寧曉琳，晁 雯，楊雨青

(北京航空航天大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京 100191)

0 引 言

天文導(dǎo)航是一種全自主，誤差不隨時間積累的深空探測器導(dǎo)航技術(shù)[1]。天文導(dǎo)航方法按量測量的不同可分為測角導(dǎo)航[2]、測速導(dǎo)航[3]、測距導(dǎo)航[4]三種，其中，天文測角導(dǎo)航是通過觀測天體間的角度信息進(jìn)行導(dǎo)航，目前已經(jīng)成功應(yīng)用于水手號[5]，海盜號[6]，伽利略號[7]，深空1號[8]，深度撞擊號[9]等深空探測器上。

目標(biāo)天體的星歷誤差對天文測角導(dǎo)航的精度有很大的影響。以火星探測器為例，文獻(xiàn)[10]指出，在日心坐標(biāo)系中，火星和火衛(wèi)一的星歷誤差都會影響天文測角的導(dǎo)航精度。但在火星質(zhì)心坐標(biāo)系中，只有火衛(wèi)一星歷誤差對導(dǎo)航精度有影響，而火星星歷誤差對導(dǎo)航精度的影響很小。在火星質(zhì)心坐標(biāo)系中，1 km的火衛(wèi)一的星歷誤差會引起約4 km的位置誤差。文獻(xiàn)[11-12]指出，1950年火衛(wèi)一的星歷誤差約為1 km，從1950年遞推至2050年會增加8 km。因此，如何抑制火星質(zhì)心坐標(biāo)系下火衛(wèi)一星歷誤差對探測器導(dǎo)航精度的影響成為一個亟需解決的問題。

針對天文導(dǎo)航中星歷誤差的抑制問題，許多學(xué)者進(jìn)行了深入的研究，也取得了很多研究成果。文獻(xiàn)[13]提出一種以時間差分脈沖到達(dá)時間(Time of arrival, TOA)作為量測量的脈沖星導(dǎo)航方法，該方法測量探測器相鄰時刻TOA的差值，以減小脈沖星星歷誤差等引起的系統(tǒng)偏差。文獻(xiàn)[14]提出一種差分X射線脈沖星輔助天文導(dǎo)航的方法，該方法利用探測器相鄰時刻的TOA差值和火衛(wèi)一、火衛(wèi)二及其背景恒星的星光角距作為量測量，有效抑制了脈沖星星歷誤差和星載時鐘誤差。文獻(xiàn)[15]提出一種X射線脈沖星/星光多普勒組合導(dǎo)航方法，以兩個探測器之間的TOA差值、相對位置以及在恒星方向上的相對速度關(guān)系為量測量，消除由脈沖星星歷誤差引起的系統(tǒng)誤差且不受太陽徑向固有運(yùn)動的影響。以上所研究的都是采用時間差分方法抑制脈沖星導(dǎo)航中星歷誤差的影響。

綜上，提出一種基于星光角距/時間差分星光角距的深空探測器天文測角導(dǎo)航中的目標(biāo)天體星歷誤差抑制方法。以火星探測器為例，分析了火衛(wèi)一星歷誤差對導(dǎo)航精度的影響，建立了火衛(wèi)一時間差分星光角距的量測模型。通過將火星星光角距和火衛(wèi)一星光角距相結(jié)合，發(fā)揮了兩種量測的優(yōu)勢。仿真結(jié)果表明該方法可以有效抑制火衛(wèi)一的星歷誤差對導(dǎo)航結(jié)果的影響。同時，本文還對影響導(dǎo)航精度的導(dǎo)航恒星個數(shù)、火星敏感器精度、火衛(wèi)一敏感器精度、星歷誤差的大小和濾波周期進(jìn)行了分析。

1 天文測角導(dǎo)航的基本原理

深空探測器的天文測角導(dǎo)航是在探測器軌道動力學(xué)方程和天體間角度信息的基礎(chǔ)上，利用濾波技術(shù)估計探測器的位置和速度[16-17]。文中以火星探測器為例，給出了探測器天文測角導(dǎo)航的狀態(tài)模型和量測模型。

