聶 芬，段曉君，劉易成

(國防科技大學(xué) 文理學(xué)院， 湖南 長沙 410073)

近年來，生物科學(xué)、信息科學(xué)、系統(tǒng)與控制科學(xué)等多個領(lǐng)域的研究者們都在關(guān)注多智能體系統(tǒng)如何合作和協(xié)調(diào),一致性問題作為多智能體系統(tǒng)之間合作協(xié)調(diào)的基礎(chǔ)，越來越受到研究者們的關(guān)注。在過去十年中，廣泛研究了二階多智能體系統(tǒng)的一致性問題。對于連續(xù)系統(tǒng)，Ren等[1]提出了二階一致性協(xié)議，得到系統(tǒng)在具有固定拓?fù)浜徒粨Q拓?fù)湎乱恢滦缘某浞謼l件。Xie等[2]解決了二階系統(tǒng)在無向圖具有固定拓?fù)浜颓袚Q拓?fù)鋾r的平均一致性問題。Yu等[3]、Zhu等[4]建立了一致性協(xié)議充要條件。對時滯二階系統(tǒng)，Yu等[5]討論了不需要速度測量的具有位置伴隨跟過去位置伴隨控制的一致性，得到系統(tǒng)無時滯不能一致，在選擇合適的時滯可以促成一致性的結(jié)論。Hou等[6]討論了一類二階系統(tǒng)，得到無時滯時系統(tǒng)一致的充要條件，以及系統(tǒng)達成一致能容忍的最大時滯。系統(tǒng)鄰接圖具有有向生成樹時，具有空間坐標(biāo)耦合的系統(tǒng)一致性問題得到解決[7]。劉易成等[8]討論了具有位置伴隨和速度伴隨的二階多智能體系統(tǒng)的三種集群模式。在控制系統(tǒng)中，通常情況下，智能體無法隨時獲取測量數(shù)據(jù)，通常會定期更新信息。因此，對離散系統(tǒng)的研究顯得尤為重要。Zhang等[9]研究了一類二階離散多智能體系統(tǒng)，得到系統(tǒng)在固定拓?fù)浜蛶яR爾可夫切換拓?fù)鋾r,系統(tǒng)二階一致性的充要條件。Lin等[10]通過模型變換和應(yīng)用非負(fù)矩陣的性質(zhì)，在一定假設(shè)條件下，只要鄰接圖的并集具有有向生成樹，系統(tǒng)可以容忍任意有界時間延遲，得到了系統(tǒng)二階一致性的充分條件。Xie等[11]利用雙線性變換，將二階離散時間多智能體系統(tǒng)的一致性問題轉(zhuǎn)化為多項式的Schur穩(wěn)定性問題，得到系統(tǒng)二階一致性成立的充要條件。具有時變拓?fù)浜蜁r變時滯的一致性問題得到了解決[12]，對有限傳輸時滯的離散系統(tǒng)，有限的傳輸時滯不影響離散二階一致性[13]。Cao等[14]得到了系統(tǒng)具有固定有向拓?fù)浜蜔o向拓?fù)鋾r的一致性結(jié)果。具有坐標(biāo)耦合的一致性問題，在選取合適采樣周期、阻尼因子和旋轉(zhuǎn)角，可實現(xiàn)不同的集群運動[15]。更多參考多智能體系統(tǒng)的一致性研究見隨機網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋄16-17]、非線性系統(tǒng)[18-20]、有限時間[18, 21-22]、數(shù)據(jù)采樣[23-25]等方面的研究。旋轉(zhuǎn)矩陣應(yīng)用于一致性的研究很少，旋轉(zhuǎn)矩陣在航天器姿態(tài)問題以及機器人技術(shù)等多個方面有著重要的應(yīng)用, 因此研究坐標(biāo)耦合的多智能體系統(tǒng)的一致性具有重要的理論價值及實際應(yīng)用價值。本文在以上基礎(chǔ)上，通過引入時滯，從連續(xù)系統(tǒng)出發(fā)，研究了一類具有坐標(biāo)耦合和處理時滯的二階離散多智能體系統(tǒng)的一致性，給出了在上一時刻位移伴隨和速度伴隨的共同作用下，得到具有空間坐標(biāo)耦合的集群系統(tǒng)的二階一致性的充要條件并進行了證明。針對旋轉(zhuǎn)角和離散步長等特征參數(shù)臨界性與一致性收斂分析的關(guān)系，設(shè)計案例進行了驗證，本文證明結(jié)論可為一致性分析提供重要判據(jù)。

