閻瑋琛，趙天宇，曹周鍵

(北京師范大學天文系，北京100875)

1 引 言

類星體、活動星系核等很多天文學現(xiàn)象都與黑洞相關(guān)。根據(jù)黑洞的唯一性定理[1]，描述黑洞的主要物理量包括質(zhì)量和自旋。通過測量圍繞黑洞運動的恒星的參數(shù)、比較黑洞附近恒星與遠處恒星的速度差異、觀測環(huán)繞黑洞的炙熱發(fā)光帶電氣體盤的運動，以及觀測黑洞附近環(huán)繞的冷卻氣體云的動態(tài)性[2]等方法可以估算黑洞的質(zhì)量。與黑洞質(zhì)量的影響相比，自旋的影響范圍較小，所以觀測上通常很難限制自旋參數(shù)。黑洞自旋的測量方法包括連續(xù)譜擬合法[3]、Fe 譜線法[4]，通過潮汐瓦解事件給出的X射線準周期震蕩(quasi-periodic oscillation,QPO) 來估算[5]等。當黑洞的周圍有吸積盤存在時，我們可以用黑洞自旋參數(shù)的正負號代表黑洞自旋與吸積盤的轉(zhuǎn)動方向是否一致：一致為正，否則為負[3]。如果黑洞自旋與吸積盤的轉(zhuǎn)動方向一致，人們稱之為正向吸積；反之被稱為逆向吸積[6]。在已有的文獻中，人們觀測到的都是正向吸積。但最近王凱等人[7]利用寬線區(qū)尺度與光學光度之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)逆向吸積的候選體。

本文用雙黑洞并合的物理圖像來討論逆向吸積的形成機制[8]，本文還研究了超大質(zhì)量黑洞及其吸積的問題。雙黑洞在萬有引力作用下相互旋繞靠近，然后并合。在旋繞階段，雙黑洞的相互繞轉(zhuǎn)產(chǎn)生一個軌道角動量。雙黑洞各自的自旋方向可能與這個軌道角動量方向一致，也可能相反。更一般地，自旋方向還可能與軌道角動量方向成某個任意角度[9]。對于攜帶吸積盤的黑洞，通過吸積接收吸積盤的角動量，黑洞自旋方向往往會越來越接近吸積盤角動量方向。文獻[6]的結(jié)果表明，對于某些吸積模式、吸積盤的尺度及吸積盤的質(zhì)量，黑洞吸積不到自身質(zhì)量的20%，黑洞的自旋方向即可變成同吸積盤角動量方向一致。但即使對于改變黑洞自旋方向較慢的吸積盤情況，當黑洞吸積自身質(zhì)量超過120% 后，黑洞的自旋方向也基本與吸積盤角動量方向一致。另外，吸積盤施加在黑洞上的引力磁力矩也會讓黑洞自旋方向接近吸積盤角動量方向[10]。基于這個物理事實，我們假定，雙黑洞在相互靠近前，黑洞的自旋方向已經(jīng)與吸積盤角動量方向一致[11]。

雙黑洞在靠近過程中，首先是兩個吸積盤相互接觸，然后是兩個黑洞掃過吸積盤區(qū)域并繼續(xù)靠近。這時吸積盤物質(zhì)被分成三個區(qū)域：(1) 圍繞兩個黑洞的部分，被稱為環(huán)繞盤(circumbinary disk)；(2) 分別圍繞兩個黑洞的兩個迷你盤(mini disks)[12]；(3) 在雙黑洞旋繞過程中，迷你盤物質(zhì)被黑洞迅速吸收，然后消失，從而形成雙黑洞繞轉(zhuǎn)區(qū)域與外圍環(huán)繞盤間的一個相對于黑洞引力半徑較大的空洞區(qū)域。雙黑洞在這個空洞區(qū)域內(nèi)進行幾乎真空環(huán)境下的后期旋進和并合。我們假設(shè)大質(zhì)量黑洞攜帶的吸積盤質(zhì)量也較大，而大質(zhì)量吸積盤的角動量將主導環(huán)繞盤的角動量，所以環(huán)繞盤的角動量方向與大質(zhì)量黑洞的自旋方向一致。等到兩個黑洞并合以后，并合大黑洞形成。并合大黑洞的自旋由之前雙黑洞的軌道角動量和它們的各自自旋共同決定[9]。所以，一般說來并合大黑洞的自旋方向與之前兩個黑洞的自旋方向都不一樣，形成自旋反轉(zhuǎn)(spin flip)的現(xiàn)象[13]。

