李小兵，趙思源，卜祥偉，何陽(yáng)光

(1. 空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院， 陜西 西安 710051； 2. 空軍工程大學(xué) 研究生院， 陜西 西安 710051)

高超聲速飛行器(Hypersonic Flight Vehicles，HFV)作為一種新型的臨近空間戰(zhàn)略武器裝備，已成為近十年來(lái)的研究熱點(diǎn)。控制系統(tǒng)面臨著系統(tǒng)的不確定性、復(fù)雜子系統(tǒng)與非線性模型的耦合，因此HFV的飛行控制器設(shè)計(jì)成為一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的研究課題[1-3]。同時(shí)，由于系統(tǒng)的不確定性，控制增益信號(hào)一般是未知的，給控制器的設(shè)計(jì)帶來(lái)了很多困難[4-5]。傳統(tǒng)的仿射模型控制器設(shè)計(jì)方法不能處理HFV非仿射模型，對(duì)控制器的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)精度提出了更高的要求[6-8]。

HFV在大跨度飛行包絡(luò)范圍內(nèi)需要完成許多復(fù)雜的任務(wù)，因此有必要設(shè)計(jì)一種有效的控制方法。然而，復(fù)雜的飛行環(huán)境、未知的外部干擾和模型的不確定性使得HFV的魯棒控制具有挑戰(zhàn)性[9-11]。為了解決HFV飛行過(guò)程中的不確定項(xiàng)和干擾問(wèn)題，文獻(xiàn)[12]并沒(méi)有使用動(dòng)態(tài)高階微分器，而是設(shè)計(jì)了一種無(wú)模型跟蹤控制器。文獻(xiàn)[13]研究了HFV縱向運(yùn)動(dòng)模型的魯棒控制，保證了對(duì)模型不確定性的魯棒控制律。為了克服魯棒控制通常過(guò)于保守的缺點(diǎn)，文獻(xiàn)[14]設(shè)計(jì)了一種適用于HFV的滑?？刂坡伞．?dāng)模型參數(shù)受到擾動(dòng)時(shí)，控制律仍能保證參考輸入的穩(wěn)定跟蹤。文獻(xiàn)[15]研究了高階連續(xù)滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了HFV控制輸入的連續(xù)切換，避免了控制輸入高頻抖振的影響。在文獻(xiàn)[16-17]中，HFV容錯(cuò)控制是為了保證執(zhí)行器故障的穩(wěn)定跟蹤而設(shè)計(jì)的。文獻(xiàn)[18]介紹了最小學(xué)習(xí)參數(shù)算法，估計(jì)了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值矩陣的范數(shù)，降低了在線學(xué)習(xí)量。文獻(xiàn)[19]對(duì)模型進(jìn)行了變換，將HFV模型分解為速度子系統(tǒng)和高度子系統(tǒng)，將高度子系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為等效的純反饋系統(tǒng)，避免了傳統(tǒng)反演方法的缺點(diǎn)，引入了最小參數(shù)學(xué)習(xí)方法，減小了計(jì)算量。

國(guó)內(nèi)外對(duì)HFV仿射控制的研究雖取得了很大的成果，但實(shí)際模型是非仿射的，且不宜被仿射化。由于上述控制策略只保證了控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，因此不考慮系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。并且，對(duì)HFV高速飛行和控制系統(tǒng)快速飛行的動(dòng)態(tài)性能要求也不能滿足。文獻(xiàn)[6] 設(shè)計(jì)了HFV預(yù)設(shè)性能反演控制器，因?yàn)榭刂坡蓪?duì)預(yù)設(shè)性能函數(shù)的初值選擇提出了更高的要求，雖然速度和高度跟蹤誤差限制在預(yù)設(shè)范圍內(nèi)，但可用性和實(shí)時(shí)性較差。在文獻(xiàn)[20]中，通過(guò)組合隱藏函數(shù)和均值定理，對(duì)仿射模型進(jìn)行了變換，并通過(guò)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)未知函數(shù)進(jìn)行了逼近，提出了一種自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)控制的非仿射控制方法。文獻(xiàn)[21]通過(guò)泰勒公式將HFV非仿射模型轉(zhuǎn)化為仿射模型，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)模糊神經(jīng)非仿射控制律。本文利用中值定理[22]對(duì)HFV的非仿射模型進(jìn)行變換，然后利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)未知函數(shù)，同時(shí)引入Nussbaum函數(shù)來(lái)處理以前未知的控制方向問(wèn)題。

