姜百軍

【摘要】 點(diǎn)的平移口訣是“左減右加，上加下減”，函數(shù)圖像的平移規(guī)律為“左加右減，上加下減”.

【關(guān)鍵詞】平移;坐標(biāo);圖像;口訣;規(guī)律

在初中七年級，同學(xué)們會學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的平移變化，在八年級會學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系中一次函數(shù)圖像的平移及解析式的變化，在九年級會學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系中二次函數(shù)圖像的平移及函數(shù)關(guān)系式的變化.這幾種變化困擾著許多同學(xué)，容易混淆變化規(guī)律，下面就點(diǎn)的平移和函數(shù)圖像平移做一些探究.

一、平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的平移

在人民教育出版社七年級下冊《數(shù)學(xué)》第七章中，學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系后，平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)發(fā)生一些左、右、上、下等平移變化，那么隨著點(diǎn)的位置的變化，點(diǎn)的坐標(biāo)該如何變化呢？

例1 在平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)A（-2，-3）.

（1）把點(diǎn)A向左平移3個單位得到點(diǎn)A1的坐標(biāo)為;

（2）把點(diǎn)A向右平移5個單位得到點(diǎn)A2的坐標(biāo)為;

（3）把點(diǎn)A向上平移4個單位得到點(diǎn)A3的坐標(biāo)為;

（4）把點(diǎn)A向下平移2個單位得到點(diǎn)A4的坐標(biāo)為;

（5）把點(diǎn)A向右平移2個單位再向上平移4個單位得到點(diǎn)A5的坐標(biāo)為.

分析 如圖1，通過平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的平移作圖我們可以寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A1（-5，-3），A2（3，-3），A3（-2，1），A4（-2，-5），A5（0，1）.

結(jié)合圖像，我們觀察點(diǎn)A的橫縱坐標(biāo)變化，就會發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A（-2，-3）向左平移3個單位得到點(diǎn)A1（-5，-3），橫坐標(biāo)減去了3，縱坐標(biāo)不變;點(diǎn)A（-2，-3）向右平移5個單位到點(diǎn)A2（3，-3），橫坐標(biāo)加上了5，縱坐標(biāo)不變;點(diǎn)A（-2，-3）向上平移4個單位得到點(diǎn)A3（-2，1），橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)加上了4;點(diǎn)A（-2，-3）向下平移2個單位得到點(diǎn)A4（-2，-5），橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)減去了2;點(diǎn)A（-2，-3）向右平移2個單位再向上平移4個單位得到點(diǎn)A5（0，1），橫坐標(biāo)加上了2，縱坐標(biāo)加上了4.

我們觀察這些點(diǎn)的坐標(biāo)變化，就會發(fā)現(xiàn)規(guī)律：點(diǎn)A（x，y）向右平移幾個單位，就在橫坐標(biāo)上加上幾，縱坐標(biāo)不變;點(diǎn)A（x，y）向左平移幾個單位，就在橫坐標(biāo)上減去幾，縱坐標(biāo)不變;點(diǎn)A（x，y）向上平移幾個單位，就在縱坐標(biāo)上加上幾，橫坐標(biāo)不變;點(diǎn)A（x，y）向下平移幾個單位，就在縱坐標(biāo)上減去幾，橫坐標(biāo)不變;如果點(diǎn)A（x，y）向兩方向平移，那么兩個坐標(biāo)同時(shí)變化即可.總結(jié)為簡單的口訣就是“左減右加，上加下減”，注意“左減右加”變化橫坐標(biāo)，“上加下減”變化縱坐標(biāo).

二、平面直角坐標(biāo)系中函數(shù)圖像的平移

（一）一次函數(shù)圖像的平移

在人民教育出版社八年級下冊《數(shù)學(xué)》第十九章中，學(xué)習(xí)了一次函數(shù)圖像的平移變化，它到底有怎樣的變化規(guī)律呢？

例2 已知一次函數(shù)y=2x+1.

（1）把它的圖像向左平移1個單位可得直線的解析式為;

（2）把它的圖像向右平移2個單位可得直線的解析式為;

（3）把它的圖像向上平移3個單位可得直線的解析式為;

（4）把它的圖像向下平移3個單位可得直線的解析式為.

分析 如圖2，把直線y=2x+1向左平移1個單位可得直線y=2x+3，也就是在原自變量x上加上1，即y=2（x+1）+1=2x+3.

把直線y=2x+1向右平移2個單位可得直線y=2x-3，也就是在原自變量x上減去2，即y=2（x-2）+1=2x-3.

