梁素梅 陳娜

摘要：通過對鋼鐵企業(yè)中受鐵罐轉爐兌鐵作業(yè)物流過程的解析，在排隊論的基礎上，分別建立了轉爐兌鐵作業(yè)的單隊列和多隊列排隊系統(tǒng);計算出兩種排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標;并討論了轉爐數(shù)量對平均等待受鐵罐數(shù)（包括節(jié)省的）和受鐵罐平均等待服務時間（包括節(jié)省的）的影響。研究表明單隊列（M/M/N）的排隊系統(tǒng)可為鋼鐵企業(yè)物流優(yōu)化提供理論參考。

Abstract： Based on the analysis of? hot metal charging ladle's operation logistics process in the iron and steel enterprises， on the basis of the queuing theory， the single-queue and multi-user queuing systems of hot metal charging ladle operation were established respectively; the main quantitative indicators of the two queuing systems were calculated. And it discussed the impact of the number of hot metal charging on the average waiting for the number of hot metal ladles （including savings） and the average waiting time for hot metal ladles （including savings）. Research shows that the single queue can provide theoretical reference for the steel enterprises' material flow optimization.

關鍵詞：高爐-轉爐區(qū)段;兌鐵;排隊論;M/M/N

Key words： BF-BOF region;hot metal charging;queuing theory;M/M/N

中圖分類號：F426? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1006-4311（2020）02-0105-04

0? 引言

隨著產鋼量的迅速增長，進一步節(jié)約能源，降低生產和經營成本，儼然成為各鋼鐵企業(yè)優(yōu)先考慮的問題。鋼鐵企業(yè)中從總體上研究鋼鐵廠內部結構的新思路被不少有識之士提出，也就是說在開發(fā)和采用鋼鐵生產新技術的同時，從宏觀分析鋼鐵企業(yè)生產流程。從而可對鋼鐵企業(yè)流程進行整體優(yōu)化和節(jié)能增效。鮮少涉及用數(shù)學方法分解和研究鋼鐵企業(yè)各物流環(huán)節(jié)。在此思路下本文通過對國內某大型鋼鐵企業(yè)中受鐵罐轉爐兌鐵作業(yè)環(huán)節(jié)進行物流分析，在排隊論的基礎上，分別建立了轉爐兌鐵作業(yè)的單隊列和多隊列排隊系統(tǒng);計算出兩種排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標;并對轉爐數(shù)量與平均等待受鐵罐數(shù)（包括節(jié)省的）和受鐵罐平均等待服務時間（包括節(jié)省的）關系進行討論。

1? 理論分析

1.1 受鐵罐轉爐兌鐵作業(yè)排隊系統(tǒng)

受鐵罐轉爐兌鐵作業(yè)實質上是一個排隊系統(tǒng)，其基本結構由受鐵罐、轉爐兌鐵和排隊規(guī)則三個部分組成。受鐵罐轉爐兌鐵排隊系統(tǒng)的主要成分是受鐵罐和轉爐。在此作業(yè)環(huán)節(jié)中，受鐵罐可看成排隊系統(tǒng)中的輸入過程，一開始受鐵罐在汽車的運輸或火車頭的牽引下成批到達各個調車場排隊等待調派到轉爐兌鐵，然后受鐵罐到達檢罐站排隊等待檢罐，受鐵罐車檢罐完后按隊列在轉爐處接受兌鐵。

1.2 單多隊列的排隊系統(tǒng)的數(shù)學指標

在受鐵罐轉爐兌鐵作業(yè)排隊系統(tǒng)中，“單隊列多轉爐兌鐵”的排隊方式即M/M/N（見圖1）：受鐵罐單個到達，相繼到達轉爐的時間間隔服從參數(shù)為λ的負指數(shù)分布;受鐵罐在每個轉爐的兌鐵時間服從參數(shù)為μ的負指數(shù)分布且相互獨立;共有N個轉爐對受鐵罐進行兌鐵。和“多隊列多轉爐兌鐵”的排隊方式是指N個M/M/1（見圖2）的排隊系統(tǒng)：只有一個轉爐對受鐵罐進行兌鐵時就是 M/M/1;N個M/M/1是指：有N個獨立的轉爐兌鐵（M/M/1）排隊系統(tǒng)。

