楊路易，李海陽(yáng)，張 進(jìn)，周晚萌

(國(guó)防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073)

0 引 言

1969年7月20日，阿波羅11號(hào)的航天員阿姆斯特朗邁出了人類登上月球的第一步，載入人類史冊(cè)[1]。近些年來(lái)月球探測(cè)和科學(xué)研究不斷升溫，掀起了又一輪熱潮。2017年10月特朗普政府宣布將重啟載人登月計(jì)劃，并計(jì)劃發(fā)射名為“深空之門”的月球空間站，為未來(lái)火星探測(cè)任務(wù)提供支撐[2-3]。2019年1月，中國(guó)成功發(fā)射嫦娥四號(hào)，實(shí)現(xiàn)了人類首次的月球背面探測(cè)[4]。

載人月球探測(cè)任務(wù)是一項(xiàng)復(fù)雜的系統(tǒng)工程，其中的核心問(wèn)題之一為地月轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)。航天器在地月空間內(nèi)會(huì)受到多個(gè)中心引力體、非球形攝動(dòng)以及太陽(yáng)光壓的影響，力學(xué)環(huán)境較為復(fù)雜。鄭愛武等[5]結(jié)合實(shí)際工程介紹了載人登月任務(wù)的軌道設(shè)計(jì)方法、約束條件和飛行模式等。彭坤等[6]介紹了利用地月空間站出發(fā)的6種載人登月飛行模式。高玉東等[7]基于B平面瞄準(zhǔn)和分層搜索思想提出了一種地月轉(zhuǎn)移軌道快速設(shè)計(jì)方法。周文艷等[8]分析了月球終端為環(huán)月極軌道的地月轉(zhuǎn)移軌道特性，并介紹了嫦娥二號(hào)衛(wèi)星的軌道設(shè)計(jì)方法。賀波勇等[9]針對(duì)環(huán)月軌道交會(huì),提出三層逐級(jí)求解策略設(shè)計(jì)著陸器(Lunar module,LM)奔月軌道，并考慮了自由返回軌道的奔月工況[10]。黃文德等[11]基于雙二體模型研究了自由返回軌道的設(shè)計(jì)流程并分析了軌道基本特性。Peng等[12]進(jìn)一步分析了自由返回軌道的月面可達(dá)域特性。張磊等[13]以雙二體模型計(jì)算結(jié)果為初值，研究了地月自由返回軌道的高精度設(shè)計(jì)方法。

以上大多數(shù)研究基于雙二體模型，對(duì)地月轉(zhuǎn)移軌道進(jìn)行優(yōu)化求解。但是該方法精度有限，當(dāng)飛行時(shí)間大于114 h后，模型精度幾乎失效[14]。多圓錐曲線法是Wilson[15]和Bynes等[16]在1970年左右提出的一種近似解析計(jì)算地月轉(zhuǎn)移軌道的方法，其計(jì)算時(shí)間約為高精度模型的10%，誤差只有雙二體拼接法的1%，具有計(jì)算速度快、精度較高的顯著優(yōu)勢(shì)。Luo等[17]結(jié)合微分修正法與多圓錐曲線法設(shè)計(jì)了自由返回軌道。Li等[18]利用多圓錐曲線法構(gòu)造了多段自由返回軌道的解析表達(dá)式。Zhang等[19]利用多圓錐曲線提出了一種自由返回軌道的快速設(shè)計(jì)方法?？梢园l(fā)現(xiàn)，近年來(lái)多圓錐曲線法作為一種快速軌道設(shè)計(jì)方法，受到了不少學(xué)者廣泛關(guān)注。

對(duì)于著陸器地月轉(zhuǎn)移軌道的求解，目前研究有兩個(gè)方面需要改進(jìn)：1)基于雙二體解析模型的軌道參數(shù)特性分析，精度有限；2)奔月窗口采取多點(diǎn)打靶法進(jìn)行求解，策略繁瑣復(fù)雜且效率較低。本文將基于多圓錐曲線法設(shè)計(jì)著陸器地月轉(zhuǎn)移軌道，以提高軌道初始設(shè)計(jì)精度。同時(shí)，將出發(fā)軌道在地心白道系下進(jìn)行軌道參數(shù)轉(zhuǎn)換，通過(guò)打靶分析和數(shù)據(jù)擬合相結(jié)合，發(fā)現(xiàn)著陸器的奔月軌道特性和窗口特性的變化規(guī)律。

