周紹磊，趙學(xué)遠(yuǎn)，戴邵武，王帥磊

(海軍航空大學(xué)，煙臺 264001)

0 引言

近年來，由于編隊控制在各個領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景，已經(jīng)成為了控制界內(nèi)的一個極具吸引力的研究課題?；趨f(xié)同控制，特別是多智能體系統(tǒng)一致性理論在文獻(xiàn)[1-6]中均取得了大量成果。受一致性理論的啟發(fā)，如何設(shè)計控制器，使其僅僅依賴于鄰居智能體信息，從而使得多智能體形成期望的編隊已經(jīng)引起了廣泛的關(guān)注。

文獻(xiàn)[7]為二階多智能體系統(tǒng)設(shè)計了一致性控制器，使其在無向拓?fù)鋱D下形成期望編隊。文獻(xiàn)[8]解決了多無人機(jī)系統(tǒng)在有向通信拓?fù)錀l件下形成時變編隊的問題。上述文獻(xiàn)在多智能體編隊控制方面都取得了較好的成果，但是要求通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)保持不變;而在實際系統(tǒng)中，由于受外界影響，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生變換，上述結(jié)論將不再適用。文獻(xiàn)[9]為多智能體系統(tǒng)設(shè)計了基于事件觸發(fā)函數(shù)的一致性控制器，使得多智能體系統(tǒng)形成了期望編隊，一致性控制器僅在事件觸發(fā)函數(shù)觸發(fā)時刻進(jìn)行采樣，有效地節(jié)約了系統(tǒng)通信帶寬和計算資源。文獻(xiàn)[10]基于以上考慮，研究了多無人機(jī)系統(tǒng)在切換拓?fù)錀l件下的編隊控制，設(shè)計了一致性控制器，并利用線性矩陣不等式方法，給出了控制器的設(shè)計步驟，但要求每個切換拓?fù)鋱D至少包含一條有向生成樹。文獻(xiàn)[11]研究的問題同樣是針對有向切換拓?fù)?，但其通信拓?fù)錀l件較文獻(xiàn)[10]更為嚴(yán)格，其假設(shè)所有可能的拓?fù)鋱D是強(qiáng)連通和平衡的。文獻(xiàn)[12]的研究結(jié)果表明，在無向通信拓?fù)錀l件下，無論拓?fù)鋱D如何切換，多智能體系統(tǒng)均能形成期望編隊。對比文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[11]，文獻(xiàn)[12]對多智能體系統(tǒng)的通信要求更為苛刻。

面對未來戰(zhàn)場環(huán)境，多無人機(jī)作戰(zhàn)將會成為重要形式，使得編隊控制成為多無人機(jī)控制領(lǐng)域的重要研究課題[13]?？紤]若外界環(huán)境對通信拓?fù)溆绊懜鼮槊黠@，導(dǎo)致通信拓?fù)湓谀硶r刻不能包含有向生成樹的情況，本文研究了在聯(lián)合連通拓?fù)錀l件下的多無人機(jī)時變編隊控制問題，進(jìn)一步降低了對多無人機(jī)系統(tǒng)的通信要求。

1 基礎(chǔ)知識

1.1 符號約定

符號Rn×n和Cn×n分別表示n×n維的實矩陣和復(fù)矩陣。對于任意μ∈C，其實部表示為Re(μ)。In是n×n維的單位矩陣。對于方陣A，λ(A)表示其特征值；max{λ(A)}和min{λ(A)}分別表示矩陣A的最大和最小特征值。A?B表示矩陣A和B的Kronecker積。A>B和A≥B分別表示A-B是正定和半正定的。

1.2 圖論

智能體之間的通信有向拓?fù)鋱D表示為G=(V,E,A)，其中V={v1,v2,…,vN}為拓?fù)鋱D的節(jié)點集合，E?V×V為拓?fù)鋱D的邊集合，A=[aij]N×N為拓?fù)鋱D的具有非負(fù)元素aij的鄰接矩。aij表示節(jié)點vi和vj之間的連接權(quán)重，表示節(jié)點vi可以接收到節(jié)點vj的信息，否則aij=0。如果存在一個節(jié)點vi，從這個點出發(fā)沿著有向邊可以到達(dá)圖中的任意其他點，稱圖G包含有一個有向生成樹，該節(jié)點vi為根節(jié)點。根據(jù)連接權(quán)重aij=1將節(jié)點vi的鄰居定義為Ni∶={j∈V∶aij=1}。圖的Laplacian矩陣定義為L=[Lij]N×N，其中Lii=∑j≠iaij,Lij=-aij,i≠j。