通過上述排隊論的相關知識可知：表示系統(tǒng)M/M/1和M/M/N在t時刻的受鐵罐數(shù)。則{N1（t），t？叟0}，{N2（t），t？叟0}均是狀態(tài)有限的生死過程，平穩(wěn)解存在[1，2]。假設受鐵罐泊松到達的參數(shù)是？姿，轉爐兌鐵時間參數(shù)是？滋，現(xiàn)在給出這兩種排隊系統(tǒng)的主要穩(wěn)定態(tài)數(shù)學指標。

1.2.1 受鐵罐單隊多轉爐兌鐵排隊系統(tǒng)（M/M/N）

受鐵罐單隊多轉爐兌鐵排隊系統(tǒng)：受鐵罐單個到達，相繼到達轉爐的時間間隔服從參數(shù)為λ的負指數(shù)分布，此排隊系統(tǒng)中共有N個轉爐可以對受鐵罐進行兌鐵，每個轉爐兌鐵時間服從參數(shù)為μ的負指數(shù)分布且彼此獨立。一旦有受鐵罐到達，則空閑的轉爐就對受鐵罐進行兌鐵，不然則排成一個等待時間為無限的隊列等待兌鐵。其次對此排隊系統(tǒng)的平穩(wěn)分布進行討論。對個數(shù)為N的多轉爐兌鐵排隊系統(tǒng)，有M/M/N：設轉爐兌鐵利用率為？籽，則？籽=;其中Pn（N=n）（n=1，2，3，…）表示當系統(tǒng)達到平衡狀態(tài)后，隊長N的概率分布。則當？籽<1時，受鐵罐單隊多轉爐兌鐵排隊系統(tǒng)存在平穩(wěn)分布，記為P0，P1，P2…，可得此系統(tǒng)狀態(tài)的平衡（即輸入流=輸出流）方程為：

其中。由此可推導出此系統(tǒng)的主要的穩(wěn)定態(tài)數(shù)學指標：

等待兌鐵的平均受鐵罐數(shù)：

平均受鐵罐數(shù)（包括等待的和服務的）：

受鐵罐平均等待時間：

受鐵罐的平均逗留時間：

1.2.2 受鐵罐多隊多轉爐兌鐵排隊系統(tǒng)（N個M/M/1）

單個轉爐兌鐵系統(tǒng)M/M/1：受鐵罐的相繼到達轉爐的時間服從參數(shù)為λ的負指數(shù)分布，轉爐兌鐵時間同樣也服從參數(shù)為μ的負指數(shù)分布，且轉爐臺數(shù)為一臺的空間無限允許無限排隊的最簡單的排隊系統(tǒng)。N個M/M/1是指：有N個獨立相同的M/M/1系統(tǒng)。

M/M/1：設兌鐵強度為？籽，則？籽=;=其中P0=1-？籽，n=1、2，…。當？籽<1時，此系統(tǒng)存在平穩(wěn)分布，記為P0，P1，P2…，并推導出系統(tǒng)狀態(tài)的平衡方程為：（6

據此，主要的穩(wěn)定態(tài)數(shù)學指標如下：

平均受鐵罐數(shù)（包括等待的和服務的）：

等待兌鐵的平均受鐵罐數(shù)：

每個受鐵罐平均等待時間：

每個受鐵罐的平均逗留時間：

1.3 單多隊列排隊系統(tǒng)主要數(shù)學指標對比

如果把到達的受鐵罐均勻分流到N個M/M/1/排隊系統(tǒng)中去，每個子流強度為，依然還是泊松流?，F(xiàn)在比較N個單獨的轉爐兌鐵的排隊系統(tǒng)與具有N個轉爐兌鐵的排隊系統(tǒng)的主要數(shù)學指標。假設每個轉爐兌鐵率都是？滋，且？籽=<1。則有

①兌鐵強度。M/M/N系統(tǒng)？籽=。N個M/M/1系統(tǒng)？籽==，相同。

②轉爐兌鐵空閑概率。

因此。而M/M/1系統(tǒng)。從而M/M/N系統(tǒng)空閑概率小于N個M/M/1系統(tǒng)空閑概率。

③受鐵罐等待概率。

M/M/N系統(tǒng)受鐵罐等待概率為

但

所以 （11）

但是在N個M/M/1系統(tǒng)，系統(tǒng)受鐵罐排隊等待概率，根據上述得到N個M/M/1系統(tǒng)等待機會大。

④等待受鐵罐數(shù)。

M/M/N排隊系統(tǒng) （12）

而N個M/M/1系統(tǒng)