把直線y=2x+1向上平移3個單位可得直線y=2x+4，也就是在常數(shù)項(xiàng)上加上3，即y=2x+1+3=2x+4.

把直線y=2x+1向下平移3個單位可得直線y=2x-2，也就是在常數(shù)項(xiàng)上減去3，即y=2x+1-3=2x-2.

我們觀察這些變化情況，發(fā)現(xiàn)直線y=kx+b（k≠0）在平移變化時(shí)，k不發(fā)生變化，只在自變量x和常數(shù)b處發(fā)生了變化.直線y=kx+b向左平移a個單位，解析式就會變?yōu)閥=k（x+a）+b;直線y=kx+b向右平移a個單位，解析式就會變?yōu)閥=k（x-a）+b;直線y=kx+b向上平移a個單位，解析式就會變?yōu)閥=kx+b+a;直線y=kx+b向下平移a個單位，解析式就會變?yōu)閥=kx+b-a.如果向兩個方向同時(shí)移動，那么x和b同時(shí)變化即可.總結(jié)規(guī)律為“左加右減，上加下減”，要注意“左加右減”整體變化自變量，“上加下減”變化常數(shù)項(xiàng).

（二）二次函數(shù)圖像的平移

在人民教育出版社九年級上冊《數(shù)學(xué)》第二十二章中，同學(xué)們會學(xué)習(xí)二次函數(shù)圖像的平移變化，下面我們來探究它的變化規(guī)律.

例3 已知拋物線y=-2x2-1.

（1）把它的圖像向左平移1個單位得到二次函數(shù)圖像的解析式為;

（2）把它的圖像向右平移3個單位得到二次函數(shù)圖像的解析式為;

（3）把它的圖像向上平移2個單位得到二次函數(shù)圖像的解析式為;

（4）把它的圖像向下平移3個單位得到二次函數(shù)圖像的解析式為;

（5）把它的圖像向左平移2個單位，再向上平移3個單位得到二次函數(shù)圖像的解析式為.

分析? 如圖3，拋物線y=-2x2-1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），把y=-2x2-1的圖像向左平移1個單位，拋物線的開口方向和開口大小沒發(fā)生變化，因此解析式中a值不變，頂點(diǎn)（0，-1）向左平移了1個單位得到（-1，-1），由二次函數(shù)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k（a≠0，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）），得平移后拋物線解析式為y=-2（x+1）2-1 .

同理，把y=-2x2-1的圖像向右平移3個單位，頂點(diǎn)（0，-1）平移到了（3，-1），得解析式為y=-2（x-3）2-1;把y=-2x2-1的圖像向上平移2個單位，頂點(diǎn)（0，-1）平移到了（0，1），得解析式為y=-2x2+1，也就是由y=-2x2-1+2化簡得到;把y=-2x2-1的圖像向下平移3個單位，頂點(diǎn)（0，-1）平移到了（0，-4），得解析式為y=-2x2-4，也就是由y=-2x2-1-3化簡得到;把y=-2x2-1的圖像向左平移2個單位，再向上平移3個單位，頂點(diǎn)（0，-1）平移到了（-2，2），得解析式為y=-2（x+2）2-1+3，即y=-2（x+2）2+2.

對于二次函數(shù)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）或頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）+k（a≠0），在圖像平移變化時(shí)，解析式的變化都遵循規(guī)律“左加右減，上加下減”，要注意“左加右減”變化每個自變量，“上加下減”變化常數(shù)項(xiàng)，這和一次函數(shù)圖像平移是一樣的.

例4 （1）把二次函數(shù)y=-3x2-x+1的圖像向左平移3個單位，再向下平移2個單位得到的函數(shù)解析式為.

（2）把二次函數(shù)y=-2（x-3）2+2的圖像向右平移5個單位，再向上平移3個單位得到的函數(shù)解析式為.

分析 此類題目遵循圖像平移規(guī)律“左加右減，上加下減”，需要注意在向左右平移時(shí)每個自變量x都要變化，向上下平移只變化常數(shù)項(xiàng).第（1）題平移后的解析式為y=-3（x+3）2-（x+3）+1-2，即y=-3x2-19x-31.第（2）題平移后的解析式為y=-2（x-3-5）2+2+3，即y=-2（x-8）2+5.

總之，點(diǎn)的坐標(biāo)平移變化規(guī)律是“左減右加，上加下減”，注意“左減右加”變化橫坐標(biāo)，“上加下減”變化縱坐標(biāo);函數(shù)圖像平移的變化規(guī)律為“左加右減，上加下減”，要注意“左加右減”變化自變量，“上加下減”變化常數(shù)項(xiàng).