陶志煒，王 書，任益充，饒瑞中

(1. 中國科學技術大學 環(huán)境科學與光電技術學院， 安徽 合肥 230022；2. 中國科學院 安徽光學精密機械研究所 大氣光學重點實驗室， 安徽 合肥 230031；3. 中國科學技術大學 研究生院科學島分院， 安徽 合肥 230026)

雷達技術經(jīng)過半個世紀的發(fā)展，所擔負的使命越來越重，與此同時也面臨著電子技術干擾，隱身技術的嚴峻挑戰(zhàn)[1]。量子信息技術的迅速發(fā)展，為突破經(jīng)典信息處理方式提供了新思路?，F(xiàn)有經(jīng)典雷達無論在分辨率、靈敏度還是抗干擾能力方面都亟須進一步提高。

受經(jīng)典電磁理論的限制，經(jīng)典雷達的分辨率、靈敏度以及抗干擾能力很難完成日益苛刻的任務需要，研究人員從調制載體和檢測技術出發(fā)，以量子理論為基礎結合遙感探測技術突破經(jīng)典雷達所面臨的技術瓶頸。與經(jīng)典雷達相比較而言，量子雷達具有超分辨率[2]、超靈敏度[3]以及量子散射截面等諸多優(yōu)勢，這使得量子雷達在軍事、工程等領域都有著十分廣泛的應用。

量子雷達對大氣層內目標探測的過程中，大氣中廣泛存在的氣溶膠、粉塵等非球形粒子對光子進行吸收和散射，從而導致光子的損耗。隨機分布的溫度、風速產(chǎn)生10-3～103m尺度的漩渦，從而使得光場傳輸過程中會出現(xiàn)相位起伏、光強閃爍、光束擴展和漂移等大氣湍流效應，大氣湍流的存在導致量子光場失去其量子特性，蛻化為經(jīng)典光場，從而使得量子雷達失去其獨特的性質，因此研究大氣湍流效應對于量子雷達的影響十分重要[4-5]。

除此之外，量子度量理論指出，相位靈敏度極限由輸出端的量子Fisher信息決定，因此根據(jù)Cramer-Rao極限給出最大靈敏度邊界十分重要。Caves[9]提出no-go定理，指出如果向平衡MZI一端輸入真空態(tài)和另一端輸入何種量子態(tài)以及采用何種測量方案，靈敏度極限都不會突破SNL。Takeoka等[10]對no-go定理做出了修正，認為no-go定理只有在干涉儀兩臂都存在未知相移才成立，但在干涉儀單臂存在未知相移則可能會突破SNL。Jarzyna等[11]指出干涉裝置需要額外的參考相位才能給出正確的量子Fisher信息。

目前，學術界對于量子雷達的方案設計及性能進行了較為系統(tǒng)的研究，已有研究僅局限于大氣損耗的影響，而對于大氣湍流引起的相位起伏對量子雷達影響機理的研究則較為匱乏；此外，任何不受相位起伏影響的量子態(tài)，都不能用于量子雷達的相位估計，因此考慮相位起伏的影響十分必要。

本文首先討論相干態(tài)量子干涉雷達的相位估計原理，并在合理的近似下可以將湍流大氣引起的相位起伏效應作為相位擴散通道主方程進行處理，給出光場在大氣相位擴散通道中的演化過程并討論相位擴散速率對量子干涉雷達的影響。隨后，在此模型的基礎上研究了大氣湍流引起的相位起伏對于相位估計分辨率和靈敏度以及對靈敏度極限的影響。研究發(fā)現(xiàn)：增加單個脈沖平均光子數(shù)可有效地克服相位起伏對分辨率的影響；大氣相位起伏會導致最佳靈敏度偏離SNL，采用脈沖平均光子數(shù)較小的光源在一定程度上能提高相位的靈敏度；通過與靈敏度極限的對比，發(fā)現(xiàn)在弱相位起伏情況下，宇稱探測是一種準最佳探測方案。

