王遠(yuǎn)明，余文飛，潘之辰，王 培，李 菂

(1.中國(guó)科學(xué)院 上海天文臺(tái) 星系與宇宙學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200030；2.中國(guó)科學(xué)院 國(guó)家天文臺(tái)，北京100012；3.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京100049)

1 引 言

快速射電暴是Lorimer 等人[1]在2007 年發(fā)現(xiàn)的一種射電暫現(xiàn)源，它有著強(qiáng)度高(0.039～128 Jy)、時(shí)標(biāo)短(0.08～21 ms)、色散量大(110～2 600 pc·cm?3) 等特點(diǎn)[2]，通常被認(rèn)為來自銀河系外。盡管至今人們對(duì)它們的物理起源仍不十分了解，但人們根據(jù)大多數(shù)理論認(rèn)為，它們與中子星或黑洞有關(guān)，例如，它們可能來自年輕脈沖星的巨脈沖輻射[3–5]、磁星的巨型閃耀[6,7]、高速旋轉(zhuǎn)脈沖星的高能輻射[8]、中子星與小行星的碰撞[9,10]；或者它們可用其他一些災(zāi)變模型來描述，如中子星的并合[11,12]、超大質(zhì)量中子星與黑洞的碰撞[13]等。因此，研究快速射電暴對(duì)于致密天體的并合、形成和演化，以及對(duì)基礎(chǔ)物理和極端物理方面的研究[14]有重要的科學(xué)意義。如果有更多的快速射電暴被探測(cè)到，并且其紅移被準(zhǔn)確測(cè)量，我們還可以通過其紅移和色散量研究宇宙中的重子數(shù)，從而有望解決宇宙中丟失的重子問題[15]。天文學(xué)家估算，一天中可能出現(xiàn)上千次可被探測(cè)到的快速射電暴事件[16]。經(jīng)過Parkes 射電望遠(yuǎn)鏡、Arecibo 射電望遠(yuǎn)鏡、澳大利亞平方公里陣列探路者(Australian Square Kilometre Array Pathfinder, ASKAP) 和加拿大H 強(qiáng)度測(cè)繪實(shí)驗(yàn)(Canadian Hydrogen Intensity Mapping Experiment, CHIME) 等單天線和陣列射電望遠(yuǎn)鏡的搜尋，至今人們已發(fā)現(xiàn)至少幾十個(gè)快速射電暴①數(shù)據(jù)來源于https://frbcat.org/。。CHIME/FRB 研究組估計(jì)，CHIME 每天可探測(cè)到2～42 個(gè)快速射電暴信號(hào)[17]，且近期發(fā)現(xiàn)的快速射電暴數(shù)目在急劇增長(zhǎng)[18,19]。

FAST 是目前世界上最大的單天線射電望遠(yuǎn)鏡，其有效口徑達(dá)300 m，坐落在中國(guó)西南部的貴州省。FAST 裝載了L 波段多波束接收機(jī)系統(tǒng)，其視場(chǎng)達(dá)0.15 deg2[20–22]。結(jié)合其好于毫央級(jí)的探測(cè)靈敏度，F(xiàn)AST 有望在研究快速射電暴方面作出貢獻(xiàn)。人們將利用FAST 進(jìn)行多波束漂移掃描多目標(biāo)射電天文巡天計(jì)劃(Commensal Radio Astronomy FAST Survey,CRAFTS)。該巡天計(jì)劃的覆蓋頻段為1 050～1 450 MHz，大約需要220 d 完成對(duì)赤緯范圍為?14°～+66°的天區(qū)的掃描[22]，以搜尋快速射電暴[23]。此外，F(xiàn)AST 還可以跟蹤重復(fù)快速射電暴進(jìn)行觀測(cè)，以大大增加探測(cè)到快速射電暴的可能性。

射電波段實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)常常受干擾信號(hào)影響。每一個(gè)真實(shí)的快速射電暴信號(hào)可能都伴隨著數(shù)以千計(jì)的干擾信號(hào)。排除干擾的傳統(tǒng)方式(如人眼篩選方法) 對(duì)于快速射電暴的搜尋效率很低[17,24–26]。近年來人們提出的一些基于機(jī)器學(xué)習(xí)的算法，可以自動(dòng)辨識(shí)出真實(shí)快速射電暴信號(hào)，從而提高了快速射電暴的搜尋效率[26–28]。不過要訓(xùn)練機(jī)器學(xué)習(xí)算法需要大量快速射電暴樣本，而當(dāng)前探測(cè)到的快速射電暴數(shù)目較少，公開數(shù)據(jù)有限，無法滿足機(jī)器學(xué)習(xí)的訓(xùn)練需求，因此，人們通常用快速射電暴樣本模擬來研究快速射電暴搜尋方法。此外，一個(gè)基于物理參數(shù)空間的快速射電暴樣本還可以用來檢驗(yàn)觀測(cè)設(shè)備和搜尋算法的選擇效應(yīng)，甚至從實(shí)測(cè)樣本反推出原始快速射電暴的性質(zhì)及其分布。