1.3 引理

引理1[14]：圖G的Laplacian矩陣L至少有一個零特征值，其他非零特征值均具有正實部；如果有向圖G包含有一個有向生成樹，則0是L的簡單特征值，1N是其對應(yīng)的右特征向量。

引理2[15]：對于圖的Laplacian矩陣L∈RN×N，那么存在一個矩陣M∈RN×N-1使得L=ME，其中E∈R(N-1)×N，其特定形式為

進(jìn)一步，如果圖包含一個有向生成樹，那么矩陣M是列滿秩的,且矩陣EM的特征值是L的非零特征值，則Re(λ(EM))>0。

引理3[15]：對于在引理2中定義的矩陣EM，如果圖包含有一個有向生成樹，存在一個對稱正定矩陣Q和一個正標(biāo)量參數(shù)α使得

(EM)TQ+QEM>αQ

(1)

其中，0<α<2min{Re(λ(EM))}

2 問題描述

在本文，將無人機(jī)視為一個質(zhì)點，考慮由如下動力學(xué)模型描述的N架無人機(jī)構(gòu)成的多無人機(jī)系統(tǒng)

(2)

其中，xi(t)和vi(t)分別代表在t時刻第i架無人機(jī)的位置和速度；ui(t)代表在t時刻第i架無人機(jī)的控制輸入。在本文的研究中，假設(shè)無人機(jī)在三維空間的運(yùn)動相互解耦，因此為了求解方便，僅在一維空間對其進(jìn)行研究，所得結(jié)論完全可以推廣至三維空間。

(3)

其中

ui(t) =K1(ηi(t)-hi(t))+wi(t)+

i=1,2,…,N

(4)

其中，K1、K2為待求的反饋矩陣。

定義1：多無人機(jī)系統(tǒng)能夠形成編隊h(t)，當(dāng)且僅當(dāng)

(5)

對于無人機(jī)系統(tǒng)(2)的任意初始狀態(tài)均成立。

本文將要研究的問題是，當(dāng)無人機(jī)之間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為聯(lián)合連通時，在控制器(4)的作用下，如何形成期望編隊。

3 編隊分析

將控制器(4)代入系統(tǒng)(2)并整理可得

(Lσ(t)?BK2-IN?BK1)h(t)+

(IN?B)w(t)

(6)

令θi(t)=ηi(t)-hi(t)，可得

(IN?A)h(t)+(IN?B)w(t)-

(7)

所以

(8)

因此系統(tǒng)(2)的編隊控制問題轉(zhuǎn)化成了系統(tǒng)(7)的一致性問題

令ξi(t)=θi(t)-θi+1(t)，可得ξ(t)=Eθ(t)。

故

(E?A)h(t)+(E?B)w(t)-

(9)

因此當(dāng)且僅當(dāng)

(10)

且

(11)

是漸進(jìn)穩(wěn)定的，系統(tǒng)能夠形成編隊。

根據(jù)式(10)可求得

(12)

因此系統(tǒng)(2)的編隊控制問題等價于系統(tǒng)(11)的穩(wěn)定性問題。

(13)

因此，將系統(tǒng)(11)轉(zhuǎn)化為了如下時間平均系統(tǒng)

(14)

由引理3可得，存在一個對稱正定矩陣Q>0和一個正定標(biāo)量參數(shù)α使得

(15)

算法：如果系統(tǒng)通信拓?fù)鋱D切換足夠快，按照如下步驟所設(shè)計的控制器給出控制器(4)能夠使得系統(tǒng)(2)形成期望編隊。

1)配置(A+BK1)極點，使其極點位于負(fù)半平面，求得反饋矩陣K1；

2)根據(jù)步驟1)中求解的矩陣K1，求解線性矩陣不等式(16)，得到可行解P，進(jìn)而確定K2=BTP。

(A+BK1)TP+P(A+BK1)-2αPBBTP<0

(16)

