馬英泰

(青海建筑職業(yè)技術學院建筑工程系，青海 西寧 810012)

隨著國民經(jīng)濟水平的不斷提高及建設規(guī)模的增大，與經(jīng)濟建設息息相關的各行各業(yè)幾乎都涉及到大量的邊坡問題，因此正確評價邊坡的穩(wěn)定性，對于確保生產(chǎn)建設的順利進行及人民財產(chǎn)安全具有重要意義。作為一個自然災害較為嚴重的國家，我國的地震呈現(xiàn)區(qū)域分布范圍廣、頻率高等特點，這些特性使得地震誘發(fā)的邊坡失穩(wěn)成為主要的地震地質災害類型。雖然目前對于邊坡的靜力學穩(wěn)定(如靜荷載、開挖等靜力問題對邊坡的穩(wěn)定性分析及影響)研究較多并已取得較多成果，在工程應用中也得到了大范圍推廣，但對邊坡地震動力學穩(wěn)定性的分析研究相對較少，且已有研究大多是針對抗震設防方面的，其穩(wěn)定性分析方法較為單一、簡單，主要以靜力學極限平衡法為主。為彌補這方面的缺陷，本文以彈性波動理論為基礎，考慮不同地震作用下的動荷載效應，建立地震作用下邊坡響應的相關波動方程，從而評價地震動力荷載對邊坡穩(wěn)定性的影響，以期為解決邊坡動力問題提供參考[1-4]。

1 波動理論

依據(jù)波場分解理論可知：假設地震波從底面垂直向上入射，在邊坡的底面和2個側面的法向和切向臨空面可視為分別在邊坡的底面和2個側面設置了不同振動條件的黏性阻尼器和彈簧。正確實現(xiàn)波動輸入的方法就是使在邊界上施加荷載后的黏性阻尼器、彈簧的應力和位移狀態(tài)與實際狀態(tài)相符。

1.1 側面的波動輸入

對于側邊界上任一點P而言，總的應力和位移應為自由波場在P點引起的應力和位移與散射波場在P點引起的應力和位移之和，即

σm=σf+σs

(1)

um=uf+us

(2)

式中:σm，um分別為總的位移和應力；σf，uf分別為自由場中P點引起的位移和應力；σs，us分別為散射場P點引起的位移和應力[5]。假設在P點施加的應力為FP，考慮到散射波的應力應滿足黏彈性人工邊界條件，并將式(1)、(2)代入，則這時P點的應力邊界條件為：

(3)

式中：α為邊界系數(shù)；G為邊界單元塊體的土粒比重；R為波傳播后的衰減半徑；ρ為邊界單元塊體的土體重度；c為土體的黏聚力。

將式(3)整合后可得：

(4)

設側邊界法線方向為x軸，則在側邊界上P點沿3個方向應施加的應力為：

(5)

1.2 底邊界上的波動輸入

同理，在底邊界上Q點沿3個方向應施加的應力為：

(6)

2 動力荷載方程的建立及求解

考慮上述人工黏彈性邊界條件以及巖質邊坡的自身變形特點，可將巖質邊坡視為彈性體。基于彈性力學的相關理論，對地震作用下的邊坡動力響應進行理論分析。將含有邊坡的山體結構簡化為一個等腰三角形，如圖1所示，其中山體高度為h，頂部角度為α。

圖1 山體邊坡簡化示意圖

考慮上述人工黏彈性邊界條件，可將邊坡對地震荷載的動力響應問題等效成邊坡在邊界條件下的彈性力學問題，可將巖質邊坡體視為各向同性彈性體，然而由于邊坡多為不規(guī)則結構，直接求解較為困難，因此需要采用一種新的方法進行分析。

在山體的底部構造一個虛擬的半圓形邊界，如圖2所示。利用該虛擬邊界將山體“一分為二”，根據(jù)巖質邊坡的構造特性，可將邊坡下部及其周邊區(qū)域定義為A區(qū)，將邊坡的上體部分定義為B區(qū)，其公共邊界設為S。為了方便求解，在邊坡底部中心和頂點處分別建立兩個坐標系，令x軸正方向為水平地表法向向下方向。

圖2 模型分區(qū)示意圖

以此為基礎，利用彈性波動力學相關理論在A區(qū)和B區(qū)兩個區(qū)域內分別構造動荷載函數(shù)，然后在公共邊界S上利用邊界條件建立方程組求解，獲得在地震動力荷載下巖質邊坡的穩(wěn)定系數(shù)。

2.1 動荷載方程的建立

文獻[6]中各向同性均勻連續(xù)介質地震波的控制方程為

式中：W為土體重度；x為水平向位移；y為豎向位移；cs為介質的剪切波速；t為響應時間?？紤]穩(wěn)態(tài)問題，將上述各向同性均勻連續(xù)介質地震波的控制方程轉化為平面極坐標的形式，可得

(7)