1 處理時滯的離散二階模型

本文考慮n個智能體組成的二階連續(xù)系統(tǒng)：

(1)

其中：ri(t),vi(t)∈R3代表t時刻智能體i的位置和速度；ui(t)∈R3代表控制輸入。 對系統(tǒng)(1)設(shè)計控制輸入：

(2)

其中

τP是處理時滯(智能體處理數(shù)據(jù)的時間)，τT是傳輸時滯(信息從智能體傳至另一個智能體的時間)。為了規(guī)范化處理時滯，令t=τPs，Ri(s)=xi(τps),Vi(s)=vi(τps),系統(tǒng)(1)約束控制輸入式(2)得到以下形式：

(3)

得到式(3)的離散形式：

(4)

其中：Ri(k)=[xi(k),yi(k),zi(k)]T∈R3；Vi(k)=[vxi(k),vyi(k),vzi(k)]T∈R3，i=1,2,…,n,k=1,2,…；T為離散步長。 在現(xiàn)代通信條件下，處理時滯遠遠大于傳輸時滯，即τP?τT,在本文工作中，忽略傳輸時滯，僅考慮處理時滯，也就是在式(4)中令τp=τ≠0,τT=0,得到以下系統(tǒng)：

(5)

為描述多智能體系統(tǒng)最終形成的樣式，首先給出如下定義。

則稱多智能體系統(tǒng)式(5)二階一致性達成。

先給出后面會用到的基本概念和引理。

G=(V,E,A)是由n個節(jié)點組成的有限非空集合V={v1,v2,…,vn}上的有向圖，E?V×V是邊集，邊eij=(vj,vi)∈E意味著節(jié)點vi可以接受vj節(jié)點的信息。A是加權(quán)鄰接矩陣，A=[aij]n×n定義為aij≠0，如果eij∈E，aij=0；如果eij?E，進一步aii=0對所有i成立。 那么，多智能體系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)將由其對應(yīng)的有向圖G完全決定。 記拉普拉斯矩陣L=D-A，其中D=diag{c1,c2,…,cn}，ci=∑j≠iaij,i=1,2,…,n。

對于拉普拉斯矩陣的性質(zhì)，可以總結(jié)為以下引理。

引理1[25]若L為有向圖G對應(yīng)的拉普拉斯矩陣, 則有向圖G具有有向生成樹，當(dāng)且僅當(dāng)0是矩陣L的單根，并且非零特征值均具有正的實部。此外，存在各分量非負(fù)的p∈Rn使得pTL=0,pT1n=1，且L1n=0。即p與1n分別為矩陣L的零特征值所對應(yīng)的左特征向量與右特征向量。

對于三維空間中的旋轉(zhuǎn)矩陣C∈R3×3，若已知其旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角分別為a=[a1,a2,a3]T及θ∈[0,2π),以下引理給出旋轉(zhuǎn)矩陣C的特征值和對應(yīng)的特征向量的關(guān)系。

2 一致性理論判據(jù)及分析

本節(jié)將通過矩陣特征值分析的方法構(gòu)建多智能體系統(tǒng)式(5)的二階一致性判據(jù)。

記R(k)=[R1(k),R2(k),…,Rn(k)]T，V(k)=[V1(k),V2(k),…,Vn(k)]T, 可將多智能體系統(tǒng)式(5)化為矩陣形式：

