李 雪, 陳 巖

(1.沈陽工業(yè)大學 理學院, 遼寧 沈陽 110870； 2.沈陽工業(yè)大學 管理學院， 遼寧 沈陽 110870)

傳統(tǒng)數學工具如概率論、區(qū)間數學可以解決含有不確定性的問題,但Zadhe[1]于1965年提出的模糊集理論迅速成為解決不確定性問題的重要工具,在運用模糊集理論解決實際問題時,由于問題的性質更依賴于隸屬函數的設定,所以隸屬函數的確定變得尤其重要.為了處理不確定性問題,Molodtsov[2]于1999年提出了軟集合理論的概念,它作為一種解決不確定性問題的數學工具,借助二元信息對目標進行分類,可以不受目標屬性集的限制,且沒有產生隸屬函數.Maji[3]等研究了關于軟集合理論的運算,如交、并、補、與和或運算等,并將軟集合理論應用于多個方向,此后軟集合理論的性質及應用得到國內外研究者的重視.Feng等研究了基于軟集合理論的群決策應用問題[4-5].Maji等通過嵌入模糊集理論的思想,將模糊集與軟集相結合,得到了模糊軟集合理論,并擴展了模糊軟集合在群決策中的應用[6-7].Majumdar等進一步擴展了模糊軟集合理論，提出了廣義模糊軟集[8]，Wang等提出了猶豫模糊軟集及其在多屬性群決策問題中的應用[9].

在實際的群決策問題中,專家的判斷會受到個人背景、偏好以及主觀傾向等因素的影響,給出的決策矩陣或判斷矩陣中的元素往往具有不確定性,導致群決策難以有效地進行.只有專家群體判斷達成共識,群決策的結果才有意義,因此如何快速地尋找出大規(guī)模群體中的非合作專家成為一致性群決策的研究熱點.Palomare[10]等提出了一種適用于大規(guī)模決策的決策模型,運用模糊聚類方法來檢測和管理個體和群體的非合作行為.隨后,Quesada[11]等認為通過減少重要性來管理非合作行為的專家意見稍有欠缺,從而提出了一種基于模糊集合和語言計算的新方法用以識別和管理并改進非合作專家的行為和意見.將專家權重與一致性動態(tài)過程相結合并研究了其在非合作群決策過程中的應用[12].Xu等對具有非合作行為的多屬性大規(guī)模群決策問題給出了決策的共識模型[13].所謂逆判問題,就是在大規(guī)模群決策中,為進一步提高群決策質量,對參與決策的專家評判水平進行評判,找出非合作專家.劉萬里[14]首先對基于互反判斷矩陣的群決策逆判問題給出了一種統(tǒng)計分析方法.陳巖等[15-17]針對基于語言信息判斷矩陣的群決策問題提出了基于方差的假設檢驗方法，針對互補判斷矩陣通過等轉換為互反判斷矩陣，提出一種改進的統(tǒng)計分析方法，并將區(qū)間數信息轉化為互反判斷矩陣，提出了基于區(qū)間數信息的群決策逆判方法.陳俠等[18]利用相對偏差改進了基于互補判斷矩陣的逆判問題分析方法.鞏在武等[19]借助相關度給出了直覺模糊判斷矩陣的群決策逆判問題分析方法.夏梅梅等[20]針對區(qū)間直覺模糊判斷矩陣的群決策逆判問題給出了基于相似度的分析方法.

本文運用模糊聚類算法來處理模糊軟集群決策逆判問題,模糊聚類算法能快速將專家群體分類,提高決策質量.模糊聚類算法較傳統(tǒng)K-means算法比較,有其獨特的優(yōu)勢,傳統(tǒng)K-means算法進行聚類時需要考慮初始類簇中心點的選擇,還需要考慮分為幾類,而本文則使用模糊聚類算法進行動態(tài)分析,從而快速聚類.首先定義模糊軟集的決策矩陣,然后給出決策矩陣的規(guī)范化形式,通過計算兩個矩陣之間的相似性得到一個模糊相似矩陣,進一步通過模糊聚類的方法對專家進行分類,即從每一個類別的專家群體中選擇一位專家,通過構造的互反判斷矩陣，對挑選出的專家進行一致性檢驗,從而找出非合作專家群體,完成對專家水平的評判,最后通過一個例子說明該方法的有效性.

1 基本概念

定義1[2]設U為初始論域,P(U)為U的冪集,E是所有參數集的集合且A?E.那么論域U上的一個軟集通過一個函數的映射來定義：

fA:E→P(U),若x?A,則fA(x)=?.