得到N個M/M/1系統(tǒng)受鐵罐等待罐數(shù)多。

⑤受鐵罐數(shù)。

M/M/N排隊系統(tǒng)（13）

N個M/M/1系統(tǒng)平均受鐵罐數(shù)是M/M/N排隊系統(tǒng)受鐵罐數(shù)的N倍，

為（14）

但是 （15）

為N個M/M/1系統(tǒng)的受鐵罐數(shù)。

⑥受鐵罐等待兌鐵時間。

M/M/N系統(tǒng)受鐵罐平均等待兌鐵時間

而N個M/M/1系統(tǒng)? ? ??由（16）、（17）知，即M/M/N系統(tǒng)受鐵罐等待兌鐵時間短。

綜上六個方面比較：單多隊列排隊系統(tǒng)，在受鐵罐轉爐兌鐵作業(yè)中，除空閑概率P0外，單隊列排隊系統(tǒng)的其它主要數(shù)學指標都優(yōu)于多隊列排隊系統(tǒng)的。然而受鐵罐多隊列排隊系統(tǒng)的空閑概率小，也就表明此系統(tǒng)的效力高，據此合營比單干產生的效益確實高一些。式（2）到式（10）的數(shù)學指標越小，那么排隊系統(tǒng)的性能反而會越好。式（2）到式（5）與式（7）到式（10）解析比較并結合上述六個方面得出前者優(yōu)于后者，因此受鐵罐單隊列排隊系統(tǒng)比多隊列排隊系統(tǒng)更優(yōu)。

2? 案例實施

某大型鋼鐵企業(yè)用受鐵罐“一罐到底”模式代替現(xiàn)有的“魚雷罐-兌鐵包”模式。據相關文獻報道[3]，用100t的受鐵罐來盛接鐵水，則也要用對應公稱容量為100t的轉爐，用一車3罐的方式來進行運輸。則受鐵罐泊松到達的參數(shù)？姿為3罐/時，那么受鐵罐到達時間間隔則服從平均時間為1/3時的負指數(shù)分布。受鐵罐轉爐兌鐵作業(yè)服從平均服務時間為15分鐘的負指數(shù)分布，即？滋為1/15罐/分鐘。

2.1 受鐵罐單多隊列排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標

受鐵罐排隊系統(tǒng)主要由輸入過程（受鐵罐）、受鐵罐到達規(guī)則、受鐵罐排隊規(guī)則、轉爐結構、兌鐵時間以及兌鐵規(guī)則等要素來組成。在鋼鐵企業(yè)受鐵罐轉爐兌鐵作業(yè)環(huán)節(jié)中，受鐵罐單隊列M/M/N排隊系統(tǒng)：表示在此作業(yè)中的受鐵罐到達間隔時間（但參數(shù)一般不同）、受鐵罐服務時間服從負指數(shù)分布，且有N個轉爐的排隊系統(tǒng);受鐵罐多隊列N個M/M/1表示受鐵罐到達間隔時間和服務時間均服從負指數(shù)分布且只有一個轉爐的排隊系統(tǒng)[1，2，4]。排隊系統(tǒng)的評價指標分為受鐵罐和轉爐兩方面?？捎门抨爼r間、等待隊長、隊長、堵塞概率、排隊的概率等來作為判斷受鐵罐的主要數(shù)量指標。與轉爐相關的數(shù)量指標主要有轉爐利用率、排隊區(qū)利用率、受鐵罐兌鐵能力等。對雙方利益進行綜合考慮，通過對受鐵罐轉爐兌鐵排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標（等待概率P、平均等待的受鐵罐數(shù)Lq、進入車軌的平均受鐵罐數(shù)Ls、每個受鐵罐在車軌內的平均逗留時間Ws和平均等待服務時間Wq以及轉爐兌鐵繁忙率/空閑率等）對排隊系統(tǒng)進行評價。用單多隊列排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標對N=2（即轉爐臺數(shù)=2）進行計算，得到結果表1。