1.1 天文測角導(dǎo)航狀態(tài)模型

火星探測器的運(yùn)動方程可以看作以火星為中心天體的二體模型，在火星質(zhì)心坐標(biāo)系下為：

(1)

式中：rmp和vmp是探測器相對火星的位置矢量和速度矢量；μm是火星的引力常數(shù)；w1是過程噪聲。

設(shè)狀態(tài)量為Xk=[rmpvmp]T，則火星質(zhì)心坐標(biāo)系下的狀態(tài)模型可以寫作：

Xk=f(Xk-1,T)

(2)

1.2 天文測角導(dǎo)航量測模型

以火星和火衛(wèi)一及其背景恒星間的星光角距作為天文測角導(dǎo)航的量測量，其量測模型為：

(3)

式中：s1，s2表示火星質(zhì)心坐標(biāo)系下導(dǎo)航恒星的星光矢量；rpp是探測器相對火衛(wèi)一的位置矢量；vθm，vθp是量測噪聲。

Zk=h1(Xk)+Vk

(4)

2 星光角距/時間差分星光角距的天文導(dǎo)航方法

首先分析了火衛(wèi)一星歷誤差對天文測角導(dǎo)航的影響，通過對時間差分星光角距量測方程的推導(dǎo)，從理論上說明時間差分可以消除天文測角導(dǎo)航中星光角距中的火衛(wèi)一星歷誤差，并給出了時間差分星光角距和星光角距/時間差分星光角距天文測角導(dǎo)航的量測模型。

2.1 火衛(wèi)一星歷誤差對天文測角導(dǎo)航的影響

圖1 火衛(wèi)一星歷誤差的影響Fig.1 The influence of Phobos ephemeris

(5)

由式(3)和式(6)可知，火衛(wèi)一星歷誤差引起的星光角距量測模型誤差Vθp為：

(7)

文獻(xiàn)[18]以MRO探測器為例，分析了由火衛(wèi)一星歷誤差引起的量測模型誤差，發(fā)現(xiàn)Vθp為時變噪聲，且最大可達(dá)40″，說明火衛(wèi)一星歷誤差對量測模型有很大的影響。

2.2 時間差分星光角距的量測模型

為了抑制火衛(wèi)一星歷誤差的影響，對式(3)等式左右同時求余弦，則有：

(8)

當(dāng)存在火衛(wèi)一星歷誤差δrp時，火衛(wèi)一星歷誤差引起的星光角距余弦的量測模型誤差為Vcθp，則有

(9)

由于δrp<

(10)

設(shè)基于時間差分星光角距的量測量為Δcθp(k)，量測噪聲為Vcθ(k)，則基于時間差分星光角距的天文測角導(dǎo)航量測方程可以寫作：

Δcθp(k)=cos(θp(k))-cos(θp(k-1))=

(11)

式中：

Vcθ(k)=vp(k)-vp(k-1)

(12)

當(dāng)存在火衛(wèi)一星歷誤差時，由式(6)、式(11)和式(12)得：

vp(k)-vp(k-1)≈

vp(k)-vp(k-1)=

vp(k)-vp(k-1)

(13)

令δVcθp表示時間差分后的火衛(wèi)一星歷誤差引起的量測模型誤差，則有：

(14)

其中，由于δrp，rpp在短時間內(nèi)(ΔT≤60 s)基本不變，s2不變。因此，時間差分星光角距可以抑制火衛(wèi)一星歷誤差對量測模型的影響。

綜上所述，基于時間差分星光角距的天文測角導(dǎo)航量測方程可以表示為：

vp(k)-vp(k-1)=

h2(Xk)-h2(Xk-1)+Vcθ(k)

(15)

2.3 星光角距/時間差分星光角距的量測模型及噪聲方差陣

時間差分星光角距導(dǎo)航方法存在以下兩點(diǎn)問題：(1)經(jīng)過時間差分后的量測量不僅與當(dāng)前時刻的狀態(tài)量還與上一時刻的狀態(tài)量相關(guān)，這與傳統(tǒng)卡爾曼濾波中k時刻的量測量只與當(dāng)前時刻的狀態(tài)量一一對應(yīng)的情況不同；(2)時間差分方法只能提供相對位置信息，絕對位置信息缺失。針對這兩個問題，本文采用一種根據(jù)狀態(tài)模型以當(dāng)前時刻狀態(tài)量解算上一時刻狀態(tài)量的方法，并將火衛(wèi)一的時間差分星光角距與火星星光角距一起作為量測量。量測方程可以寫作：

