祝 川，盧 俊，吳 翔

(上海大學(xué)機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，上海 200444)

0 引 言

近年來噴水推進(jìn)已成為高性能船舶推進(jìn)方式的主體[1-2]，水面無人艇也多采用這種推進(jìn)方式。用于船舶航向控制的電動(dòng)液壓舵機(jī)系統(tǒng)對(duì)于改變或保持船舶航向有著至關(guān)重要的作用，主要實(shí)現(xiàn)兩大功能，船舶直線航行受外力偏航后恢復(fù)直線運(yùn)動(dòng)的航向穩(wěn)定性和及時(shí)改變船舶運(yùn)動(dòng)方向的回轉(zhuǎn)性，統(tǒng)稱為船舶的操縱性[2]。在電動(dòng)液壓系統(tǒng)中，直驅(qū)式電液伺服系統(tǒng)因結(jié)構(gòu)簡單、能源效率高的特點(diǎn)[3]而特別適用于無人艇的操舵控制。噴水推進(jìn)無人艇能夠擁有靈活的操縱性必然要求其操控轉(zhuǎn)向的直驅(qū)式電液伺服舵機(jī)系統(tǒng)具有優(yōu)良特性，這不僅僅體現(xiàn)在優(yōu)異的硬件上，也需穩(wěn)定可靠的控制算法來支持。

為保證直驅(qū)式電液伺服舵機(jī)系統(tǒng)擁有優(yōu)良性能，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行深入分析和研究，細(xì)化每個(gè)組件的作用機(jī)理，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，搭建整體系統(tǒng)仿真環(huán)境，簡化現(xiàn)場的試驗(yàn)工作。

1 無人艇直驅(qū)式電液伺服舵機(jī)系統(tǒng)建模

無人艇采用的直驅(qū)式電液伺服舵機(jī)系統(tǒng)，由伺服電機(jī)、液壓系統(tǒng)、操舵機(jī)構(gòu)部分組成，并承受噴水負(fù)載，如圖1 所示。

1.1 伺服電機(jī)及液壓系統(tǒng)建模

1.1.1 伺服電機(jī)建模

伺服調(diào)速電機(jī)系統(tǒng)可忽略電機(jī)電氣控制的動(dòng)態(tài)過程，簡化為時(shí)滯環(huán)節(jié)。對(duì)于電機(jī)拖動(dòng)的過程，簡化為一階慣性環(huán)節(jié)[4]，有

式中：U（s）為控制指令；N（s）為輸出轉(zhuǎn)速；Kv為速度增益；TD為電氣時(shí)間常數(shù)；τ 為時(shí)滯時(shí)間。

圖 1 直驅(qū)式電液伺服船舶舵機(jī)系統(tǒng)簡圖Fig.1 Diagram of the marine direct-drive electro-hydraulic servo steering-gear system

1.1.2 液壓系統(tǒng)建模

如圖2 所示，舵機(jī)的液壓系統(tǒng)主要由雙向定量液壓泵、對(duì)稱液壓缸、以及輔助的液控單向閥和小油罐組成。

圖 2 液壓系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure diagram of the hydraulic system

1）雙向定量液壓泵建模

由流體的連續(xù)性方程，可得液壓泵的流量與轉(zhuǎn)速的關(guān)系為：

式中：Q 為流量；np為轉(zhuǎn)速；Dp為排量；Cep為外泄漏系數(shù)；p+為出油口壓力；p-為進(jìn)油口壓力；Cip為內(nèi)泄漏系數(shù)。進(jìn)油口壓力p-相對(duì)于出油口壓力p+數(shù)值非常小，將進(jìn)油口壓力p-設(shè)為0 Pa[5]。

2）對(duì)稱液壓缸建模

直驅(qū)式電液伺服系統(tǒng)的油管回路很短，忽略其動(dòng)態(tài)特性。根據(jù)可壓流體的連續(xù)性方程，有

式中：x 為活塞桿位移；V（x）為進(jìn)油回路油液有效體積；βe為油液體積彈性模量；Ctm為總內(nèi)外泄漏系數(shù)；A 為活塞上有效面積。

忽略液壓缸與活塞桿的摩擦，活塞桿的動(dòng)力學(xué)方程為：

式中：m 為活塞桿質(zhì)量；Bp為油液粘性阻尼系數(shù)；FL為負(fù)載力。

3）液壓系統(tǒng)模型整合

對(duì)式（2）、式（3）和式（4）拉氏變換，消除中間變量P+（s），有

式中：ωn為液壓系統(tǒng)的固有頻率；ζ 為阻尼比系數(shù)；Ct為總泄漏系數(shù)， Ct=Ctm+Cep+Cip。

1.2 偏置滑塊-曲柄的映射關(guān)系

液壓活塞桿的輸出為直線運(yùn)動(dòng)，而噴嘴舵角的需求為回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)該轉(zhuǎn)換為操舵執(zhí)行機(jī)構(gòu)，簡化為平面偏置滑塊-曲柄連桿機(jī)構(gòu)。

