唐基凱

(長(zhǎng)沙理工大學(xué) 土木工程學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410114)

目前對(duì)車(chē)橋耦合的研究已從只探究車(chē)橋本身(不考慮外部激勵(lì))相互耦合逐步深入到考慮外部激勵(lì)(風(fēng)荷載、撞擊等)對(duì)車(chē)橋耦合的影響。橋面不平順作為隨機(jī)外部激勵(lì)對(duì)車(chē)橋耦合振動(dòng)有著重要影響。張建波等基于虛擬激勵(lì)法對(duì)重力引起的確定性激勵(lì)和橋面不平順引起的隨機(jī)激勵(lì)對(duì)橋梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了研究；盛國(guó)剛等利用三角級(jí)數(shù)模擬橋面不平順，分析了橋面不平順對(duì)車(chē)橋耦合振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力效應(yīng)的影響；Y. Zhang等采用非線性多彈簧輪胎動(dòng)力分析模型，分析了分離和橋面不平順對(duì)車(chē)橋交互系統(tǒng)的影響。此外，在橋梁使用壽命期間，由于荷載的動(dòng)態(tài)交互作用，梁體極易產(chǎn)生裂紋，有必要分析含裂紋梁體的車(chē)橋耦合振動(dòng)。C. Y. Fu模擬了裂紋切換瞬態(tài)(打開(kāi)與關(guān)閉)對(duì)車(chē)橋耦合振動(dòng)的影響；羅紀(jì)彬等分析了移動(dòng)車(chē)輛荷載作用下含裂紋梁的非線性動(dòng)力特性。上述研究忽略了橋面不平順的影響，使研究結(jié)論不夠完整。該文基于Hamilton原理,同時(shí)考慮橋面不平順和梁體含裂紋，對(duì)車(chē)橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行研究，探討裂紋深度、位置及橋面不平順等級(jí)、行車(chē)速度、車(chē)輛質(zhì)量等參數(shù)對(duì)車(chē)橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響。

1 考慮橋面不平順的車(chē)橋系統(tǒng)

如圖1所示，設(shè)梁截面為矩形截面，梁長(zhǎng)與梁高分別為l、h，在距左端支座l0處存在深度為a的表面裂紋。k1、c1分別為車(chē)輛懸掛系統(tǒng)的剛度與阻尼系數(shù)，M1、M2分別為車(chē)輪和車(chē)輛的質(zhì)量，Z(t)為彈簧上車(chē)輛位移。設(shè)車(chē)輛以速度v勻速行駛通過(guò)橋梁，且車(chē)輛輪胎始終與橋梁點(diǎn)接觸，不考慮脫離，則車(chē)輪與橋梁接觸處的位移y(x,t)為：

y(x,t)=w(x,t)+r(x)

(1)

式中：w(x,t)為與橋面接觸輪胎位移；r(x)為橋面不平順值。

圖1 車(chē)橋耦合振動(dòng)模型

根據(jù)Hamilton變分原理，彈性變形體動(dòng)力學(xué)變分一般表達(dá)式為：

(2)

式中：δT、δU、δW分別為系統(tǒng)的動(dòng)能、應(yīng)變能和外力功的變分。

設(shè)梁結(jié)構(gòu)的密度為ρ，梁橫截面積為A，梁豎向位移為w，則梁動(dòng)能為：

(3)

系統(tǒng)的勢(shì)能包括梁的形變勢(shì)能Ub和裂紋位置釋放的應(yīng)變能Uk，令U=Ub-Uk，將梁簡(jiǎn)化為一維伯努利梁，只考慮其抗彎剛度，則梁的形變勢(shì)能為：

(4)

式中：E、I分別為梁的彈性模量和慣性矩。

根據(jù)線性斷裂力學(xué)理論，裂紋位置釋放的應(yīng)變能為：

(5)

裂紋處釋放的應(yīng)變能為：

(6)

