施婷婷 汪六九2) 王璟琨2)? 張威2)?

1) (中國(guó)人民大學(xué)物理學(xué)系, 北京 100872)

2) (中國(guó)人民大學(xué), 光電功能材料與微納器件北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100872)

隨著人造規(guī)范勢(shì)和自旋軌道耦合在冷原子體系中的實(shí)現(xiàn), 對(duì)這類(lèi)效應(yīng)的研究成為了冷原子物理研究的熱門(mén)方向之一.冷原子系統(tǒng)具有豐富的可操控性, 因此不僅可以作為優(yōu)秀的量子模擬平臺(tái)來(lái)研究其他領(lǐng)域中有意義的模型和問(wèn)題, 還基于體系自身的特點(diǎn)衍生出了一系列新穎的問(wèn)題和方向.本文將以綜述的形式介紹具有自旋軌道耦合的超冷原子系統(tǒng)中的一些新研究進(jìn)展, 重點(diǎn)關(guān)注該體系中特有的物理要素, 如耗散、新穎的相互作用形式、大自旋和長(zhǎng)程相互作用對(duì)系統(tǒng)性質(zhì)的影響.這些研究進(jìn)展可以為理解自旋軌道耦合效應(yīng)提供新的啟示和思路.

青年科學(xué)評(píng)述

1 引 言

自旋軌道耦合 (spin-orbit coupling, SOC) 是指一個(gè)物體的自旋角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量之間的耦合.在經(jīng)典物理中, 一個(gè)熟悉的例子是月球的自轉(zhuǎn)和繞地球的公轉(zhuǎn)通過(guò)潮汐力相互耦合, 最終鎖定為相同的運(yùn)動(dòng)周期.在原子物理中, 電子的自旋角動(dòng)量和繞原子核的軌道角動(dòng)量發(fā)生耦合, 形成原子的精細(xì)結(jié)構(gòu)劈裂.自旋軌道耦合的定義還可以進(jìn)一步推廣為一個(gè)物理系統(tǒng)的內(nèi)部自由度和外部自由度之間的耦合.例如在凝聚態(tài)物理中, 電子自旋和Bloch波矢之間的關(guān)聯(lián)也被稱為自旋軌道耦合.不同類(lèi)型、不同強(qiáng)度的SOC不僅會(huì)顯著影響材料中電子的運(yùn)動(dòng), 還能夠改變系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)[1?6].

近年來(lái), 利用原子與光之間的相互作用, 人們?cè)诶湓酉到y(tǒng)中實(shí)現(xiàn)了人造的SOC效應(yīng).在這類(lèi)實(shí)驗(yàn)中, 原子通過(guò)吸收和放出光子, 從一個(gè)內(nèi)態(tài)躍遷到另一個(gè)內(nèi)態(tài), 同時(shí)經(jīng)過(guò)與光子的反沖獲得動(dòng)量的改變.經(jīng)過(guò)這一過(guò)程, 原子的內(nèi)部自由度和平動(dòng)的外部自由度形成了耦合.2011年, NIST的Lin等[7]首先通過(guò)雙光子Raman過(guò)程在87Rb原子玻色-愛(ài)因斯坦凝聚 (Bose-Einstein condensate, BEC)中實(shí)現(xiàn)了一維的 SOC.2012年, 山西大學(xué) Wang等[8]和MIT的Cheuk等[9]分別在40K和6Li簡(jiǎn)并費(fèi)米氣體中實(shí)現(xiàn)了一維SOC.2016年, 山西大學(xué)Huang等[10]通過(guò)一個(gè)改進(jìn)的tripod打光方案, 在40K費(fèi)米氣體中實(shí)現(xiàn)了二維的SOC, 即原子的自旋算符和二維動(dòng)量之間的耦合.同年, 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)Wu等[11]通過(guò)二維光晶格驅(qū)動(dòng)Raman過(guò)程,在87Rb原子BEC中也實(shí)現(xiàn)了二維SOC.最近, 臺(tái)灣中研院Chen等[12]和中國(guó)科學(xué)院武漢物理與數(shù)學(xué)研究所Zhang等[13]先后實(shí)現(xiàn)了87Rb 原子內(nèi)態(tài)和軌道角動(dòng)量的耦合(spin-orbital-angularmomentum coupling).

由于SOC會(huì)對(duì)單粒子的色散關(guān)系產(chǎn)生非微擾的影響, 因此在玻色系統(tǒng)中, SOC會(huì)顯著改變BEC的性質(zhì).在具有一維SOC的玻色系統(tǒng)中, 單粒子基態(tài)可能在非零動(dòng)量上發(fā)生二重簡(jiǎn)并.在發(fā)生玻色-愛(ài)因斯坦凝聚時(shí), 單粒子基態(tài)的簡(jiǎn)并可能使得除U(1)對(duì)稱性之外的其他對(duì)稱性破缺, 并導(dǎo)致新奇宏觀量子態(tài)和非平庸超流態(tài)的出現(xiàn)[14].在具有高維SOC的玻色系統(tǒng)中, 單粒子基態(tài)的簡(jiǎn)并度可能進(jìn)一步上升.例如, Rashba類(lèi)型SOC的單粒子基態(tài)在動(dòng)量空間形成一個(gè)連續(xù)的圓[15], 而三維各向同性SOC的單粒子基態(tài)會(huì)構(gòu)成一個(gè)球面[16].在高維SOC的玻色系統(tǒng)中, 物理性質(zhì)和一維SOC的情況有很多相似之處, 但更大的單粒子基態(tài)簡(jiǎn)并空間會(huì)導(dǎo)致平衡態(tài)和漲落中的一些有趣的物理現(xiàn)象[17?27].

在費(fèi)米系統(tǒng)中, SOC和體系的拓?fù)湫再|(zhì)緊密相關(guān).目前在冷原子中實(shí)現(xiàn)的人造SOC與凝聚態(tài)系統(tǒng)中的形式有很大不同, 但是存在很多如何實(shí)現(xiàn)能夠誘導(dǎo)拓?fù)浞瞧接瓜嗟娜嗽霺OC的理論建議[28?34].因此, 在高度可控的超冷原子氣體中模擬各種拓?fù)湎? 促進(jìn)了對(duì)SOC費(fèi)米氣體的深入研究.由于SOC改變了單粒子色散譜, 使得系統(tǒng)中的配對(duì)超流態(tài)可能出現(xiàn)很多新奇的形式, 包括拓?fù)涑鲬B(tài)[35,36], SOC 誘 導(dǎo) Fulde-Ferrell(FF)態(tài)[37?40]等等.此外, SOC也能導(dǎo)致具有少體關(guān)聯(lián)的三聚體態(tài), 并可能出現(xiàn)更有趣的多體相[41,42].因此,SOC的出現(xiàn)大大豐富了我們對(duì)超冷原子氣體的調(diào)控手段, 為該體系中的量子模擬開(kāi)辟了新的思路.

近年來(lái)對(duì)具有SOC的超冷原子氣體的研究衍生出了一些新的方向, 包括在非平衡態(tài)系統(tǒng)[43]、大自旋體系[44]、擁有長(zhǎng)程相互作用的體系[45]、以及具有軌道自由度和軌道Feshbach共振的類(lèi)堿土金屬原子系統(tǒng)[46].本文首先對(duì)超冷原子氣體中實(shí)現(xiàn)的人造規(guī)范勢(shì)和人造自旋軌道耦合進(jìn)行介紹.文章第3節(jié)將關(guān)注光學(xué)微腔中的準(zhǔn)一維費(fèi)米氣體, 介紹該系統(tǒng)中發(fā)生超輻射相變之后所誘導(dǎo)出的新奇拓?fù)涑椛鋺B(tài).第4節(jié)考慮具有軌道Feshbach共振的類(lèi)堿土金屬原子, 討論其中可能出現(xiàn)的費(fèi)米對(duì)稱性保護(hù)拓?fù)鋺B(tài).第5節(jié)介紹具有SU(3)類(lèi)型自旋軌道耦合的大自旋玻色系統(tǒng), 以及其中新奇的拓?fù)淙毕? 即自旋雙渦旋.第6節(jié)介紹同時(shí)具有軟核長(zhǎng)程相互作用和自旋軌道耦合的二維玻色-愛(ài)因斯坦凝聚中的手性對(duì)稱破缺的超固體相.本文所涉及內(nèi)容都是由冷原子系統(tǒng)所特有的物理要素所派生的新問(wèn)題, 體現(xiàn)了冷原子物理的特色.

2 超冷原子氣體中的人造規(guī)范勢(shì)和人造自旋軌道耦合

在量子系統(tǒng)中, 規(guī)范勢(shì)和自旋軌道耦合都可以被歸為某種形式的幾何相位(geometrical phase),即波函數(shù)在空間中演化時(shí)所產(chǎn)生的相位[47].在冷原子氣體中, 可以通過(guò)設(shè)置合適的激光, 使原子在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)感受到光場(chǎng)對(duì)原子的相互作用勢(shì).在絕熱條件下, 原子感受到的勢(shì)場(chǎng)可以產(chǎn)生所需的幾何相位, 以及相對(duì)應(yīng)的人造規(guī)范勢(shì)或自旋軌道耦合.

考慮一個(gè)一般性的原子哈密頓量[48]

其中H0=p2/2m是動(dòng)能項(xiàng),V(r)代表原子和激光的相互作用, 位置r=r(t) 描述了原子在空間中的運(yùn)動(dòng).在某個(gè)確定的時(shí)間t和位置r, 可以將V(r)在原子的內(nèi)部自由度子空間中對(duì)角化, 并得到一系列由指標(biāo)α標(biāo)記的本征模式值得強(qiáng)調(diào)的是,是內(nèi)部自由度的本征態(tài), 而不是坐標(biāo)空間的波函數(shù).事實(shí)上, 這里位置r不是波函數(shù)的自變量, 而是一個(gè)指標(biāo).在某個(gè)確定的時(shí)間t, 原子所處的狀態(tài)可以由波函數(shù)描述, 并可以被展開(kāi)為的線性組合

其中, 展開(kāi)項(xiàng)系數(shù)cα(r,t) 描述了原子在空間中運(yùn)動(dòng)時(shí)狀態(tài)的演化, 并滿足如下的含時(shí)薛定諤方程

上式描述了原子在等效勢(shì)場(chǎng)Eα(r) 中的運(yùn)動(dòng).

在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中, 原子雖然沒(méi)有在內(nèi)部自由度的其他狀態(tài)上產(chǎn)生布居, 但會(huì)由此攜帶一個(gè)幾何相位.為了看出這一點(diǎn), 我們可以在方程(4)的動(dòng)能項(xiàng)中插入完備基

式中, 利用了動(dòng)量算符的定義p= ?i??, 并定義矢勢(shì)

在給定α的情況下, 標(biāo)勢(shì)W是一個(gè)常數(shù), 可以作為能量零點(diǎn)被扣除.由此, 得到系統(tǒng)的等效哈密頓量

上述哈密頓量中的矢勢(shì)A描述了原子的內(nèi)部自由度跟隨質(zhì)心自由度的變化.如果這一變化體現(xiàn)為內(nèi)部自由度波函數(shù)上單一的相位變化, 具體演化序列的順序改變不會(huì)產(chǎn)生任何影響, 我們稱矢勢(shì)A代表一個(gè)可交換的幾何相位, 或稱為阿貝爾幾何相(Abelian geometrical factor).人造電場(chǎng)和人造磁場(chǎng)都可以歸為這一類(lèi).如果A引起的變化體現(xiàn)為一個(gè)內(nèi)部自由度希爾伯特空間中的轉(zhuǎn)動(dòng), 演化序列的順序會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生重要影響.此時(shí)稱A是非交換或非阿貝爾的(non-Abelian), 人造自旋軌道耦合即屬于此類(lèi).