1 問(wèn)題描述

1.1 問(wèn)題提出

受限于火箭運(yùn)載能力以及載人飛船人員安全性的要求，李禎等[20]提出了人貨分運(yùn)的飛行模式。該飛行模式中，載人飛船和著陸器分別運(yùn)送到近地停泊軌道(Low Earth orbit,LEO)，其中載人飛船采取飛行時(shí)間3天左右的自由返回軌道，而著陸器采取3～5天的低能量地月轉(zhuǎn)移軌道，兩者先后到達(dá)環(huán)月軌道(Low lunar orbit,LLO) 進(jìn)行交會(huì)對(duì)接。對(duì)于5天左右的奔月軌道，雙二體模型的計(jì)算精度不再可用，而利用高精度模型進(jìn)行可達(dá)域分析和窗口分析時(shí)效率太低。

因此，本文選擇多圓錐曲線法來(lái)研究著陸器的地月轉(zhuǎn)移軌道特性和窗口特性，其軌道類型不受限于自由返回軌道的安全性約束。著陸器首先位于近地停泊圓軌道LEO，在合適位置A點(diǎn)，施加共面切向脈沖vA加速，進(jìn)入地月大橢圓轉(zhuǎn)移軌道(Lunar transfer orbit,LTO)；到達(dá)近月點(diǎn)B點(diǎn)后，施加共面切向脈沖vB制動(dòng)，進(jìn)入環(huán)月圓軌道LLO。整個(gè)飛行過(guò)程如圖1所示。

圖1 著陸器地月轉(zhuǎn)移軌道示意圖Fig.1 Sketch of LM trans-lunar trajectory

1.2 設(shè)計(jì)變量選擇

假設(shè)LEO和LLO均為圓軌道，則軌道的形狀和軌道相對(duì)于中心引力場(chǎng)的位置可以簡(jiǎn)化為3個(gè)參數(shù)(h,Ω,i)，其中h為軌道高度，Ω為升交點(diǎn)赤經(jīng)，i為軌道傾角。若LEO上述三個(gè)軌道根數(shù)已知，則對(duì)于地月轉(zhuǎn)移軌道，設(shè)計(jì)變量可以選擇為切向速度脈沖大小vA，加速點(diǎn)A緯度幅角u，出發(fā)時(shí)刻tTLI。

已知該3個(gè)參數(shù)，便可以唯一確定一條LTO軌道。根據(jù)目標(biāo)LLO的不同軌道高度hLLO和軌道傾角iLLO，對(duì)LTO進(jìn)行分類，目標(biāo)函數(shù)的選取為

(1)

本文采取成熟的序列二次規(guī)劃法(Sequential quadratic programming,SQP)對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行尋優(yōu)求解。但是算法的計(jì)算效果和收斂性依賴于動(dòng)力學(xué)模型和設(shè)計(jì)變量初值的選擇。若設(shè)計(jì)變量初值選擇不當(dāng)，SQP算法將難以收斂。因此接下來(lái)將介紹多圓錐曲線法并引入地心白道系，通過(guò)將出發(fā)軌道參數(shù)轉(zhuǎn)化為偽傾角和偽升交點(diǎn)赤經(jīng)，以對(duì)設(shè)計(jì)變量的初值進(jìn)行較好估計(jì)。

2 軌道動(dòng)力學(xué)模型與地心白道系初值估計(jì)

2.1 軌道動(dòng)力學(xué)模型

首先簡(jiǎn)要介紹一下飛行時(shí)間TAB已知時(shí)，多圓錐曲線拼接法的設(shè)計(jì)步驟[15]。

圖2 多圓錐曲線法示意圖Fig.2 Trajectory of multi-conic method

設(shè)出發(fā)時(shí)刻飛行器在地心慣性系下的位置和速度分別為rE,vE，將飛行時(shí)間TAB分為N份，在每段時(shí)間區(qū)間[ti,tf]內(nèi)：