令Z(k)=[R(k)T,R(k-1)T,V(k)T,V(k-1)T]T,將多智能體系統(tǒng)式(5)化為矩陣形式：

Z(k+1)=MZ(k)

(6)

其中，M是一個12n×12n階矩陣，即：

(7)

此外，記

可將多智能體系統(tǒng)式(5)化為誤差系統(tǒng)：

(8)

其中，W是一個12(n-1)×12(n-1)階矩陣，即：

其中

系統(tǒng)式(6)達成二階一致性當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)式(8)是漸進穩(wěn)定的。

引理3矩陣M如式(7)所定義，則0是拉普拉斯矩陣L的單根，當(dāng)且僅當(dāng)1是矩陣M的6重根。

證明：計算矩陣M的特征方程，則

det(λI12n-M)

當(dāng)i=1時，u1=0為矩陣L的單根，則

可知λ=0,1是特征方程的6重根。反過來，當(dāng)λ=1是特征方程的6重根，則

mij(1)=T2τ2uicj=0

由于T,τ,cj≠0，故ui=0為矩陣L的根，由充分性可知，ui=0為矩陣L的單根。

□

證明：引理的第一部分根據(jù)文獻[9]引理1可得，由引理3可知，

(9)

□

引理5若0是拉普拉斯矩陣L的單根，則0是矩陣L?C的3重根，1是矩陣M代數(shù)重數(shù)為6，幾何重數(shù)為3的特征值,1特征值相應(yīng)的右特征向量和廣義右特征向量分別為：

和

1特征值相應(yīng)的廣義左特征向量和左特征向量分別為：

其中，l=1,2,3。

證明：由克羅克內(nèi)積性質(zhì)可知，若0是拉普拉斯矩陣L的單根，則0是矩陣L?C的3重根，由引理4可知，1是矩陣M的特征值，代數(shù)重數(shù)為6。

可得：wa+Tτwc=wa;wa=wb;-TτL?Cwb+wc-TτγL?Cwd=wc;wc=wd。

□

接下來，需要一個三階復(fù)系數(shù)方程

x3+c1x2+c2x+c3=0

(10)

穩(wěn)定的判據(jù)，其中ci=ai+bii，ai，bi∈R，i=1,2,3。

定理1系統(tǒng)式(5)達成二階一致性，當(dāng)且僅當(dāng)矩陣M的1特征值代數(shù)重數(shù)是6，幾何重數(shù)是3，矩陣M的其余特征值在單位圓內(nèi)，特別地，如果二階一致性達成，則有下式成立：

其中，R∞=(pT?I3)R(0),V∞=(pT?I3)V(0)，p=(p1,p2,…,pn)T是拉普拉斯矩陣L的0特征值的左特征向量，且滿足pi≥0,i=1,2,…n,pT1n=1。

證明(充分性)：由引理5，存在一個非奇異矩陣P∈R12n×12n使得：

所以

即

(必要性)通過反證法來證明，假設(shè)矩陣M的1特征值代數(shù)重數(shù)為6，幾何重數(shù)為3，矩陣M的其余特征值在單位圓內(nèi)這一條件不滿足。由于矩陣L至少有一個0特征值，由引理3，矩陣M至少有6個1特征值，代數(shù)重數(shù)為6，幾何重數(shù)為3，所以，有以下三種情況需要討論：

第一種情況：矩陣M的1特征值代數(shù)重數(shù)是6，幾何重數(shù)是3，存在至少一個特征值不在單位圓內(nèi)；

第二種情況：矩陣M的1特征值代數(shù)重數(shù)大于6，其余特征值均在單位圓內(nèi)；

第三種情況：矩陣M的1特征值代數(shù)重數(shù)大于6，還至少存在一個1特征值不在單位圓內(nèi)。

對第一種情況，由引理4，若矩陣M有一個特征值不在單位圓內(nèi)，則矩陣W也有一個特征值不在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)式(8)的漸進穩(wěn)定性不能達成，系統(tǒng)式(6)的二階一致性不能達成，與已知矛盾。同樣可以證明第二、三種情況。