在目前的冷原子實(shí)驗(yàn)中, 人造規(guī)范勢(shì)和自旋軌道耦合多通過(guò)激光耦合原子的不同內(nèi)態(tài)來(lái)實(shí)現(xiàn).例如在NIST的實(shí)驗(yàn)中, Lin等[49]通過(guò)兩束對(duì)射的激光在 87 Rb原子兩個(gè)超精細(xì)能級(jí)之間驅(qū)動(dòng)一個(gè)雙光子Raman過(guò)程, 使得當(dāng)原子從一個(gè)超精細(xì)能級(jí)(或贋自旋)躍遷到另一個(gè)時(shí), 原子的質(zhì)心動(dòng)量也會(huì)發(fā)生改變.通過(guò)選擇合適的Raman過(guò)程,這一方案可以在冷原子氣體中產(chǎn)生阿貝爾規(guī)范勢(shì),如等效磁場(chǎng)[49]、等效電場(chǎng)[50], 也可以產(chǎn)生非阿貝爾規(guī)范勢(shì)和自旋軌道耦合[7].圖1(a)展示了這一方案的基本思路.

圖1 (a) 一維自旋軌道耦合的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)方案； (b) 利用tripod方案實(shí)現(xiàn)二維人造規(guī)范 勢(shì)的方案；(c) 利用Raman晶格實(shí)現(xiàn)二維人造自旋軌道耦合的實(shí)驗(yàn)方案Fig.1.(a) The NIST scheme to realize 1D spin-orbit coupling; (b) the tripod scheme to realize 2D synthetic gauge field; (c) the Raman optical lattice scheme to realize 2D spin-orbit coupling.

通過(guò)這個(gè)方案實(shí)現(xiàn)的自旋軌道耦合具有如下的等效哈密頓量

這里x為 Raman 激光的方向,δ為 Raman 過(guò)程的雙光子失諧,?為 Raman 過(guò)程的 Rabi頻率.通過(guò)一個(gè)繞σy的自旋旋轉(zhuǎn)σz→σx和σx→ ?σz, 上式哈密頓量可以進(jìn)一步改寫(xiě)為

此時(shí)可以看出, 這種一維的自旋軌道耦合(即只有一個(gè)方向的動(dòng)量和一個(gè)方向的自旋耦合)是Rashba類(lèi) 型 (kxσx+σyσy) 和 Dresselhaus類(lèi) 型(kxσx?σyσy)的等權(quán)重疊加.同時(shí), 這一方案會(huì)自然地包括沿x方向的等效磁場(chǎng)δ/2 和沿z方向的等效磁場(chǎng)?/2 , 且可以在實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行調(diào)節(jié).

除了上述通過(guò)一個(gè)雙光子Raman過(guò)程實(shí)現(xiàn)一維SOC的方案, 人們也在積極探索二維SOC的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn).一種可能的方式是利用原子的三個(gè)基態(tài)能級(jí)和一個(gè)激發(fā)態(tài)能級(jí), 通過(guò)三束激光實(shí)現(xiàn)三個(gè)基態(tài)能級(jí)分別和激發(fā)態(tài)耦合的tripod構(gòu)型, 如圖1(b)所示[51].原子與光耦合的哈密頓量可以寫(xiě)為[52]

這里?是從基態(tài)到激發(fā)態(tài)躍遷的單光子失諧,?i為對(duì)應(yīng)的 Rabi頻率, h .c.代表厄米共軛項(xiàng).通過(guò)將三個(gè)Rabi 頻率寫(xiě)成如下形式:?1=?sinθcos?eiS1,?2=?sinθsin?eiS2,?3=?cosθeiS3,并將上述相互作用哈密頓量對(duì)角化, 可以得到體系的兩個(gè)綴飾態(tài)(dressed states):

將這兩個(gè)綴飾態(tài)看作一個(gè)贗自旋 1 /2 體系, 并通過(guò)恰當(dāng)選擇三個(gè)相位Si在空間中的分布, 上述哈密頓量可以實(shí)現(xiàn)一個(gè)非阿貝爾的人造規(guī)范勢(shì)

式中定義Sij=Si?Sj.例如, 如果選擇θ=?=π/4,S12=k0x,S23=k0x+k0y,S13=?k0x+k0y, 可以獲得如下形式的二維人造規(guī)范勢(shì)

2016年, Huang 等[10]在40K 費(fèi)米氣體中實(shí)現(xiàn)了這一類(lèi)型的人造規(guī)范勢(shì).在適當(dāng)?shù)膭?dòng)量空間和自旋空間旋轉(zhuǎn)下, 該工作實(shí)現(xiàn)的人造規(guī)范勢(shì)對(duì)應(yīng)如下類(lèi)型的二維自旋軌道耦合：

通過(guò)自旋注入(spin injection), 文章測(cè)量了該體系中綴飾態(tài)的單粒子色散關(guān)系, 確認(rèn)了Dirac點(diǎn)的存在.

另一種二維自旋軌道耦合的方案是在光晶格中利用Raman晶格實(shí)現(xiàn)的[53].如圖1(c)所示, 在一個(gè)由紅失諧駐波光?1構(gòu)成的二維立方晶格中,疊加上一個(gè)由藍(lán)失諧行波光?2輔助構(gòu)成的Raman晶格, 并保持Raman晶格的晶格常數(shù)是背景晶格的二倍.通過(guò)?1和?2的共同作用, 可以在這個(gè)體系中驅(qū)動(dòng)兩個(gè)Raman過(guò)程, 使原子從不同的內(nèi)態(tài)間實(shí)現(xiàn)躍遷.由于藍(lán)失諧光晶格的節(jié)點(diǎn)恰好出現(xiàn)在紅失諧光晶格強(qiáng)度最大的地方, 在背景晶格的格點(diǎn)附近, Raman晶格具有奇宇稱.具體而言,該體系的哈密頓量可以寫(xiě)為

其中，背景晶格勢(shì)VOL=V0(cos2k0x+cos2k0y),Raman晶 格 勢(shì)Mx=M0cosk0xsink0y,My=M0cosk0ysink0x,δ是Raman過(guò)程的雙光子失諧,在這里對(duì)應(yīng)一個(gè)等效的z方向磁場(chǎng).注意到在背景晶格的格點(diǎn)附近, 該哈密頓量的自旋軌道部分可以化為更加明顯的二維SOC形式～(λxyσx+λyxσy) .

2016年, Wu等[11]在87Rb玻色氣體中實(shí)現(xiàn)了上述類(lèi)型的二維自旋軌道耦合, 并通過(guò)實(shí)驗(yàn)確認(rèn)了體系的拓?fù)湫再|(zhì).隨后, Sun等[54]還利用一個(gè)改進(jìn)的Raman晶格方案實(shí)現(xiàn)了更加穩(wěn)定的二維拓?fù)洳Ｉ珰怏w.

3 光腔中簡(jiǎn)并費(fèi)米氣體的拓?fù)涑椛鋺B(tài)

對(duì)于光腔中的超冷原子氣體, 原子運(yùn)動(dòng)與光場(chǎng)的相互作用通常會(huì)產(chǎn)生豐富的動(dòng)力學(xué)過(guò)程和新奇的多體相[55?60].在玻色氣體中, 實(shí)驗(yàn)上已經(jīng)在與腔光場(chǎng)耦合的玻色-愛(ài)因斯坦凝聚中觀察到Dicke超輻射 (superradiant, SR)態(tài), 表現(xiàn)為腔內(nèi)光場(chǎng)出現(xiàn)宏觀布居, 同時(shí)原子在空間發(fā)生自組織現(xiàn)象[61?63].對(duì)于無(wú)自旋的簡(jiǎn)并費(fèi)米氣體, 理論研究表明由于存在費(fèi)米面嵌套, 腔光子在費(fèi)米面附近發(fā)生的散射可以輔助超輻射相變的發(fā)生, 并導(dǎo)致費(fèi)米面上出現(xiàn)一個(gè)體能隙[64?66].

本節(jié)研究光腔中的準(zhǔn)一維兩分量費(fèi)米氣體, 以及該體系中由超輻射誘導(dǎo)產(chǎn)生的一個(gè)穩(wěn)定的拓?fù)涑?輻 射 (topological superradiant, TSR)態(tài) .在TSR態(tài)中, 原子的拓?fù)浞瞧接剐再|(zhì)與光腔中SR光同時(shí)產(chǎn)生[67,68].這種新奇的拓?fù)湎嗯c系統(tǒng)中的自旋軌道耦合密切相關(guān).盡管在超冷原子氣體中的人造 SOC已被廣泛研究[69?73], 但有光腔誘導(dǎo)的SOC將會(huì)有更為豐富的物理前景[74,75].

本節(jié)所關(guān)注的系統(tǒng)如圖2(a)所示, 一個(gè)準(zhǔn)一維費(fèi)米氣體被放置在一個(gè)Fabry-Perot腔中, 光腔的兩個(gè)本征模式可以分別由沿腔軸向和徑向的線性偏振光驅(qū)動(dòng).由于兩種腔模間的失諧通常要比系統(tǒng)的相關(guān)動(dòng)力學(xué)能量尺度大得多, 所以可以對(duì)兩種腔模分別進(jìn)行處理.如圖2(b)所示, 通過(guò)利用原子的激發(fā)態(tài), 沿軸向驅(qū)動(dòng)產(chǎn)生的腔模A和徑向泵浦光可以經(jīng)過(guò)兩個(gè)不同的拉曼過(guò)程將兩個(gè)超精細(xì)基態(tài) (分別標(biāo)記 為)耦合起來(lái).原子態(tài)的磁量子數(shù)滿足關(guān)系:沿軸 方 向 的 偏 置 磁 場(chǎng) 在和兩個(gè)態(tài)之間產(chǎn)生了一個(gè)等效塞曼場(chǎng)mz.腔模A的頻率ωc與泵浦激光頻率ωA接近, 且二者均為藍(lán)失諧, 同時(shí)單光子失諧滿足關(guān)系?? ?A,gA.其中?A為徑向泵浦激光的拉比頻率,gA為腔模A的單光子拉比頻率.另外, 由于沿腔軸向驅(qū)動(dòng)的腔模B的作用, 原子將被束縛在沿方向的一維背景晶格勢(shì)中.當(dāng)mz大于臨界值mc時(shí), 背景晶格勢(shì)將會(huì)打開(kāi)一個(gè)能隙, 同時(shí)在SR相變前會(huì)產(chǎn)生一個(gè)半滿的鐵磁絕緣 (ferromagnetic insulator, I)態(tài).

圖2 (a)準(zhǔn)一維費(fèi)米氣體與雙模光腔耦合的示意圖.在腔軸向 (沿 軸)和徑向 (沿 ? 軸)均有泵浦光; (b)原子能級(jí)和光耦合的示意圖[76]Fig.2.(a) A quasi-one-dimensional Fermi gas, which is coupled to a two-mode optical cavity, is under both transverse (along ? ) and longitudinal (along ) pumping; (b)the level scheme of atom[76].