在并合黑洞慢慢穩(wěn)定下來之后，原來的環(huán)繞盤物質(zhì)旋繞并掉向并合黑洞，然后形成吸積盤。如果并合黑洞的自旋方向與雙黑洞中大黑洞的自旋方向一致，從而與環(huán)繞盤角動量方向一致，即與并合黑洞吸積盤的角動量方向一致，就會生成正向吸積盤；反之，逆向吸積盤就會生成。這就是雙黑洞并合形成逆向吸積盤的物理機制。在第2 章中，我們討論在雙黑洞并合形成的吸積盤系統(tǒng)中，反向吸積盤占所有吸積盤系統(tǒng)的百分比。我們稱之為逆向吸積盤的形成率。然后在第3 章中我們討論該定量結(jié)果在天文觀測方面的應(yīng)用。

本文在公式記號方面繼承數(shù)值相對論界的記號習慣，并且使用幾何單位制[9]。在該單位制中，萬有引力常數(shù)和光速都為1，G=c=1。

2 雙黑洞并合物理圖像下逆向吸積的形成率

基于廣義相對論的動力學描述，雙黑洞旋進、并合的整個過程被雙黑洞的初始狀態(tài)完全決定。對應(yīng)地，并合過程所釋放引力波，并合黑洞的動量、自旋等都被雙黑洞的初始狀態(tài)完全決定。雖然該動力學過程極其復雜，但數(shù)值相對論經(jīng)過幾十年的發(fā)展，我們已找到該動力學過程的一些物理規(guī)律。并合黑洞的自旋由下式得到[9]：

其中，m1是雙黑洞系統(tǒng)中的主黑洞質(zhì)量，m2是次黑洞質(zhì)量，所以m1>m2。η是對稱化質(zhì)量比，χ1,χ2分別是雙黑洞系統(tǒng)中的主、次黑洞無量綱自旋參數(shù)。如果黑洞的自旋角動量為S，質(zhì)量為M，則其無量綱自旋參數(shù)為是并合黑洞的無量綱自旋參數(shù)，參數(shù)t0,t2,t3,t4和t5是數(shù)值相對論研究結(jié)果給出的擬合參數(shù)值[14–17]。

在式(1) 中，我們只考慮了雙黑洞系統(tǒng)中主、次黑洞自旋方向與軌道角動量平行或者反平行的情形。簡化 的第一個原因：在雙黑洞進 入引力波輻射主導過程之前，雙黑洞的自旋-自旋相互作用[18]以及自旋-環(huán)繞盤相互作用[10]等會讓雙黑洞的自旋方向接近與軌道角動量方向平行或者反平行。上述簡化的第二個原因：對于雙黑洞自旋方向與軌道角動量成任意角度的物理情形，雖然自旋與軌道的相互作用會引入軌道平面和黑洞自旋方向的進動，從而帶來復雜性，但其對并合產(chǎn)物黑洞的自旋方向影響并不大[19–25]。定量地講，并合產(chǎn)物黑洞的自旋方向與初始雙黑洞軌道平面法向的夾角不會超過10?[23]。

對于我們考慮的雙黑洞系統(tǒng)中主、次黑洞自旋方向與軌道角動量的方向平行或者反平行的情形，黑洞無量綱自旋參數(shù)的正負號是按軌道角動量方向來設(shè)定的。雙黑洞自旋方向與軌道角動量方向一致，則黑洞自旋參數(shù)為正，反之為負；這與第1 章提到的用吸積盤角動量方向來設(shè)定正負不同，這樣的設(shè)定沒有實質(zhì)影響，即使吸積盤不存在，這里的描述也適用。根據(jù)前面的描述和我們的設(shè)定，只要χχ1<0，則生成逆向吸積盤，反之為正向吸積盤。