(2)計(jì)算[ti,tf]內(nèi)月球和太陽(yáng)的平均攝動(dòng)加速度aM和aS；

(3)修正步驟(1)中得到的二體外推狀態(tài)

(2)

(4)將修正后的地心狀態(tài)轉(zhuǎn)化為月心狀態(tài)rM,vM后，反向線性外推，得到“無(wú)引力場(chǎng)”軌道

(3)

重復(fù)上述步驟(1)～(5)，便可得到飛行時(shí)間TAB結(jié)束時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

2.2 地心白道系參數(shù)轉(zhuǎn)換與初值估計(jì)

1)軌道根數(shù)轉(zhuǎn)換

引入地心白道系，如圖3所示，地球位于O點(diǎn)，A點(diǎn)為近地加速點(diǎn)，B點(diǎn)為近月制動(dòng)點(diǎn)。LTO軌道面ACE與白道面交于C點(diǎn)，與赤道面交于E點(diǎn)。白道面與赤道面交于D點(diǎn)。

圖3 地心白道系下LTO與地月空間關(guān)系示意圖Fig.3 Sketch of LTO in Earth-centered EMP (Earth-Moon plane coordinate)

為了便于描述LEO、地球、月球的空間關(guān)系，考慮將地心慣性系下軌道根數(shù)(ΩE,iE)轉(zhuǎn)化為地心白道系下的偽軌道根數(shù)(ΩL,iL)，其中ΩL和iL分別稱之為偽升交點(diǎn)赤經(jīng)和偽傾角。

cosiL=-cosiMcos(π-iE)+

siniMsiniEcos(ΩE-ΩM)

(4)

得到iL。

在球面三角形ΔCDE中，利用正弦公式

(5)

得到sinΩL，再利用球面三角形的余弦公式

(6)

結(jié)合式(5)，便可得到

(7)

將LEO的軌道傾角iE轉(zhuǎn)化為偽傾角iL，避免了考慮白道面與赤道面夾角iM隨著時(shí)間的變化而改變(文獻(xiàn)[21]介紹，18.6年內(nèi)變化最小18°18′，最大28°36′)；而將升交點(diǎn)赤經(jīng)ΩE轉(zhuǎn)化為偽升交點(diǎn)赤經(jīng)ΩL，有利于對(duì)近月點(diǎn)時(shí)刻進(jìn)行初值搜索，這將在下一節(jié)進(jìn)行描述。

2)初值搜索策略

λprl≈180°

(8)

利用式(8)進(jìn)一步可以估計(jì)近月點(diǎn)時(shí)刻月球在地心白道系下的升交點(diǎn)赤經(jīng)

Ωprl(tprl)=ΩL+λprl

(9)

其中,ΩL由式(7)得到。根據(jù)式(9)便可以插值得到近月點(diǎn)時(shí)刻tprl初值，在給定任務(wù)飛行時(shí)間TAB后，可以得到奔月出發(fā)時(shí)刻

tTLI=tprl-TAB

(10)

|uL|≤ΔuL

(11)

該角度uL稱之為偽緯度幅角，ΔuL表示其上下界。

在圖3中，由幾何關(guān)系易得

(12)

根據(jù)式(5)可以得到

(13)

結(jié)合式(11)～式(13)便可以得到慣性系下緯度幅角u滿足的約束條件為

(14)

式(8)和式(11)作為重要依據(jù)來(lái)指導(dǎo)出發(fā)時(shí)刻tTLI和出發(fā)位置u選擇，分別稱之為偽經(jīng)度判別準(zhǔn)則和偽緯度幅角判別準(zhǔn)則。

3 仿真分析

3.1 單條著陸器地月轉(zhuǎn)移軌道求解

首先求解單條優(yōu)化軌道來(lái)校驗(yàn)本文提出的軌道設(shè)計(jì)方法正確性。假設(shè)著陸器出發(fā)的LEO軌道的軌道根數(shù)如表1所示。