1.2.1 建立運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程

對(duì)平面偏置滑塊-曲柄機(jī)構(gòu)，忽略重力，以曲柄1 的回轉(zhuǎn)中心A 為原點(diǎn)，以噴嘴中心線為x 軸，建立如圖3所示右手坐標(biāo)系xAy。

圖中，l1，l2為曲柄1 和連桿2 的軸向長度；lS2為連桿質(zhì)心S2到B 點(diǎn)的距離；l3為轉(zhuǎn)動(dòng)副C 點(diǎn)距A 點(diǎn)的水平距離，le為等效滑塊3 的偏心距；θ1，θ2為曲柄1 和連桿2 與x 軸夾角，逆時(shí)針為正，其中，θ1與實(shí)際舵角有φ 差值；θ3，θe為矢量和與x 軸夾角；v3為滑塊3 的速度，x 軸負(fù)方向?yàn)檎?/p>

建立該滑塊-曲柄機(jī)構(gòu)的閉環(huán)矢量圖，如圖4 所示。

圖 4 平面偏置滑塊-曲柄機(jī)構(gòu)組成的閉環(huán)矢量圖Fig.4 Close-loop vectorgraph of planar offset crank-slider mechanism

1）運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

根據(jù)圖4 所示的閉環(huán)矢量圖，其閉環(huán)矢量方程式為：

將上式向x 軸、y 軸分解，并代入固定值，有位置約束方程：

對(duì)式（7）和式（8）關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)，有速度約束方程：

再對(duì)式（9）和式（10）關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)，有加速度約束方程：

其中：α1，α2為曲柄1 和連桿2 的角加速度；a3為滑塊3 的加速度。

在傳統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析中，求解某時(shí)刻四連桿機(jī)構(gòu)中各個(gè)構(gòu)件的角速度或速度是在確定每個(gè)構(gòu)件的位置和角度后進(jìn)行的[6]。假定t 時(shí)刻各構(gòu)件位置已知，由速度約束關(guān)系計(jì)算各構(gòu)件的速度，求導(dǎo)為加速度。從t 到t+1 時(shí)刻，可認(rèn)為在該步長內(nèi)各連桿的角速度和滑塊的速度相對(duì)沒有變化，并在各連桿角度已知的基礎(chǔ)上，再對(duì)每個(gè)連桿的角速度積分，可得t+1 時(shí)刻各連桿的角度，進(jìn)而可求解下時(shí)刻各構(gòu)件速度。

上述分析中，假定各構(gòu)件的速度和角速度在分析步長內(nèi)是未變的，這與真實(shí)的情況有微小的偏差。各構(gòu)件初始條件也可能是互相不兼容的，引發(fā)后續(xù)迭代運(yùn)算混亂。因而，需驗(yàn)證構(gòu)件積分后的位置滿足該機(jī)構(gòu)閉環(huán)矢量方程的程度來衡量迭代的有效性，規(guī)定誤差變量如下：

2）建立動(dòng)力學(xué)方程

對(duì)每個(gè)構(gòu)件進(jìn)行受力分析，如圖5 所示。

圖 5 滑塊-曲柄機(jī)構(gòu)受力分析圖Fig.5 Stress analysis diagram of crank-slider mechanism

式中：J1為曲柄1 繞A 點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；F21x，F(xiàn)21y為連桿2 對(duì)曲柄1 沿x 軸和y 軸的分力。

對(duì)連桿2，處于非慣性系，可先求解出其質(zhì)心位置，有

將其分解到x 軸和y 軸上，有

對(duì)式（18）和式（19）關(guān)于時(shí)間t 求2 階導(dǎo)數(shù)，連桿2 質(zhì)心的加速度關(guān)系式為：

對(duì)連桿2 關(guān)于質(zhì)心點(diǎn)求力和力矩的平衡方程，將慣性力作用于質(zhì)心點(diǎn)上，有

式中：I2為連桿2 繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；F32x，F(xiàn)32y為滑塊3 對(duì)連桿2 沿x 軸和y 軸的分力；F12x，F(xiàn)12y為曲柄1 對(duì)連桿2 沿x 軸和y 軸的分力。

