薛 瑾

“數(shù)學(xué)是思維的體操”，因此，數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要目標(biāo)，就是要教會學(xué)生進行數(shù)學(xué)地思考。在這里，“教會思考”意味著數(shù)學(xué)教師不僅僅給學(xué)生傳授知識，而且更應(yīng)注重提升學(xué)生運用所學(xué)知識解決問題的能力，讓學(xué)生學(xué)會思考，形成良好的思維習(xí)慣，達成“教是為了不教”這一高層次目標(biāo)。在初三復(fù)習(xí)階段，教會學(xué)生有目的、有意識地思考，是培養(yǎng)學(xué)生解題能力的關(guān)鍵。

本文以利用分類討論思想解題為例，以把握分類標(biāo)準為教學(xué)“支架”，淺談教會學(xué)生思考的具體做法。

1.合理分類，通過變式教學(xué)讓學(xué)生學(xué)會思考。

把握分類標(biāo)準，首先要讓學(xué)生學(xué)會在分類標(biāo)準確定的情況下進行合理分類。同時，通過變式教學(xué)，讓學(xué)生在經(jīng)歷“回顧”與“檢驗”過程中學(xué)會思考。

例1：某等腰三角形的兩條邊長分別為4cm和6cm，則它的周長為（ ）。

A.10cm B.14cm C.16cm D.14cm 或16cm

“分類討論”思想是指在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，根據(jù)問題中所出現(xiàn)的多種情況和可能性，而分別研究的一種常用的數(shù)學(xué)思想方法。教學(xué)中，教師關(guān)鍵是要教會學(xué)生如何發(fā)現(xiàn)分類依據(jù)、確定分類標(biāo)準、實施不重復(fù)不遺漏的分類。在本題中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生主動回顧等腰三角形相關(guān)知識，根據(jù)“等腰三角形有三條邊，分別為兩腰和一底邊”，教師可以設(shè)問：題目中給出“兩條邊長分別為4cm 和6cm”這一條件，能確定誰是底邊長、誰是腰長嗎？這一設(shè)問旨在讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)已知條件中的不確定元素，從而發(fā)現(xiàn)問題解決過程中的兩種可能性：（1）腰長4cm、底邊長6cm；（2）腰長6cm、底邊長4cm。于是問題便迎刃而解。

為了更好地發(fā)揮例題的教學(xué)功能，讓學(xué)生真正地學(xué)會思考，解決本題之后，教師可以進一步進行“變式教學(xué)”，即把題中的條件改為“兩邊長為3cm 和6cm”，讓學(xué)生獨立去“求此時三角形的周長”。這里看似只改變了一個數(shù)據(jù)，其實對學(xué)生的解題能力要求更高，可以更好地訓(xùn)練和提升學(xué)生的思考力。

2.選定標(biāo)準，通過動態(tài)探究讓學(xué)生學(xué)會思考。

把握分類標(biāo)準，還有一層意思就是在標(biāo)準多元的情況下需要先行選定標(biāo)準，不同的標(biāo)準對應(yīng)不同的分類方法。

例2：在矩形ABCD 中，AB=4cm，BC=8cm，對角線AC 的垂直平分線EF 分別交邊AD、BC于點E、F，垂足為O。

（圖1）

（1）如圖1，分別連接AF、CE。求證：四邊形AFCE 為菱形，并求線段AF 的長。

（圖2）

（2）如圖2，動點P、Q 分別從A、C 兩點同時出發(fā)，沿△AFB 和△CDE各邊勻速運動一周，即點P 自A→F→B→A、點Q 自C→D→E→C，一點停則另一點也停止運動。在運動過程中，①若點P 的速度為每秒5cm，點Q 的速度為每秒4cm，運動時間為t 秒，當(dāng)A、C、P、Q 四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值。②若點P、Q 的運動路程分別為a、b（ab≠0），已知A、C、P、Q 四點為頂點的四邊形是平行四邊形，求a 與b 滿足的數(shù)量關(guān)系式。

在題（2）①的教學(xué)中，動點P、Q 以不同速度沿著不同路徑運動，問題研究起來比較復(fù)雜。若將其分成若干種情況逐一研究，就能解決整個問題。為此，教師可以設(shè)計不同的“鋪墊性問題”，讓學(xué)生分類探究，使其充分經(jīng)歷和體驗思考的過程。

首先，“抓住一點”，實現(xiàn)點上突破。通過對點P 運動的分類探究，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“以點P 依次出現(xiàn)在不同路徑上的時間范圍進行分類研究”的思路。

其次，“兩點齊抓”，實現(xiàn)面上突破。研究兩個點同時運動的情況，“點P 0 秒時在點A 處→1 秒時在點F 處→1.6 秒時在點B 處→2.4 秒時回到點A 處，點Q0 秒時在點C 處→1 秒時在點D 處→1.75 秒時在點E 處→3 秒時回到點C處”，指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合雙動點同時運動的條件，找到“0＜t≤1”“1＜t≤1.6”“1.6＜t≤1.75”“1.75＜t＜2.4”四種情況。

上述引導(dǎo)學(xué)生分析的過程，就是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會如何把握分類標(biāo)準。在這一過程中，教師要盡可能多地讓學(xué)生自己去體驗、去發(fā)現(xiàn)，落實教會學(xué)生思考的目標(biāo)。

題（2）②是對平行四邊形存在性問題的研究，不同的判定方法，會產(chǎn)生不同的分類思路。因此，教師可以基于學(xué)生提出的判定思路，引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖、猜想嘗試運用不同的分類標(biāo)準進行探究。

比如，當(dāng)學(xué)生提出“一組對邊平行且相等”的思路時，教師要引導(dǎo)學(xué)生有意識地發(fā)現(xiàn)“點P、Q 必須在互相平行的路徑上”的結(jié)論，從而得到“當(dāng)P 點在AF 上、Q 點在CE 上”“當(dāng)P 點在BF 上、Q 點在DE 上”“當(dāng)P 點在AB 上、Q 點在CD 上”三種分類情況。又如，當(dāng)學(xué)生提出“對角線互相平分”的思路時，教師要引導(dǎo)學(xué)生抓住“線段PQ 必經(jīng)過AC 的中點”這一前提，并通過對角線所在直線的旋轉(zhuǎn)得到“對角線交AF 和CE”“對角線交邊BF 和DE”“對角線交AB 和CD”三種分類情況，問題便能得到解決。

雅斯貝爾斯在《什么是教育》一書中，多次闡明“自明性”這一觀點。他認為，學(xué)習(xí)任何東西的最好途徑是自己去發(fā)現(xiàn)、去領(lǐng)悟。這就要求教師在教學(xué)過程中，要努力地讓學(xué)生主動學(xué)習(xí)，教會他們有目的、有意識地思考，增強“自明性”，才能不斷提升問題解決的能力。