我們定義，逆向吸積盤的形成率為雙黑洞并合后形成的逆向吸積盤占雙黑洞并合后形成的所有吸積盤系統(tǒng)的百分比，表示為：

其中，N代表由雙黑洞并合形成的總吸積盤數(shù)目，NR代表由雙黑洞并合形成的逆向吸積盤數(shù)目。對于給定質(zhì)量比的雙黑洞系統(tǒng)，我們假設(shè)χ1,2均勻分布在區(qū)間|χ1,2| < χmax。如果只是考慮裸奇點的物理限制，我們有χmax= 1[1]。如果考慮吸積動力學和并合動力學的限制，我們有χmax= 0.998[26]。在圖1a) 中，我們研究χmax= 0.998 情形下不同質(zhì)量比雙黑洞并合系統(tǒng)對應(yīng)的逆向吸積盤形成率。對于χmax=1 的情形，所得結(jié)果與χmax=0.998 幾乎一樣。從圖1a) 可知，當質(zhì)量比q>0.3 時，逆向吸積盤與正向吸積盤各占一半；當質(zhì)量比變小時，正向吸積盤更容易形成。在圖1b) 中，我們給定χ1和χ2，研究不同質(zhì)量比雙黑洞并合系統(tǒng)對應(yīng)的逆向吸積盤形成率。這里對于給定χ1和χ2，我們假定雙黑洞系統(tǒng)的質(zhì)量比均勻分布在區(qū)間qmin

人們預期星系并合帶來的超大質(zhì)量雙黑洞并合都具有1:1 到1:20 之間的質(zhì)量比[27]，即0.05< q <1。此時的逆向吸積盤的形成率為逆向吸積盤占所有不同質(zhì)量比雙黑洞系統(tǒng)的百分比。我們研究了qmin= 0.05 的情況，結(jié)果如圖1b) 所示，即逆向吸積盤的形成率與次黑洞的自旋取值χ2基本無關(guān)。另外當主黑洞自旋方向與軌道角動量的一致時，即χ1>0，最后是形成正向吸積盤。這是因為并合黑洞的自旋主要由主黑洞自旋與軌道角動量決定，所以當這兩者符號一樣時，并合黑洞的自旋方向也一定與它們一致，故形成正向吸積盤。當χ1

圖1 不同質(zhì)量比雙黑洞并合系統(tǒng)對應(yīng)的逆向吸積盤形成率

對于超大質(zhì)量雙黑洞系統(tǒng)的質(zhì)量比，人們至今還沒有給出非常明確的定論[28–31]。因為超大質(zhì)量雙黑洞系統(tǒng)的質(zhì)量比分布依賴于超大質(zhì)量黑洞的占有率、超大質(zhì)量黑洞的質(zhì)量與所在星系間相關(guān)性隨紅移的演化，以及宿主星系能承載的雙黑洞并合系統(tǒng)的質(zhì)量比下限。關(guān)于qmin，我們研究過qmin=0.05 和qmin=0 的情形，所得正向吸積盤的形成率基本沒有差別。但我們發(fā)現(xiàn)，不同超大質(zhì)量雙黑洞系統(tǒng)的質(zhì)量比分布卻對逆向吸積盤形成率影響很大。作為對比，我們研究了雙黑洞質(zhì)量比按參數(shù)q均勻分布和雙黑洞質(zhì)量比按參數(shù)1/q均勻分布兩種情況。所得結(jié)果如圖1b)―d) 所示。

把圖1b) 的結(jié)果與相應(yīng)的超大質(zhì)量雙黑洞系統(tǒng)的質(zhì)量比分布作為權(quán)重乘積并積分，我們就可以得到超大質(zhì)量雙黑洞系統(tǒng)并合形成逆向吸積盤的百分比，表示為：

其中，f(q) 表示圖1b) 所示函數(shù)，ρ(q) 是超大質(zhì)量雙黑洞系統(tǒng)的質(zhì)量比分布函數(shù)。超大質(zhì)量雙黑洞系統(tǒng)并合形成逆向吸積盤的百分比W分別為44.3% 和22.2%，與圖1c) 和d) 的情形相對應(yīng)。如果取qmin=0.01，則按參數(shù)q均勻分布和按參數(shù)1/q均勻分布的W分別為42.9% 和6.8%。與文獻[7]的結(jié)果對比，王凱等人從共849 個樣本中發(fā)現(xiàn)13 個類星體逆向吸積的候選體，所占百分比約為1.5%。但這個結(jié)果與我們的理論結(jié)果無法相比較，因為超大質(zhì)量雙黑洞系統(tǒng)的質(zhì)量比分布函數(shù)不清楚。