1 量子雷達相位估計原理

量子干涉雷達的結構示意圖如圖1所示，它的物理模型為標準Mach-Zehnder干涉儀。其中一端輸入信號為探測光，用于對遠程目標的探測和掃描，另一端輸入信號為本地參考光，由于探測光一臂與參考光一臂光程不同，會產(chǎn)生一定的相位差，隨后兩束光再次經(jīng)過分束器的時候會產(chǎn)生干涉，并用探測器對兩束光進行相干檢測，從而可得到目標的距離信息。

圖1 標準MZI物理模型(不考慮相位擴散)Fig.1 Physical model of standard MZI (phase diffusion without consideration)

(1)

對于線性相位通道來說，為了計算簡便，假設干涉臂之間的相位差為ψ，相移對稱分布在干涉臂的兩側。因此經(jīng)過相移之后，雙模相干態(tài)變?yōu)椋?/p>

(2)

(3)

(4)

2 相位起伏對相位估計的影響

上節(jié)簡單地介紹了量子雷達在理想情況下(Γa=0)的相位估計原理，但是在實際應用中回波信號往往需要考慮大氣湍流的作用。本節(jié)將全面分析大氣湍流引起的相位起伏對相位估計的影響。

由于大氣湍流是具有一定結構，一定流形的隨機場，從而使得光場傳輸過程中會出現(xiàn)相位起伏、光強閃爍、光束擴展和漂移等大氣湍流效應。文獻[17]指出了光場經(jīng)過大氣傳輸相位每一點存在高斯隨機起伏，但是任意兩點之間的相位存在一定的關聯(lián)。如圖2所示，當ω0?r0時，光場任意兩點之間的相位可以看成是統(tǒng)一的，這時只關注單一路徑下光束在大氣湍流中傳輸時的點起伏效應。

假設大氣湍流引起相位起伏發(fā)生在a模經(jīng)過反射鏡和第二次BS干涉之間，下面采用相位擴散主方程描述大氣湍流引起的相位起伏效應。單模連續(xù)變量系統(tǒng)相位擴散主方程為[13,18-25]：

(5)

其中，Γ代表相位擴散率，上述主方程具有如下形式解[19]：

(6)

(7)

其中，κ0為湍流外部尺度的臨界波數(shù)。因此ω0?r0時，激光在湍流大氣中的相位起伏現(xiàn)象可近似看成相位擴散過程，可由相位擴散通道主方程(5)近似描述，上述主方程的解可表示為[27]：

(8)

因此a模經(jīng)過相位起伏之后變?yōu)椋?/p>

(9)

βkβ*mγpγ*q|k-i+j,p-j+i〉〈m-r+s,q-s+r|

(10)

(11)

圖2 大氣相位起伏光線模型Fig.2 Atmospheric phase fluctuation light model

(a) N=1

(b) N=4

(c) N=16

(d)N=32圖3 大氣相位起伏對測量信號包絡圖的影響Fig.3 Effect of atmospheric phase fluctuation on the measurement signal envelope diagram

(12)

3 宇稱探測下相位起伏對分辨率和靈敏度的影響

分辨率是衡量雷達性能的一個重要指標，干涉信號條紋的分辨率取決于測量信號的半高全寬[14]，即Δx∝FWHM×λ/2π。圖4(a)給出了不同相位擴散速率情況下FWHM隨N的變化曲線，其中帶有形狀的線表示一階近似的結果，反之表示數(shù)值計算的結果?？梢钥闯?，當Γa和N較小時，數(shù)值計算與一階近似結果基本吻合，反之則不然，這與前文分析結果一致；當Γa和N較大時，大氣相位起伏嚴重影響量子干涉雷達的分辨率。為了消除這種影響，圖4(b)給出了不同平均光子數(shù)下FWHM隨Fried參數(shù)的變化曲線，可以看出，相位起伏所帶來的影響可以通過增加單個脈沖的平均光子數(shù)來彌補。