3.1 哈密頓量

通過(guò)對(duì)腔場(chǎng)使用平均場(chǎng)近似, 可以得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解.同時(shí), 對(duì)于準(zhǔn)一維費(fèi)米氣體, 通過(guò)積分掉緊束縛的徑向自由度, 可以得到系統(tǒng)的一維有效哈密頓量:

3.2 拓?fù)涑椛鋺B(tài)

哈密頓量(17)式描述的體系中, 一個(gè)最顯著的特點(diǎn)是隨著有效泵浦強(qiáng)度ηA的增大, 系統(tǒng)中會(huì)出現(xiàn)超輻射(SR)相變.與SR相變對(duì)應(yīng)的臨界泵浦強(qiáng)度可以利用二階微擾理論計(jì)算自由能得到[66].通過(guò)積分掉費(fèi)米場(chǎng), 并使自由能二階微擾展開(kāi)系數(shù)為零, 我以得到臨界泵浦強(qiáng)度:

在SR相變前, 光場(chǎng)強(qiáng)度α=0 , 且原子處于背景晶格勢(shì)V0cos2(k0x) 中.在 SR 相變后, 腔模 A 出現(xiàn)大量光子的宏觀占據(jù), 從而改變背景晶格勢(shì), 并且在哈密頓量(17)式中誘導(dǎo)產(chǎn)生一個(gè)隨時(shí)空變化的SOC.這個(gè)SOC的變化周期為背景晶格勢(shì)的兩倍.當(dāng)腔模A強(qiáng)度較弱時(shí), 可以忽略不同能帶的帶間耦合, 并利用單帶緊束縛極限下的規(guī)范變換將哈密頓量 (17)式映射為一個(gè)手性拓?fù)浣^緣體的哈密頓量.在能帶為半滿狀態(tài)且塞曼場(chǎng)低于一個(gè)臨界值時(shí), 這個(gè)哈密頓量的基態(tài)是拓?fù)浞瞧接沟腫77].當(dāng)ηA增大時(shí), 帶間耦合作用變得不可忽略, 同時(shí)單帶緊束縛近似不再適用.盡管如此, 我們發(fā)現(xiàn)即使在深SR區(qū)域, 拓?fù)湫再|(zhì)依然存在.

首先在開(kāi)邊界條件且mz=0 的有限尺寸晶格中對(duì)角化等效哈密頓量(17)式, 同時(shí)對(duì)腔場(chǎng)進(jìn)行自洽求解.計(jì)算得到的腔場(chǎng)強(qiáng)度和能譜分別如圖3(a)和圖3(c)所示.從圖中可以明顯看出, 只要泵浦強(qiáng)度超過(guò)一個(gè)臨界值, 一對(duì)如圖3(d)所示的擁有局域波函數(shù)的零模將會(huì)在超輻射誘導(dǎo)的體能隙中出現(xiàn).與此同時(shí), 超輻射相變所對(duì)應(yīng)的序參量會(huì)由0 變?yōu)橛邢拗? 如圖3(b)所示.因此, 在這個(gè)系統(tǒng)中伴隨腔模的SR相變, 原子體系也展現(xiàn)出拓?fù)湫再|(zhì), 我們定義為拓?fù)涑椛?TSR)相.

3.3 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)相圖

通過(guò)描繪體系在ηA?mz平面的穩(wěn)態(tài)相圖, 可以研究體系中TSR相的穩(wěn)定性.SR相邊界可以通過(guò)方程(18)計(jì)算得到, 而拓?fù)湎噙吔缬审w系的拓?fù)鋽?shù)決定.通過(guò)定義從第一布里淵區(qū)到自旋空間的映射, 可以用動(dòng)量空間中的自旋結(jié)構(gòu)來(lái)定義體系的拓?fù)鋽?shù), 其中σy和σz為泡利矩陣.上式中的期望值由動(dòng)量空間中最低能帶的布洛赫態(tài)計(jì)算得到.通過(guò)上面提到的映射, 每一個(gè)布洛赫態(tài)會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)位于y-z平面內(nèi)的自旋, 其單位向量為閉環(huán)S1的基本組成部分.因此, 這個(gè)體系的環(huán)繞數(shù)可以通過(guò)計(jì)算閉環(huán)S1被覆蓋的次數(shù)得到.

圖3 開(kāi)邊界條件下準(zhǔn)一維晶格中 TSR 態(tài)的一些特征 (a) 腔場(chǎng)強(qiáng)度 |α| 隨有效泵浦 ηA 的變化; (b) 序參量 θ (x) 在 TSR 相變前(點(diǎn)線表示, ηA=1Er )和相變后 (實(shí)線和點(diǎn)劃線表示, ηA=3Er )在中心六個(gè)格點(diǎn)中的變化情況.臨界點(diǎn)位于～ 2.05Er 處.在TSR相中, 由于自發(fā)對(duì)稱性破缺, 腔場(chǎng) α 可以取正值或負(fù)值, 對(duì)應(yīng)序參量由實(shí)線或點(diǎn)劃線表示; (c) 當(dāng)系統(tǒng)穿過(guò)相邊界進(jìn)入TSR態(tài)后, 系統(tǒng)會(huì)由于超輻射相變打開(kāi)一個(gè)體能隙, 同時(shí)出現(xiàn)一對(duì)零能的邊緣態(tài) (d) 當(dāng) ηA=3Er 時(shí), 圖(c)中的邊緣態(tài)所對(duì)應(yīng)的實(shí) 空 間 波 函 數(shù).本 圖 中 考 慮 一 個(gè) 擁 有 80個(gè) 格 點(diǎn) 的 半 滿 晶 格 體 系, 體 系 參 數(shù) 選 取 為: kBT=Er/200 , m z=0 , V0=5Er ,κ=100Er , ?A=?10Er , ξA=5Er .對(duì) 于 6 Li 原 子 , 通 過(guò) 選 取 κ ≈7.4 MHz, gA≈27.1 MHz, | ?|≈ 0.74 MHz, ? ≈2 GHz 和T≈17.7nK可以滿足上述參數(shù)條件[76]Fig.3.TSR state in a quasi-one-dimensional lattice with open boundary conditions: (a) The cavity field | α| varies with ηA across the TSR transition; (b) θ (x) on the central six sites.The dotted curve corresponds to the θ (x) before the TSR phase transition,where ηA=1Er .The solid and dash-dotted curves to the θ (x) after the TSR phase transition, where ηA=3Er .The transition point is around≈ 2.05Er .Because of the spontaneous symmetry breaking, the cavity field of the TSR phase acquires a positive(negative) real part, corresponding to solid (dash-dotted) curve; (c) when the system crosses the phase boundary, a pair of edge states emerge in the superradiance-induced bulk gap.(d) the wave functions of the edge states in (c) with ηA=3Er .In our calculation, we consider a half-filled lattice of 80 sites, with the parameters kBT=Er/200 , m z=0 , V0=5Er , κ =100Er ,?A=?10Er , and ξA=5Er .For 6 Li atoms, these parameters can be satisfied by choosing κ ≈7.4 MHz, gA≈27.1 MHz,|?|≈ 0.74 MHz, ? ≈2 GHz, and T ≈17.7 nK[76].

圖4描繪了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)相圖.當(dāng)mz

圖4 有限溫度 kBT=Er/200 時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)相圖.圖中實(shí)線為T(mén)SR相邊界, 點(diǎn)線為T(mén)SR態(tài)和普通SR態(tài)間的拓?fù)湎噙吔?在 mc≈0.132Er 處的細(xì)虛線為金屬態(tài)(M)和絕緣態(tài)(I)間的邊界.點(diǎn)劃線為普通SR相與絕緣相的邊界.不同的相邊界匯聚于 ηA≈ 2.614Er , mc≈0.132Er 處 (如圖中四相點(diǎn)所示).圖中其他參數(shù)與圖(2)一致.內(nèi)嵌圖展示了與大圖中箭頭對(duì)應(yīng)的相變前后體能隙的變化.圖中實(shí)線為相變前的能帶, 虛線為相變后的能帶, 點(diǎn)線為相邊界上的情況[76]Fig.4.The phase diagram of steady-state with kBT = Er/200 .The solid curve corresponds to the TSR phase boundary,and the topological phase boundary between the TSR and the trivial SR states corresponds to dotted curve.The thin dashed curve at mc≈0.132Er is the boundary between the M and the I states, and the dash-dotted curve is the conventional SR phase boundary.At the tetracritical point(dot) with ηA≈2.614Er and mc≈0.132Er , the various boundaries merge.Other parameters are the same as those used in Fig.2.Inset: change of bulk gap before (solid), after(dashed), and right (dotted) at the phase boundaries labeled by arrows[76].

當(dāng)mz>mc時(shí), 在發(fā)生超輻射相變之前, 費(fèi)米氣體中不同自旋間的塞曼能大于能帶寬度, 因此系統(tǒng)處于一個(gè)鐵磁絕緣態(tài)(I).在剛發(fā)生SR相變時(shí),鐵磁體能隙依然處于打開(kāi)的狀態(tài).費(fèi)米氣體因此從I態(tài)變?yōu)橥負(fù)淦接沟腟R態(tài).隨著泵浦強(qiáng)度不斷增加, 在動(dòng)量為零處(k=0 )能隙將經(jīng)歷一個(gè)關(guān)閉和再次打開(kāi)的過(guò)程, 這是由于體系穿過(guò)拓?fù)湎噙吔缱優(yōu)榱薚SR態(tài).通過(guò)相圖可以發(fā)現(xiàn)此處的TSR態(tài)可以絕熱地與mzmc區(qū)域.需要強(qiáng)調(diào)的是, 拓?fù)湎嘧兪怯衫T導(dǎo)的能帶耦合所導(dǎo)致的鐵磁能帶結(jié)構(gòu)變形引起, 且當(dāng)ηA較大時(shí)此現(xiàn)象尤為明顯.具體來(lái)講, 在mz>mc區(qū)域當(dāng)ηA從I態(tài)開(kāi)始不斷增大, 體系首先穿過(guò)一個(gè)I-SR邊界變?yōu)槠胀⊿R態(tài).ηA的進(jìn)一步增大將使能帶耦合增強(qiáng), 此作用將拉低能量最低的次能帶部分, 從而在TSR-SR邊界處使體能隙閉合.有趣的是, 由于在能隙閉合點(diǎn)處的能帶翻轉(zhuǎn),當(dāng)ηA繼續(xù)增大到TSR區(qū)域后, 能帶間耦合將使體能隙增大.這將導(dǎo)致在相圖中出現(xiàn)一個(gè)四相點(diǎn), 以及在ηA-mz平面沿著不同路線將會(huì)看到不同類(lèi)型的相變.

3.4 小 結(jié)

本節(jié)介紹了光腔中兩分量簡(jiǎn)并費(fèi)米氣體里的拓?fù)涑椛鋺B(tài).在光腔中, 沿軸向驅(qū)動(dòng)產(chǎn)生的超輻射光和沿徑向的驅(qū)動(dòng)光將共同形成自旋軌道耦合,并在半滿填充的能帶中打開(kāi)一個(gè)體能隙.此效應(yīng)將在原子體系中引發(fā)拓?fù)湎嘧? 并由此形成拓?fù)涑椛鋺B(tài).