本研究工作是在模擬FAST 掃描巡天觀測(cè)的基礎(chǔ)上，增加了對(duì)大量性質(zhì)特征不同的快速射電暴的模擬，并依此得到快速射電暴的模擬樣本。我們依據(jù)現(xiàn)有的快速射電暴觀測(cè)能流分布函數(shù)[23]，模擬了觀測(cè)量空間的快速射電暴樣本。此外，我們依據(jù)快速射電暴紅移遵循恒星形成史(star formation history, SFH) 的分布這一特點(diǎn)[29]，模擬了考慮空間分布和距離色散關(guān)系的物理量空間樣本。本文結(jié)構(gòu)安排如下：第2 章介紹模擬方法，包括快速射電暴信號(hào)的模擬、FAST 望遠(yuǎn)鏡接收機(jī)的模擬以及射頻干擾的模擬；第3 章介紹快速射電暴樣本的產(chǎn)生方法，包括觀測(cè)參數(shù)空間模擬樣本的產(chǎn)生方法以及物理參數(shù)空間模擬樣本的產(chǎn)生方法；第4 章對(duì)模擬樣本的性質(zhì)進(jìn)行總結(jié)，并對(duì)其在未來的應(yīng)用前景進(jìn)行展望。

2 FAST漂移掃描觀測(cè)和數(shù)據(jù)模擬

我們的模擬程序一共分為幾個(gè)部分：首先是觀測(cè)噪聲模擬，主要模擬了系統(tǒng)噪聲；其次是信號(hào)模擬，不僅模擬了快速射電暴信號(hào)，也對(duì)望遠(yuǎn)鏡可能接收到的射頻干擾信號(hào)進(jìn)行了模擬；最后是觀測(cè)模擬，主要是根據(jù)FAST波束形狀模擬望遠(yuǎn)鏡掃描指向的不同造成的增益變化。在模擬中我們考慮了接收機(jī)的帶寬、通道數(shù)、采樣時(shí)間和系統(tǒng)溫度等因素。

2.1 FAST系統(tǒng)噪聲模擬

根據(jù)輻射計(jì)算公式模擬的系統(tǒng)噪聲[30,31]是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差為?Tsys的高斯分布，即

其中，Tsys為望遠(yuǎn)鏡的系統(tǒng)溫度，?f為望遠(yuǎn)鏡的帶寬，t為觀測(cè)的積分時(shí)間，np為偏振數(shù)。如果兩個(gè)正交偏振通道相加，則np= 2。對(duì)于一個(gè)采樣時(shí)間為200 μs，觀測(cè)帶寬為400 MHz，系統(tǒng)溫度為20 K 的接收機(jī)來說(這是FAST 望遠(yuǎn)鏡的基本參數(shù))，它的噪聲分布?Tsys≈0.05 K。

2.2 射頻干擾信號(hào)模擬

射頻干擾(radio frequency interference)可來自望遠(yuǎn)鏡接收機(jī)自身，也可來自手機(jī)等地球上的物體，還可來自飛機(jī)等與望遠(yuǎn)鏡有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物體。本質(zhì)上來說，射頻干擾信號(hào)十分復(fù)雜，不同來源的射頻干擾有不同的形狀。我們模擬了兩種相對(duì)簡(jiǎn)單的干擾形式，即寬帶干擾和窄帶干擾(見圖1)。

圖1 FAST 漂移掃描巡天模擬中的干擾信號(hào)以及快速射電暴信號(hào)

由圖1 可以看出，它們的形狀類似，都是一個(gè)方形的脈沖輪廓加上很短的脈沖寬度。寬帶干擾出現(xiàn)在時(shí)域上，窄帶干擾出現(xiàn)在頻域上?？紤]到射頻干擾出現(xiàn)的原因多種多樣，且在不同的時(shí)間范圍可能有不一樣的特性，我們主要采用隨機(jī)的方式對(duì)干擾進(jìn)行模擬。我們?cè)陔S機(jī)頻率通道內(nèi)，模擬了在隨機(jī)觀測(cè)時(shí)間出現(xiàn)的隨機(jī)持續(xù)時(shí)長(zhǎng)的窄帶干擾。寬帶干擾出現(xiàn)的時(shí)間同樣是隨機(jī)的。這兩種射頻干擾的強(qiáng)度被設(shè)置為在信噪比范圍1～100 內(nèi)隨機(jī)抽取。關(guān)于射頻干擾的出現(xiàn)頻次，我們根據(jù)FAST 望遠(yuǎn)鏡19 波束實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，設(shè)置寬帶干擾的出現(xiàn)頻次約為7 h?1。由于干擾出現(xiàn)的原因多變，且少量FAST 觀測(cè)數(shù)據(jù)不能代表FAST 實(shí)際運(yùn)行時(shí)的干擾信號(hào)，因此，當(dāng)前我們采用的模擬方法是相對(duì)合理可行的。

