崔立魯， 曾廣川， 許文超， 江雪梨， 杜 石

(1.成都大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院， 四川 成都 610106；2.武漢大學(xué) 測繪學(xué)院， 湖北 武漢 430079；3.長安大學(xué) 地質(zhì)工程與測繪學(xué)院， 陜西 西安 710054)

0 引 言

高精度的衛(wèi)星星歷和鐘差數(shù)據(jù)是實(shí)現(xiàn)精密單點(diǎn)定位(Precise point positioning,PPP)的2個(gè)必要條件[1].目前采用的精密星歷和鐘差文件一般是由國際GNSS服務(wù)組織(International GNSS service,IGS)提供的，其中精密鐘差文件雖然精度已經(jīng)到達(dá)了0.1 ns，但仍不能滿足實(shí)時(shí)精密定位的要求.鑒于對高精度實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)定位服務(wù)的需求越來越多，找到一種能夠提供高精度實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)衛(wèi)星鐘差的算法就顯得十分必要[2-4].

目前，北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(Beidou navigation satellite system,BDS)采用的是國產(chǎn)的銣原子鐘，其與衛(wèi)星全球定位系統(tǒng)(Global positioning system,GPS)所使用的原子鐘不同，因此，加強(qiáng)對BDS星載原子鐘預(yù)報(bào)模型的研究是衛(wèi)星導(dǎo)航定位領(lǐng)域的一個(gè)研究重點(diǎn).對此，本研究探討了多項(xiàng)式模式(Polynomial model,PM)和灰色模型(Grey model,GM)2種鐘差預(yù)報(bào)模型的基本原理，同時(shí)，利用由IGS組織提供的精密星歷數(shù)據(jù)來驗(yàn)證模型參數(shù)的最優(yōu)選擇，并將設(shè)置了最優(yōu)參數(shù)的2種預(yù)報(bào)模型的結(jié)果進(jìn)行比較和分析，得到衛(wèi)星鐘差短期預(yù)報(bào)的最優(yōu)算法.

1 預(yù)報(bào)模型

1.1 多項(xiàng)式模型PM

PM模型主要分為1階模型、2階模型和高階模型.本研究以2階模型為例，說明PM模型的數(shù)學(xué)原理，其表達(dá)式為，

(1)

x=a0+a1Δt+0.5a2Δt2

(2)

將式(2)用矩陣形式表達(dá)，以4個(gè)已知數(shù)據(jù)為例，

L=AX

(3)

求解式(3)，即可得到待定參數(shù)的數(shù)值.

由上述基本原理可知，影響PM模型的因素主要是PM模型的階數(shù)和參與擬合模型的已知點(diǎn)個(gè)數(shù).但該算法隨著階數(shù)的增加，其數(shù)學(xué)模型也變得更加復(fù)雜，計(jì)算效率也大為降低.

1.2 灰色模型GM

假設(shè)BDS衛(wèi)星某一段鐘差序列為，

x(0)={x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(k),…，x(0)(n)}

且該序列中所有數(shù)據(jù)均非負(fù)，對應(yīng)的時(shí)間序列為{xt}(t=1,2,…，n).對該鐘差序列進(jìn)行累加，得到一個(gè)新的序列為，

x(1)={x(1)(1)，x(1)(2),…，x(1)(k)，…，x(1)(n)}

(4)

L=AX

(5)

式中，

根據(jù)最小二乘原理可得待求參數(shù)X的估值為，

X=(ATA)-1ATL

(6)

在初始條件x(1)(1)=x(0)(1)的約束下，式(4)的解為，

(7)

經(jīng)過累減還原，可得原始序列為，

(8)

由上述模型原理可知，GM模型至少需要4個(gè)以上的已知數(shù)據(jù)才可以建立預(yù)報(bào)模型，而影響該預(yù)報(bào)模型的除了原始鐘差序列的觀測誤差外，主要是參與建模的已知點(diǎn)數(shù)量.相關(guān)研究表明，該算法有效地減少了預(yù)報(bào)模型的計(jì)算量，提高了計(jì)算效率[7-9].

2 實(shí)驗(yàn)分析

本研究的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來源于IGS提供的2013年1月1日的SP3格式BDS精密星歷文件，采樣間隔為5 min，共計(jì)288個(gè)歷元，衛(wèi)星編號(hào)為C01.為了檢驗(yàn)PM模型和GM模型的參數(shù)選取對鐘差預(yù)報(bào)精度的影響，本研究設(shè)計(jì)了4個(gè)實(shí)驗(yàn)方案，其中PM模型是關(guān)于階數(shù)和已知點(diǎn)數(shù)量的，而GM模型是關(guān)于已知點(diǎn)數(shù)量的，最后將2種預(yù)測模型進(jìn)行了比較.

2.1 已知點(diǎn)數(shù)量對PM預(yù)報(bào)模型精度的影響

為了更好地反映已知點(diǎn)數(shù)量對PM模型預(yù)報(bào)精度的影響，本研究采用2階PM模型，參與計(jì)算的已知點(diǎn)數(shù)量分別設(shè)置為5、7、9與11個(gè).通過PM模型計(jì)算得到的預(yù)報(bào)值減去精密星歷文件中的鐘差已知值得到相應(yīng)的殘差值，并對殘差值進(jìn)行數(shù)值統(tǒng)計(jì)和分析，結(jié)果見圖1和表1.