實(shí)驗(yàn)中可以利用徑向緊束縛的二維光晶格來(lái)實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)一維費(fèi)米氣體系統(tǒng).當(dāng)光腔中有更多數(shù)量的原子時(shí), TSR相和對(duì)應(yīng)的相變可以在實(shí)驗(yàn)中更容易實(shí)現(xiàn)的參數(shù)下出現(xiàn), 例如較弱的原子與光腔耦合、更大的單光子失諧和更大的光腔衰變率.本節(jié)最后需要強(qiáng)調(diào)的是, 上述準(zhǔn)一維系統(tǒng)中出現(xiàn)的性質(zhì)可以直接擴(kuò)展到光腔中的準(zhǔn)二維費(fèi)米氣體, 其中同樣會(huì)出現(xiàn)TSR相.在這種情況下, 系統(tǒng)在穿過(guò)SR相變后的單帶緊束縛哈密頓量將對(duì)應(yīng)于量子反常 霍 爾 效 應(yīng) (quantum anomalous Hall effect,QAHE)模型[77].

4 類(lèi)堿土金屬原子中有相互作用的對(duì)稱性保護(hù)拓?fù)鋺B(tài)

對(duì)有對(duì)稱性保護(hù)拓?fù)湎?symmetry-protected topological, SPT)的研究, 已經(jīng)在很大程度上提升了人們對(duì)拓?fù)湫再|(zhì)的理解[78,79].與擁有長(zhǎng)程糾纏的內(nèi)稟拓?fù)湫蛳啾萚80?82], SPT相擁有存在體能隙的短程糾纏基態(tài), 同時(shí)只要被保護(hù)的對(duì)稱性不發(fā)生破缺, SPT相中就會(huì)出現(xiàn)無(wú)能隙或簡(jiǎn)并的邊緣激發(fā)態(tài).從有相互作用自旋鏈中的Haldane相[83], 到自由費(fèi)米子中的拓?fù)浣^緣體[84?88], 都是SPT相的典型例子.近年來(lái), 玻色SPT相和無(wú)相互作用的費(fèi)米SPT相已被廣泛研究[89?92].而對(duì)存在費(fèi)米邊緣態(tài)且有相互作用的SPT相的研究仍處于發(fā)展階段[93?96], 特別是實(shí)驗(yàn)中仍無(wú)法實(shí)現(xiàn)有相互作用的費(fèi)米SPT相.

本節(jié)將討論利用有相互作用的類(lèi)堿土金屬原子來(lái)模擬費(fèi)米SPT相.由于最外層存在兩個(gè)價(jià)電子, 類(lèi)堿土金屬原子擁有長(zhǎng)壽命原子激發(fā)態(tài), 以及有核自旋不為零的同位素等特殊性質(zhì).該類(lèi)原子在基態(tài)1S0(這里稱為軌道態(tài))和亞穩(wěn)定激發(fā)態(tài)3P0(稱為軌道態(tài))時(shí), 核自旋自由度和電子自由度基本不耦合, 利用這個(gè)特點(diǎn)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)所謂原子鐘態(tài)的靈活控制, 以及對(duì)具有大自旋SU(N)對(duì)稱性系統(tǒng)的模擬.盡管類(lèi)堿土金屬原子已被應(yīng)用于量子測(cè)量、量子信息和量子模擬等領(lǐng)域[97?124], 但近年來(lái)在173Yb原子中發(fā)現(xiàn)的軌道Feshbach共振使研究具有強(qiáng)相互作用的類(lèi)堿土金屬原子體系成為可能[125?127].

本節(jié)將利用類(lèi)堿土金屬原子的上述特點(diǎn), 探討在這類(lèi)系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)有相互作用的費(fèi)米SPT相的方案.此拓?fù)湎嗍躑(1) 粒子數(shù)守恒和手性對(duì)稱的保護(hù), 這些對(duì)稱性來(lái)源于反幺正群U(1)×.體系中SPT相存在費(fèi)米邊緣態(tài)和 Z4拓?fù)洳蛔冃?這與之前提出的關(guān)于實(shí)現(xiàn)有玻色邊緣態(tài)的SPT相的理論形成鮮明對(duì)比, 后者可以在純玻色系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)并且受SU(N)/ZN對(duì)稱性保護(hù).有相互作用的費(fèi)米SPT相又與無(wú)相互作用的費(fèi)米SPT相在拓?fù)洳蛔冃院头诸?lèi)上有本質(zhì)上的區(qū)別.

4.1 哈密頓量

研究對(duì)象是束縛在光晶格勢(shì)中的準(zhǔn)一維超冷類(lèi)堿土金屬原子系統(tǒng).如圖5所示[128], 一對(duì)藍(lán)失諧拉曼激光同時(shí)將不同軌道上的核自旋態(tài)和耦合在一起.形成拉曼過(guò)程的兩束激光的拉比頻率分別為?1(x)=?1cos(k0x) 和?2exp(ik0y).通過(guò)這一拉曼過(guò)程, 兩個(gè)不同的核自旋態(tài)上將產(chǎn)生SOC, 同時(shí)形成與態(tài)(α=g,e)對(duì)應(yīng)的一維光晶格勢(shì).當(dāng)拉曼激光具有魔幻波長(zhǎng)時(shí), 對(duì)于不同軌道態(tài)而言, 光晶格勢(shì)和拉曼過(guò)程的有效拉比頻率會(huì)趨于一致.對(duì)于173Yb 原子, 魔幻波長(zhǎng)約為 550 nm[129].在這樣的體系中, 單粒子哈密頓量可表示為

其中σ=(↑,↓) ,ψασ是與軌道α和自旋σ對(duì)應(yīng)的原子湮滅算符,δαδ表示外加磁場(chǎng)下相應(yīng)的塞曼移動(dòng)[130].晶格勢(shì)為V(x)=V0cos2(k0x) , 拉曼晶格勢(shì)為M(x)=M0cos(k0x) , 其中V0和M0都與魔幻波長(zhǎng)下鐘態(tài)的交流極化率成正比.結(jié)合近年來(lái)在類(lèi)堿土金屬原子中實(shí)現(xiàn)人造SOC的各項(xiàng)實(shí)驗(yàn)進(jìn)展, 本節(jié)研究體系的所有必要參數(shù)在實(shí)驗(yàn)中均可實(shí)現(xiàn).

圖5 (a) 處在拉曼光中的準(zhǔn)一維超冷原子氣體; (b) 通過(guò)拉曼過(guò)程耦合的原子能級(jí)示意圖.圖中綠色曲線指示了不同軌道態(tài)之間的自旋交換相互作用.通過(guò)利用與自旋相關(guān)的激光頻移, 可以將圖中的四個(gè)核自旋態(tài)與其他核自旋態(tài)分離開(kāi)來(lái)進(jìn)行操控[128]Fig.5.A quasi-1D atomic gas under Raman lasers; (b) Raman level schemes in the clock-states manifold.The green curve corresponds to the interorbital spin-exchange interaction.By using spin-dependent laser shifts, the four nuclear spin states from 1 S0 and 3 P0 manifolds can be separated from the other nuclear spins[128].

盡管高能帶通常會(huì)對(duì)拉曼誘導(dǎo)的SOC有重要影響, 但當(dāng)M0不是很大時(shí), 仍然可以應(yīng)用單帶緊束縛模型[131?133].具體而言, 當(dāng)?1? ?2時(shí), 單粒子緊束縛模型可以被表示為

此處?(i)為晶格勢(shì)V(x) 中i格點(diǎn)處最低能帶的Wannier函數(shù).

或電子自旋三態(tài)和核自旋單態(tài)通道

中.在準(zhǔn)一維束縛勢(shì)阱和外加磁場(chǎng)下, 上述不同散射通道相互耦合, 體系在緊束縛近似下的相互作用可以寫(xiě)為[134]

4.2 相互作用誘導(dǎo)的拓?fù)湎嘧兒腕w系相圖

鑒別一維非平庸拓?fù)湎嗟耐ǔＷ龇ㄊ菣z測(cè)基態(tài)糾纏譜中的簡(jiǎn)并度.糾纏譜可以定義為ξi= ?ln(ρi)[138?144], 其 中ρi是 約 化 密 度 矩 陣的 本 征 值 ,為 體 系 基 態(tài) , 腳 標(biāo)L和R與一維鏈的左半部分和右半部分相對(duì)應(yīng).由于糾纏譜ξi與邊緣激發(fā)態(tài)能譜相似, 所以只要ξi的本征值是簡(jiǎn)并的, 就意味著系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)拓?fù)浞瞧接剐再|(zhì)[144].我們首先介紹固定參數(shù)U,和tso條件下, 不斷增大自旋交換相互作用Vex的情況.圖6(a)描繪了約化密度矩陣四個(gè)最小本征值的糾纏譜隨Vex/ts的變化情況.從圖中可以看出盡管在Vex=0時(shí)糾纏譜中本征態(tài)是四重簡(jiǎn)并的, 但當(dāng)Vex較弱時(shí)部分簡(jiǎn)并消失.由于糾纏譜的簡(jiǎn)并性通常等于對(duì)稱群中不可約投影表示的維度, 所以簡(jiǎn)并度破缺可以理解為此投影表示被約化為了不同的不可約表示.對(duì)于排斥相互作用(Vex>0 ), 當(dāng)相互作用強(qiáng)度超過(guò)臨界點(diǎn)/ts≈1.69 時(shí)糾纏譜將不再簡(jiǎn)并.由于在臨界點(diǎn)兩側(cè)不存在局域?qū)ΨQ性破缺序,所以穿過(guò)臨界點(diǎn)就標(biāo)志著發(fā)生從有相互作用SPT相到平庸相的拓?fù)湎嘧?對(duì)于吸引相互用區(qū)域 (Vex<0 ), 即使在 |Vex| 很大時(shí), 非平庸 SPT 相依然存在.

圖6 (a) 本征值最小的四個(gè)糾纏譜 ξ i(i=1,2,3,4) 隨自旋交換相互作用的變化; (b) 開(kāi)邊界條件下, 在格點(diǎn)數(shù) N =60 的光晶格鏈中, 二階 Rényi熵 S2 和 von Neumann 熵 S vN 隨 Vex/ts 的變化情況; (c) 周期邊界條件下, 在格點(diǎn)數(shù) N =12 的光晶格鏈中, 體能隙 E gap 的變化情況.內(nèi)嵌圖為體能隙在臨界點(diǎn)處隨 1 /N 的變化情況.圖中線性擬合的紅色實(shí)線給出大 N 極限下Egap/ts≈ ?0.02±0.05; (d) 臨界點(diǎn) Vex/ts=1.694 處, 長(zhǎng)度為 j 且格點(diǎn)數(shù) N =120 的子鏈中 von Neumann 熵隨 s in(πl(wèi)/N) 的變化.通過(guò)線性擬合 SvN=(C/6)ln[sin(πl(wèi)/N)]+1.87 , 可以得到中心荷(central charge) C =1.018 .圖中所有計(jì)算均在半滿狀態(tài)下進(jìn)行, 且固定參數(shù)=0 , U =0 , tso/ts=0.4 [128]Fig.6.(a) The entanglement spectrum ξ i(i=1,2,3,4) ; (b) in a chain with N =60 lattice sites and under open boundary conditions, the second-order Rényi entropy S2 and the von Neumann entropy S vN vary with Vex/ts ; (c) in a chain with N =12 lattice sites and under the periodic boundary condition, the bulk energy gap E gap varies with Vex/ts .Inset: The bulk gap as a function of 1 /N at the critical point, and the red solid line is a linear fit with Egap/ts≈ ?0.02±0.05 in the large-N limit.(d) in a chain with N =120 lattice sites and at the critical point Vex/ts=1.694 , the von Neumann entropy of a subchain of length l varied with s in(πl(wèi)/N) .The solid line is the linear fit with SvN=(C/6)ln[sin(πl(wèi)/N)]+1.87 and C =1.018 .The central charge is 6 times the slope of the linear fit.All calculations are performed at half filling and with the fixed parameters =0 ,U=0, and tso/ts=0.4 [128].