□

定理1中的代數(shù)條件不容易被驗證。對于一個給定的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，提出了如下選擇定理來選擇適當(dāng)?shù)目刂茀?shù)和離散步長，確保達成二階一致性。

定理2令T,τ>0,系統(tǒng)式(5)達成二階一致性，當(dāng)且僅當(dāng)有向圖G具有有向生成樹，同時滿足以下條件：

(11)

證明(充分性)：若系統(tǒng)式(5)能達成二階一致性，由定理1可知，矩陣M的1特征值代數(shù)重數(shù)為6，幾何重數(shù)為3，其余特征值均在單位圓內(nèi)，由引理3，拉普拉斯矩陣L的0特征值為單根，也就是說，有向圖G具有有向生成樹。

定義

(12)

固定i，容易得到：

由引理4，式(12)所有根具有負(fù)實部對i=2,3,…,n，當(dāng)且僅當(dāng)條件式(11)成立，所以充分性成立。

(必要性)若條件式(11)成立，式(12)的所有根在單位圓內(nèi)對i=2,3,…,n成立，由引理4可知，矩陣M的特征值除0和1以外，都在單位圓內(nèi)。此外，由于有向圖G具有有向生成樹，可知拉普拉斯矩陣L的特征值0是單根，由引理3可知，矩陣M的1特征值的代數(shù)重數(shù)是6，幾何重數(shù)是3，由定理1可知，系統(tǒng)式(5)會達成二階一致性。

□

3 算例

本節(jié)通過數(shù)值模擬驗證本文的主要結(jié)論，并對結(jié)論的應(yīng)用場景進行分析。

例1假設(shè)智能體數(shù)n=4，反映系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的拉普拉斯矩陣L選取為如下形式：

初始位置R(0)和初始速度V(0)選取如下：

R(0)=(4,2,9,1,4,1,3,4,6,3,6,7)

V(0)=(7,8,7,4,7,2,7,0,3,0,1,8)

經(jīng)過計算可知，矩陣L的特征值為u1=0,u2=0.952 5,u3=1.673 7+0.469 1i,u4=1.673 7-0.469 1i。矩陣L的0特征值的左特征向量為(0.250 2,0.191 1,0.458 7,0.100 1)，由定理1可知，達成二階一致性后，最終速度值為(5.726 2,3.439 2,4.309 9)。由定理2可知，當(dāng)T=0.01,τ=3,γ=2,θc=57.139 3°為系統(tǒng)臨界值。當(dāng)θ(50°)<θc(57.139 3°)時，計算可知，當(dāng)i=2,3,4,Ai(0.01,3,2)>0,Bi(0.01,3,2,50)>0，Ci(0.01,3,2,50)>0滿足條件式(11),由定理2可知，系統(tǒng)式(5)將達成二階一致性，如圖1所示。而當(dāng)θ(60°)>θc(57.139 3°)時，通過直接計算可知，當(dāng)i=3,C3(0.01,3,2,60)<0不滿足條件式(11),由定理2可知,系統(tǒng)式(5)發(fā)散,如圖2所示。

(a) x軸方向速度(a) Velocity in x-axis

(b) y軸方向速度(b) Velocity in y-axis

(c) z軸方向速度(c) Velocity in z-axis圖1 n=4,θ<θc時的速度收斂Fig.1 Velocity convergence when n=4,θ<θc

(a) x軸方向速度(a) Velocity in x-axis

(b) y軸方向速度(b) Velocity in y-axis

(c) z軸方向速度(c) Velocity in z-axis

圖2n=4,θ>θc時的速度收斂
Fig.2 Velocity convergence whenn=4,θ>θc

例2在數(shù)值模擬中假設(shè)智能體數(shù)n=30，構(gòu)建系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的拉普拉斯矩陣L選取為如下形式：