(16)

若k時刻以星光角距為觀測量的量測誤差方差陣為Rk，則以星光角距余弦為觀測量時，其對應(yīng)的量測誤差方差陣為

(17)

以時間差分星光角距余弦為觀測量時，其對應(yīng)的量測誤差方差陣為

E(vp(k)vp(k)T-vp(k)vp(k-1)T-

vp(k-1)vp(k)T+vp(k-1)vp(k-1)T)

(18)

3 仿真校驗與分析

3.1 仿真條件

以2005年的MRO探測器的軌道為例進(jìn)行仿真分析[19]，圖2為MRO探測器在火星質(zhì)心坐標(biāo)系下的軌道圖。仿真數(shù)據(jù)由STK (System tool kit)產(chǎn)生。其半長軸為3709.5 km，軌道傾角為95°，軌道偏心率為0.113°?；鹦?，火衛(wèi)一及其背景恒星的星歷由DE421和Tycho星歷產(chǎn)生。仿真時間為2005年8月13日至2005年8月14日，坐標(biāo)系采用J2000.0火星質(zhì)心坐標(biāo)系。仿真中所使用的火衛(wèi)一的星歷誤差與參考文獻(xiàn)[18]相同，最大值為1 km?；鹦敲舾衅骶葹?.01°，火衛(wèi)一敏感器精度為6″，濾波周期為60 s。

圖2 MRO探測器的軌道Fig.2 The orbit of MRO

3.2 仿真結(jié)果

利用無跡卡爾曼濾波(UKF)方法對以星光角距、時間差分星光角距和星光角距/時間差分星光角距作為觀測量的天文測角導(dǎo)航方法進(jìn)行了仿真分析和比較。其中，基于星光角距的天文測角導(dǎo)航的量測量為θm,θp，基于時間差分星光角距的天文測角導(dǎo)航的量測量為Δcθp，基于星光角距/時間差分星光角距的天文測角導(dǎo)航的量測量為θm,θp,Δcθp。

3.2.1三種天文測角導(dǎo)航方法的性能比較

1)基于星光角距的天文測角導(dǎo)航方法

圖3和圖4分別給出了沒有火衛(wèi)一星歷誤差和有火衛(wèi)一星歷誤差時的以星光角距作為量測量的天文測角導(dǎo)航的位置誤差和速度誤差。由圖3和圖4可知，當(dāng)沒有火衛(wèi)一的星歷誤差時，探測器的位置和速度的估計精度較高。當(dāng)有火衛(wèi)一的星歷誤差時，位置誤差和速度誤差明顯增大，位置誤差約為沒有星歷誤差的1.7倍?；鹦l(wèi)一的星歷誤差對最終的導(dǎo)航精度有較大影響。

圖3 沒有星歷誤差時基于星光角距的天文測角導(dǎo)航結(jié)果Fig.3 Estimation error of celestial navigation using starlight angle without ephemeris error

圖4 有星歷誤差時基于星光角距的天文測角導(dǎo)航結(jié)果Fig.4 Estimation error of celestial navigation using starlight angle with ephemeris error

2)基于時間差分星光角距的天文測角導(dǎo)航方法

圖5給出了沒有火衛(wèi)一星歷誤差和有星歷誤差的情況下時間差分天文測角的導(dǎo)航結(jié)果，由于二者結(jié)果基本一致，故省去對比圖。由于時間差分技術(shù)抑制了火衛(wèi)一的星歷誤差，因此火衛(wèi)一的星歷誤差對時間差分天文測角導(dǎo)航幾乎沒有影響。但從圖中可以看出誤差收斂性較差，且與圖3和圖4相比，精度較低，原因是時間差分星光角距只能提供相對位置信息，不能提供絕對位置信息，因此導(dǎo)航精度有限。

圖5 基于時間差分星光角距的天文測角導(dǎo)航結(jié)果Fig.5 Estimation error of celestial navigation using time differential starlight angle