其中：fA是軟集FA的近似函數,fA的值是一個集合,稱為軟集的x元素集.值得注意的是,fA是任意的,可以是空的,也可以是非空的集合.因此論域U上的一個軟集可用序對的集合表示為

定義2[1]設U為非空集合,U中的一個模糊集合通過它的隸屬函數μx:U→[0,1]來描述,其中μX(x)為模糊集X中x元素的隸屬度.則X用集合來表示為

定義3[6]設U為初始論域,E是所有參數集的集合且A?E,IU表示U上所有模糊子集的冪集.則(F,E)為論域U上的一個模糊軟集,其中F為一個映射：F:A→IU.

定義4[6]設(F,A)和(G,B)為論域U上的兩個模糊軟集,若滿足(i)A?B,(ii)?ε∈A,F(ε)是G(ε)的模糊子集,則稱(F,A)是(G,B)的模糊軟子集.

定義5[6]設(F,A)補集(F,A)c,定義(F,A)c=(Fc,┑A),其中Fc:┑A→IU是一個映射且對于?α∈┑A,Fc(α)是F(┑α)的模糊補.

定義6[21]設(F,E)為論域U上的一個模糊軟集,則(F,E)的模糊關系定義為

其中隸屬函數μRA記為μRA:U×E→[0,1].若U={u1,u2,…,um},E={e1,e2,…,en}，且A?E,則RA可用表1表示.

表1 模糊軟集(F,E)的關系表示Table 1 Relational representation of fuzzy soft sets(F,E)

假設aij=χRA(ui,ej),可以定義一個矩陣

叫做模糊軟集(F,E)在U上的模糊軟矩陣.

根據這個定義,一個模糊軟集(F,E)可以由模糊軟矩陣[aij]m×n唯一表示.這意味著模糊軟集(F,E)在形式上和它的模糊軟矩陣[aij]m×n等價.因此,可以用模糊軟矩陣確定任何模糊軟集并且這兩個概念可以相互交換使用.所有在論域U上的m×n階模糊軟矩陣的集合可以用FSMm×n來表示.

定義7[6]如果(F,A)和(G,B)是兩個模糊軟集,則兩者的并集為(H,C),其中：C=A∪B,?e∈C,有

定義8[6]如果(F,A)和(G,B)是兩個模糊軟集,則兩者的交集為(H,C),其中:C=A∩B,?e∈C,H(e)=F(e)或G(e).

2 相似性度量

在很多文獻中,已經研究了兩個模糊軟集之間的相似性度量,有基于距離的相似性度量,還有基于匹配函數的相似性度量,還有一些基于集合理論的相似性度量.這里主要介紹集合理論的相似性度量[22].

定義11F(ei)和F(ei)的ei近似值的相似性為

(1)

性質1 (i)M(F,G)=M(G,F); (ii) 0≤M(F,G)≤1; (iii)S(F,F)=1.

那么M1=0.68,M2=0.59,M3=0.39,M4=0.72,因此,MF,G=max{M1,M2,M3,M4}=0.72.

定義12 設有p(p≥2)位專家,則模糊相似矩陣為C=[cij]n×n,其中：

3 模糊軟矩陣的互反導出矩陣與一致性分析

在決策過程中,研究判斷矩陣的一致性尤其重要,只有判斷矩陣具有一致性或弱一致性,決策結果才有意義,否則決策結果會產生矛盾.通過對同一個專家基于權重參數進行兩兩方案的比較,得到兩個方案的比較值來構造互反導出矩陣.

定義13 設D=[di*j*]m×m為模糊軟矩陣A=[aij]m×n的互反導出矩陣,則有

D=[di*j*]m×m=

(2)

其中：1≤i*≤m,1≤j*≤m,wj為模糊軟集中參數的初始權重,由專家根據參數的重要程度給出.當di*j*=1時,表示方案i*與方案j*無差別;若di*j*>1,則表示方案i*優(yōu)于方案j*;若di*j*<1,則表示方案j*優(yōu)于方案i*.

性質2[16]設D=[di*j*]m×m為模糊軟矩陣的互反導出矩陣,則

(1) 對所有的i*=1,2,…,m;di*i*=1.

(2) 對所有的i*,j*=1,2,…,m；di*j*×dj*i*=1.

定義14 對于互反判斷矩陣D=[di*j*]m×m,若滿足di*k*×dk*j*=di*j*,則稱D為完全一致性矩陣.

4 基于模糊聚類算法對專家進行聚類分析

在大規(guī)模群決策過程中,運用模糊聚類的方法將專家根據專家群體之間的相似性進行分類.

定義15[23]設R∈F(X×X),如果對任意λ∈[0,1]及任意x,y,z∈X滿足:R(x,y)≥λ,R(y,z)≥λ?R(x,z)≥λ,則稱R是傳遞的.