2.3 快速射電暴信號(hào)模擬

我們用兩種不同的方式模擬了快速射電暴信號(hào)(見圖1)，一種是通過設(shè)置它的觀測(cè)能流(fluence)、色散量(dispersion measure, DM) 和觀測(cè)脈沖寬度(pulse width) 等觀測(cè)參數(shù)來模擬；另一種是通過設(shè)置它的本征能量(intrinsic energy)、紅移(redshift)、本征脈沖寬度(intrinsic pulse width)，以及宿主星系造成的色散量，再結(jié)合宇宙學(xué)模型和銀河系介質(zhì)分布模型來模擬。

2.3.1 快速射電暴觀測(cè)量參數(shù)空間模擬

對(duì)于第一種模擬方式，我們參考了Connor 和van Leeuwen[27]的模擬。我們假設(shè)FRB信號(hào)是一個(gè)理想的高斯輪廓的脈沖，并通過設(shè)置不同的能流和脈沖寬度來控制它的脈沖輪廓。由于一個(gè)寬頻的脈沖在通過等離子體時(shí)，會(huì)與其中的自由電子發(fā)生作用，產(chǎn)生色散，導(dǎo)致高頻的脈沖輻射更早到達(dá)，而低頻信號(hào)則會(huì)延遲[31]。這種時(shí)間延遲通常與頻率有關(guān)，即?t≈DM?ν?2，其中，DM是色散量(dispersion measure)，即電子數(shù)密度在視向路徑上的積分；?ν代表高頻與低頻間的頻率差。我們通過設(shè)置色散量，來使模擬的高斯脈沖信號(hào)在寬頻內(nèi)產(chǎn)生時(shí)間延遲。此外，由于散射，我們模擬的脈沖輪廓在每一個(gè)頻率通道內(nèi)的脈沖寬度為其中，νc為中心頻率，τ0為設(shè)置的中心頻率的脈沖寬度。我們可以通過設(shè)置譜指數(shù)γ來模擬不同頻段的觀測(cè)能流Fν，使Fν≈ν?γ。

2.3.2 快速射電暴本征量參數(shù)空間模擬

第二種模擬方式與第一種類似，只是用本征能量Eint、紅移z、本征脈沖寬度τint和宿主星系內(nèi)介質(zhì)導(dǎo)致的色散量DMhost這4 個(gè)參數(shù)計(jì)算出它的觀測(cè)能流Fobs、總色散量DMtot和觀測(cè)脈沖寬度W，再利用類似第2.3.1 節(jié)中所描述的方法 來模擬。

關(guān)于上述參數(shù)的計(jì)算，我們主要參考Caleb 等人[29,33]的計(jì)算方式，其中觀測(cè)能流Fobs主要根據(jù)快速射電暴的本征能量Eint，以及ΛCDM 模型中的光度距離來計(jì)算，即

其中，DL代表光度距離(可通過紅移z計(jì)算[34])，?f為接收機(jī)系統(tǒng)的帶寬。

對(duì)于一個(gè)快速射電暴信號(hào)，色散量主要有三個(gè)部分：銀河系星際介質(zhì)(interstellar medium, ISM) 導(dǎo)致的色散DMISM，宿主星系內(nèi)星際介質(zhì)導(dǎo)致的色散DMhost，以及星系際介質(zhì)(intergalactic medium, IGM) 導(dǎo)致的色散DMIGM，即

其中，星系際介質(zhì)導(dǎo)致的色散量被認(rèn)為與源的紅移相關(guān)，即DMIGM=1 200zpc·cm?3[35,36]；銀河系內(nèi)介質(zhì)導(dǎo)致的色散量DMISM可以根據(jù)NE2001 模型[37]和源所在的方向來計(jì)算。

在星際介質(zhì)里傳播的脈沖信號(hào)，它的脈沖寬度會(huì)因?yàn)樯⑸涠儗挦觭c。τsc主要包括兩部分：因宿主星系和銀河系的星際介質(zhì)散射引起的脈沖變寬量τISM，以及因星系際介質(zhì)散射引起的脈沖變寬量τIGM，即盡管星際介質(zhì)中有許多可以導(dǎo)致散射的物質(zhì)，但在宇宙學(xué)距離 下，這部分散射的 影響較小，可以忽略[38]。對(duì)于星系際介質(zhì)造成的影響，Lorimer 等人[38]根據(jù)Bhat 等人[39]在2004年計(jì)算出的脈沖信號(hào)在星系際介質(zhì)中傳播引起的寬度變化公式，可以得出：