本文設(shè)計(jì)了一種新型HFV縱向運(yùn)動(dòng)跟蹤控制器，該控制器是基于HFV非仿射模型提出的保證預(yù)設(shè)性能的反演控制策略，旨在保證跟蹤誤差被限定在預(yù)設(shè)區(qū)域內(nèi)?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)是建立在非仿射模型上的，這避免了模型簡(jiǎn)化過(guò)程中的不確定并保證了控制策略的可行性。所設(shè)計(jì)的預(yù)設(shè)性能控制器實(shí)現(xiàn)了準(zhǔn)確地對(duì)參考輸入的穩(wěn)定跟蹤。由于控制策略的建立與準(zhǔn)確的飛行器模型和函數(shù)估計(jì)值無(wú)關(guān)，因此增強(qiáng)了系統(tǒng)魯棒性的同時(shí)降低了在線計(jì)算量。最后，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了控制策略的實(shí)用性和優(yōu)越性。

1 問(wèn)題描述

1.1 HFV縱向平面運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

本文采用Bolender和Parker的HFV面向控制的非線性模型[23-24]，其縱向平面受力情況圖1所示。HFV上所受的空氣動(dòng)力可以表示為升力L、推力T、阻力D和俯仰力矩M，推力T作用在飛行器機(jī)體軸線上。同時(shí)，圖1也表示了HFV的航行速度V，航行高度h，航跡角γ，俯仰角θ，攻角α=θ-γ。由標(biāo)準(zhǔn)拉格朗日方程推導(dǎo)出的HFV縱向動(dòng)力學(xué)模型可以表示為如下形式：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

其中，部分系數(shù)表達(dá)式如下：

(8)

L、T、D、M只表示力的大小，其擬合式如下：

(9)

(10)

圖1 HFV受力示意圖Fig.1 Force map of HFV model

HFV巡航段飛行速度V的變化相對(duì)于俯仰角θ和俯仰角速率Q近似為慢變量[9]，為了便于設(shè)計(jì)控制器，通常將HFV模型分解為速度子系統(tǒng)(見(jiàn)式(1))和高度子系統(tǒng)(見(jiàn)式(2)～(5))，并分別進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。

假設(shè)1所有的參考指令和它對(duì)于時(shí)間的一階及二階導(dǎo)數(shù)是有界連續(xù)的。

1.2 預(yù)設(shè)性能分析

定義連續(xù)函數(shù)ρ(t):R+→R+，若同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件[25]，則該連續(xù)函數(shù)可被稱為預(yù)設(shè)性能函數(shù)。

1)ρ(t)是嚴(yán)格單調(diào)遞減的正函數(shù)；

基于上述定義，本文設(shè)計(jì)如下預(yù)設(shè)性能函數(shù)：

ρ(t)=(ρ0-ρ∞)e-lt+ρ∞

(11)

其中，ρ∞≤ρ(t)≤ρ0，ρ0>ρ∞>0，l>0為待設(shè)計(jì)參數(shù)。

跟蹤誤差e(t)需要滿足下述定義不等式：

(12)

這就保證e(t)具有滿意的動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)精度，且ρ(t)是有界的。在設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的過(guò)程中，直接對(duì)不等式約束式(12)進(jìn)行處理的難度非常大，因此可以先將不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束再進(jìn)行設(shè)計(jì)，這里定義一個(gè)誤差轉(zhuǎn)換函數(shù)S(ε(t))，則

(13)

將S(ε(t))選取為如下形式：

(14)

顯然，S(ε(t))具有嚴(yán)格遞增性，于是其逆函數(shù)ε(t)的一階動(dòng)態(tài)方程為：

(15)

(16)