外力功為：

(7)

作用在梁上的外部荷載P(x,t)為：

P(x,t)=δ(x-vt){(M1+M2)g-

(8)

式中：δ為Dirac函數(shù)。

將式(3)、U=Ub-Uk、式(7)代入式(2)，得到含裂紋梁的振動(dòng)方程：

(9)

車(chē)輛動(dòng)力平衡方程為：

(10)

式(9)和式(10)即為橋面不平順時(shí)含裂紋簡(jiǎn)支梁與移動(dòng)車(chē)輛系統(tǒng)動(dòng)力耦合運(yùn)動(dòng)方程。

2 方程求解

簡(jiǎn)支梁橋的邊界條件可寫(xiě)為:

(11)

同理，由式(10)可得：

(12)

式(11)和式(12)即為考慮橋面不平順時(shí)含裂紋梁車(chē)橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力控制方程。

3 橋面不平順的模擬

橋面不平順隨機(jī)激勵(lì)r(x)可按三角級(jí)數(shù)模擬：

式中：N為充分大的整數(shù)，為空間頻率帶的等分?jǐn)?shù)；G2(ni)=4Gd(ni)Δn；n為空間頻率；Gd(n)為位移功率譜密度，Gd(n)=Gd(n0)(n/n0)-w1；Gd(n0)為路面平整度系數(shù)；n0為參考空間頻率值；w1為頻率指數(shù)；ni=nd+(i-1/2)Δn(i=1,2，…,N)；Δn=(nm-nd)/N；nm、nd為有效空間頻率上、下限；x為橋面縱向坐標(biāo)；φi為隨機(jī)相位角，是滿足均勻分布的介于[0,2π]間的隨機(jī)數(shù)。

加速度功率譜Ga(n)、速度功率譜Gv(n)與位移功率譜之間的關(guān)系為：

Ga(n)=Gd(n)·(2πn)4

Gv(n)=Gd(n)·(2πn)2

橋梁不平順考慮橋面等級(jí)為A、B、C、D 4個(gè)等級(jí)，其中A、D級(jí)橋面的模擬數(shù)據(jù)見(jiàn)圖2。

圖2 不同等級(jí)下橋面不平順值

4 數(shù)值分析

采用Runge-kutta法對(duì)式(11)、式(12)聯(lián)立的微分方程組進(jìn)行求解。為驗(yàn)證上述方法的有效性，在忽略橋梁幾何非線性和梁體裂紋的基礎(chǔ)上得到車(chē)橋耦合系統(tǒng)橋梁的位移時(shí)程(見(jiàn)圖3)。根據(jù)圖3，采用上述方法得到的結(jié)果與文獻(xiàn)[11]中結(jié)果吻合，上述方法可靠。

圖3 忽略裂紋時(shí)梁體位移時(shí)程

橋面不平順狀態(tài)下含裂紋梁采取如下參數(shù)進(jìn)行分析并忽略車(chē)輪質(zhì)量：梁長(zhǎng)l=40 m；彈性模量E=1.28×109N/m2；梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度質(zhì)量m=2 303 kg；慣性矩Iy=1.0 m4；梁體密度ρ=7 200 kg/m3；車(chē)體質(zhì)量M2=2 000 kg；懸架剛度k=160 kN·s/m；車(chē)輛勻速經(jīng)過(guò)橋梁的速度v=10 m/s；阻尼系數(shù)c1=2×103N·s/m；泊松比μ=0.2；梁體高度h=0.8 m；裂紋深度a=0.2 m；梁體橫截面面積A=0.36 m2；l0=l/2。