其中，ν為觀測(cè)頻率，τsc的單位為毫秒。此外，由于色散引起的不同頻率間的時(shí)間延遲也會(huì)對(duì)脈沖寬度有影響(拖尾效應(yīng))，即τDM=8.3 ?ν DM ν?3μs[40]，其中，?ν的單位為兆赫茲，ν的單位為吉赫茲。于是，快速射電暴的觀測(cè)脈沖寬度W的計(jì)算公式為[41]：

2.4 FAST漂移掃描觀測(cè)模擬

漂移掃描(drift scan) 觀測(cè)是將望遠(yuǎn)鏡對(duì)準(zhǔn)天空中某特定位置處，等待源通過波束時(shí)，觀測(cè)其強(qiáng)度。在漂移掃描過程中，由于望遠(yuǎn)鏡的調(diào)制影響，點(diǎn)源的波束強(qiáng)度會(huì)隨點(diǎn)源與望遠(yuǎn)鏡方向的夾角而變化。此外，在不同的觀測(cè)頻率下，觀測(cè)到的波束形狀也會(huì)發(fā)生變化。對(duì)于FAST 來說，采用漂移掃描觀測(cè)可以降低 系統(tǒng)控制的復(fù)雜度和減少部分射頻干擾的數(shù)量，是一種有效的觀測(cè)模式[22]。與劉鵬等人[42]模擬的FAST 19 波束脈沖星漂移掃描巡天類似，我們假設(shè)望遠(yuǎn)鏡的波束增益G(λ,θ) 與觀測(cè)波長(zhǎng)λ和θ(點(diǎn)源與望遠(yuǎn)鏡方向的夾角) 的變化關(guān)系為：

其中，D為望遠(yuǎn)鏡的口徑。根據(jù)此公式，我們模擬了FAST 單波束形狀對(duì)于觀測(cè)時(shí)間以及觀測(cè)頻率的依賴性(如圖2a) 所示)。根據(jù)FAST 理想波束形狀和19 波束的分布，我們模擬了19 波束系統(tǒng)的波束方向圖(如圖2b) 所示)。

在觀測(cè)頻率為中心頻率1 250 MHz 時(shí)，波束的半高全寬約為2.9′。從圖2b) 可以看出，F(xiàn)AST 的波束之間有空隙，儀器探測(cè)響應(yīng)不均勻，這會(huì)影響FAST 對(duì)于射電源的探測(cè)靈敏度。由于FAST 的19 波束具有相似的性能，我們可以通過模擬其中一個(gè)波束的漂移掃描觀測(cè)，來研究和產(chǎn)生快速射電暴的模擬樣本。在漂移掃描觀測(cè)中，對(duì)于不同的時(shí)間采樣點(diǎn)j和觀測(cè)通道i，原始信號(hào)Fij會(huì)受到望遠(yuǎn)鏡的調(diào)制，即觀測(cè)信號(hào)為：

其中，觀測(cè)頻率ν=c/λ，c為光速，λ為觀測(cè)波長(zhǎng)。我們利用設(shè)置的采樣時(shí)間以及觀測(cè)頻率通道計(jì)算了實(shí)測(cè)強(qiáng)度在每一次采樣時(shí)間時(shí)的變化，得到了模擬觀測(cè)數(shù)據(jù)(見圖3)。FAST 模擬參數(shù)見表1。

圖2 FAST 單波束形狀與19 波束方向圖

圖3 FAST 漂移掃描巡天模擬光變曲線中的干擾信號(hào)以及快速射電暴

表1 FAST 漂移掃描觀測(cè)模擬參數(shù)

3 快速射電暴樣本的產(chǎn)生

通過模擬快速射電暴，我們產(chǎn)生了兩個(gè)不同性質(zhì)特征的快速射電暴樣本：一個(gè)是觀測(cè)量空間的快速射電暴模擬樣本，它是依據(jù)現(xiàn)有觀測(cè)數(shù)據(jù)建立的分布函數(shù)來構(gòu)建的[23]；另一個(gè)是物理本征量空間的快速射電暴模擬樣本，它是依據(jù)快速射電暴產(chǎn)生率與恒星形成史的關(guān)系，以及距離-色散關(guān)系構(gòu)建的[29]。每個(gè)樣本中均有50 000 個(gè)模擬的快速射電暴，這些模擬都基于FAST 望遠(yuǎn)鏡的漂移掃描觀測(cè)。我們隨機(jī)模擬了快速射電暴的位置和爆發(fā)時(shí)間，并使它們?cè)谟^測(cè)時(shí)均勻分布在FAST 望遠(yuǎn)鏡的波束形狀內(nèi)。由于FAST 多波束系統(tǒng)的相鄰波束覆蓋范圍不完全重合(如圖2b) 所示)，所以，實(shí)際上我們模擬的信號(hào)均勻分布在以波束中心為圓心，相鄰兩個(gè)波束間距的一半為半徑的圓內(nèi)。