靈敏度是衡量雷達探測目標信息精度的另一個重要指標，圖5給出了不同相位擴散速率情況下，Δψ隨ψ的變化情況，可以看出當Γa=0時，Δψ的最小值在0處取得，Γa≠0時，Δψ的最小值在ψ≠0處取得，這說明相位擴散速率動態(tài)地改變相位估計的靈敏度。此外，還注意到當相位擴散速率較小時，Δψmin隨N的增大單調遞減，當Γa=0.1，即相位擴散速率較大時，這時Δψmin隨N的增大先遞減后遞增。

圖6給出了不同平均光子數(shù)情況下Δψmin隨r0的變化曲線，當N較小時，大氣相位起伏對于Δψmin的影響較小，反之Δψmin則受r0的影響較大，這是由于光子數(shù)較大時相位起伏引起的信號衰減加劇造成的。當r0較大，即大氣相位起伏較弱時，平均光子數(shù)的增加會增加量子干涉雷達的靈敏度；反之r0較小時，使用單個脈沖平均光子數(shù)較小的光源能在一定程度上提高雷達的靈敏度。

(a) 不同相位擴散下FWHM隨N的變化曲線(a) Variation curve of FWHM with N under different phase diffusions

(b) 不同平均光子數(shù)下FWHM隨Fried參數(shù)的變化曲線(b) Variation curve of FWHM with Fried parameters under different average photon numbers圖4 大氣相位起伏對FWHM的影響Fig.4 Effect of atmospheric phase fluctuation on FWHM

(a) Γa=0

(b) Γa=10-4

(c) Γa=10-2

(d) Γa=0.1圖5 大氣相位起伏對宇稱探測線性相位估計靈敏度的影響Fig.5 Effect of atmospheric phase fluctuation on the sensitivity of linear phase estimation using parity detection

圖6 Fried參數(shù)對最佳靈敏度的影響Fig.6 Effect of Fried parameters on optimal sensitivity

4 相位起伏對靈敏度極限的影響

圖7 不同相位起伏下最佳靈敏度和靈敏度極限隨光子數(shù)變化log-log圖Fig.7 Log-log diagram of optimal sensitivity and sensitivity limit with photon number under different phase diffusions

此外，圖7對比了通過宇稱探測計算的最佳靈敏度和量子Fisher信息計算的靈敏度極限與平均光子數(shù)之間的關系?？梢钥闯?，當Γa=0時，宇稱探測的結果達到散粒噪聲極限；當Γa較小時，即弱相位起伏情況下，宇稱探測結果接近CRL，隨著Γa的增大，宇稱探測結果偏離CRL，這時宇稱算符并非最佳探測算符，這意味著存在其他探測方案能夠更好地克服相位起伏的影響。

5 結論

本文首先介紹了量子雷達的特點及其獨特的優(yōu)勢，并給出不存在大氣相位起伏情況下相位估計的原理以及量子度量理論在相位估計靈敏度極限方面的應用，指出大氣中存在的損耗、光強起伏以及相位起伏會對其自身特點造成一定的影響，并以MZI及相位擴散主方程作為理論模型，詳細分析了相位起伏對相位估計的影響。研究發(fā)現(xiàn)，相位起伏將造成脈沖信號半高寬的增加，從而降低探測的分辨率，通過增加脈沖平均光子數(shù)即可克服此不良影響。此外，相位起伏的增加會使得最佳靈敏度遠離SNL，通過適當增加平均光子數(shù)可在一定程度上提高相位估計的靈敏度。最后對比CRL給出的靈敏度極限與宇稱探測給出的最佳靈敏度之間的關系，發(fā)現(xiàn)在無噪聲和弱相位起伏下，宇稱探測是一種準最佳的探測手段，在強起伏情況下，宇稱探測的最佳靈敏度和CRL尚有一定的距離，這說明應尋找其他更好的探測方案來克服相位起伏的影響。