周后卿

(邵陽學(xué)院 理學(xué)院，湖南 邵陽 422000)

設(shè)G= （V,E）是一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn)，m條邊的簡單連通圖，頂點(diǎn)集合記為V= ｛1 ,2, … ,n｝，頂點(diǎn)i的度記為di，設(shè)圖G度序列為｛d1,d2, … ,dn｝.基于圖的分子結(jié)構(gòu)描述符(通常稱拓?fù)渲笖?shù))是刻畫分子物理和化學(xué)性質(zhì)、設(shè)計(jì)藥理活性化合物和識別環(huán)境有害物質(zhì)等方面的有用工具[1].因此，研究人員提出了許多這樣的圖不變量，然而只有少數(shù)被證明適用于實(shí)際用途，其中之一便是原子鍵連通性指數(shù)(以下簡稱ABC指數(shù))[2-4]，1998 年分子圖的ABC指數(shù)被Estrada 等人介紹過.

文獻(xiàn)[5]定義了分子圖的ABC指數(shù)為

本文只討論簡單連通圖和單圈圖的ABC指數(shù)的下界.

1 幾個(gè)已知結(jié)論及引理

首先簡單回顧單圈圖的定義.單圈圖是只含一個(gè)圈的簡單連通圖，它的頂點(diǎn)數(shù)與邊數(shù)相等.

對于分子圖的ABC指數(shù)，引進(jìn)幾個(gè)已知結(jié)論.

在文獻(xiàn)[2]中，K C Das 證明了下列結(jié)論：

定理A若G是一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn)，m條邊，最大頂點(diǎn)度為Δ 的簡單連通圖，則

在文獻(xiàn)[4]中，B Furtula 等人給出了樹的界，得到下列定理：

定理B設(shè)T是一個(gè)頂點(diǎn)為n的化學(xué)樹，則

陳錦松等人(見文獻(xiàn)[7])證明了：若G是具有n個(gè)頂點(diǎn)的單圈圖，則

不難看出，文獻(xiàn)[7]的這個(gè)結(jié)論是在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上做了改良.

現(xiàn)在證明簡單連通圖的ABC的指數(shù)的下界.為了證明定理，需要下述引理.

引理[8]設(shè) 0＜a＜a i＜A（i= 1,2, … ,n），則

2 主要結(jié)論

現(xiàn)在，證明本文的第1 個(gè)結(jié)論.

證明不妨設(shè)圖的頂點(diǎn)度d i,dj≤Δ，則

從而有

圖1 具有5 個(gè)頂點(diǎn)的單圈圖

于是有

從而推出

仍以上述單圈圖為例，并利用定理2 計(jì)算，可得

顯然，ABC(U5) = 3.85 ＞ 2.449，這說明定理2 成立.

對于單圈圖，利用定理A，可推出下列定理.

定理3若Un是具有n個(gè)頂點(diǎn)、最大頂點(diǎn)度為Δ 的單圈圖，是修正的第2 類Zagreb 指數(shù).則

其證明從略.

顯然，3.85 3.817＞ ，定理3 成立.