初始位置和初始速度?。?/p>

R(0)=(8,9,1,9,6,1,3,5,10,10,2,10,10,5,8,1,4,9,8,10,7,0,8,9,7,8,7,4,7,2,7,0,3,0,1,8,7,3,10,0,4,4,8,8,2,5,4,6,7,8,3,7,7,2,1,5,10,3,6,2,8,3,5,7,9,10,5,1,1,3,8,3,8,2,9,3,2,3,6,5,4,8,6,5,9,3,8,8,4,6)

V(0)=(5,3,7,2,7,2,4,6,8,1,9,8,5,4,4,3,5,5,8,8,6,4,8,5,4,9,9,6,6,6,2,3,5,2,8,2,2,2,2,4,3,9,4,2,9,10,4,1,3,4,6,3,6,7,2,1,3,3,4,5,1,3,8,0,9,7,5,6,2,5,10,5,5,2,5,6,7,4,4,10,0,9,9,8,1,3,3,7,1,7)

經(jīng)過計算可知，當(dāng)i=1時，矩陣L的特征值u1=0,當(dāng)2≤i≤30時，矩陣L的特征值Re(ui)>0，系統(tǒng)具有有向生成樹，由定理2可知，T=0.01,τ=3,γ=2,θc=40.547 3°為系統(tǒng)臨界值。當(dāng)θ(40°)<θc(40.547 3°)時，計算可知，當(dāng)i=2,…,30，Ai(0.01,3,2)>0,Bi(0.01,3,2,40)>0，Ci(0.01,3,2,40)>0成立,由定理2可知，系統(tǒng)式(5)將達成二階一致性，如圖3所示。假設(shè)在執(zhí)行任務(wù)的過程中，智能體7和23損毀，導(dǎo)致系統(tǒng)拉普拉斯矩陣第7、23列數(shù)據(jù)全部變成0，影響智能體16收不到所有智能體所發(fā)的信息，破壞了系統(tǒng)有向生成樹的結(jié)構(gòu)，即使與圖3取同樣的參數(shù)值，系統(tǒng)式(5)仍發(fā)散，如圖4所示。另外,如果是智能體6和22損毀,沒有破壞系統(tǒng)有向生成樹的結(jié)構(gòu)，則不影響群體的性能。取與圖3同樣的參數(shù)值，系統(tǒng)式(5)收斂，如圖5所示。

(a) x軸方向速度(a) Velocity in x-axis

(b) y軸方向速度(b) Velocity in y-axis

(c) z軸方向速度(c) Velocity in z-axis圖3 n=3,θ<θc時的速度收斂Fig.3 Velocity convergence when n=3,θ<θc

(a) x軸方向速度(a) Velocity in x-axis

(b) y軸方向速度(b) Velocity in y-axis

(c) z軸方向速度(c) Velocity in z-axis圖4 智能體7，23損毀后的速度發(fā)散Fig.4 Velocity divergence when agent 7 and 23 were damaged

(a) x軸方向速度(a) Velocity in x-axis

(b) y軸方向速度(b) Velocity in y-axis

(c) z軸方向速度(c) Velocity in z-axis圖5 智能體6，22損毀后的速度收斂Fig.5 Velocity convergence when agent 6 and 22 were damaged

4 結(jié)論

本文討論了帶坐標(biāo)耦合和處理時滯的二階離散多智能體系統(tǒng)的一致性問題，證明了當(dāng)0是拉普拉斯矩陣的單根時，旋轉(zhuǎn)角小于由代數(shù)方程確定的臨界值時，系統(tǒng)會出現(xiàn)二階一致性；而旋轉(zhuǎn)角、離散步長大于臨界值時, 系統(tǒng)發(fā)散。本文針對特征參數(shù)的臨界值結(jié)論，可為控制領(lǐng)域一致收斂分析提供理論支撐。