。

圖2 算法流程圖Fig.2 Flow chart of the distance constraint process

4 實驗方案與實驗結(jié)果分析

4.1 蛙跳球板精度測量

使用型號為MC850的CMM對蛙跳球的球度誤差及尺寸精度進行檢定，選擇精度更高的蛙跳球進行標注序號，固定在光學(xué)平臺上制作蛙跳球板，并用CMM測量蛙跳球各球心之間的距離，實驗現(xiàn)場如圖3所示，將經(jīng)CMM標定后球心之間的三維空間距離作為幾何約束條件。

圖3 蛙跳板標定實驗圖片F(xiàn)ig.3 The picture of calibration experiment on the leapfrog board

4.2 蛙跳實驗

本實驗以自主研發(fā)的便攜ACMM為研究對象，以蛙跳球作為坐標轉(zhuǎn)換的公共基準點，測量哈爾濱量具刃具集團生產(chǎn)的標準長度為1 000 mm的量塊，蛙跳實驗系統(tǒng)照片如圖4所示。

圖4 實驗系統(tǒng)照片F(xiàn)ig.4 The picture of experiment system

將量塊和蛙跳球板放置在ACMM的不同方位，用蛙跳測量的方法多次重復(fù)測量量塊兩端面的坐標值，經(jīng)坐標轉(zhuǎn)換后計算其測量長度值及誤差。

圖5為傳統(tǒng)測量方法與加入距離約束后的誤差值比較。

圖5 傳統(tǒng)測量方法與加入距離約束后的誤差值比較Fig.5 The comparison of the measurement error with and without distance constraint

圖5中：a線表示未加入距離約束時的傳統(tǒng)測量方法誤差值；b線表示加入距離約束對粗大誤差進行控制后的誤差值；c線表示加入距離約束對粗大誤差進行控制，再對參數(shù)模型進行優(yōu)化后的誤差值。由圖5可知，選擇15組測量數(shù)據(jù)組成集合進行分析比較，采用距離約束可以有效控制粗大誤差對測量結(jié)果的影響，同時對坐標轉(zhuǎn)換模型的優(yōu)化也對測量結(jié)果的準確性有一定的作用。與傳統(tǒng)方法相比，采用距離約束對測量誤差進行控制后得到的測量結(jié)果更穩(wěn)定，更接近于真值，且誤差更小，說明本文提出的加入距離約束的方法是有效的。

表1 蛙跳球個數(shù)對測量誤差的影響Tab.1 The relationship between the measurement error and the number of leapfrog balls

由表1可知，當(dāng)蛙跳球的數(shù)量由3個增加到5個時，測量誤差減小了38.9%；但當(dāng)蛙跳球數(shù)量增加到6個時，測量誤差減小了41.5%。隨著蛙跳球數(shù)量的增加，距離約束的個數(shù)也隨之增多，測量誤差明顯減小，但當(dāng)蛙跳球數(shù)量達到一定時，其數(shù)量對測量誤差的影響越來越小。通過上述分析可知，蛙跳球數(shù)量為5個時，測量誤差明顯減??；而蛙跳球增加到6個時，較蛙跳球數(shù)量為5個時測量誤差僅減小2.6%，而工作時間理論上增加了20%左右。故在實際測量的過程中，在保證測量誤差與測量效率相平衡的前提下，蛙跳球的數(shù)量選擇5個比較合適。

5 結(jié) 論

本文針對ACMM在大尺寸工件的檢測過程中測量范圍有限且誤差較大的問題，提出了一種基于距離約束的ACMM的蛙跳測量方法。實驗結(jié)果表明，通過加入距離約束，有效地提高了坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)的求解精度及大尺寸工件的測量和定位精度。此外，通過增加公共基準點的個數(shù)，也對測量精度有一定的提高。與傳統(tǒng)的大尺寸測量方法相比，該方法具有更高的測量精度和更大的測量范圍，更適用于工業(yè)現(xiàn)場的應(yīng)用。