表1 LEO軌道根數(shù)Table 1 Orbital elements of LEO

出發(fā)時(shí)刻搜索為2020年4月1日至2020年4月30日，飛行時(shí)間TAB設(shè)置為5天。目標(biāo)函數(shù)式(1)中，目標(biāo)環(huán)月軌道高度hLLO=200 km，軌道傾角iLLO=90°，設(shè)置vA,uL,λprl搜索范圍為

(15)

將式(15)中uL和λprl代入式(9)～(14)，便可得到設(shè)計(jì)變量u和tTLI的搜索范圍。利用SQP算法進(jìn)行尋優(yōu)求解時(shí)，vA的初值由二體公式提供，uL初值設(shè)置為0°，將多圓錐曲線法和高精度模型的求解結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表2所示。

結(jié)果表明，LEO出發(fā)時(shí)刻的偽緯度幅角uL=0.65°，近月點(diǎn)到達(dá)時(shí)刻的偽經(jīng)度λprl=178.95°，驗(yàn)證了式(8)和式(11)的猜想。對(duì)比多圓錐曲線法和高精度模型的計(jì)算時(shí)間，前者計(jì)算僅為0.43 s，后者為58.37 s；對(duì)比兩種方法的設(shè)計(jì)變量誤差，出發(fā)速度ΔvA在3 m/s以內(nèi)，緯度幅角ΔuL在0.1°以內(nèi)，出發(fā)時(shí)刻ΔtTLI在3 min以內(nèi)。

因此，本文利用多圓錐曲線法，可以對(duì)著陸器的地月轉(zhuǎn)移軌道進(jìn)行快速設(shè)計(jì)，并且其計(jì)算結(jié)果能夠?yàn)楦呔饶Ｐ偷木_求解提供較好的初值。在本文的軌道設(shè)計(jì)方法下，兩種動(dòng)力學(xué)模型的設(shè)計(jì)變量初值相差不大。這是由于地月轉(zhuǎn)移時(shí)間較長(zhǎng)，當(dāng)以近地點(diǎn)軌道參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量時(shí)，近月點(diǎn)軌道根數(shù)對(duì)近地出發(fā)參數(shù)的變化較為敏感。

同時(shí)，在本文的軌道設(shè)計(jì)方法下，隨機(jī)生成200條LEO出發(fā)軌道，與不考慮本文給出的初值搜索方法進(jìn)行對(duì)比，收斂性結(jié)果如表3所示。式(15)在考慮vA約束條件下，全局搜索策略表示不對(duì)uL和λprl施加約束；偽緯度幅角搜索策略表示只對(duì)uL約束；偽經(jīng)度搜索策略只對(duì)λprl約束；偽經(jīng)度+偽緯度幅角搜索策略表示同時(shí)對(duì)λprl和uL施加約束?？梢园l(fā)現(xiàn)，如果不對(duì)設(shè)計(jì)變量加初值約束，直接利用SQP算法尋優(yōu)求解，無(wú)法獲得所求軌道；利用偽經(jīng)度+偽緯度幅角的搜索方法，收斂率可以提高到100%。單獨(dú)對(duì)比偽經(jīng)度和偽緯度幅角設(shè)計(jì)方法，前者對(duì)收斂性的影響更大，即近月點(diǎn)時(shí)刻的選擇更為重要。

表2 不同動(dòng)力學(xué)模型求解結(jié)果Table 2 The calculated orbital elements of two methods

表3 不同搜索策略的收斂性對(duì)比Table 3 Convergence comparison for different solution strategies

若將目標(biāo)函數(shù)(1)改為只考慮近月點(diǎn)高度約束，將得到環(huán)月軌道LLO的軌道傾角iLLO和升交點(diǎn)赤經(jīng)ΩLLO可達(dá)域分布，如圖4所示。