通過(guò)對(duì)熵和體能隙的計(jì)算, 可以進(jìn)一步確定由相互作用驅(qū)動(dòng)的拓?fù)湎嘧儼l(fā)生的位置.如圖6(b)所 示 , 二 階 Rényi熵[145?149]和von Neumann 熵在臨界點(diǎn)處都會(huì)出現(xiàn)突變.圖6(c)描繪了在周期邊界條件下格點(diǎn)數(shù)N=12 的晶格中半滿狀態(tài)下體能隙的變化情況.當(dāng)系統(tǒng)穿過(guò)臨界點(diǎn)時(shí), 體能隙會(huì)在熱力學(xué)極限下閉合(如內(nèi)嵌圖所示)然后再次打開(kāi), 這是一個(gè)典型的連續(xù)拓?fù)湎嘧冞^(guò)程.von Neumann熵在臨界點(diǎn)處的突變指示了連續(xù)相變的發(fā)生, 而由此產(chǎn)生的中心荷可以反映相變的種類(lèi).圖6(d)描繪了長(zhǎng)度為l的子鏈的von Neumann熵隨ln[sin(πl(wèi)/N)]的變化.從圖中曲線的斜率可以計(jì)算出中心荷C[150,151]約為C≈1.018 , 與 Luttinger液體中的C值接近 (Luttinger液體中C=1 ).此外, 自旋關(guān)聯(lián)為i格 點(diǎn)處并 處 于α軌 道 的原子 沿x軸方向的自旋算符)在臨界點(diǎn)處將呈現(xiàn)出系數(shù)約為 1 .38 的指數(shù)衰減.此外, 原子在兩個(gè)軌道間的在位密度差也會(huì)在臨界點(diǎn)附近出現(xiàn)相似的指數(shù)衰減行為, 其衰減系數(shù)約為 2.1 , 可以被看作在軌道自由度中的自旋關(guān)聯(lián).這些結(jié)果表明, 體系在臨界點(diǎn)處為L(zhǎng)uttinger液體.

圖7展示了由糾纏譜和熵的數(shù)值結(jié)果給出的體系相圖.通過(guò)計(jì)算相應(yīng)的局域量, 可以進(jìn)一步確定相圖中的拓?fù)淦接箲B(tài), 例如軌道或自旋梯級(jí)單態(tài) (orbital or spin rung-singlet, ORS or SRS)、電荷密度波 (charge-density wave, CDW)態(tài)和軌道密度波 (orbital-density wave, ODW)態(tài).正如前文討論過(guò)的, 當(dāng)U=0 時(shí), 體系的多體基態(tài)將經(jīng)歷從拓?fù)?topological, T)非平庸態(tài)到平庸態(tài)的轉(zhuǎn)變.在圖7中, 選擇的 SOC 強(qiáng)度為tso/ts=0.4 .如果從T態(tài)開(kāi)始減小tso值, 在臨界值處將發(fā)生拓?fù)湎嘧? 體系在tso<時(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)橥負(fù)淦接沟?此發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了SOC在穩(wěn)定拓?fù)湎喾矫嫫鸬降闹匾饔?另外, 我們也發(fā)現(xiàn)在有限塞曼場(chǎng)中可以得到類(lèi)似的相圖.

圖7 格點(diǎn)數(shù) N =60 且處于半滿狀態(tài)下的體系相圖, 其中=0 [128]Fig.7.The phase diagram of a lattice with N =60 sites at half filling with=0 [128].

4.3 小 結(jié)

本節(jié)中提出在有相互作用的準(zhǔn)一維類(lèi)堿土金屬原子氣體中, 可以通過(guò)利用電子軌道自由度和核自旋自由度, 以及拉曼過(guò)程誘導(dǎo)的SOC和軌道Feshbach共振提供的自旋交換相互作用, 實(shí)現(xiàn)有相互作用的費(fèi)米對(duì)稱性保護(hù)拓?fù)鋺B(tài).通過(guò)數(shù)值計(jì)算, 給出了體系的相圖, 并刻畫(huà)了在不同參數(shù)區(qū)間存在的物質(zhì)相和相變.

5 SU(3)自旋軌道耦合玻色氣體中的自旋雙渦旋

在接下來(lái)的兩節(jié)中, 將討論SOC在玻色系統(tǒng)中的一些新發(fā)現(xiàn).在以往的研究中, 人們更多地關(guān)注自旋1/2系統(tǒng)中SOC所衍生的新奇性質(zhì).在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為SU(2)的泡利矩陣代表的自旋算符與動(dòng)量算符耦合.然而, 如果自旋自由度中包含兩個(gè)以上的態(tài),SU(2)自旋矩陣將無(wú)法完整地描述內(nèi)態(tài)中的所有耦合.例如, 在一個(gè)三分量系統(tǒng)中, 態(tài)和間的直接躍遷將被遺漏[152].此時(shí), 需要利用SU(3)矩陣來(lái)完整描述三分量體系中的自旋軌道耦合[153].在傳統(tǒng)的凝聚態(tài)物理研究中, 人們多關(guān)注自旋1/2的電子, 而對(duì)SU(3)自旋軌道耦合以及其可能誘導(dǎo)產(chǎn)生的新奇量子態(tài)和拓?fù)淙毕菅芯枯^少.

本節(jié)關(guān)注具有SU(3)自旋軌道耦合的玻色-愛(ài)因斯坦凝聚, 并介紹其中可能出現(xiàn)的一類(lèi)新型拓?fù)淙毕荨孕p渦旋.在這個(gè)系統(tǒng)中, 根據(jù)自旋相互作用是鐵磁或反鐵磁的不同情況,SU(3)自旋軌道耦合可能會(huì)產(chǎn)生兩種不同的基態(tài): 磁化相或晶格相.在磁化相中,SU(3)自旋軌道耦合將誘導(dǎo)產(chǎn)生三重簡(jiǎn)并的基態(tài), 這與SU(2)自旋軌道耦合的情況形成鮮明對(duì)比.在晶格相中,SU(3)自旋軌道耦合破壞了普通旋量BEC中的相位約束條件: 2w0=w1+w?1, 并且會(huì)誘導(dǎo)產(chǎn)生三種在中心有不同磁化填充的新奇渦旋.其中wi為第i個(gè)自旋分量的環(huán)繞數(shù)[154?156].這些渦旋的交錯(cuò)排列將導(dǎo)致環(huán)繞數(shù)為2的多重自旋渦旋的自發(fā)形成.在實(shí)驗(yàn)中, 可以利用對(duì)磁場(chǎng)敏感的相位成像技術(shù)來(lái)觀測(cè)此類(lèi)拓?fù)淙毕?

5.1 SU(3)自旋軌道耦合

我們研究的系統(tǒng)是F=1 且具有SU(3)自旋軌道耦合的旋量BEC.在平均場(chǎng)近似下, 體系哈密頓量可以寫(xiě)為Gross-Pitaevskii(GP)方程的形式:

有SU(3)自旋軌道耦合的哈密頓量可以通過(guò)與SU(2)自旋軌道耦合相似的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)[162, 163].如圖8所示, 三束有不同偏振和頻率且以 2 π/3 角度相交的激光被用于拉曼耦合中.每束激光分別綴飾一個(gè)F=1 的超精細(xì)自旋態(tài)到 |e?激發(fā)態(tài)上.當(dāng)使用標(biāo)準(zhǔn)旋波近似, 并將激發(fā)態(tài)絕熱消除后, 可以得到如方程(22)所示的有效哈密頓量.

圖8 旋量BEC中產(chǎn)生SU(3)自旋軌道耦合的原理圖(a) 激光作用.三束有不同頻率和偏振的激光, 以 2 π/3 的角度作用于原子氣體; (b) 能級(jí)圖.三個(gè)拉曼過(guò)程分別綴飾87Rb中飾87Rb中 5 S1/2,F=1 基態(tài)的超精細(xì)塞曼能級(jí) | F=1 ,mF=, | F=1,mF=和 | F=1,mF= ?.δ1 , δ2 和δ3與拉曼過(guò)程的失諧對(duì)應(yīng)[162]Fig.8.Scheme for creating SU(3) spin-orbit coupling in spinor BECs: (a) Laser geometry.The cloud of atoms is illuminated by three laser beams with different frequencies and polarizations, intersecting at an angle of 2 π/3 (b) Each of the three Raman lasers dresses one hyperfine Zeeman level from eman level from | F=1,mF=,|F=1,mF= and | F=1,mF=? of the 87Rb 5S1/2,F=1.δ1,δ2 , and δ3 are the detuning in the Raman transitions[162].

5.2 體系相圖

接下來(lái)討論體系的多體基態(tài)相圖.對(duì)于SU(2)自旋軌道耦合的情況, 已有研究表明體系兩個(gè)多體基態(tài)(磁化態(tài)和條紋態(tài))可以在均勻系統(tǒng)中穩(wěn)定存在[152].盡管Rashba類(lèi)型的SOC使單粒子譜中存在無(wú)窮多簡(jiǎn)并的最小值, 但由于存在自旋相互作用, 多體基態(tài)在動(dòng)量空間中將會(huì)凝聚于一個(gè)或兩個(gè)點(diǎn)處[152].這導(dǎo)致對(duì)于SU(2)的自旋軌道耦合,除非引入一個(gè)強(qiáng)束縛簡(jiǎn)諧勢(shì)阱, 在動(dòng)量空間中存在三點(diǎn)或更多處凝聚的晶格態(tài)是不穩(wěn)定的[160].

對(duì)于本節(jié)考慮的SU(3)自旋軌道耦合的情況,首先選擇Ψ=α1Ψ1+α2Ψ2+α3Ψ3作為試探波函數(shù), 通過(guò)變分方法來(lái)研究系統(tǒng)可能存在的基態(tài),其中

對(duì)應(yīng)于所有粒子處于單粒子譜三個(gè)簡(jiǎn)并基態(tài)中的某一個(gè)多體凝聚態(tài),αi=1,2,3為對(duì)應(yīng)的展開(kāi)系數(shù).將(23)式—(25)式代入相互作用能量泛函

可以得到

當(dāng)c2>0 時(shí), 通 過(guò) 最 小 化 能 量 可 得|α1|2=|α2|2=|α3|2=/3, 這意味著系統(tǒng)基態(tài)是一個(gè)由三個(gè)單粒子最小值等權(quán)疊加的三角晶格相.另一方面, 當(dāng)c2<0 時(shí), 系統(tǒng)更傾向于成為一個(gè)滿足參數(shù)|α1|2=,|α2|2=|α3|2=0或|α2|2=|α1|2=|α3|2=0或|α3|2=,|α1|2=|α2|2=0的態(tài), 這意味著基態(tài)占據(jù)在動(dòng)量空間的某一個(gè)最小值處, 形成一個(gè)三重簡(jiǎn)并的磁化相.

在SOC比較強(qiáng)的情況下, 體系的化學(xué)勢(shì)主要由SOC決定, 上面介紹的變分波函數(shù)(23)式—(25)式可以比較好地描述體系的性質(zhì).而對(duì)于SOC強(qiáng)度較弱, 相互作用相對(duì)較強(qiáng)的情況, 則必須依賴于數(shù)值模擬來(lái)得到體系的多體基態(tài).在這種情況下, 我們發(fā)現(xiàn)在c2?κ2條件下將會(huì)出現(xiàn)在動(dòng)量空間中有兩個(gè)最小值布局的條紋相.