定義16[23]若R是X上的自反、對稱、傳遞的模糊關系,則稱R是X上的模糊等價關系.

定義17[24]設R∈F(X×X),若R1∈F(X×X)是傳遞的且滿足：(i)R?R1;(ii)若S是X上的模糊傳遞關系且R?S,必有R1?S,則稱R1為R的傳遞閉包,記為t(R).

根據上述定義,模糊關系R的傳遞閉包是包含R的最小傳遞關系.

模糊聚類算法對專家進行逆判的具體步驟如下:

步驟2 運用定義12,求模糊相似矩陣C=[cij]p×p.

步驟3 求傳遞閉包,求C2,C4,C8,…,得到模糊相似等價矩陣t(C),選取適當的置信水平值λ∈[0,1],按λ截矩t(C)λ,進行動態(tài)聚類.

步驟4 從所期望的每個類別中挑選出一位專家,將其模糊軟矩陣轉換為互反判斷矩陣D=[di*j*]m×m,隨后進行一致性檢驗,挑選出非合作專家,并對專家水平進行評判.

5 算 例

步驟2 計算模糊相似性矩陣C=[cij]p×p如下:

步驟3 得到模糊相似等價矩陣t(C)如下:

把t(C)中的元素從小到大的順序編排如下:

0.71<0.75<0.77<0.79<0.80<0.81<0.82<0.85<0.88<0.89<0.91<1.

依次取λ等于上述值,由于算例中有6位專家,應將專家分為2類或3類較為合理,所以當λ=0.75時有

這時專家群體被分為3類:{x1,x5},{x2,x4,x6}{x3},即當置信域取區(qū)間(0.71,0.75]時,專家分類較為合理,即

L1={x1,x5},L2={x2,x4,x6},L3={x3}.

步驟4 從L1、L2、L3中分別挑選出一位專家,在L1中選擇專家5,在L2中選擇專家4,在L3中選擇專家3進行一致性檢驗,結果如下:

專家5的互反導出矩陣為

專家4的互反導出矩陣為

專家3的互反導出矩陣為

計算專家5、4、3的一致性比率：CR5=0.115 8,CR4=0.032 4,CR3=0.09.由于CR5>0.1,可認為專家5具有較差的一致性,專家5所在的類別L1中的專家的一致性較差,故專家1、5的評判水平較差;由于CR4≤0.1,可認為專家4具有較好的一致性,專家4所在的類別L2中的專家的一致性較好,故專家2、4、6的評判水平較好;由于CR3≈0.1,可認為專家3的一致性較好卻差于專家4,專家3所在的類別L3中的專家的一致性一般,故專家3的評判水平一般.

6 算法復雜度對比分析

在大規(guī)模群決策逆判問題中,假設有N位專家針對n個方案給出導出矩陣為Q=(qij)n×n,分別運用基于偏差度量的逆判分析和基于聚類分析的逆判分析兩種方法對專家一致性水平進行排序.

6.1 基于偏差度量的逆判分析

(1) 利用和積法求Q=(qij)n×n最大特征值所對應的特征向量w=(w1,w2,…,wn)T，計算每位專家權重的wi的運算次數為n2+3n+1次,則N位專家的運算次數為N·(n2+3n+1).

(2) 計算每個判斷矩陣的偏差矩陣δij,其中每個判斷矩陣的運算次數為n2+2次,則N位專家的運算次數為N·(n2+2).

6.2 基于聚類分析的逆判分析

首先將模糊軟矩陣規(guī)范化,求其模糊相似矩陣,利用模糊聚類的方法進行動態(tài)聚類,由于每個類別中的專家具有相似性,只需要在每個類別中挑選出一位專家,將其模糊軟矩陣轉化為互反判斷矩陣,計算其一致性,最后進行排序.

(1) 將模糊軟矩陣最大規(guī)范化,每位專家的運算次數為n2,N位專家的運算次數N·n2.

6.3 算法小結

兩種算法的計算復雜度均與專家的個數和矩陣的階數(即決策矩陣中方案的個數)有關,第一種算法的復雜度為o(N·n5+N2),而第二種算法的復雜度為o(N·n2+N2·n),顯然在大規(guī)模群決策問題中,使用聚類算法對專家群體進行逆判問題分析具有較高的效率, 能夠大幅度減少總體搜索的計算量.

7 結 論

運用模糊聚類算法解決模糊軟集群決策逆判問題,提出一種基于模糊軟集的群決策逆判方法.運用模糊聚類算法對專家群體進行動態(tài)聚類,可以快速找出非合作專家,從而對專家評判水平進行評判.通過對算法的復雜度分析,說明模糊聚類算法減少了計算的復雜性,有助于提高大規(guī)模群體決策的質量與效率.