觀測(cè)量空間樣本的產(chǎn)生參考了Li 等人[23]在2017 年建立的快速射電暴觀測(cè)能流分布，它可以反映現(xiàn)有的快速射電暴的觀測(cè)性質(zhì)。我們可以利用這個(gè)樣本估算出現(xiàn)在19 波束視場(chǎng)內(nèi)的快速射電暴信號(hào)被探測(cè)到的概率，以及在視場(chǎng)內(nèi)不同位置處的探測(cè)效率。它適用于評(píng)估快速射電暴搜尋算法的性能，檢驗(yàn)FAST 對(duì)于快速射電暴的探測(cè)效率等。與觀測(cè)量空間樣本不同的是，物理量空間樣本反映了宇宙中存在的快速射電暴的數(shù)目、能流以及距離分布等，因此它不僅可以用來測(cè)試包括機(jī)器學(xué)習(xí)在內(nèi)的快速射電暴搜尋算法，還可以用來檢驗(yàn)望遠(yuǎn)鏡及其觀測(cè)方法對(duì)快速射電暴探測(cè)的選擇效應(yīng)，解決FAST 能夠探測(cè)到的快速射電暴最大紅移的值等物理問題。

3.1 觀測(cè)量參數(shù)空間的快速射電暴模擬

我 們基于觀測(cè)信號(hào)建立的這個(gè)樣本中，快速射電暴的模擬能流分布被假設(shè)為遵循Li 等人[23]根據(jù)Parkes 望遠(yuǎn)鏡和綠岸射電望遠(yuǎn)鏡(Green Bank Telescope, GBT) 探測(cè)到的16 個(gè)非重復(fù)快速射電暴建立的快速射電暴的能流分布函數(shù)(如圖4a) 所示)，即

快速射電暴的模擬色散量分布同樣遵循Li等人建立的一個(gè)峰值在723 pc·cm?3的高斯分布(見圖4c)，柱狀圖為目前探測(cè)到的快速射電暴的分布①數(shù)據(jù)來源于http://frbcat.org/。)。這個(gè)分布是他們?cè)?017 年建立的，與最新的探測(cè)結(jié)果并不完全一致，但這對(duì)于進(jìn)行快速射電暴搜尋算法測(cè)試，以及FAST 漂移掃描巡天的探測(cè)效率評(píng)估影響不大。在這個(gè)樣本模擬中，快速射電暴的觀測(cè)能流和色散量被設(shè)置為相互獨(dú)立的隨機(jī)量。對(duì)于快速射電暴的脈沖寬度模擬，我們假設(shè)它是一個(gè)平均值為200μs 的對(duì)數(shù)正態(tài)分布(FAST 掃描觀測(cè)的采樣時(shí)間為200μs)，最終產(chǎn)生的脈沖寬度范

圍為0.2～46 ms，這與目前的觀測(cè)結(jié)果大致相符(見圖4e))。由于快速射電暴的譜指數(shù)波動(dòng)范圍較大[43]，我們模擬的快速射電暴信號(hào)的譜指數(shù)γ被假設(shè)為一個(gè)在?4～+4 范圍的均勻分布。我們模擬了FAST 單波束的漂移掃描觀測(cè)。在掃描過程中，快速射電暴的位置被設(shè)定為均勻分布在一個(gè)以相鄰兩個(gè)波束間距的一半為半徑的圓內(nèi)。我們可以根據(jù)這個(gè)模擬計(jì)算出現(xiàn)在19 波束視場(chǎng)內(nèi)的快速射電暴信號(hào)被探測(cè)到的概率。在這個(gè)樣本中，我們隨機(jī)產(chǎn)生了共50 000 個(gè)快速射電暴模擬信號(hào)。

圖4 快速射電暴模擬樣本分布圖

3.2 物理本征量參數(shù)空間的快速射電暴模擬

許多觀測(cè)結(jié)果支持快速射電暴是宇宙起源的觀點(diǎn)。我們采用Caleb 等人[29,33]的模擬方式，并假設(shè)快速射電暴的共動(dòng)數(shù)目密度分布與SFH 成正比。基于Hopkins 和Beacom[44]在2006 年發(fā)表的一篇關(guān)于SFH 的文章，我們得出恒星形成率(star formation rate, SFR) 計(jì)算公式：

用均數(shù)±標(biāo)準(zhǔn)差的形式，表示研究組和參照組的各項(xiàng)指標(biāo)，并用t值進(jìn)行檢驗(yàn)，對(duì)研究組和參照組的計(jì)數(shù)資料，采用百分比形式進(jìn)行x2檢驗(yàn)，核對(duì)數(shù)據(jù)軟件選擇SPSS 21.0軟件，當(dāng)研究指標(biāo)存在明顯差異時(shí)，檢驗(yàn)P＜0.05。

