盧宗益

(自貢市公路水運(yùn)質(zhì)量監(jiān)督站，四川 自貢 643000)

0 前 言

合理的礦料級(jí)配組成是瀝青混合料、水泥混凝土以及各類穩(wěn)定土配合比設(shè)計(jì)中的重要內(nèi)容，是發(fā)揮其最大限度結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和獲得最佳使用性能的基礎(chǔ)。本文以瀝青混合料為例分析了現(xiàn)有設(shè)計(jì)方法的優(yōu)劣，提出了采用運(yùn)籌學(xué)原理，通過(guò)“貝雷法”參數(shù)對(duì)目標(biāo)級(jí)配進(jìn)行求解的新方法。

1 傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法

1.1 圖解法和試算法

圖解法和試算法計(jì)算過(guò)程復(fù)雜、計(jì)算效率低、極易出錯(cuò)，得出比例后尚需應(yīng)用“貝雷法”參數(shù)等檢驗(yàn)級(jí)配的優(yōu)劣。

1.2 利用Excel進(jìn)行規(guī)劃求解的方法

該方法通過(guò)設(shè)置約束條件，使用Excel的規(guī)劃求解功能可以快速地算出各礦料比例。但約束條件設(shè)置不統(tǒng)一，多數(shù)以摻配比例之和等于100%為目標(biāo)，各篩孔通過(guò)率在要求級(jí)配范圍內(nèi)為約束條件，致使在某些情況下得不到解，即使得到解也不能判斷其優(yōu)劣，僅能滿足級(jí)配范圍而已。

1.3 正規(guī)方程法

通過(guò)構(gòu)造線性方程組并對(duì)其使用人工或計(jì)算機(jī)求解，數(shù)學(xué)模型如下：

(1)

式中，k為篩孔編號(hào)，i=0，1，2，3……，n；i為礦料種類；Pki為第i種礦料第k號(hào)篩孔的通過(guò)率；Pk為目標(biāo)級(jí)配第k號(hào)篩孔的通過(guò)率。

通過(guò)計(jì)算機(jī)求解可快速計(jì)算出與目標(biāo)級(jí)配相近的解，但該方法僅僅通過(guò)線性回歸，未對(duì)比例做非負(fù)約束，經(jīng)常無(wú)解，或計(jì)算出的解部分為負(fù)值，且不能判斷其優(yōu)劣性。

2 運(yùn)籌學(xué)原理的應(yīng)用

2.1 “貝雷法”參數(shù)介紹

貝雷法是近年來(lái)用于瀝青混合料級(jí)配設(shè)計(jì)和檢驗(yàn)的完整方法[1],已受到國(guó)內(nèi)外的普遍關(guān)注。當(dāng)合成級(jí)配決定后,貝雷法提出三參數(shù)CA比[CA]、FAc比[FAc]、FAf比[FAf]對(duì)其進(jìn)行分析,其中表征粗集料內(nèi)部比例組成的參數(shù)是CA比[CA]，計(jì)算公式為：

(2)

式中，PD/2為粒徑D/2(D為公稱最大粒徑)的通過(guò)率,%；Ppcs為第一控制篩孔(PCS為與公稱最大粒徑的22%最接近的篩孔)的通過(guò)率，%。

CA比[CA]反映了粗集料中大粒徑顆粒與D/2～PCS粒徑顆粒之間的均衡關(guān)系,這種均衡關(guān)系將影響瀝青混合料的壓實(shí)特性和路用性能。

FAc比[FAc]用來(lái)反映細(xì)集料中粗料部分與細(xì)料部分的嵌擠、填充情況，計(jì)算公式如下：

(3)

式中，PTCS為第三控制篩孔的通過(guò)率,%；FAc比主要用于控制級(jí)配曲線出現(xiàn)駝峰。

FAf比[FAf] 影響混合料的體積特性。一般VMA值隨其減小而增大，計(jì)算公式如下：

(4)

式中，PSCS為第二控制篩孔的通過(guò)率,%。

貝雷法三參數(shù)的建議范圍見(jiàn)表1。

表1 貝雷法三參數(shù)的建議范圍[1]

2.2 礦料級(jí)配構(gòu)成比例計(jì)算要求分析

1)要求各礦料按一定比例進(jìn)行摻配后得到結(jié)果的各篩孔通過(guò)率最接近目標(biāo)級(jí)配在各篩孔的通過(guò)率，即得到∑|Pmk-Prk|的最小值，Pmk為目標(biāo)級(jí)配在第k個(gè)篩孔的通過(guò)率，Prk為計(jì)算結(jié)果在第k個(gè)篩孔的通過(guò)率。

2)要求各礦料摻配比例之和等于100%，且各礦料參配比例均大于等于0。

3)要求摻配后的結(jié)果在0.3～0.6不出現(xiàn)駝峰，即滿足[FAc]及[FAf]范圍要求。

4)要求粗骨料形成骨架，細(xì)集料、填料及瀝青進(jìn)行填充達(dá)到要求的空隙率，即滿足[CA]范圍要求。

2.3 數(shù)學(xué)模型的建立

根據(jù)2.2分析可知，要解決的問(wèn)題屬于運(yùn)籌學(xué)中的約束極值求解問(wèn)題，其標(biāo)準(zhǔn)型式為：

min f(x)

s.t.go(x)≥0，(o=1，2，3……，l)

hp(x)=0，(p=1，2，3……，k)