圖4為以A級(jí)橋面不平順作為隨機(jī)激勵(lì)時(shí)梁體是否含裂紋及裂紋深度對(duì)車(chē)橋系統(tǒng)位移的影響。由圖4可知：不管是否考慮裂紋，梁體波動(dòng)的位移最大值都位于跨中附近；考慮梁體含裂紋時(shí)，梁體位移明顯變大且位移增幅在跨中處更明顯。裂紋深度從零增加到0.4 m時(shí)，梁體位移增加并不是線性的，裂紋深度從0.2 m增加到0.4 m時(shí)梁體位移增量比從零增加到0.2 m時(shí)的大。因此，在梁體位移幅值、不利位置處考慮梁體含裂紋是有必要的。

圖4 梁體裂紋深度對(duì)車(chē)橋系統(tǒng)位移的影響

圖5為裂紋深度為0.2 m時(shí)，忽略橋面不平順及不同等級(jí)橋面不平順對(duì)車(chē)橋系統(tǒng)位移的影響。由圖5可知：系統(tǒng)跨中位移考慮橋面不平順后圍繞平順狀態(tài)上下波動(dòng)，考慮橋面不平順時(shí)跨中位移峰值比平順下位移增大且受梁體波動(dòng)更復(fù)雜。考慮不同等級(jí)橋面不平順時(shí)，梁體波動(dòng)曲線變化不大，但隨著橋面不平順等級(jí)的提高，梁體跨中位移峰值有所增大。說(shuō)明橋面鋪裝的平整度對(duì)車(chē)橋系統(tǒng)的安全有一定影響。

圖5 不同等級(jí)橋面不平順對(duì)系統(tǒng)位移的影響

圖6為裂紋深度為0.2 m、隨機(jī)激勵(lì)為A級(jí)橋面不平順時(shí)，行車(chē)速度對(duì)車(chē)橋系統(tǒng)位移的影響。由圖6可知：隨著行車(chē)速度的增加，梁體位移增加，但梁體最大位移的位置不受速度影響，都集中在跨中附近；行車(chē)速度越大，梁體波動(dòng)頻率越小，行車(chē)速度低時(shí)出現(xiàn)多個(gè)位移峰值。這是由于梁體是彈性體，行車(chē)速度低時(shí)梁體部分撓度能自行恢復(fù)，而速度較高時(shí)，梁體變形不能及時(shí)恢復(fù)，導(dǎo)致其撓度增加。

圖6 行車(chē)速度對(duì)車(chē)橋耦合系統(tǒng)的影響

設(shè)車(chē)橋質(zhì)量比系數(shù)u=M2/(ml)，考慮u為0.02、0.03、0.05。圖7為車(chē)橋質(zhì)量比對(duì)車(chē)橋系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響。由圖7可知：隨著車(chē)橋質(zhì)量比的增加，梁體位移有所增加，但梁體波動(dòng)頻率并未改變。說(shuō)明車(chē)輛質(zhì)量增加會(huì)增加梁體波動(dòng)位移，但不改變其振型。

圖7 車(chē)橋質(zhì)量比對(duì)車(chē)橋系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響

5 結(jié)論

(1) 橋面不平順狀態(tài)下考慮梁體含裂紋時(shí)，梁體跨中位移響應(yīng)隨裂紋深度增加而增加，且在跨中增加更明顯，但裂紋深度線性增加時(shí)，梁體位移響應(yīng)增加為非線性。

(2) 考慮橋面不平順影響時(shí)，跨中位移響應(yīng)比平順狀態(tài)下有所增大，不僅位移幅值增加，梁體的波動(dòng)也更復(fù)雜。在不同等級(jí)橋面不平順下，路面平整狀態(tài)越差，梁體跨中位移幅值越大，考慮橋面平整狀態(tài)對(duì)系統(tǒng)的安全有必要。

(3) 隨著行車(chē)速度的增加，梁體位移增加，車(chē)速較高時(shí)梁體不能及時(shí)恢復(fù)變形而使第一次位移峰值變大且位置靠后。隨著車(chē)橋質(zhì)量比的增加，梁體位移有所增加，但車(chē)輛質(zhì)量的增加并不改變其振型。