(17)

1.3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

引入如下徑向基函數(shù)(Radial Basis Function, RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用來(lái)逼近模型不確定項(xiàng)：

φ(Z)=WTS(Z)

(18)

式中，φ∈R和Z∈Rn分別是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出和輸入，W∈Rn為權(quán)值向量，S(Z)=[S1(Z),…,Sn(Z)]T是徑向基函數(shù)。通常情況下，將Si(Z)選取成如下高斯基函數(shù)：

(19)

式中，ai∈Rn為高斯基函數(shù)中心向量大小，bi∈R+為高斯基函數(shù)的寬度。

φ(Z)=W*TS(Z)+Δ(Z)

(20)

(21)

2 控制器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析

2.1 指令濾波器

當(dāng)采用反演控制方法設(shè)計(jì)控制器時(shí)，“微分項(xiàng)爆炸問(wèn)題”必然會(huì)發(fā)生。本文將引入一組指令濾波器，而不是反復(fù)求導(dǎo)[26]。其表達(dá)形式如下：

(22)

其中，ηω>0為待設(shè)計(jì)參數(shù)，δi-1為虛擬控制信號(hào)。

定義估計(jì)誤差信號(hào)?i為如下形式：

?i=ωi-δi-1,i=2,3,…,n

(23)

則

(24)

zi=xi-δi-1,i=2,3,…,n

(25)

式中，xi為實(shí)際信號(hào)，在后文的設(shè)計(jì)中i代表HFV縱向模型中的γ,θ,Q。

2.2 速度控制器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析

由于速度的動(dòng)態(tài)變化比高度系統(tǒng)慢，所以當(dāng)速度變化時(shí)，可以認(rèn)為高度和高度角已經(jīng)達(dá)到了其穩(wěn)定狀態(tài)[4]。因此將速度子系統(tǒng)表達(dá)式寫為如下形式：

(26)

式中，fV是未知的不可微非仿射連續(xù)函數(shù)，Φ和V為速度子系統(tǒng)的輸入和輸出。根據(jù)中值定理，將式(26)改寫為如下形式：

(27)

ρV(t)=(ρV0-ρV∞)e-lVt+ρV∞

(28)

根據(jù)式(12)可以得到：

(29)

將式(29)轉(zhuǎn)化為：

(30)

綜合式(17)和式(27)，將轉(zhuǎn)換函數(shù)zV(t)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得：

(31)

定義Lyapunov函數(shù)為：

(32)

式中，νV為動(dòng)態(tài)信號(hào)，λV0為待設(shè)計(jì)參數(shù)。對(duì)式(32)求導(dǎo)可得：

(33)

根據(jù)Young′s不等式以及假設(shè)2，有

(34)

將式(34)代入式(35)，可得：

(35)

令

(36)

由于μV0(V)是非負(fù)的連續(xù)函數(shù)，則必存在一個(gè)連續(xù)的函數(shù)φV(ZV)，使得

zVφV≤zVφV(ZV)+λV

(37)

其中，ZV=[V,zV,rV]T∈R3，λV>0為待設(shè)計(jì)參數(shù)。

將速度控制律Φ設(shè)計(jì)為：

(39)

選取如下Lyapunov函數(shù)：

(40)

對(duì)式(40)求導(dǎo)可得：

(41)

由于

(42)

則式(41)可進(jìn)一步寫成

(43)

(44)

2.3 高度控制器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析

為了便于控制器設(shè)計(jì)，根據(jù)式(2)～(5)將HFV高度子系統(tǒng)改寫為如下形式：

(45)

其中，fh、fγ、fθ和fQ是未知的不可微非仿射連續(xù)函數(shù)。根據(jù)中值定理將式(45)改寫為：

(46)

假設(shè)4參考指令href和它對(duì)于時(shí)間的一階及二階導(dǎo)數(shù)是有界連續(xù)的。

ρh(t)=(ρh0-ρh∞)e-lht+ρh∞

(47)

根據(jù)式(12)可以得到

(48)

將式(48)轉(zhuǎn)化為：

(49)