圖4 地心白道系下LTO與地月空間關(guān)系示意圖Fig.4 Sketch of LTO in Earth-centered EMP

觀察環(huán)月軌道的升交點(diǎn)赤經(jīng)ΩLLO與軌道傾角iLLO的變化，發(fā)現(xiàn)兩者存在耦合關(guān)系，近似成開口向左的環(huán)狀分布。軌道傾角在20°到160°之間變化，升交點(diǎn)赤經(jīng)在0°到360°之間變化，這與文獻(xiàn)[12,22]的研究結(jié)論一致。值得注意的是，這種“開口向左”的性質(zhì)使得對(duì)于同一近月點(diǎn)高度和軌道傾角會(huì)存在升交點(diǎn)赤經(jīng)不同的兩個(gè)解。

下面將基于多圓錐曲線法動(dòng)力學(xué)模型對(duì)不同LEO出發(fā)的著陸器地月轉(zhuǎn)移進(jìn)行快速求解并分析軌道窗口特性。

3.2 近月點(diǎn)窗口寬度Tprl與偽傾角iL關(guān)系

文獻(xiàn)[10,23]中指出，當(dāng)LEO傾角大于白赤交角時(shí)，一個(gè)朔望月內(nèi)存在兩次奔月窗口，但是并未說(shuō)明單次窗口寬度和LEO之間的具體聯(lián)系。因此，本節(jié)在不同飛行時(shí)間TAB、近地出發(fā)高度hLEO和目標(biāo)環(huán)月高度hLLO情況下，以地心白道系下偽傾角iL作為特征分析變量，詳細(xì)分析出發(fā)LEO和近月點(diǎn)窗口寬度Tprl之間的內(nèi)在聯(lián)系。其中Tprl定義為：飛行器到達(dá)LLO制動(dòng)點(diǎn)位置時(shí)，月球位置的可達(dá)偽經(jīng)度范圍對(duì)應(yīng)的近月點(diǎn)窗口寬度，即近月點(diǎn)時(shí)刻可取值的區(qū)間長(zhǎng)度。在本節(jié)以及后面所有分析中，目標(biāo)函數(shù)(1)只考慮環(huán)月軌道高度hLLO約束。

1)飛行時(shí)間TAB影響

研究飛行時(shí)間TAB不同時(shí)，近月點(diǎn)窗口寬度Tprl與iL之間的變化規(guī)律。LEO和LLO高度約束設(shè)置為hLEO=343 km，hLLO=200 km，飛行天數(shù)TAB設(shè)置為3～5天。在每個(gè)飛行時(shí)間下，隨機(jī)生成36條LEO出發(fā)軌道，結(jié)果如圖5(a)所示。

圖5 不同飛行時(shí)間下Tprl隨iL的變化規(guī)律Fig.5 The relationship between Tprl and iL under different flight durations TAB

從圖5可以看出，近月點(diǎn)窗口寬度Tprl隨著偽傾角iL的增加而減小。且飛行時(shí)間TAB不同時(shí)，該變化趨勢(shì)略有差別。若對(duì)近月點(diǎn)窗口寬度Tprl與偽傾角iL的關(guān)系利用二次多項(xiàng)式進(jìn)行非線性擬合，可以得到圖5(b)所示的二次曲線。

其中，多項(xiàng)式的擬合表達(dá)式為

令R表示判定系數(shù)，其計(jì)算公式為[24]

(16)

結(jié)合圖5可以發(fā)現(xiàn)，利用二次多項(xiàng)式即拋物線進(jìn)行擬合，其擬合度R2均在0.99以上。可以認(rèn)為，近月點(diǎn)窗口寬度Tprl與偽軌道傾角iL存在二次曲線的內(nèi)在拓?fù)渎?lián)系。飛行時(shí)間TAB不同的擬合曲線大約相交于iL=40°附近。當(dāng)iL<40°時(shí)，飛行時(shí)間越大，近月點(diǎn)窗口越長(zhǎng)；當(dāng)iL>40°時(shí)，飛行時(shí)間越大，近月點(diǎn)窗口越短。

2) 近地出發(fā)高度hLEO影響

研究近地點(diǎn)出發(fā)高度hLEO不同時(shí)，近月點(diǎn)窗口寬度Tprl與偽軌道傾角iL之間的變化規(guī)律。仿真條件設(shè)置為TAB=3天，hLLO=200 km。