對(duì)于滑塊3，在x 軸方向受力，有

將上述關(guān)于曲柄1、連桿2 和滑塊3 的5 個(gè)力平衡關(guān)系式，改寫成矩陣形式，有

其中： C 為系數(shù)矩陣； F 為求解力矩陣； B為已知力和力矩矩陣，有

1.2.2 Simulink 仿真建模

圖6 為由滑塊-曲柄機(jī)構(gòu)的Simulink 仿真得到的活塞桿位移與噴泵舵角映射曲線。在活塞桿向x 軸正向勻速運(yùn)動(dòng)中，噴泵的舵角由左滿舵向右滿舵變化，變化的速率略有加快，但總體上比較接近于直線。

從圖7 可看出噴泵舵角從左滿舵到右滿舵的運(yùn)動(dòng)中橫向誤差ex會(huì)穩(wěn)定在1.6×10-12m，而縱向誤差ey處于-2×10-14～5×10-14m 內(nèi)變動(dòng)，該數(shù)值為構(gòu)件長度的10-10倍，是極其微小的變化量?？梢娫摶瑝K-曲柄機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析可精確描述出各構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)位置。

1.3 估算噴嘴上的等效作用力

圖 6 液壓缸活塞桿位移與噴泵舵角映射關(guān)系Fig.6 Mapping relationship between the displacement of piston rod in hydraulic cylinder and the rudder angle of injection pump

圖 7 仿真計(jì)算中誤差變量的變化情況Fig.7 The variation of error variables in simulation calculation

液壓活塞桿的輸出推力并不由自身決定而取決于外界的負(fù)載，舵機(jī)系統(tǒng)承受外界作用力的主導(dǎo)因素為噴泵水流對(duì)噴嘴的沖擊作用。

1.3.1 噴嘴受力分析

如圖8 所示，假定噴泵主機(jī)固定在某一轉(zhuǎn)速下噴水，忽略水流沿程損失，水流經(jīng)截面A、截面B 和C 截面動(dòng)量方程為：

圖 8 某舵角下噴嘴水流流向和受力Fig.8 The flow direction and force of injector

式中：p1，p3，p3，A1，A2，A3和v1，v2，v3為A、截面B、截面C 處水流的壓強(qiáng)、面積和速度；ρ 為海水密度；Q 為噴水流量；FR1x，F(xiàn)R1y為水流從截面A 到截面B 噴嘴對(duì)水流沿水平和豎直方向分力，F(xiàn)R2為水流從截面B 到截面C 中噴嘴對(duì)水流的作用力；θ 為噴嘴角度，逆時(shí)針為正；β1，β2，β3為動(dòng)量修正系數(shù)，取β1=1.03、β2=1.03、β3=1。

由參考文獻(xiàn)[7]可知，噴泵的揚(yáng)程H 與噴水流量Q 的關(guān)系為：

其中，μ 為噴嘴的流量系數(shù)，有

式中：ε 為噴嘴的收縮系數(shù)；ζ 為噴嘴流速系數(shù)；ψ 為噴嘴錐角；D，d 為噴嘴進(jìn)、出口內(nèi)徑；為噴嘴的平均直徑。

忽略噴嘴水頭損失和水流在垂直方向的位移，假定進(jìn)水為靜止海水，由流體連續(xù)性方程和伯努利方程[9]，可得：

將式（29）、式（31）和式（32）代入式（27）、式（28）并簡化得：

其中：

由牛頓第三定律，噴泵水流對(duì)噴嘴的反作用力為：

為簡化分析，將水流對(duì)噴嘴的作用力等效為合力和合力矩，有

1.3.2 舵角與等效力矩關(guān)系

噴泵水流對(duì)噴嘴產(chǎn)生的等效作用力矩變化主要與噴泵流量Q 和噴嘴舵角值θ 有關(guān)，假定噴泵排水量固定為Q=0.25 m3/s，利用Simulink 仿真可得圖9 所示的負(fù)載力矩隨舵角θ 的變化曲線。在流量Q 一定時(shí)，噴嘴轉(zhuǎn)向的舵角越大，負(fù)載力矩也就越大，呈非線性關(guān)系，需液壓系統(tǒng)提供更大推力。