式中：r為極坐標下極向位移；θ為極坐標下角度變化量；k=ω/cs，其中ω為圓頻率。

利用分離變量法對式(7)進行求解，求得其通解式為

W=(AJn(kr)+BYn(kr))(Csin(nθ)+Dcos(nθ))

(8)

式中：A,B,C,D為待求常數(shù)；Jn(kr)和Yn(kr)分別為n階的第一類和第二類Bessel函數(shù)。

2.1.1A區(qū)動荷載方程的建立

由1中地震波底部傳播方式可知，地震波入射到A區(qū)時振幅可表示為

(9)

式中：W1為波的二次傳導后振幅；W0為波函數(shù)的最大幅值(后面計算中將其取為1，因此略去)；ε2n為地震波底部傳播條件下的應變；J2n(kr)為2n階的第一類Bessel函數(shù)；J2n+1(kr)為(2n+1)階的第一類Bessel函數(shù)β為地震波的入射角。

(10)

式中：εm為地震波反射m次后的應變，ε0=1，εm=2(m≥1時)，其中m為反射次數(shù)(如m=0則說明不反射，該情況在彈性邊界中不存在)；Jm(k|z|)為反射m次后的Bessel函數(shù)。

復平面內應力τrz的表達式為

(11)

則入射波、反射波對應的應力τ1為

(12)

其中

(13)

(14)

(15)

其中

(16)

式中：τ2為該應力條件下的剪應力。

2.1.2B區(qū)動荷載方程的建立

由于B區(qū)內存在波的多次反射和疊加，波形復雜，常規(guī)方法難以求解，因此需要引入駐波的概念進行進一步計算。假設B區(qū)內只存在一種駐波，其產(chǎn)生的效果和多種波反射疊加后的效果等效。B區(qū)內的駐波函數(shù)應該滿足在邊坡上應力自由的邊界條件，即

(17)

式中：τθz為剪應力。

(18)

(19)

相應的應力τ3為：

(20)

其中Amγ(z+h)的表達式見式(7)。

2.2 動荷載方程的求解

如此得到了兩個區(qū)域內波函數(shù)的表達式，由于S是一個虛擬的邊界，實際上在邊界S上應該有位移和應力的連續(xù)條件，因此建立方程組

(21)

將構造的波函數(shù)表達式代入式(21)，對方程進行傅里葉變換，得到兩個無窮代數(shù)方程組，求解該方程組，最后得到兩組未知系數(shù)Am和Bm。

3 邊坡穩(wěn)定性分析

將2中求得的未知系數(shù)代入位移和應力表達式中，可得到各區(qū)域的位移幅值變化情況。

假設A區(qū)半圓形邊界的半徑為R，入射波的波長為λ，則有入射波的波數(shù)η=2R/λ。為研究不同的地震載荷對邊坡穩(wěn)定性的影響特性(即研究不同的波數(shù)和入射角與邊坡坡面位移幅值之間的關系)，分別以邊坡頂角為60°、90°和120°為例，地震波在邊坡的左邊分別以水平和垂直方式入射，位移幅值變化情況如圖3所示。其中y/R=0對應邊坡的頂部，y/R=±1對應邊坡與水平面的相交位置。

圖3為不同的地震波載荷和入射角情況下的邊坡響應情況，其中橫坐標對應邊坡上的不同位置，縱坐標為不同位置對應的位移放大系數(shù)。通過分析位移放大系數(shù)，可得到地震載荷作用下邊坡的穩(wěn)定性。

圖3 邊坡地表位移幅值圖

1)如圖3(a)所示，當波數(shù)較小時，地表位移也相對較小，此時類似于準靜態(tài)問題，邊坡整體位移放大系數(shù)約為2.0。

2)隨著波數(shù)的不斷增大，地表位移的變化越來越劇烈。位移放大系數(shù)最大值出現(xiàn)在η=1.0時60°邊坡的頂點處，約為5.5。

3)地震波垂直入射時，地表位移呈對稱分布，其最大值在邊坡頂部；地震波水平入射時，地表位移的最大值始終出現(xiàn)在邊坡迎向地震波的坡腳處。

4)邊坡角度對位移的變化趨勢影響不大，但是角度越小，其變化越劇烈。

4 結論

本文以彈性波動理論為基礎，考慮不同地震作用下的動荷載效應，建立地震作用下邊坡響應的相關動荷載方程，分析了不同的地震荷載對邊坡的影響特性，得到以下結論：

1)利用公共邊界上的連續(xù)條件建立方程組，通過動力學方法求解得到了地震波以不同波數(shù)、入射角入射條件下的邊坡響應情況，從而進一步評價了地震動力荷載對邊坡的穩(wěn)定性影響。

2)研究結果顯示地震波波數(shù)、入射角等都會對邊坡響應產(chǎn)生不同程度的影響。

3)研究結果可為解決邊坡動力問題提供參考依據(jù)。

除此之外，邊坡形態(tài)、坡體材質等因素都會對邊坡的響應情況產(chǎn)生不同的影響，以后將進一步進行研究。