圖9 有SU(3)自旋軌道耦合的BEC中的兩種不同相 (a)?(d) 存在反鐵磁自旋相互作用時(shí)( c2>0 )的拓?fù)浞瞧接咕Ц裣?圖(a)中的高度和顏色分別代表 Ψ1 的密度和相位.在圖(b)中, 一個(gè)單胞中呈現(xiàn)出渦旋(白色圓圈)和反渦旋(黑色圓圈)的位置.圖(c)和圖(d)分別展示了晶格相的動(dòng)量分布和相分離結(jié)構(gòu)的示意圖; (e), (f) 存在鐵磁自旋相互作用時(shí)( c2<0 )的三重簡(jiǎn)并磁化相.圖(e)和圖(f)分別展示了 Ψ 1 在實(shí)空間和動(dòng)量空間的分布[162]Fig.9.Two distinct phases of SU(3) spin-orbit-coupled BECS: (a)?(d) The topologically nontrivial lattice phase with antiferromagnetic spin interaction ( c2>0 ).(a) The heights and colors correspond to the density and phase of Ψ 1 respectively, (b) the positions of vortices (white circles) and antivortices (black circles) in the phase within one unit cell, (c) the corresponding momentum distributions, (d) the structural schematic drawing of the phase separation; (e), (f) the threefold-degenerate magnetized phase for ferromagnetic spin interaction ( c2<0 ).(e) the density and phase distributions of Ψ1 , (f) the corresponding momentum distributions[162].

通過(guò)虛時(shí)演化方法最小化與哈密頓量(22)式對(duì)應(yīng)的能量泛函, 可以數(shù)值得到體系的多體基態(tài).研究表明, 數(shù)值計(jì)算的結(jié)果與上文討論的變分結(jié)果在弱相互作用區(qū)間c2κ2內(nèi)基本一致.圖9描繪了有SU(3)自旋軌道耦合的旋量BEC中兩種可能存在的基態(tài).當(dāng)c2>0 時(shí), 如圖9(a)–圖9(d)所示, 體系中三種成分互不相融, 并且排列成一個(gè)相互交錯(cuò), 且有空間平移對(duì)稱性自發(fā)破缺的三角晶格.如圖9(d)所示, 此晶格為拓?fù)浞瞧接骨以谄渲需偳队袦u旋和反渦旋.因此, 晶格相可以在有SU(3)自旋軌道耦合的均勻BEC中穩(wěn)定存在.與之形成鮮明對(duì)比的是, 在SU(2)的系統(tǒng)中一般需要外加一個(gè)強(qiáng)簡(jiǎn)諧束縛勢(shì)阱[160].關(guān)于渦旋的性質(zhì)將在下文討論.另一方面, 如圖9(e)和圖9(f)所示, 當(dāng)c2<0時(shí), 體系三種成分混合在一起, 同時(shí)體系將形成一個(gè)具有空間平移對(duì)稱性, 但時(shí)間反演對(duì)稱性破缺的磁化相.由于存在自發(fā)對(duì)稱性破缺, 磁化相將占據(jù)在單粒子譜三個(gè)簡(jiǎn)并基態(tài)中的一個(gè).因此磁化相是三重簡(jiǎn)并的, 而在SU(2)情況中為二重簡(jiǎn)并[164].

然而, 對(duì)于參數(shù)為c2?κ2的強(qiáng)反鐵磁自旋相互作用, 系統(tǒng)可能會(huì)出現(xiàn)動(dòng)量空間中三個(gè)最小值中的兩處被占據(jù)的條紋相.通過(guò)將動(dòng)量空間中兩點(diǎn)或三點(diǎn)最小值處被占據(jù)的態(tài)作為試探波函數(shù), 同時(shí)結(jié)合虛時(shí)演化, 可以找到相對(duì)應(yīng)的最優(yōu)基態(tài)能量.圖10(a)描繪了原子間相互作用強(qiáng)度為不同值時(shí)晶格相和條紋相的能量對(duì)比情況.從圖中可以明顯發(fā)現(xiàn)當(dāng)原子間相互作用強(qiáng)度超過(guò)一個(gè)臨界值時(shí), 條紋相的能量將低于晶格相中能量.如圖10(d)所示, 由于垂直于條紋方向存在有限值動(dòng)量, 空間平移和時(shí)間反演對(duì)稱性都會(huì)發(fā)生破缺(如圖10(b)和圖10(c)所示).這一點(diǎn)也顯著區(qū)別于SU(2)自旋軌道耦合誘導(dǎo)產(chǎn)生的條紋相[152].

5.3 相位條件

旋量BEC中的渦旋結(jié)構(gòu)取決于體系三個(gè)自旋分量間的相位關(guān)系.接下來(lái)將討論SOC對(duì)晶格結(jié)構(gòu)相位條件的影響.首先假設(shè)在極坐標(biāo)系 (r,θ) 中自旋序參量可以寫(xiě)為

5.3.1 不存在自旋軌道耦合

當(dāng)體系中不存在SOC時(shí), 哈密頓量中與相位有關(guān)的部分是

圖10 (a) 晶格相和條紋相的能量對(duì)比; (b)?(d) 參數(shù) c2=20κ2 和 c0=10c2 時(shí), 條紋相基態(tài)的密度、相位和動(dòng)量的分布[162]Fig.10.(a) Energy comparison between the lattice and stripe phases.The solid (lattice state) and dashed (stripe state) lines correspond to the energy difference ? E between the numerical simulation and the variational calculation; (b)?(d) the ground-state density, phase and momentum distributions of the stripe phase with the parameters c2=20κ2 and c0=10c2 [162].

其中第一項(xiàng)由動(dòng)能產(chǎn)生, 第二項(xiàng)來(lái)自于自旋相互作用.將方程(28)代入(29)式可以得到

從(30)式中可以很容易發(fā)現(xiàn)體系在能量上更傾向于處在小環(huán)繞數(shù)的狀態(tài).從(31)式中進(jìn)一步看出能量最小化需要環(huán)繞數(shù)和相位滿足下面的關(guān)系:

其中當(dāng)c2>0 時(shí)n為奇數(shù), 當(dāng)c2<0 時(shí)n為偶數(shù).方程(32)所示的相位條件表明下面這些不同自旋分量的環(huán)繞數(shù)可以存在于旋量BEC系統(tǒng)中:在這里, 符號(hào) × 代表體系中Ψ0成分沒(méi)有占據(jù).

5.3.2SU(2)自旋軌道耦合

對(duì)于存在SU(2)自旋軌道耦合的情況, 我們以Rashba類(lèi)型SOC為例, 對(duì)應(yīng)的哈密頓量可以寫(xiě)為

這里ψ=[ψ1,ψ0,ψ?1]T.將 (28)式代入 (34)式中可以得到

為了最小化SOC能量, 參數(shù)傾向于滿足下面關(guān)系:

此時(shí)SOC能量可以改寫(xiě)為

通過(guò)最小化能量方程(40), 可以確定參數(shù)m和n的奇偶性.可以發(fā)現(xiàn)SU(2)自旋軌道耦合不違反(32)式所示的一般環(huán)繞數(shù)條件, 但會(huì)另外出現(xiàn)如方程(36)和方程(37)所示的條件.由此產(chǎn)生的影響是 : 盡管環(huán)繞數(shù)組合和仍被體系接受, 但將 不 被允許.可以明顯看出, SOC破壞了體系的手性對(duì)稱, 進(jìn)而誘導(dǎo)產(chǎn)生手性自旋結(jié)構(gòu).

5.3.3SU(3)自旋軌道耦合

對(duì)于SU(3)自旋軌道耦合, 有效哈密頓量可寫(xiě)為

將方程(28)代入(41)式, 可得

通過(guò)最小化SOC能量, 可以得到下面的關(guān)系:

進(jìn)而SOC能量可以寫(xiě)為

其中參數(shù)m,n,l的奇偶性由方程(49)決定.然而,方程(43)–(45)無(wú)法同時(shí)滿足.因此SU(3)自旋軌道耦合的相位條件將出現(xiàn)以下幾種情況:

情況一:

情況二:

情況三:

5.4 渦旋結(jié)構(gòu)

根據(jù)環(huán)繞數(shù)組合和渦旋中心磁化特征, 可以對(duì)旋量BEC中的渦旋結(jié)構(gòu)進(jìn)行分類(lèi)[154?156].舉例來(lái)說(shuō), Mermin-Ho渦旋具有鐵磁渦旋中心, 且不同自旋分量的環(huán)繞數(shù)為, 其中 ± 代表渦旋的不同手性[165],表示在波函數(shù)中Ψ1,Ψ0,Ψ?1部分分別有環(huán)繞數(shù)w1,w0,w?1.使用這種標(biāo)記方式, 極化核心(polar core)渦旋對(duì)應(yīng)環(huán)繞數(shù)組合和一個(gè)反鐵磁渦旋核心, 半量子(half-quantum)渦旋則對(duì)應(yīng)環(huán)繞數(shù)組合和一個(gè)鐵磁渦旋核心.

在由反鐵磁自旋相互作用和SU(3)自旋軌道耦合共同誘導(dǎo)產(chǎn)生的晶格相中, 存在如圖11所示的三種類(lèi)型的渦旋: 一種是對(duì)應(yīng)環(huán)繞數(shù)組合的極化核心渦旋, 另外兩種是分別對(duì)應(yīng)環(huán)繞數(shù)組合的鐵磁核心渦旋.此外, 由于在有SU(3)自旋軌道耦合的系統(tǒng)中手性對(duì)稱將發(fā)生破缺, 所有具有反手性的渦旋結(jié)構(gòu), 例如將不被允許.

圖11 有 SU(3)自旋軌道耦合的反鐵磁旋量BEC中的渦旋結(jié)構(gòu).圖中描繪了三個(gè)自旋分量中的渦旋排列.三種類(lèi)型的渦旋包括: 一個(gè)不同自旋分量的環(huán)繞數(shù)組合為?1,0,1的極化核心渦旋(藍(lán)線所示), 兩個(gè)環(huán)繞數(shù)組合分別為,?1,0 (綠線所示) 和,1,?1 (紅線所示)的鐵磁核心渦旋[162]Fig.11.Vortex arrangement among the three components in antiferromagnetic spinor BECs with SU(3) spin-orbit coupling.There are three types of vortices, including a polar-core vortex with winding combination ?1,0,1 (blue line) and two ferromagnetic-core vortices with winding number combinations,?1,0 (green line) and ,1,?1(red line)[162].

5.5 自旋雙渦旋結(jié)構(gòu)

自旋渦旋是由對(duì)稱性破缺誘導(dǎo)產(chǎn)生的一種復(fù)雜拓?fù)淙毕? 其特點(diǎn)是環(huán)繞無(wú)磁化核心的質(zhì)量流為零、而量子化的自旋流不為零[166?169].自旋渦旋不僅與在磁性薄膜中發(fā)現(xiàn)的磁性渦旋不同[170,171], 而且由于存在自旋結(jié)構(gòu)中的奇點(diǎn)[172], 自旋渦旋也有別于二維Skyrmion[173].實(shí)驗(yàn)中已經(jīng)在鐵磁自旋BEC中觀測(cè)到環(huán)繞數(shù)l=1 的量子自旋環(huán)流[174].然而,l(l?2) 的多重量子自旋渦旋被認(rèn)為是拓?fù)洳环€(wěn)定的, 至今還沒(méi)有在實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到.