圖 9 噴嘴的等效力矩隨舵角的變化Fig.9 The change of equivalent moment of injector with rudder angle

2 模型整合與驗(yàn)證

2.1 模型整合

將伺服電機(jī)、液壓系統(tǒng)、偏置滑塊-曲柄機(jī)構(gòu)以及外界水流負(fù)載整合為整體直驅(qū)式電液伺服舵機(jī)系統(tǒng)，如圖10 所示。

圖 10 直驅(qū)式電液伺服舵機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.10 Structure of the direct-drive electro-hydraulic servo steering-gear system

系統(tǒng)輸入的控制量直接作用于伺服電機(jī)系統(tǒng)，使得電機(jī)運(yùn)動(dòng)，通過減速器帶動(dòng)液壓泵轉(zhuǎn)動(dòng)，隨之液壓泵驅(qū)動(dòng)活塞桿直線運(yùn)動(dòng)，再經(jīng)滑塊-曲柄機(jī)構(gòu)傳遞動(dòng)力并將直線運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)為噴嘴轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)該舵機(jī)系統(tǒng)舵角操控。兼顧到該舵機(jī)系統(tǒng)常用工況為噴水狀態(tài)，在噴泵流量為恒定時(shí)，結(jié)合當(dāng)前實(shí)際舵角值可估算噴嘴的等效負(fù)載力矩，再將該負(fù)載力矩作為滑塊-曲柄機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)輸入，計(jì)算出活塞桿的負(fù)載力并作為液壓系統(tǒng)輸入，以構(gòu)建完整的舵機(jī)模型。

2.2 模型驗(yàn)證

根據(jù)上述思路，可搭建如圖11 所示的舵機(jī)系統(tǒng)的Simulink 模型，其輸入為電機(jī)轉(zhuǎn)速以及噴泵流量，輸出為實(shí)際舵角。

圖 11 直驅(qū)式電液伺服舵機(jī)系統(tǒng)仿真模型Fig.11 Simulation model of direct-drive electro-hydraulic servo steering-gear system

利用伺服電機(jī)將噴泵舵角運(yùn)動(dòng)到最左端，再以每間隔10 000 qc 的控制值發(fā)送給伺服電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)舵角，人工實(shí)測(cè)噴嘴轉(zhuǎn)動(dòng)的舵角。仿真模型中初始舵角為-35°，伺服電機(jī)的輸入轉(zhuǎn)速為26 r/s，即52 000 qc/s，將時(shí)間序列轉(zhuǎn)化qc 值。將仿真模型0°舵角與實(shí)際系統(tǒng)0°舵角的采集點(diǎn)重合，可得如圖12 所示的對(duì)比曲線。

可知，舵角實(shí)際值與仿真值的誤差在±0.5°內(nèi)，即仿真模型對(duì)實(shí)際系統(tǒng)的擬合效果較好，整體誤差值較小，驗(yàn)證了該模型一定的有效性。

上述模型驗(yàn)證是在噴嘴無水流負(fù)載下進(jìn)行的，而無人艇處于噴水狀態(tài)下，整個(gè)噴嘴都位于水面下并且承受著高速水流沖擊，是人工無法測(cè)量該舵角值，并且噴泵流量無法給出，故暫不考慮加載負(fù)載后模型的有效性。

圖 12 仿真系統(tǒng)與實(shí)物系統(tǒng)對(duì)比曲線Fig.12 Comparison curve between simulation system and real system

3 結(jié) 語

本文介紹噴水推進(jìn)無人艇直驅(qū)式電液伺服舵機(jī)系統(tǒng)組成，分別對(duì)伺服電機(jī)、液壓系統(tǒng)、執(zhí)行機(jī)構(gòu)、外界噴水負(fù)載建立了仿真模型，并整合舵機(jī)模型，驗(yàn)證其有效性。

在液壓系統(tǒng)添加了執(zhí)行機(jī)構(gòu)等效的滑塊-曲柄模型，以此分析活塞桿位移和舵角運(yùn)動(dòng)關(guān)系，并基于動(dòng)力學(xué)計(jì)算了變化的活塞桿負(fù)載力?？紤]噴泵水流對(duì)噴嘴的沖擊，估算噴嘴在不同噴水量和舵角情況下的等效負(fù)載力矩，并作為滑塊-曲柄機(jī)構(gòu)的輸入。