打靶分析結(jié)果和二次多項(xiàng)式擬合結(jié)果分別如圖6(a)和圖6(b)所示。

圖6 不同近地出發(fā)高度下Tprl隨iL的變化規(guī)律Fig.6 The relationship between Tprl and iL under different LEO heights hLEO

其中4條曲線的擬合度R2均在0.99以上?？梢园l(fā)現(xiàn)，當(dāng)偽傾角iL<40°時(shí)，近月點(diǎn)窗口寬度Tprl幾乎不隨出發(fā)高度hLEO的變化而變化；當(dāng)iL>40°時(shí)，不同hLEO對(duì)應(yīng)的Tprl才體現(xiàn)出細(xì)微差別，但其差別量ΔTprl<0.1 h。因此，認(rèn)為近地點(diǎn)出發(fā)高度hLEO對(duì)近月點(diǎn)窗口寬度Tprl影響不大。

3)近月點(diǎn)高度hLLO影響

研究當(dāng)近月目標(biāo)高度hLLO不同的時(shí)候，近月點(diǎn)窗口寬度Tprl與偽軌道傾角iL之間的關(guān)系。仿真條件設(shè)置為TAB=3天，hLEO=343 km。

打靶分析結(jié)果和二次多項(xiàng)式擬合結(jié)果分別如圖6(a)和圖6(b)所示。

其中3條曲線的擬合度R2均在0.99以上?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨著近月點(diǎn)高度hLLO的增加，近月點(diǎn)窗口寬度TAB與偽傾角iL之間的二次多項(xiàng)式關(guān)系式整體“上移”，呈增大趨勢(shì)。因此，認(rèn)為隨著近月點(diǎn)高度hLLO增加，近月點(diǎn)窗口寬度Tprl增加。

3.3 加速點(diǎn)緯度幅角uL與偽傾角iL關(guān)系

本節(jié)分析不同飛行時(shí)間TAB、近地出發(fā)高度hLEO和目標(biāo)環(huán)月高度hLLO情況下，加速點(diǎn)出發(fā)位置uL∈[umin,umax]的變化規(guī)律，包括umin，umax和|umax-umin|。其中，umin表示A點(diǎn)加速范圍的最小值，umax表示最大值。

1)飛行時(shí)間TAB影響

仿真條件設(shè)置hLEO=343 km，hLLO=200 km，飛行時(shí)間TAB分別設(shè)置為3天和5天，加速點(diǎn)A位置[umin,umax]的變化規(guī)律如圖8(a)和圖8(b)所示。

可以發(fā)現(xiàn)umin和umax隨著iL的增加而增加，但umax-umin隨著iL的增加而減小，即加速點(diǎn)A的出發(fā)范圍越“窄”，這與第3.2節(jié)“近月點(diǎn)窗口Tprl隨著偽傾角iL增加而減小”結(jié)論一致。當(dāng)TAB為3天時(shí)，umin和umax的上下界ΔuL約為9°；當(dāng)TAB為5天時(shí)，ΔuL約為5°，因此驗(yàn)證了偽緯度幅角判別準(zhǔn)則式(11)和uL約束條件式(15)。

2)近地出發(fā)高度hLEO影響

仿真條件設(shè)置TAB=3天，hLLO=200 km，仿真結(jié)果如圖9(a)和圖9(b)所示。

可以發(fā)現(xiàn)hLEO越大，對(duì)應(yīng)的umin和umax均增大，有往上“移動(dòng)”的趨勢(shì)，但是變化幅度不大。

3)近月點(diǎn)高度hLLO影響

仿真條件設(shè)置TAB=3天，hLEO=343 km。結(jié)果如圖10(a)和圖10(b)所示。

圖8 不同飛行時(shí)間下uL隨iL的變化規(guī)律Fig.8 The relationship between uL and iL under different flight durations TAB

圖9 不同近地出發(fā)高度下umin和umax隨iL的變化規(guī)律Fig.9 The relationship between umin, umax and iL under different LEO heights hLEO