圖12 有 SU(3)自旋軌道耦合的反鐵磁自旋 BEC 中的自旋雙渦旋 (a)橫向磁化的空間分布, 其中顏色表示磁化方向; (b), (c)分別描繪了縱向磁化和總磁化幅度 | F| 的分布.圖中分別用大圓圈和小圓圈標(biāo)記了自旋雙渦旋和half-Skyrmion這兩種類(lèi)型的拓?fù)淙毕輀162]Fig.12.The double-quantum spin vortex in antiferromagnetic spinor BECs with SU(3) spin-orbit coupling: (a) Spatial maps of the transverse magnetization.The colors correspond to the magnetization orientation; (b) longitudinal magnetization; (c) amplitude of the total magnetization | F| .The big and small circles represents the two kinds of topological defects: double-quantum spin vortex and half-Skyrmion.[162].

在本節(jié)考慮的具有SU(3)自旋軌道耦合的旋量BEC中, 我們發(fā)現(xiàn)晶格相中的極化核心渦旋擁有兩個(gè)圍繞無(wú)磁化核心的自旋流, 因此可以被定義為自旋雙渦旋.圖12描繪了自旋雙渦旋的橫向磁化F+=Fx+iFy, 縱向磁化Fz和總磁化 |F| 的 幅度, 這些量在實(shí)驗(yàn)中可以通過(guò)對(duì)磁場(chǎng)敏感的相位成像技術(shù)來(lái)觀測(cè).從圖中可以發(fā)現(xiàn)兩種不同類(lèi)型的拓?fù)淙毕? 自旋雙渦旋和 half-Skyrmion(HS)[175], 分別對(duì)應(yīng)環(huán)繞數(shù)組合為的極化核心渦旋, 以及的鐵磁核心渦旋.值得注意的是, 自旋雙渦旋的核心是非磁化的, 且磁化方向沿著圍繞核心的一條封閉路徑會(huì)發(fā)生 4π 角度的旋轉(zhuǎn).因此在有SU(3)自旋軌道耦合的反鐵磁旋量BEC中會(huì)自發(fā)出現(xiàn)一個(gè)由多重自旋渦旋組成的常規(guī)晶格.通過(guò)考慮有限溫度的影響, 可以進(jìn)一步確定自旋雙渦旋在低溫下不會(huì)被熱漲落破壞, 因此在實(shí)驗(yàn)中可以被實(shí)現(xiàn).

5.6 小 結(jié)

本節(jié)介紹了具有SU(3)自旋軌道耦合的旋量玻色氣體中的基態(tài).發(fā)現(xiàn)SU(3)自旋軌道耦合和自旋相互作用將共同決定體系的基態(tài)相圖.當(dāng)存在有效鐵磁自旋相互作用時(shí),SU(3)自旋軌道耦合會(huì)引入三重簡(jiǎn)并, 而在存在反鐵磁自旋相互作用時(shí),SOC將破壞旋量玻色氣體中的一般相位規(guī)則, 并在體系中誘導(dǎo)產(chǎn)生自旋雙渦旋.

6 存在軟核長(zhǎng)程相互作用和自旋軌道耦合的玻色氣體中的手性超固相

手性是自然界中普遍存在的現(xiàn)象[176,177].研究手性物質(zhì)中的新奇態(tài), 是物理學(xué)的一個(gè)重要課題,同時(shí)也為設(shè)計(jì)特殊功能材料提供了一些思路和線索.最近發(fā)現(xiàn)的新奇手性物態(tài), 如手性超導(dǎo)[178]、手性電子[179]、手性疇壁[180?182]和手性Skyrmions[183],都吸引了科研工作者的廣泛興趣.在上述的很多體系中, SOC都是手性對(duì)稱性破缺的重要因素.

之前關(guān)于SOC的大量研究都僅針對(duì)硬核系統(tǒng).這些系統(tǒng)中原子間相互作用通常取為零距離接觸作用[184,185]或長(zhǎng)程偶極勢(shì)[186,187].然而, 通過(guò)使用Rydberg綴飾技術(shù), 可以在玻色氣體中實(shí)現(xiàn)軟核相互作用[188?190].硬核相互作用和軟核相互作用的本質(zhì)區(qū)別在于當(dāng)兩個(gè)原子距離較近時(shí), 相互作用勢(shì)表現(xiàn)出的行為有顯著的不同.對(duì)于硬核情況, 相互作用將趨于無(wú)窮大, 而對(duì)于軟核系統(tǒng), 相互作用勢(shì)將趨于一個(gè)有限值.之前已有研究表明, 軟核長(zhǎng)程相互作用可以誘導(dǎo)產(chǎn)生自發(fā)超固體[191,192].作為一種人們長(zhǎng)期尋找的新奇物質(zhì)相, 自發(fā)超固體可以同時(shí)表現(xiàn)出固體性質(zhì)和無(wú)摩擦超流性質(zhì)[193?197].因此, 對(duì)于同時(shí)具有SOC和軟核相互作用的體系,人們自然會(huì)提出一個(gè)問(wèn)題: 能否實(shí)現(xiàn)一個(gè)手性對(duì)稱性破缺的超固體相?

6.1 哈密頓量

考慮一個(gè)有軟核長(zhǎng)程相互作用和SOC的二維均勻BEC.體系在平均場(chǎng)近似下的哈密頓量可以寫(xiě)為Gross-Pitaevskii的形式:

其中旋量BEC的序參量定義為Ψ=[Ψ↑(r),Ψ↓(r)]T,且滿足歸一化條件SOC 項(xiàng)可以寫(xiě)為:Vso= ?i?κ(σx?x±σy?y) , 其中σx,y為泡利矩陣,κ為 SOC 強(qiáng)度.SOC 項(xiàng)中 ± 代表 了 SOC 的 種 類(lèi) , + 為 Rashba類(lèi) 型 , – 為Dresselhaus類(lèi)型.本節(jié)關(guān)注具有SU(2)對(duì)稱性的玻色氣體, 因此接觸相互作用強(qiáng)度gij滿足g=g↑↑=g↓↓=g↑↓.描述軟核長(zhǎng)程相互作用的有效勢(shì)可以寫(xiě)為, 其 中表示相互作用強(qiáng)度,Rc表示阻塞半徑[189].

實(shí)驗(yàn)中在87Rb原子的 ( 5S1/2,F=1) 基態(tài)中可以實(shí)現(xiàn)哈密頓量 (62)式, 其中兩個(gè)超精細(xì)態(tài)可以被用來(lái)模擬體系中自旋向上和向下的分量.盡管體系中自然存在著接觸相互作用, 但利用Rydberg綴飾技術(shù)可以人為創(chuàng)造軟核長(zhǎng)程相互作用, 此過(guò)程是利用一個(gè)非共振雙光子過(guò)程將基態(tài)原子與一個(gè)高激發(fā)Rydberg態(tài)弱耦合在一起[188?190].軟核長(zhǎng)程相互作用強(qiáng)度和阻塞半徑Rc取決于雙光子拉比頻率和失諧, 在實(shí)驗(yàn)中可以在較寬的范圍內(nèi)調(diào)節(jié).Rashba和Dresselhaus類(lèi)型的SOC可以通過(guò)調(diào)節(jié)梯度磁場(chǎng)[198]或拉曼激光綴飾來(lái)實(shí)現(xiàn)[28].二維體系可以通過(guò)在軸向加一個(gè)強(qiáng)簡(jiǎn)諧勢(shì)阱來(lái)實(shí)現(xiàn), 勢(shì)阱的特征長(zhǎng)度為假設(shè)體系所有的能量尺度都遠(yuǎn)小于該簡(jiǎn)諧勢(shì)阱的束縛能, 二維有效接觸相互作用可以寫(xiě)為其中aij為對(duì)應(yīng)的三維 s 波散射長(zhǎng)度[199].

6.2 手性超固體

通過(guò)數(shù)值最小化哈密頓量(62)式, 可以得到體系的多體基態(tài).在沒(méi)有SOC的體系中, 已有研究表明軟核長(zhǎng)程相互作用可以誘導(dǎo)產(chǎn)生具有類(lèi)旋子模式軟化的超固體相[188,189].在這種情況中, 哈密頓量關(guān)于手性算符具有對(duì)稱性, 這里代表復(fù)共軛.而Rashba類(lèi)型或Dresselhaus類(lèi)型的SOC可以使這種手性對(duì)稱發(fā)生破缺, 并且誘導(dǎo)產(chǎn)生一個(gè)新奇手性超固體相.如圖13所示, 在這個(gè)相中每個(gè)單胞都存在順時(shí)針或逆時(shí)針的環(huán)流.同時(shí)在每個(gè)單胞中兩種自旋分量沿著徑向分開(kāi), 分量?jī)?nèi)相互作用較弱的自旋位于中心位置, 并被相互作用較強(qiáng)的自旋分量環(huán)繞.盡管處于單胞中心的自旋分量的相位是平庸的, 但環(huán)繞在外的自旋分量 沿著圍繞中心的閉合路徑存在一個(gè) 2π 的相位梯度,因此在每個(gè)單胞中都存在渦旋.特別值得注意的是, 在這里所有渦旋的環(huán)繞方向都相同.與之形成鮮明對(duì)比的是, 在有SOC的硬核系統(tǒng)中渦旋和反渦旋總是成對(duì)出現(xiàn)的[200?203].

為了得到這些整齊排布的渦旋物理圖像, 我們可以將Rashba類(lèi)型SOC項(xiàng)

在極坐標(biāo)系 (r,φ) 下改寫(xiě)為

其中Λ0表示超固體晶體結(jié)構(gòu)中一個(gè)單胞所對(duì)應(yīng)的積分域, 波函數(shù)可以表示為密度和相位的形式:對(duì)于核心部分 (用下標(biāo)“?”表示), 為避免降低能量, 相位必須滿足條件:?θ?/?φ=0.另外, 通過(guò)考慮旋轉(zhuǎn)對(duì)稱并忽略徑向擴(kuò)散, 可以自然地假設(shè)?nj/?φ=0 和?θj/?r=0 .因此, 可以得到

這里下標(biāo)?表示環(huán)繞核心的部分.當(dāng)核心部分為自旋向上 (向下) 時(shí), 符號(hào) ± 取 +(-).為了使 SOC 能量最小化, 參數(shù)傾向于滿足條件

其中θ?為常數(shù).上述結(jié)果意味著如果核心部分為自旋向上(向下), 環(huán)繞部分傾向于有一個(gè) + 2π ( ? 2π )的相位梯度, 這同時(shí)與圖12所示的數(shù)值計(jì)算結(jié)果一致.

單胞內(nèi)的徑向相位分離和非平庸的環(huán)流共同組成了一種拓?fù)渥孕Y(jié)構(gòu).通過(guò)定義布洛赫矢量s=Ψ?σΨ/|Ψ|2, 可 以 從 方 程 (65)中 得 到sx=和sz=(n↑?n↓)/(n↑+n↓), 其中布洛赫矢量s將態(tài)Ψ投影到了一個(gè)單位布洛赫球面上.很顯然, 在遍歷一個(gè)單胞的過(guò)程中, 布洛赫矢量?jī)H覆蓋布洛赫球面一次.因此,圖13所示的手性超固相與磁性材料中的Skyrmion晶體有相似的性質(zhì)[204?207].