其中，h=0.7，a=0.017 0，b=0.13，e=3.3，d=5.3。再結(jié)合dt/dz={H0(1+z)[?M(1+z)3+?Λ]1/2}?1來計(jì)算SFH①計(jì)算參考http://www.astro.ucla.edu/~wright/CosmoCalc.html。。根據(jù)ΛCDM 模型，哈勃常數(shù)H0=71 km·s?1·Mpc?1，物質(zhì)密度?M=0.27，真空密度?Λ=0.73[34]。我們的紅移模擬到z=5。

在模擬中，我們假設(shè)一個(gè)遵循冪律分布的快速射電暴本征能量，即根據(jù)Luo 等人[45]建立的快速射電暴的光度方程，我們采用γ=?1.57，能量范圍為1028~1036J。同時(shí)，我們?cè)?1.8< γ < ?1.2 范圍內(nèi)改變?chǔ)玫闹?，發(fā)現(xiàn)快速射電暴模擬樣本的觀測(cè)能流分布有70% 的區(qū)域一致，分布峰值所處的觀測(cè)能流值無變化，分布形狀表現(xiàn)為向峰值所處的位置略微聚攏或發(fā)散，這對(duì)觀測(cè)能流統(tǒng)計(jì)性質(zhì)無顯著影響。關(guān)于本征脈沖寬度，Bera 等人[40]發(fā)現(xiàn)在z≈0.5 以后，觀測(cè)脈沖寬度由散射主導(dǎo)，本征脈沖寬度的改變對(duì)其影響不大。因此我們模擬了一個(gè)遵循對(duì)數(shù)正態(tài)分布的本征脈沖寬度，均值為0.04 ms。我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于不同的本征脈沖寬度模擬分布，紅移z>0.8 的快速射電暴模擬樣本的觀測(cè)脈沖寬度分布幾乎完全不變，而對(duì)于紅移較小的快速射電暴模擬樣本，其觀測(cè)脈沖寬度分布與輸入的本征脈沖寬度分布相似。對(duì)于觀測(cè)脈沖寬度大于2 ms 的快速射電暴模擬樣本，改變本征脈沖寬度分布對(duì)于其結(jié)果無影響。因宿主星系的星際介質(zhì)引起的色散量DMhost與宿主星系的類型有關(guān)。Xu 和Han[46]根據(jù)銀河系的NE2001 模型，模擬了不同類型的宿主星系可能的色散分布。根據(jù)這些結(jié)果，并參考Caleb 等人[29]的模擬，我們假設(shè)DMhost是一個(gè)均值在100 pc·cm?3的正態(tài)分布。同時(shí)，我們?cè)诰禐?0～140 pc·cm?3的范圍改變此分布，發(fā)現(xiàn)快速射電暴模擬樣本總色散分布有90% 的區(qū)域始終一致，分布的峰值以及峰值處的總色散量無變化，說明在宇宙學(xué)起源假設(shè)下，改變宿主星系引起的色散量分布對(duì)于快速射電暴樣本的總色散量分布無顯著影響。我們模擬的快速射電暴隨機(jī)分布在赤緯范圍為?14°～+66°的天區(qū)中，這與FAST 的CRAFTS 巡天的天區(qū)范圍一致。模擬中銀河系的星際介質(zhì)引起的色散量DMISM的大小由快速射電暴所處的位置和NE2001 模型而定[37]。

利用上述模擬的本征參數(shù)的分布，結(jié)合在第2.3.2 節(jié)中介紹的模擬方法，我們得出了它們的觀測(cè)能流、色散量以及脈沖寬度分布圖(見圖4)。它們的位置被設(shè)定為均勻分布在望遠(yuǎn)鏡的波束范圍內(nèi)，我們可以據(jù)此計(jì)算出一個(gè)出現(xiàn)在FAST 視場(chǎng)內(nèi)不同紅移的快速射電暴信號(hào)的探測(cè)率。該方法適用于檢驗(yàn)快速射電暴搜尋算法的選擇效應(yīng)，也可以從觀測(cè)數(shù)據(jù)反推出它們的內(nèi)稟分布。

3.3 快速射電暴模擬樣本統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的介紹與分析

在漂移掃描觀測(cè)模擬中，我們使用FAST 19 波束接收機(jī)，對(duì)其中一個(gè)波束進(jìn)行了掃描觀測(cè)模擬，其中，觀測(cè)頻段為1 050～1 450 MHz，采樣時(shí)間為200 μs，增益為16 K·Jy?1，系統(tǒng)溫度為20 K。在兩個(gè)樣本模擬中，我們均模擬了50 000 次漂移掃描觀測(cè)，每次掃描觀測(cè)時(shí)長(zhǎng)為60 s (低頻時(shí)波束全寬約為40 s)，覆蓋一個(gè)完整的隨機(jī)快速射電暴信號(hào)。此外，在FAST 漂移掃描過程中，我們使快速射電暴樣本位置均勻分布在一個(gè)以相鄰兩波束間距的一半為半徑的圓內(nèi)。

