羅燦文

[摘? ?要]學生在學習天體運動知識及應用相關知識解決實際問題時，往往會感到比較困難，因為這部分知識的學習與運用需要較強的空間想象能力和抽象思維能力，比如比較橢圓軌道上遠地點與圓周軌道上速度、加速度問題，就有不少學生覺得較難。為提升學生解決相關問題的能力，文章從一道習題出發(fā)，通過理論分析推導衛(wèi)星變軌時速度加速度的變化，為學生準確分析判別交點處速度、加速度的變化提供幫助。

[關鍵詞]衛(wèi)星變軌;速度;加速度;萬有引力

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2020）29-0053-02

衛(wèi)星變軌問題是高中物理的重難點問題，該類問題往往涉及周期、速度以及加速度。下面通過實例進行分析探討。

【例題】（2019年福建泉州市第一次質量檢查題）如圖1所示，虛線Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分別表示地球衛(wèi)星的三條軌道，其中軌道Ⅰ為與第一宇宙速度7.9 km/s對應的近地環(huán)繞圓軌道，軌道Ⅱ為橢圓軌道，軌道Ⅲ為與第二宇宙速度11.2 km/s對應的脫離軌道。a、b、c三點分別位于三條軌道上，b點為軌道Ⅱ的遠地點，b、c點與地心的距離均為軌道Ⅰ半徑的2倍，則（）。

A.衛(wèi)星在軌道Ⅱ上的運行周期為軌道Ⅰ的2倍

B.衛(wèi)星經(jīng)過a點的速率為經(jīng)過b點的[2]倍

C.衛(wèi)星在a點的加速度大小為在c點的4倍

D.質量相同的衛(wèi)星在b點的機械能小于在c點的機械能

解析：對B選項，由公式[v=GMr] 可知，如果衛(wèi)星在Ⅱ軌道做橢圓運動，衛(wèi)星經(jīng)過兩個軌道交點處的速率為經(jīng)過b點的[2]倍。而衛(wèi)星在Ⅰ軌道上運動時，需要經(jīng)過加速才能變軌到軌道Ⅱ上做橢圓運動，所以衛(wèi)星經(jīng)過a點的速率不是經(jīng)過b點的[2]倍，故B錯誤。

這樣的解釋明顯不能讓學生掌握辨析兩點線速度大小的關鍵，反而可能誤導學生。那么如何求解此題呢？能不能定量計算推導求解呢？

一、衛(wèi)星變軌時速度加速度變化分析

要定量求解衛(wèi)星在各點的線速度和加速度的大小關系，對高中生而言，僅使用物理課本所學知識是不夠的，還要具備以下知識：

1.橢圓的曲率半徑

可將質點的橢圓運動看成兩個相互垂直的同步同頻率簡諧振動的疊加，這兩個簡諧振動的方程為：

2.衛(wèi)星在近地點和遠地點的速度關系

高中階段，因為還沒有學習角動量守恒定律，我們姑且用開普勒第二定律倒推近地點和遠地點的速度關系。開普勒第二定律告訴我們：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等時間內(nèi)掃過的面積相等，如圖3所示。

取[Δt]很小，則掃過的兩部分都可以看成是直角三角形，圓弧相當于底邊，根據(jù)面積相等有：

對本題，依據(jù)上述知識可得出以下推論。

推論1：在圓軌道與橢圓軌道交點處的圓軌道上的加速度跟橢圓軌道上的向心加速度是相等的。

在橢圓軌道上，設衛(wèi)星在近地點的速度為[v1]，遠地點的速度為[v2]，橢圓的半長軸為[a]，半短軸為[b]，焦距為[2c]。

由機械能守恒定律可得：

即在近地點處，圓軌道和橢圓軌道的交點處，衛(wèi)星在圓軌道上運動的加速度和在橢圓軌道上運動的向心加速度是相等的。

推論2：針對本題，可推出衛(wèi)星在圓軌道的a點和在橢圓軌道b點線速度大小關系。

由于圓軌道和橢圓軌道的交點處加速度和向心加速度是相等的，則有：

因此，要比較橢圓上遠地點與圓軌道上的速度大小，則必須要用到開普勒第二定律的推論或者角動量守恒定律求解，當然也要注意在橢圓軌道與圓軌道相交的那個位置，其實萬有引力是等于橢圓軌道上對應的向心力的，也就是加速度與向心加速度相等。

二、拓展應用

[例1]人造飛船首先進入的是距地面近地點高度為200 km，遠地點高度為340 km的橢圓軌道，在飛行第五圈的時候，飛船從橢圓軌道運行到以遠地點為半徑的圓行軌道上，如圖5所示，試處理下面幾個問題（地球的半徑R=6370 km，g=9.8 m/s2）：

飛船在橢圓軌道1上運行，Q為近地點，P為遠地點，當飛船運動到P點時點火，使飛船沿圓軌道2運行，以下說法正確的是（）。

A.飛船在Q點的萬有引力大于該點所需的向心力

B.飛船在軌道1上運動時，P點的萬有引力大于該點所需的向心力

C.飛船在軌道1上P點的速度小于在軌道2上P點的速度

D.飛船在軌道1上P點的加速度大于在軌道2上P的加速度

解析：本題給出的參考答案是BC。

對于AB有，萬有引力大于該點所需的向心力，飛船會做近心運動，萬有引力小于該點所需的向心力，飛船會做離心運動。即飛船在Q點的萬有引力小于該點所需的向心力，故A錯;飛船在軌道1上運動時，P點的萬有引力大于該點所需的向心力，故B正確;

對于C有，當飛船運動到P點時點火，使飛船沿圓軌道2運行，萬有引力不夠提供向心力，飛船做圓周運動，而飛船在軌道1上做橢圓運動，且橢圓的半長軸與圓軌道2的半徑相等，所以飛船在軌道1上P點的速度小于在軌道2上P點的速度，故C正確;

對于D有，衛(wèi)星僅受萬有引力作用，所以加速度的大小由萬有引力的大小決定，所以飛船在軌道1上P點的加速度等于在軌道2上P點的加速度，故D錯誤。

注意向心加速度是指質點做曲線運動時，指向圓心（曲率中心）的加速度，與曲線切線方向垂直，也叫作法向加速度。向心加速度是反映圓周運動速度方向變化快慢的物理量。向心加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小。在橢圓與圓相交的點上，因為速度方向剛好與萬有引力方向垂直，所以切向加速度為0，合加速度等于向心加速度，而合加速度都是由萬有引力提供的，所以不管衛(wèi)星在橢圓軌道上還是在圓軌道上，向心加速度應該是相等的，但是由于它們在不同軌道上運行，對應的曲率半徑并不相等，導致它們對應的速度不相等。

（責任編輯 易志毅）