在手性超固相中, 每個(gè)單胞都具有一個(gè)自發(fā)粒子環(huán)流.在流體動(dòng)力學(xué)理論中[208,209], 質(zhì)量守恒要求在規(guī)范勢(shì)下的實(shí)際粒子流有如下形式:

其中, 對(duì)于Rashba類(lèi)型 SOC的規(guī)范勢(shì)為A=?κM(σx,σy), 對(duì)于Dresselhaus類(lèi)型SOC的規(guī)范勢(shì)為A= ?κM(σx,?σy) .粒子流表達(dá)式中的第一項(xiàng)(正則部分)依賴于相位梯度?θj, 而第二項(xiàng)(規(guī)范部分)與相位差θ??θ?相關(guān).對(duì)于Rashba類(lèi)型SOC的情況, 依據(jù)相位關(guān)系(65)式, 粒子流可以表示為

因此, 如圖14(c)和圖14(d)所示, Dresselhaus類(lèi)型SOC可以誘導(dǎo)產(chǎn)生一個(gè)與Rashba類(lèi)型手性相反的粒子流.

手性粒子環(huán)流的存在意味著在超固體相的基態(tài)中存在一個(gè)有限角動(dòng)量.根據(jù)方程(67), 在每個(gè)單胞中由Rashba類(lèi)型SOC誘導(dǎo)產(chǎn)生的角動(dòng)量可以表示為

由于所有渦旋的環(huán)繞方向相同, 所以系統(tǒng)總角動(dòng)量不為零.需要強(qiáng)調(diào)的是, 此有限角動(dòng)量的出現(xiàn)是由手性對(duì)稱性破缺直接導(dǎo)致的, 這與利用外加旋轉(zhuǎn)[210,211]或人造磁場(chǎng)[49]產(chǎn)生角動(dòng)量的傳統(tǒng)方法形成鮮明對(duì)比.另外, 角動(dòng)量的方向由渦旋中心的自旋取向決定, 因此可以通過(guò)改變同種自旋分量?jī)?nèi)的相互作用強(qiáng)度來(lái)調(diào)節(jié)角動(dòng)量的方向.

手性超固相中的總自旋角動(dòng)量Sz同樣不為零.通過(guò)數(shù)值計(jì)算可以發(fā)現(xiàn), 系統(tǒng)中大部分粒子位于渦旋核心處, 同時(shí)存在較弱的分量?jī)?nèi)相互作用, 只有很少的粒子位于外圍環(huán)流中, 在圖13和圖14中此部分所占比例大約為9.3%.因此, 總自旋角動(dòng)量大約為從圖14中也可以發(fā)現(xiàn), 對(duì)于Rashba類(lèi)型SOC, 總自旋角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量的方向相反, 而對(duì)于Dresselhaus類(lèi)型SOC, 二者方向一致.

6.3 系統(tǒng)相圖

圖15描繪了體系在不同參數(shù)下的相圖.除了上文討論的手性超固相 (chiral supersolid,CSS)以外, 圖15中還討論了另外兩種超固體相:平面波超固相 (plane-wave supersolid, PWSS)和駐波超固相 (standing-wave supersolid, SWSS).在PWSS相和SWSS相中, 系統(tǒng)均會(huì)出現(xiàn)平移對(duì)稱性破缺, 從而形成晶體結(jié)構(gòu).對(duì)于 PWSS 相, 在每個(gè)單胞中的局域凝聚波函數(shù)均會(huì)沿一個(gè)給定方向出現(xiàn)相位變化.對(duì)于SWSS相, 凝聚波函數(shù)會(huì)出現(xiàn)密度調(diào)制并形成條紋.值得注意的是, PWSS相和SWSS相的局域結(jié)構(gòu)與硬核玻色系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)的平面波和條紋相十分類(lèi)似[212?214], 這同樣可以歸因于成分內(nèi)和成分間相互作用的競(jìng)爭(zhēng).

圖14 由 Rashba 類(lèi)型 SOC((a), (b))和 Dresselhaus類(lèi)型 SOC((c), (d))誘導(dǎo)產(chǎn)生的粒子流 j 和自旋的徑向磁化 Sz .其中顏色從藍(lán)到紅代表 S z 從小到大, 黑色箭頭代表環(huán)流方向 j .本圖中參數(shù)與圖12相同[200]Fig.14.Particle currents j and longitudinal magnetizations S z of the spin induced by Rashba spin-orbit coupling ( (a), (b)) and Dresselhaus spin-orbit coupling ((c), (d) ).S z and j are represented by the color map and black arrows, respectively.The colors ranging from blue to red represent the values from the minimum to the maximum.The parameters used here are same as those in Fig.12[200].

6.4 小 結(jié)

本節(jié)介紹了同時(shí)具有SOC和軟核長(zhǎng)程相互作用的玻色氣體中可能出現(xiàn)的新奇超固體相.在此相中, 伴隨著粒子環(huán)流的出現(xiàn), 手性對(duì)稱性將發(fā)生破缺.這意味著可以不通過(guò)旋轉(zhuǎn)或有效磁場(chǎng), 就可以產(chǎn)生一個(gè)宏觀大小的有限角動(dòng)量.可以通過(guò)調(diào)節(jié)SOC強(qiáng)度或原子間相互作用強(qiáng)度改變角動(dòng)量的方向.此理論預(yù)測(cè)的手性超固體相 可以在有SOC和Rydberg綴飾的BEC中實(shí)現(xiàn)并觀測(cè)到.

7 結(jié) 論

本文介紹了在有自旋軌道耦合的超冷原子系統(tǒng)中的一些新研究進(jìn)展.文章首先介紹了光腔里無(wú)相互作用的準(zhǔn)一維費(fèi)米氣體系統(tǒng)中存在的拓?fù)涑椛鋺B(tài).通過(guò)超輻射相變, 腔中光場(chǎng)將和驅(qū)動(dòng)光共同誘導(dǎo)產(chǎn)生自旋軌道耦合效應(yīng), 并在能帶半滿處打開(kāi)一個(gè)體能隙, 同時(shí)引發(fā)拓?fù)湎嘧?通過(guò)計(jì)算可以得到體系在有效塞曼場(chǎng)中的穩(wěn)態(tài)相圖和相圖中的精確臨界點(diǎn).當(dāng)光腔中有更多數(shù)量的原子時(shí), 可以在實(shí)驗(yàn)中更容易地觀測(cè)到此拓?fù)涑椛鋺B(tài)和對(duì)應(yīng)發(fā)生的相變.

然后討論了在有相互作用的準(zhǔn)一維堿土金屬原子氣體中存在的對(duì)稱性保護(hù)拓?fù)鋺B(tài).通過(guò)分離此類(lèi)原子中的軌道自由度和核自旋自由度, 并利用軌道 Feshbach共振, 可以構(gòu)造不同狀態(tài)之間的SOC, 并實(shí)現(xiàn)自旋交換的相互作用.文章討論了這些參數(shù)對(duì)有相互作用的費(fèi)米對(duì)稱性保護(hù)拓?fù)鋺B(tài)的影響, 通過(guò)數(shù)值計(jì)算繪制出體系的相圖, 并刻畫(huà)了體系中存在的拓?fù)湎嘧?

接下來(lái)研究了在有SU(3)自旋軌道耦合的玻色氣體中存在的自旋雙渦旋結(jié)構(gòu).研究發(fā)現(xiàn)SU(3)自旋軌道耦合和自旋相互作用對(duì)體系相圖有重要的影響.當(dāng)存在有效鐵磁自旋相互作用時(shí),SU(3)自旋軌道耦合將會(huì)在系統(tǒng)基態(tài)中引入三重簡(jiǎn)并, 而當(dāng)存在反鐵磁自旋相互作用時(shí),SU(3)自旋軌道耦合將會(huì)破壞自旋玻色氣體中的一般相位規(guī)則, 同時(shí)將在體系中誘導(dǎo)產(chǎn)生自旋雙渦旋.

最后介紹了通過(guò)將SOC和軟核長(zhǎng)程相互作用相結(jié)合, 誘導(dǎo)產(chǎn)生新奇超固相的理論研究.在此超固體相中, 伴隨著粒子環(huán)流的出現(xiàn), 手性對(duì)稱性將發(fā)生破缺.這意味著可以不通過(guò)旋轉(zhuǎn)或有效磁場(chǎng),就可以產(chǎn)生一個(gè)宏觀大小的有限角動(dòng)量.通過(guò)調(diào)節(jié)SOC強(qiáng)度或原子間相互作用強(qiáng)度可以改變這個(gè)角動(dòng)量的方向.

通過(guò)對(duì)上述問(wèn)題的綜述, 我們展示了在冷原子系統(tǒng)中對(duì)人造自旋軌道耦合研究的一些新進(jìn)展.和傳統(tǒng)凝聚態(tài)系統(tǒng)中的工作相比, 這些研究關(guān)注了具有耗散、軌道自由度、大自旋、或軟核長(zhǎng)程相互作用的新穎系統(tǒng), 體現(xiàn)了冷原子系統(tǒng)的特色, 并為理解自選軌道耦合效應(yīng)開(kāi)拓了新的思路.

最后, 嘗試對(duì)冷原子氣體中自旋軌道耦合的未來(lái)發(fā)展進(jìn)行一定展望.首先, 一個(gè)十分有意義的研究方向是在實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)各種其他新奇形式的SOC.其中特別值得關(guān)注的是各種類(lèi)型的高維SOC, 以及可能由其誘導(dǎo)產(chǎn)生的各種拓?fù)湮镔|(zhì)態(tài), 如二維和三維的拓?fù)浣^緣體、Weyl半金屬、拓?fù)涑瑢?dǎo)或超流相等等.第二, 將原子內(nèi)態(tài)與其他自由度結(jié)合的SOC是另一個(gè)有趣的方向.無(wú)論是類(lèi)堿土金屬原子(如Sr和Yb)中的電子軌道自由度, 還是外部運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量自由度, 其與原子內(nèi)態(tài)的相互耦合都會(huì)衍生出新的物 理, 或有助于發(fā)展新的測(cè)量操控手段.第三, 研究同時(shí)具有SOC和相互作用的強(qiáng)關(guān)聯(lián)拓?fù)湎到y(tǒng)是一個(gè)非常 重要, 同時(shí)也充滿挑戰(zhàn)的方向.在冷原子系統(tǒng)中, 通過(guò)結(jié)合人造SOC和Feshbach共振等調(diào)控技術(shù), 我們 有望進(jìn)行在其他體系中難以實(shí)現(xiàn)的量子模擬實(shí)驗(yàn), 并嘗試尋找由相互作用誘導(dǎo)的新奇量子態(tài), 如拓?fù)涑鳌⒎謹(jǐn)?shù)拓?fù)浣^緣體等.最后, 一個(gè)同樣重要且有趣的方向, 是對(duì)量子非平衡系統(tǒng)中豐富的拓?fù)洮F(xiàn)象的研究.和固體物理材料相比, 冷原子氣體是一個(gè)天然的非平衡實(shí)驗(yàn)系統(tǒng).在極低的溫度下, 冷原子氣體本身就是一個(gè)同時(shí)具有加熱和各類(lèi)耗散的非平衡體系.另外, 實(shí)驗(yàn)中還可以通過(guò)激光耦合不同能級(jí)的方式實(shí)現(xiàn)對(duì)驅(qū)動(dòng)和耗散的精細(xì)調(diào)節(jié).這些特點(diǎn)既體現(xiàn)了冷原子系統(tǒng)的特色, 也為我們提供了研究非平衡動(dòng)力學(xué)的重要平臺(tái).