圖4a) 是觀測(cè)量空間快速射電暴樣本的能流分布圖。在我們模擬的50 000 個(gè)快速射電暴中，最弱的快速射電暴信號(hào)的觀測(cè)能流為Fobs≈0.02 Jy·ms，最亮的快速射電暴的觀測(cè)能流為Fobs≈346 Jy·ms。不過，由于我們的模擬使快速射電暴隨機(jī)分布在波束范圍內(nèi)，因此，它可能位于增益較差的位置，以致有些強(qiáng)信號(hào)可能在搜尋過程中未被探測(cè)到。圖4b)是物理量空間快速射電暴樣本的能流分布圖，其中最弱的快速射電暴信號(hào)的觀測(cè)能流為Fobs≈2×10?17Jy·ms。該能流分布的峰值在Fobs≈1×10?5Jy·ms 處，表明宇宙中存在大量低能流快速射電暴。在觀測(cè)能流Fobs>0.01 Jy·ms 時(shí)，該能流分布與實(shí)際探測(cè)到的快速射電暴分布基本一致。

圖4c) 是觀測(cè)量空間快速射電暴樣本的色散量分布圖。在我們模擬的50 000 個(gè)快速射電暴中，最低色散量為DM≈136 pc·cm?3，最高色散量為DM≈1 300 pc·cm?3。圖4d)是物理量空間快速射電暴樣本的色散量分布圖，其中最低色散量為DM≈149 pc·cm?3。由于我們模擬產(chǎn)生的快速射電暴的最高紅移為5，所以相應(yīng)的最高色散量較大，為DM≈7 100 pc·cm?3。盡管考慮了銀河系以及宿主星系的可能色散量的影響，物理量空間樣本的色散量-事件數(shù)分布基本與紅移-事件數(shù)分布一致，說明在宇宙學(xué)起源假設(shè)下，快速射電暴的色散量基本上由IGM 主導(dǎo)，與源的距離相關(guān)度較高。因此，如果利用FAST 能夠探測(cè)到更弱的快速射電暴，那么就可能得到紅移更大的樣本。

4 總結(jié)與展望

我們通過模擬FAST 漂移掃描觀測(cè)，引入了對(duì)快速射電暴的模擬，生成了FAST 掃描觀測(cè)中快速射電暴的模擬樣本。其中一個(gè)是FAST 觀測(cè)量空間的快速射電暴樣本，它是基于觀測(cè)能流函數(shù)以及色散分布的模擬得到的[23]；在這個(gè)樣本中，觀測(cè)能流Fobs被假設(shè)為與色散量DM無關(guān)。另一個(gè)是FAST 物理量空間的快速射電暴樣本，它是基于快速射電暴是宇宙學(xué)起源，并依據(jù)恒星形成史(SFH) 得到的紅移- 事件數(shù)關(guān)系，再結(jié)合本征能量假定的模擬得到的。這兩個(gè)模擬樣本總數(shù)均各為50 000 個(gè)。