圖1 不同已知點(diǎn)數(shù)量的PM模型預(yù)報(bào)精度

由圖1可知，已知點(diǎn)數(shù)量為5、9與11點(diǎn)的預(yù)報(bào)精度要明顯低于7點(diǎn)，同時(shí)隨著預(yù)報(bào)歷元的增加，預(yù)報(bào)誤差隨之增大，這是因?yàn)殡S著歷元的增加，預(yù)報(bào)歷元距已知數(shù)據(jù)也越來越遠(yuǎn)，預(yù)報(bào)誤差也不斷累積.

由表1的數(shù)據(jù)可知，7點(diǎn)法的最大值為-0.008 920，最小值為-0.035 394，平均值為-0.023 156，均方根為0.024 514，遠(yuǎn)低于其他3種算法的統(tǒng)計(jì)指標(biāo).

由上述分析結(jié)果可知，參與計(jì)算的已知點(diǎn)個(gè)數(shù)為7時(shí)，PM模型的預(yù)報(bào)精度最高，因此本研究選擇參與計(jì)算的已知點(diǎn)個(gè)數(shù)為7.

2.2 多項(xiàng)式階數(shù)對PM預(yù)報(bào)模型精度的影響

本研究將已知點(diǎn)數(shù)量設(shè)置為7，多項(xiàng)式階數(shù)分別設(shè)為1、2與3，數(shù)據(jù)處理方法同上，結(jié)果見圖2和表2.

圖2 不同階數(shù)的PM模型預(yù)報(bào)精度

由圖2可知，3階PM模型預(yù)報(bào)精度顯著低于1階和2階，而1階和2階PM模型的殘差十分接近，從圖2中無法直觀進(jìn)行比較.由表2數(shù)據(jù)可知，1階PM模型的最大值為-0.047 480，最小值為-0.048 926，平均值為-0.048 192，均方根為0.048 194；而2階的最大值為-0.008 920，最小值為-0.035 394，平均值為-0.023 156，均方根為0.024 514.從各項(xiàng)精度指標(biāo)來看，2階PM模型的預(yù)測精度要略高于1階，因此本研究選擇PM模型的階數(shù)為2.

2.3 已知點(diǎn)數(shù)量對GM預(yù)報(bào)模型精度的影響

本研究分別選取已知點(diǎn)數(shù)量為4、5、7、9及11，數(shù)據(jù)處理方法同上，結(jié)果見圖3和表3.

由圖3可知，所有預(yù)測誤差都隨著歷元數(shù)量的增加而增大，這與2.1中實(shí)驗(yàn)方案的結(jié)論是一致的.參與計(jì)算的已知點(diǎn)數(shù)量越多，預(yù)測誤差越小.

由表3數(shù)據(jù)可知，4點(diǎn)和5點(diǎn)的殘差精度比較接近，而從5點(diǎn)開始各項(xiàng)精度指標(biāo)隨著已知點(diǎn)數(shù)量的增加，均有顯著的提升.而各項(xiàng)精度指標(biāo)中，11點(diǎn)的值是最小的，其最大值為0.010 496，最小值為-0.001 745，平均值為0.003 795，均方根為0.005 311.而表3所得結(jié)果與圖3中的結(jié)論是一致的.因此，本研究選擇GM模型參與計(jì)算的已知點(diǎn)數(shù)量為11.

2.4 2種預(yù)報(bào)模型的比較

根據(jù)上述3個(gè)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，

本研究分別采用已知點(diǎn)數(shù)量為11的GM模型和已知點(diǎn)數(shù)量為7且階數(shù)為2的PM模型對同一組BDS鐘差進(jìn)行預(yù)報(bào)并比較兩者的精度，結(jié)果見圖4和表4.

圖3 不同已知點(diǎn)數(shù)量的GM模型預(yù)報(bào)精度

圖4 2種模型的預(yù)報(bào)精度

從圖4可知，GM模型和PM模型的變化趨勢保持一致，而GM模型的預(yù)測誤差要低于PM模型.從表4的數(shù)據(jù)可見，雖然GM模型的最大值大于PM模型，但是其最小值、平均值和均方根值均遠(yuǎn)小于PM模型，由此可知，在短期鐘差預(yù)報(bào)方面GM模型的預(yù)報(bào)精度要優(yōu)于PM模型.

為了驗(yàn)證上述結(jié)論的可靠性和公平性，本研究將7點(diǎn)GM模型和7點(diǎn)2階PM模型進(jìn)行比較，結(jié)果見圖5和表5.

從圖5和表5可知，GM模型的預(yù)報(bào)殘差精度指標(biāo)均優(yōu)于PM模型，與圖4和表4得到的結(jié)論是一致的. 總體上來說，GM模型預(yù)測精度要高于PM模型，因此本研究建議在進(jìn)行鐘差短期預(yù)報(bào)中采用GM模型.

圖5 2種模型的預(yù)報(bào)精度

3 結(jié) 語

本研究分析了常用的2種衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)模型，針對衛(wèi)星鐘差模型的參數(shù)選取對預(yù)報(bào)精度的影響，設(shè)計(jì)了3個(gè)不同的實(shí)驗(yàn)，分別驗(yàn)證已知點(diǎn)數(shù)量和階數(shù)對PM模型預(yù)測精度的影響以及已知點(diǎn)數(shù)量對GM模型預(yù)測精度的影響.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，采用7點(diǎn)2階PM模型和11點(diǎn)GM模型進(jìn)行鐘差短期預(yù)報(bào)，其預(yù)測精度是最優(yōu)的.同時(shí)，為了比較2種預(yù)報(bào)模型的精度，本研究將2種預(yù)報(bào)模型結(jié)果進(jìn)行了對比，仿真分析結(jié)果也表明GM模型的預(yù)測精度要優(yōu)于PM模型.