利用本文所提出的逆向吸積雙黑洞并合物理形成機制，我們基本上給出了超大質(zhì)量雙黑洞系統(tǒng)的質(zhì)量比分布與類星體逆向吸積盤形成率。我們預期類星體逆向吸積盤占所有吸積盤的百分比將很快被觀測得到[7]。而隨著脈沖星計時陣列對低頻引力波探測數(shù)據(jù)的積累(如FAST 的部分科學任務(wù)和SKA 計劃)和空間引力波探測計劃的實施，包括LISA、太極[32]和天琴[33]等，超大質(zhì)量雙黑洞系統(tǒng)的質(zhì)量比分布也將被觀測而確定。到時這兩者的一致性，可用來檢驗本文所提出的逆向吸積雙黑洞并合物理形成機制是否是類星體逆向吸積盤形成的主要方式。

3 結(jié)論和討論

黑洞最早是廣義相對論從理論上預言的天體。到目前為止，人們已經(jīng)觀測到很多黑洞，包括利用引力波探測到的雙黑洞并合[9]。人們認為每個星系中心都存在一個超大質(zhì)量黑洞。根據(jù)廣義相對論的理論結(jié)果，黑洞可以用質(zhì)量和自旋兩個參數(shù)來描述。人們已提出一些比較好的方法對黑洞質(zhì)量進行測量，但對于黑洞自旋，目前測量方法的魯棒性還較差。利用連續(xù)譜擬合方法[3]和Fe 譜線方法[4]觀測的黑洞自旋方向都與其外的吸積盤轉(zhuǎn)動方向一致，即都是正向吸積盤。至今，人們還未直接探測到黑洞自旋方向與吸積盤轉(zhuǎn)動方向相反的逆向吸積盤。最近，王凱等人[7]利用寬線區(qū)尺度與光學光度之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)了逆向吸積盤的候選體。

逆向吸積盤的形成是一個有趣和重要的天體物理問題。本文利用雙黑洞并合的物理圖像提出一種逆向吸積盤的形成機制。如果雙黑洞并合所形成的黑洞的自旋方向與初始雙黑洞中主黑洞的相反，逆向吸積盤便會形成。本文不僅詳細闡明了該物理過程，還定量計算了各種物理情況下逆向吸積盤的形成率。我們的結(jié)果表明，超大質(zhì)量雙黑洞系統(tǒng)的質(zhì)量比分布會主導類星體逆向吸積盤的形成率。我們的理論分析可以把超大質(zhì)量雙黑洞系統(tǒng)的質(zhì)量比分布與類星體逆向吸積盤的形成率定量地聯(lián)系起來。這樣的定量關(guān)系可以利用將來的觀測結(jié)果對本文所提出的逆向吸積盤形成機制給出檢驗。

對于超大質(zhì)量雙黑洞系統(tǒng)的質(zhì)量比分布，我們只是討論了均勻分布的簡單假設(shè)。實際上在進入引力輻射主導前的雙黑洞旋進早期，小黑洞導致的強吸積流會讓小黑洞質(zhì)量較迅速地增加，從而使得雙黑洞的質(zhì)量比更趨向于1:1[34]。另外，Gergely等人[35,36]認為，1/3

在逆向吸積盤形成以后，黑洞自旋方向會受到吸積物質(zhì)長期演化的影響，觀測到的逆向吸積盤形成率也會受到這個長期演化的影響，所以觀測到的逆向吸積盤比例可能會與我們在本文得到的逆向吸積形成率有所偏差。但由于黑洞自旋方向被吸積物質(zhì)長期演化所影響，因此演化過程相對于我們提出的逆向吸積雙黑洞并合機制的想法來說是一個獨立的問題，可以在以后的研究中單獨考慮。如果黑洞自旋及其方向被吸積物質(zhì)帶來的長期演化對觀測到的逆向吸積盤比例的影響很大，則可以把我們本文的結(jié)果疊加上長期演化影響得到最終逆向吸積的事件率，再與觀測到的逆向吸積盤形成率進行比較。

致謝

感謝北京師范大學天文系的高鶴教授和廈門大學的劉彤教授在相關(guān)問題上的有益討論。