綜合式(17)和式(46)，將轉(zhuǎn)換函數(shù)zh(t)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得：

定義Lyapunov函數(shù)

(51)

式中，νh為動(dòng)態(tài)信號(hào)，λh0為待設(shè)計(jì)參數(shù)。對(duì)上式求導(dǎo)可得：

(52)

根據(jù)Young′s不等式及假設(shè)3，有

(53)

將式(53)代入式(52)，可得：

(54)

令

(55)

由于μh0(h)是非負(fù)的連續(xù)函數(shù)，則必存在一個(gè)連續(xù)的函數(shù)φh(Zh)，使得

zhφh≤zhφh(Zh)+λh

(56)

其中，Zh=[h,zh,rh]T∈R3，λh>0為待設(shè)計(jì)參數(shù)。

將虛擬控制律γd設(shè)計(jì)為：

(58)

選取如下Lyapunov函數(shù)

(59)

對(duì)式(59)求導(dǎo)可得：

(60)

由于

(61)

則式(60)可進(jìn)一步寫成

(62)

(63)

考慮系統(tǒng)式(46)，結(jié)合指令濾波器，可得：

zγ=γ-γd=γ-ωγ+?γ

(64)

進(jìn)一步，有

(65)

定義Lyapunov函數(shù)

(66)

對(duì)上式求導(dǎo)可得：

(67)

類似于速度控制器設(shè)計(jì)，可以得到

(68)

令

φγ=fγ1(γ)+ηω(ωγ-γd)

(69)

存在一個(gè)未知的連續(xù)函數(shù)φλ(Zλ)，使得：

(70)

其中，Zγ=[γ,zγ,ωγ,γd]T∈R4，λγ為待設(shè)計(jì)參數(shù)。

將式(70)代入式(68)，可得：

(71)

將虛擬控制律θd設(shè)計(jì)為：

(72)

選取如下Lyapunov函數(shù)

(73)

對(duì)上式求導(dǎo)，并綜合考慮Uh和Lzγ可得：

(74)

對(duì)式(74)兩邊同乘e-Dγ1t并積分，可得：

(75)

虛擬控制律Qd的設(shè)計(jì)過(guò)程及穩(wěn)定性證明均和以上步驟類似，這里不再贅述。 直接給出將虛擬控制律Qd設(shè)計(jì)為如下形式：

(76)

考慮系統(tǒng)式(46)，結(jié)合指令濾波器，可得：

zQ=Q-Qd=Q-ωQ+?Q

(77)

進(jìn)一步，有

(78)

定義Lyapunov函數(shù)

(79)

對(duì)上式求導(dǎo)可得：

(80)

令

φQ=ηω(ωQ-θd)

(81)

存在一個(gè)未知的連續(xù)函數(shù)φQ(ZQ)，使得：

(82)

將實(shí)際控制律δe設(shè)計(jì)為：

(83)

選取如下Lyapunov函數(shù)

(84)

對(duì)上式求導(dǎo)，并綜合考慮Uθ和LzQ可得：

(85)

對(duì)式(85)兩邊同乘e-DQ1t并積分，可得：

(86)

(87)

3 仿真與分析

針對(duì)HFV動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行速度與高度的閉環(huán)仿真實(shí)驗(yàn)。速度與高度參考輸入均由圖3所示的二階參考模型給出。該二階參考模型的傳遞函數(shù)為[27]：

(88)

HFV飛行包線的剛體取值范圍可以見(jiàn)文獻(xiàn)[28]。 仿真中，HFV的初始狀態(tài)取值見(jiàn)表1。

通過(guò)MATLAB/Simulink搭建控制系統(tǒng)，采用步長(zhǎng)為0.01 s的四階Runge-Kuta法進(jìn)行驗(yàn)證控制方法的有效性。要求臨近空間巡航階段HFV在速度階躍Vd=100 m/s,高度階躍hd=100 m作用下?？刂迫蝿?wù)是要求系統(tǒng)輸出能夠準(zhǔn)確跟蹤給定的速度和高度參考指令并保證跟蹤誤差穩(wěn)定在預(yù)設(shè)的區(qū)域內(nèi)。為了檢驗(yàn)控制律的魯棒性，仿真中給HFV模型氣動(dòng)系數(shù)存在±40%的攝動(dòng)量，定義：