3)基于星光角距/時間差分星光角距的天文測角導(dǎo)航方法

圖6和圖7給出了沒有火衛(wèi)一星歷誤差和有火衛(wèi)一星歷誤差時天文測角/時間差分天文測角的導(dǎo)航結(jié)果。由圖6和圖7可知，探測器的位置和速度都得到了較好的估計。但當(dāng)有火衛(wèi)一的星歷誤差時，位置誤差和速度誤差較大一些，約為沒有火衛(wèi)一星歷誤差時的1.5倍。

圖6 沒有星歷誤差時基于星光角距/時間差分星光角距的天文測角導(dǎo)航結(jié)果Fig.6 Estimation error of celestial navigation using starlight angle/time differential starlight angle without ephemeris error

圖7 有星歷誤差時基于星光角距/時間差分星光角距的天文測角導(dǎo)航結(jié)果Fig.7 Estimation error of celestial navigation using starlight angle/time differential starlight angle with ephemeris error

表1給出了三種方法在8組不同的量測噪聲下濾波收斂后的蒙特卡羅仿真平均結(jié)果。仿真結(jié)果的統(tǒng)計時間段為2005年8月13日12:00至2005年8月14日00:00。由表1可知，當(dāng)有星歷誤差時，基于星光角距/時間差分星光角距的天文測角導(dǎo)航方法的位置誤差是傳統(tǒng)天文測角導(dǎo)航方法的64%，是時間差分星光角距導(dǎo)航方法的58%。說明新方法可有效抑制火衛(wèi)一星歷誤差的影響。

表1 火衛(wèi)一星歷誤差對天文測角導(dǎo)航方法精度影響結(jié)果Table 1 The results of ephemeris error of Phobos on the accuracy of the celestial navigation

3.2.2影響因素分析

本節(jié)對有火衛(wèi)一星歷誤差時基于星光角距/時間差分星光角距的天文測角導(dǎo)航方法的影響因素，包括導(dǎo)航恒星個數(shù)、火星敏感器精度、火衛(wèi)一敏感器精度、星歷誤差大小和濾波周期分別進(jìn)行了分析。

1)導(dǎo)航恒星個數(shù)對導(dǎo)航結(jié)果的影響

圖8和表2給出了在3.1所述的仿真條件下，導(dǎo)航恒星個數(shù)為1,2,3,4時在8組不同的量測噪聲下濾波收斂后的蒙特卡羅仿真平均結(jié)果。由圖8和表2可知，導(dǎo)航恒星個數(shù)小于等于3時，觀測恒星個數(shù)越多，導(dǎo)航精度越高。但當(dāng)恒星個數(shù)大于3個時，增加導(dǎo)航恒星個數(shù)，位置速度濾波協(xié)方差降低緩慢，對導(dǎo)航精度提高有限。

圖8 導(dǎo)航恒星個數(shù)對基于星光角距/時間差分星光角距的天文測角的影響Fig.8 Impact of star number

表2 導(dǎo)航恒星個數(shù)對導(dǎo)航結(jié)果的影響Table 2 Estimation error of using different star number

2)火星敏感器精度對導(dǎo)航結(jié)果的影響

圖9給出了在3.1所述的仿真條件下，只改變火星敏感器精度時的導(dǎo)航結(jié)果。表3統(tǒng)計了火星敏感器精度分別為24″，30″，36″時在8組不同的量測噪聲下濾波收斂后的蒙特卡羅仿真平均結(jié)果。由圖9和表3可知，火星敏感器精度對導(dǎo)航結(jié)果有一定影響，敏感器精度越高，導(dǎo)航精度越高?；鹦敲舾衅骶让吭黾?″，位置誤差降低約50 m，位置速度誤差協(xié)方差近似線性減小。

3)火衛(wèi)一敏感器精度對導(dǎo)航結(jié)果的影響

圖10給出了在3.1所述的仿真條件下，只改變火衛(wèi)一敏感器精度時的導(dǎo)航結(jié)果。表4統(tǒng)計了火衛(wèi)一敏感器精度分別為3″，6″，9″時在8組不同的量測噪聲下濾波收斂后的蒙特卡羅仿真平均結(jié)果。由圖10和表4可知，火衛(wèi)一敏感器精度對導(dǎo)航結(jié)果影響較小。隨著敏感器精度的提高，導(dǎo)航性能僅有微小提升，位置速度誤差協(xié)方差幾乎不變。