式中，f(x)為目標(biāo)函數(shù)；go(x)為不等式約束條件；hp(x)為等式約束條件。

具體模型：

Min f(x)= ∑|Pmk-Prk|

s.t.g1(x)=[CA]-[CA]min≥0；

g2(x)= [CA]max-[CA]≥0；

g3(x)= [FAc]-[FAc]min≥0；

g4(x)= [FAc]max-[FAc]≥0；

g5(x)= [FAf]-[FAf]min≥0；

g6(x)= [FAf]max-[FAf]≥0；

h(x)=∑xi-1=0；

xi≥0；

式中，xi為第i種礦料的摻入百分比；[CA]min、[CA]max、[FAc]min、[FAc]max、[FAf]min、[FAf]max為貝雷法參數(shù)的下限和上限值。

2.4 數(shù)學(xué)模型的求解

2.4.1 求解方法的選擇

運(yùn)籌學(xué)對(duì)約束極值問(wèn)題的解法有直接法(包括隨機(jī)方向搜索、復(fù)合形法和可行方向法)和間接法(包括內(nèi)點(diǎn)法、外點(diǎn)法和混合點(diǎn)法)，直接法需要對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，間接法中的內(nèi)點(diǎn)法要求初始值在可行域內(nèi)，外點(diǎn)法初始點(diǎn)無(wú)限制[3]。按2.3所述，目標(biāo)函數(shù)為非線性函數(shù)且導(dǎo)數(shù)難以求得，而要得到可行域內(nèi)的初始點(diǎn)也非易事，故選擇外點(diǎn)法進(jìn)行求解。

2.4.2 外點(diǎn)法求解模型

根據(jù)2.3數(shù)學(xué)模型構(gòu)造懲罰項(xiàng)得到新的目標(biāo)函數(shù)將約束問(wèn)題轉(zhuǎn)換成無(wú)約束問(wèn)題得：

min?(x,M)=min {f(x)+M∑G(go(x))}

式中，go(x) ≥0時(shí)，G(go(x))=loggo(x)，go(x) <0時(shí)G(go(x))=0;

M為罰因子取初值5，每次迭代按2倍增長(zhǎng)。

為嚴(yán)格約束各摻配比例之和等于100%，將h(x)=0改寫(xiě)為不等式約束g7(x)= ε-∑xi-1≥0。

構(gòu)造出新的目標(biāo)函數(shù)后可采用無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題解法進(jìn)行求解，根據(jù)實(shí)際情況選擇步長(zhǎng)加速法[3]，該方法無(wú)需對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)等操作，適于計(jì)算機(jī)求解。

2.4.3 求解的C#代碼實(shí)現(xiàn)

Vector Msut(Vector X)//外點(diǎn)法求解主程序

{

Vector X,int C=1000,int M=5,double e=0.00001;

While(C>0){

C--;M*=2;Vector V= Stepsize(?(x,M));

if((X-V).Mod

}}

VectorStepsize(Vector X,Function F)//步長(zhǎng)加速法求解程序

{

Vector X_copy = X.DeepCopy();intC = 1000;double e=0.00001;

while (C>0)

{

C--; if (S

for (int i = 0; i < X_copy.Dimension; i++)

{

Vector E = Vector.Zeros(X_copy.Dimension);E[i] = step;

X0 =F(X0+E) < F(X0)?X0+ E:X0;

X0 =F(X0-E) < F(X0)?X0+ E:X0;

}

if (X_copy ==X0){ S=S/2;continue;}

Vector V= X_copy + 2 * (X0-X_copy);

if (F(V)

X_copy = X0;S= S /2;

}

return X_copy;

}

2.4.4 計(jì)算結(jié)果實(shí)例

以AC-13C瀝青混凝土配合比為例，各礦料篩分?jǐn)?shù)據(jù)見(jiàn)表2。

表2 礦料篩分結(jié)果 %

通過(guò)程序自動(dòng)計(jì)算各礦料摻配比例為：

碎石10～15 mm：碎石5～10 mm：碎石3～5 mm：石屑0～3 mm：礦粉=20.4∶26.8∶18.8∶28.7∶5.3，級(jí)配曲線見(jiàn)圖1。

通過(guò)圖1可以看出，采用本文方法計(jì)算的礦料比例能夠很好的擬合目標(biāo)級(jí)配曲線，同時(shí)計(jì)算出的礦料級(jí)配[CA]=0.6滿足“貝雷法”推薦參數(shù)表的要求，能夠很好地形成礦料骨架，由于對(duì)[FAf]和[FAc]的限制，有效地避免了0.3～0.6出現(xiàn)駝峰的情況?？偟膩?lái)說(shuō)，很好地滿足了礦料級(jí)配構(gòu)成比例計(jì)算的要求。級(jí)配曲線見(jiàn)圖1。

圖1 級(jí)配曲線

3 結(jié) 論

采用運(yùn)籌學(xué)原理，通過(guò)“貝雷法”參數(shù)對(duì)目標(biāo)級(jí)配進(jìn)行擬合的新方法，有效地彌補(bǔ)了現(xiàn)有礦料級(jí)配設(shè)計(jì)方法的不足，既能高度擬合目標(biāo)級(jí)配，又能通過(guò)“貝雷法”三參數(shù)控制礦料級(jí)配，使之滿足粗骨料形成骨架，細(xì)骨料有效填充，達(dá)到發(fā)揮混合料最大限度結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和獲得最佳使用性能的目的。同時(shí)筆者對(duì)該計(jì)算方法采用了C#代碼實(shí)現(xiàn)，具有很好的移植性和復(fù)用性，不依賴其他軟件平臺(tái)，為配合比設(shè)計(jì)CAD系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)打下了基礎(chǔ)。