從圖10可以發(fā)現(xiàn)，近月點(diǎn)到達(dá)高度hLLO越大，umax有稍增大趨勢(shì)，但是變化不明顯；而umin無(wú)明顯變化。

圖10 不同近月高度下umin和umax隨iL的變化規(guī)律Fig.10 The relationship between umin, umax and iL under different LLO heights hLLO

3.4 近地出發(fā)速度vA與偽傾角iL關(guān)系

本節(jié)在不同飛行時(shí)間TAB、近地出發(fā)高度hLEO和目標(biāo)環(huán)月高度hLLO情況下，分析近地加速點(diǎn)A的出發(fā)速度vA變化規(guī)律。

1)飛行時(shí)間TAB影響

仿真條件設(shè)置hLEO=343 km，hLLO=200 km，飛行時(shí)間在3天～5天之間變化，計(jì)算結(jié)果如圖11所示。

圖11 不同飛行時(shí)間下vA隨iL的變化規(guī)律Fig.11 The relationship between vA and iL under different flight durations TAB

圖11表明，在相同飛行時(shí)間TAB下，出發(fā)速度vA隨著iL的增大而增大，其變化大小在35 m/s左右。當(dāng)iL相同時(shí)，對(duì)于不同飛行時(shí)間TAB，vA隨TAB的增加而減小，其變化大小在30 m/s左右。

2)近地出發(fā)高度hLEO影響

仿真條件設(shè)置hLLO=200 km，TAB=3天，近地出發(fā)高度在343 km到2100 km之間變化，計(jì)算結(jié)果如圖12所示。

從圖12可以發(fā)現(xiàn)，出發(fā)速度vA隨著hLEO的增加而顯著減小。當(dāng)hLEO為343 km時(shí)，vA在3120 m/s附近變化；當(dāng)hLEO為2100 km時(shí)，vA在2760 m/s附近變化。

3)近月點(diǎn)高度hLLO影響

仿真條件設(shè)置hLEO=343 km，TAB=3天，目標(biāo)環(huán)月高度在200 km到800 km之間變化，結(jié)果如圖13所示。

圖12 不同近地高度下vA隨iL的變化規(guī)律Fig.12 The relationship between vA and iL under different LEO heights hLEO

圖13 不同近月點(diǎn)高度下vA隨iL的變化規(guī)律Fig.13 The relationship between vA and iL under different LLO heights hLLO

從圖13可以看出，出發(fā)速度vA隨著hLLO的增加無(wú)明顯變化。因此，近地出發(fā)速度vA大小主要由近地出發(fā)高度hLEO決定，同時(shí)會(huì)受到飛行時(shí)間TAB和偽傾角iL的影響。

4 結(jié) 論

本文構(gòu)建了人貨分運(yùn)飛行模式中的著陸器地月轉(zhuǎn)移軌道求解方法，提出的近月點(diǎn)偽經(jīng)度判別準(zhǔn)則能夠準(zhǔn)確估計(jì)近月點(diǎn)時(shí)刻，利用多圓錐曲線法能夠高效快速求解地月轉(zhuǎn)移軌道，仿真結(jié)果表明：

1)提出的近月點(diǎn)偽經(jīng)度和偽緯度幅角搜索策略，能夠準(zhǔn)確估計(jì)設(shè)計(jì)變量初值，并快速求解著陸器地月轉(zhuǎn)移軌道，單條軌道的計(jì)算時(shí)間在1 s以內(nèi)。

2)多圓錐曲線法的計(jì)算結(jié)果可以為進(jìn)一步高精度模型軌道設(shè)計(jì)提供較好初值參考。

3)以地心白道系為參考坐標(biāo)系，通過(guò)打靶分析與數(shù)據(jù)擬合相結(jié)合，發(fā)現(xiàn)了近月點(diǎn)窗口寬度與偽傾角之間的二次多項(xiàng)式擬合關(guān)系，同時(shí)揭示了近地出發(fā)點(diǎn)位置的變化規(guī)律。