圖2 HFV控制結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Control structure of HFV

圖3 參考輸入二階模型結(jié)構(gòu)Fig.3 Second-order model structure of reference

表1 HFV的狀態(tài)初值

(89)

式中，C0表示HFV氣動(dòng)系數(shù)的標(biāo)稱值。

為了驗(yàn)證本文所提方法具有更好的使用價(jià)值，將保預(yù)設(shè)性能(Guarantee Prescribed Performance, GPP)方法與文獻(xiàn)[29]中神經(jīng)反演控制(Neural Network Backstepping, NNB)方法進(jìn)行對(duì)比仿真，仿真結(jié)果如圖4～9所示。在模型參數(shù)攝動(dòng)的情況下，本文設(shè)計(jì)的GPP方法能保證速度跟蹤誤差和高度跟蹤誤差的穩(wěn)態(tài)精度和較好的動(dòng)態(tài)性能，實(shí)現(xiàn)速度跟蹤誤差的小超調(diào)收斂和高度跟蹤誤差的零超調(diào)收斂。由圖4～5可知，與文獻(xiàn)[29]中的NBB方法相比，該控制器的速度和高度跟蹤誤差能更快地收斂到零，這表明該控制器比文獻(xiàn)[29]中的NBB方法具有更好的動(dòng)態(tài)性能；圖6～9顯示了兩個(gè)控制器的姿態(tài)角、彈性狀態(tài)和系統(tǒng)輸入都是平滑的，沒(méi)有高頻抖振。如此，設(shè)計(jì)的控制器可以保證速度跟蹤誤差的小超調(diào)收斂和高度跟蹤誤差的零超調(diào)收斂。同時(shí)，控制律對(duì)參數(shù)的存在具有魯棒性，控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)精度滿足預(yù)定性能的要求。

(a) 速度跟蹤曲線(a) Velocity tracking curve

(b) 速度跟蹤誤差(b) Velocity tracking error圖4 速度跟蹤響應(yīng)Fig.4 Velocity tracking performance

(a) 高度跟蹤曲線(a) Altitude tracking curve

(b) 高度跟蹤誤差(b) Altitude tracking error圖5 高度跟蹤響應(yīng)Fig.5 Altitude tracking performance

(a) 航跡角曲線(a) Path angle curve

(b) 俯仰角曲線(b) Pitch angle curve

(c) 俯仰角速度曲線(c) Pitch rate curve圖6 高度角曲線Fig.6 Altitude angle curve

(a) 第一彈性狀態(tài)(a) The first flexible state

(b) 第二彈性狀態(tài)(b) The second flexible state圖7 彈性狀態(tài)Fig.7 The flexible states

圖8 燃料空氣比Fig.8 Flue-to-air ratio

圖9 升降舵偏角Fig.9 Elevator declination

4 結(jié)論

本文在反演控制方法的結(jié)構(gòu)下，為HFV設(shè)計(jì)了一種保證預(yù)設(shè)性能的控制方法。通過(guò)引入預(yù)設(shè)性能函數(shù)來(lái)限定跟蹤誤差的預(yù)設(shè)范圍，控制律的設(shè)計(jì)基于HFV的非仿射模型，保證了預(yù)期的動(dòng)態(tài)性能。所設(shè)計(jì)的控制器不再需要精確的模型以及控制增益的信號(hào)，其魯棒性和實(shí)用性得到了很大的提升。通過(guò)引入動(dòng)態(tài)信號(hào)，克服了原模型中存在未建模的動(dòng)態(tài)，并引入一組指令濾波器，有效地規(guī)避了反演控制方法中的反復(fù)求導(dǎo)，運(yùn)用Lyapunov方法證明了所有閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。最后，數(shù)字仿真結(jié)果表明了所設(shè)計(jì)的控制器對(duì)參考信號(hào)跟蹤的準(zhǔn)確性及較好的可行性。