證明：構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)

V(t)=ξ(t)T(Q?P)ξ(t)

(17)

令K2=BTP,將式(14)沿著式(11)求導(dǎo)可得

(18)

由式(15)可得

2αPBBTP))ξ(t)

(19)

因此根據(jù)引理4可得存在一個正常數(shù)ε*>0，使得對于任意的ε∈(0,ε*)，如下的系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的

(20)

其中，ε刻畫了拓?fù)鋱DG(t/ε)的變化速度。這表明，如果拓?fù)淝袚Q得足夠快，系統(tǒng)(11)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，即系統(tǒng)(2)在控制器(4)作用下能夠形成期望時變編隊。

4 仿真驗證

由于本文假設(shè)無人機(jī)三維運(yùn)動相互解耦，故仿真時只是針對其中一維空間運(yùn)動進(jìn)行仿真，用以驗證所設(shè)計控制器的有效性。

設(shè)無人機(jī)的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在{G1,G2,G3}中隨著時間切換，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示，每個通信拓?fù)渚话邢蛏蓸洌麄€拓?fù)浼习粋€有向生成樹。

圖1 通信拓?fù)鋱DFig.1 Communication topology

從圖1可以看出，3個不包含有向生成樹的通信拓?fù)鋱D構(gòu)成的聯(lián)合連通拓?fù)鋱D包含一條有向生成樹，其對應(yīng)的Laplacian矩陣為

設(shè)無人機(jī)初始狀態(tài)為

無人機(jī)期望編隊函數(shù)

表示第i架無人機(jī)在三維空間中的期望位置，由編隊函數(shù)可知，期望編隊為4架無人機(jī)在空間中構(gòu)成時變的平行四邊形。

圖2 拓?fù)淝袚Q過程Fig.2 Topology switching process

假設(shè)無人機(jī)編隊的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)按照圖2所示的切換過程進(jìn)行切換，即G1→G2→G3→G1→…，每個拓?fù)鋱D的駐留時間為0.2s，因此，每隔0.6s，聯(lián)合拓?fù)鋱D就包含一條有向生成樹。根據(jù)算法給出的步驟，求得反饋矩陣

當(dāng)4架無人機(jī)的位置狀態(tài)與期望編隊的位置誤差達(dá)成一致時，將形成期望編隊。

圖3所示為無人機(jī)的實時位置與期望編隊函數(shù)位置誤差，從圖3中可以看出，當(dāng)t=2.5s時，誤差趨于一致，意味著此時多無人機(jī)系統(tǒng)形成了期望編隊。

圖3 無人機(jī)與編隊函數(shù)位置誤差Fig.3 Position error of UAV and formation function

圖4和圖5分別為多無人機(jī)系統(tǒng)在1s和3s時，每架無人機(jī)在三維空間中的位置，每架無人機(jī)的表示符號均在圖例中給出。從圖4中可以看出，1s時多無人機(jī)系統(tǒng)仍未構(gòu)成空間平行四邊形，即未形成期望編隊，這與圖3中1s時無人機(jī)與期望編隊函數(shù)位置誤差未達(dá)成一致。從圖5中可以看出，2.5s時，多無人機(jī)系統(tǒng)已經(jīng)在三維空間中形成平形四邊形編隊，即達(dá)成期望編隊，與圖3中2.5s時無人機(jī)與期望編隊函數(shù)位置誤差達(dá)成一致。

圖4 1s時無人機(jī)空間位置Fig.4 Space position of UAVs at 1s

圖5 2.5s時無人機(jī)空間位置Fig.5 Space position of UAVs at 2.5s

5 結(jié)論

本文基于一致性理論，設(shè)計了一致性控制器，使得多無人機(jī)系統(tǒng)形成了期望編隊，得出了以下結(jié)論：

1)相比于已有結(jié)論，本文降低了多智能體系統(tǒng)編隊在形成過程中對通信條件的要求，降低了環(huán)境對通信的影響，同時節(jié)約了系統(tǒng)的通信帶寬。

2)本文通過變量代換和Laplacian矩陣的特殊分解，將編隊控制問題簡化為低階系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定問題，解決問題方法更為簡便。