2.2 單多隊列排隊系統(tǒng)下轉爐數(shù)量對平均等待受鐵罐數(shù)Lq的影響

單多隊列排隊模式下，轉爐數(shù)量與平均等待受鐵罐數(shù)Lq的關系見圖3。單隊列排隊模式下，隨著轉爐數(shù)量的增多，平均進入車軌中的等待受鐵罐數(shù)目越來越少;并且對于多隊列，隨著轉爐數(shù)量增多，平均等待受鐵罐Lq=2.25罐不變。

2.3 單多隊列排隊系統(tǒng)下轉爐數(shù)量對受鐵罐平均等待服務時間Wq的影響

單多隊列排隊模式下，轉爐數(shù)量與受鐵罐平均等待服務時間Wq的關系見圖4。單隊列排隊模式下，隨著轉爐數(shù)量的增多，受鐵罐平均等待服務時間也越來越短;并且對于多隊列，隨著轉爐數(shù)量的增多，受鐵罐平均等待服務時間都是0.75h。

2.4 單隊列排隊系統(tǒng)下轉爐數(shù)量對節(jié)省的平均等待受鐵罐數(shù)Lq的影響

單隊列排隊模式下，轉爐數(shù)量與節(jié)省的平均等待受鐵罐數(shù)Lq的關系見圖5。單隊列排隊模式下，隨著轉爐數(shù)量的增多，節(jié)省的平均等待受鐵罐數(shù)也越來越多，平均節(jié)省了0.87罐。

2.5 單隊列排隊系統(tǒng)下轉爐數(shù)量對節(jié)省的受鐵罐平均等待兌鐵時間Wq的影響

單隊列排隊模式下，轉爐數(shù)量與受鐵罐平均等待兌鐵時間Wq的關系見圖6。單隊列排隊模式下，隨著轉爐數(shù)量的增多，節(jié)省的受鐵罐平均等待兌鐵的時間Wq也越來越短;并且對于多隊列，隨著轉爐數(shù)量的增多，平均節(jié)省了0.633h。

綜上所述，通過單多隊列中轉爐數(shù)量對平均等待隊長（包括節(jié)省的）和平均等待時間（包括節(jié)省的）的影響，受鐵罐單隊列多轉爐的排隊模型的各項數(shù)量指標（平均等待的受鐵罐數(shù)Lq、進入車軌的平均受鐵罐數(shù)Ls、受鐵罐在車軌內的平均逗留時間Ws和平均等待服務時間Wq等）明顯優(yōu)于受鐵罐多隊列多轉爐的排隊模型。

3? 結論

通過對鋼鐵企業(yè)受鐵罐轉爐兌鐵作業(yè)環(huán)節(jié)的物流分析，構建其單多隊列排隊系統(tǒng);在單多隊列排隊模式下，對轉爐數(shù)量對平均等待受鐵罐數(shù)（包括節(jié)省的）和受鐵罐平均等待時間（包括節(jié)省的）的影響進行討論，并得到以下結果：

①在數(shù)學解析方法（排隊論）的基礎上，通過實際鋼鐵企業(yè)中的受鐵罐轉爐兌鐵作業(yè)，對單隊列（M/M/2）和多隊列（2個M/M/1）排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標進行分析，可發(fā)現(xiàn)單隊列排隊的排隊系統(tǒng)的各項數(shù)量指標都比多隊列排隊系統(tǒng)優(yōu)。

②隨著轉爐數(shù)量的增多，單隊列排隊方式時平均等待受鐵罐數(shù)和受鐵罐平均等待服務時間得到了優(yōu)化，節(jié)省的也越來越多，其分別平均節(jié)省了0.87罐和平均節(jié)省了0.633h。從而可為鋼鐵企業(yè)帶來直接的經濟和社會效益。

參考文獻：

[1]孫榮恒，李建平.排隊論基礎 [M].北京：科學出版社，2002.

[2]唐加山.排隊論及其應用[M].北京：科學出版社，2016.

[3]李亞軍.鋼鐵企業(yè)高爐——轉爐區(qū)段界面鐵水溫降研究[D].沈陽：東北大學碩士論文，2008.

[4]陸風山.排隊論及其應用[M].長沙：湖南科學技術出版社，1984.