根據(jù)模擬的兩個(gè)樣本，以及目前已有的快速射電暴觀測(cè)結(jié)果，我們可以發(fā)現(xiàn)在目前探測(cè)結(jié)果中存在顯著的選擇效應(yīng)跡象。在能流分布圖4a) 和圖4b) 中，當(dāng)Fobs>0.01 Jy·ms時(shí)，不論是物理量空間樣本，還是觀測(cè)量空間樣本，其分布都與實(shí)際探測(cè)到的快速射電暴分布基本一致。不過，在同樣為50 000 個(gè)快速射電暴樣本的情況下，物理量空間模擬樣本存在大量低能流源，這對(duì)于有效面積幾乎是Arecibo 望遠(yuǎn)鏡的2 倍，具有較高靈敏度的FAST望遠(yuǎn)鏡，可能有很大的發(fā)現(xiàn)窗口。對(duì)于色散分布圖4c) 和圖4d)，物理量空間模擬樣本在高色散量時(shí)，其分布高于觀測(cè)量空間樣本和實(shí)際探測(cè)到的快速射電暴色散量分布。這可能是由于快速射電暴在高紅移時(shí)，信號(hào)在到達(dá)地球時(shí)會(huì)被顯著削弱；也可能是在高色散時(shí)，由IGM 導(dǎo)致的散射效應(yīng)變強(qiáng)，因此信號(hào)的脈沖寬度變寬，以致難以被探測(cè)到。這也體現(xiàn)在脈沖寬度分布圖4e) 和圖4f) 中，表現(xiàn)為物理量空間模擬樣本中寬脈沖暴的分布高于實(shí)際探測(cè)到的源的分布。因此，我們今后應(yīng)利用FAST 搜尋更多快速射電暴。此外，如果將信噪比為10 以上的觀測(cè)數(shù)據(jù)作為可信的快速射電暴探測(cè)結(jié)果[47]，根據(jù)式(1) 以及我們使用的模擬參數(shù)(見表1)，可估算出，F(xiàn)AST 望遠(yuǎn)鏡對(duì)于快速射電暴探測(cè)的理論極限積分能流(靈敏度) 約為0.024 Jy·ms。此外，根據(jù)FAST 19 波束漂移掃描實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)噪聲，我們也估算出，信噪比為10 時(shí)的快速射電暴觀測(cè)能流約為0.036 Jy·ms。這是未考慮FAST 系統(tǒng)誤差，僅考慮統(tǒng)計(jì)漲落估算出的FAST 望遠(yuǎn)鏡對(duì)于快速射電暴的探測(cè)極限積分能流。目前第一個(gè)重復(fù)快速射電暴(FRB121102) 的爆發(fā)觀測(cè)能流均在這兩個(gè)估算出的極限積分能流之上，說明FAST 有能力通過掃描觀測(cè)探測(cè)到重復(fù)快速射電暴，而本研究獲得的快速射電暴模擬樣本有助于研究FAST 在漂移掃描觀測(cè)模式下的重復(fù)快速射電暴探測(cè)能力。重復(fù)快速射電暴的定點(diǎn)觀測(cè)在儀器系統(tǒng)控制和射頻干擾方面較為復(fù)雜，因此，本研究對(duì)FAST 的重復(fù)快速射電暴的定點(diǎn)觀測(cè)研究?jī)H具有借鑒意義。除此之外，重復(fù)快速射電暴的重復(fù)爆發(fā)率(repetition rate) 也影響FAST 對(duì)于重復(fù)快速射電暴的探測(cè)結(jié)果。Oppermann 等人[48]提出，由于重復(fù)快速射電暴的爆發(fā)有集聚特性(cluster)，在同樣總觀測(cè)時(shí)長(zhǎng)下，相比于連續(xù)觀測(cè)，一個(gè)中間有較長(zhǎng)間隙的短時(shí)分散觀測(cè)有更多機(jī)會(huì)探測(cè)到重復(fù)快速射電暴的爆發(fā)。

目前，由于實(shí)際觀測(cè)到的快速射電暴數(shù)目較少，因此，我們的模擬可以用來研究包括機(jī)器學(xué)習(xí)等快速射電暴搜尋算法在FAST 巡天漂移掃描觀測(cè)中的應(yīng)用價(jià)值。在我們的兩個(gè)樣本中，基于觀測(cè)參數(shù)模擬的觀測(cè)量空間的快速射電暴樣本可以用來評(píng)估快速射電暴搜尋算法的性能和探測(cè)率。依據(jù)恒星演化史以及宇宙學(xué)模型和本征物理量模擬得到的物理量空間樣本，可以用來研究FAST 觀測(cè)和各種搜尋算法的選擇效應(yīng)，并有可能通過實(shí)際探測(cè)信號(hào)，反推出快速射電暴的內(nèi)稟分布。

我們期望將來能利用我們產(chǎn)生的FAST 快速射電暴模擬樣本，訓(xùn)練快速射電暴搜尋方法，并最終應(yīng)用于FAST 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)中快速射電暴的搜索。在完成設(shè)備調(diào)試，并進(jìn)入正式科學(xué)運(yùn)行后，F(xiàn)AST 有可能對(duì)快速射電暴的探測(cè)作出貢獻(xiàn)，我們產(chǎn)生的模擬樣本也可望有助于FAST 未來對(duì)于快速射電暴的觀測(cè)研究。這些模擬樣本可用于FAST 探測(cè)快速射電暴，以評(píng)估和研究針對(duì)FAST 多波束漂移掃描巡天的快速射電暴搜尋算法。

FAST 望遠(yuǎn)鏡在2019 年8 月底至9 月初已經(jīng)通過跟蹤觀測(cè)而探測(cè)到一批來自重復(fù)快速射電暴FRB121102 的脈沖信號(hào)[49]，證明了FAST 望遠(yuǎn)鏡具有探測(cè)重復(fù)FRB 脈沖的能力，這與我們的模擬研究給出的結(jié)論一致。

致謝

感謝澳大利亞的George Hobbs 為本項(xiàng)目提供可用的模擬程序。感謝本論文審稿人，他們提出的寶貴意見使得本文得到顯著改進(jìn)和提升。