圖9 火星敏感器精度對基于星光角距/時間差分星光角距的天文測角的影響Fig.9 Impact of Mars sensor accuracy

表3 火星敏感器精度對導(dǎo)航結(jié)果的影響Table 3 Estimation error of using different accuracy of Mars sensor

圖10 火衛(wèi)一敏感器精度對基于星光角距/時間差分星光角距的天文測角的影響Fig.10 Impact of Phobos sensor accuracy

表4 火衛(wèi)一敏感器精度對導(dǎo)航結(jié)果的影響

圖11 星歷誤差大小對基于星光角距/時間差分星光角距的天文測角的影響Fig.11 Impact of ephemeris error magnitude

4)星歷誤差大小對導(dǎo)航結(jié)果的影響

圖11給出了在第3.1節(jié)所述的仿真條件下，只改變星歷誤差大小時的導(dǎo)航結(jié)果。表5統(tǒng)計了星歷誤差最大值為1 km,4 km,8 km時，新方法與傳統(tǒng)天文測角導(dǎo)航方法在8組不同的量測噪聲下濾波收斂后的蒙特卡羅仿真平均結(jié)果的對比。由圖11和表5可知，星歷誤差大小對導(dǎo)航結(jié)果有較大影響。星歷誤差越大，導(dǎo)航精度越低，位置速度誤差協(xié)方差近似線性增大，但相對傳統(tǒng)基于星光角距的天文測角導(dǎo)航方法，新方法仍有較好的估計效果。

5)濾波周期對導(dǎo)航結(jié)果的影響

圖12給出了在第3.1節(jié)所述的仿真條件下，只改變?yōu)V波周期時的導(dǎo)航結(jié)果。表6統(tǒng)計了濾波周期分別為60 s，120 s，180 s時在8組不同的量測噪聲下濾波收斂后的蒙特卡羅仿真平均結(jié)果。由圖12和表6可知，系統(tǒng)受濾波周期影響較明顯，濾波周期越長導(dǎo)航精度越差，且位置速度濾波協(xié)方差近似線性增大。這是因為雖然濾波周期增大，時間差分引起的量測噪聲影響減小，但濾波周期越長，系統(tǒng)狀態(tài)模型的線性化誤差越大，導(dǎo)致系統(tǒng)導(dǎo)航精度降低。

4 結(jié) 論

本文主要介紹了基于星光角距/時間差分星光角距的天文測角導(dǎo)航方法。首先建立了基于星光角距的天文測角導(dǎo)航的狀態(tài)模型和量測模型，通過火衛(wèi)一星歷誤差對天文測角導(dǎo)航精度的影響分析，表明火衛(wèi)一星歷誤差對天文測角導(dǎo)航結(jié)果影響很大且可以通過時間差分技術(shù)抑制。然后，推導(dǎo)了時間差分星光角距量測方程，從理論上說明時間差分可以消除天文測角導(dǎo)航中星歷誤差。最后，建立了火衛(wèi)一的時間差分星光角距的量測模型，并將其與火星星光角距一起作為量測量，實現(xiàn)了對火衛(wèi)一星歷誤差的抑制。研究利用MRO探測器對基于星光角距/時間差分星光角距的天文測角導(dǎo)航方法進(jìn)行了仿真校驗，仿真結(jié)果表明基于星光角距/時間差分星光角距的方法可以有效抑制火衛(wèi)一的星歷誤差，提高導(dǎo)航精度。除火星探測任務(wù)外，該方法還可應(yīng)用于其它深空探測任務(wù)中。

表5 星歷誤差大小對導(dǎo)航結(jié)果的影響Table 5 Estimation error of using different magnitude of ephemeris error

圖12 濾波周期對基于星光角距/時間差分星光角距的天文測角的影響Fig.12 Impact of filter period

表6 濾波周期對導(dǎo)航結(jié)果的影響Table 6 Estimation error of using different filter period