王春曉 趙靜

【摘要】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容，本文從與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)等特殊點(diǎn)出發(fā)，以具體三次函數(shù)和四次函數(shù)為例，由點(diǎn)到線，分析了函數(shù)在特殊點(diǎn)附近的單調(diào)性和凹凸性，探索了多項(xiàng)式函數(shù)作圖步驟，為數(shù)形結(jié)合的進(jìn)一步深入以及多項(xiàng)式函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用打下了基礎(chǔ).

【關(guān)鍵詞】多項(xiàng)式函數(shù);畫圖;極值;拐點(diǎn)

一、研究背景

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)主要是指學(xué)生在接受數(shù)學(xué)教育過程中，逐步形成的適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力[1].因此，在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)尤為重要.多項(xiàng)式函數(shù)的數(shù)形結(jié)合，不僅能夠幫助我們根據(jù)函數(shù)表達(dá)式解決函數(shù)單調(diào)性、極值、拐點(diǎn)等問題，得到函數(shù)圖像，而且能夠幫助我們根據(jù)實(shí)際問題涉及的單調(diào)性、極值、拐點(diǎn)等內(nèi)容，選擇合適的函數(shù)，得到函數(shù)表達(dá)式，將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，通過解決數(shù)學(xué)問題來尋求解決實(shí)際問題的方法.因此，這里以多項(xiàng)式函數(shù)作圖為例進(jìn)行數(shù)形結(jié)合探索.

二、預(yù)備知識(shí)

三、多項(xiàng)式函數(shù)作圖基本步驟

多項(xiàng)式函數(shù)作圖時(shí)首先要考慮函數(shù)定義域，找到函數(shù)圖像中的特殊點(diǎn)，如，與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)等，確定函數(shù)圖像變化趨勢(shì)，最后得到函數(shù)圖像[3]，具體步驟如下：

第一步：函數(shù)定義域

函數(shù)定義域是研究函數(shù)的基礎(chǔ)，也是函數(shù)作圖必須考慮的.這里涉及的多項(xiàng)式函數(shù)定義域?yàn)檎麄€(gè)實(shí)數(shù)域R，這里不做過多贅述.但在應(yīng)用時(shí)，要根據(jù)生活實(shí)際問題確定有效的定義域，避免出現(xiàn)無意義結(jié)果.

第二步：判斷函數(shù)奇偶性

根據(jù)函數(shù)表達(dá)式判斷函數(shù)是否為奇函數(shù)或偶函數(shù)，函數(shù)奇偶性的判斷能夠幫助學(xué)生從整體上把握函數(shù)圖像特征.由于奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，可根據(jù)此性質(zhì)對(duì)所得函數(shù)圖像進(jìn)行驗(yàn)證，避免作圖出錯(cuò).

第三步：求x→±∞時(shí)函數(shù)極限

根據(jù)x→+∞和x→-∞時(shí)函數(shù)極限確定函數(shù)變化趨勢(shì)，在坐標(biāo)軸上描出函數(shù)起始和結(jié)束大致位置.

第四步：求與坐標(biāo)軸交點(diǎn)

求多項(xiàng)式函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)可通過求方程f（x）=0的解.實(shí)際生活中，多項(xiàng)式函數(shù)與x軸交點(diǎn)一般不易求得，可借助計(jì)算器求得，這里不再贅述.函數(shù)與y軸交點(diǎn)可通過計(jì)算f（0）的值得到，之后，在坐標(biāo)軸中描出交點(diǎn)坐標(biāo).

第五步：求導(dǎo)數(shù)

求函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)和三階導(dǎo)數(shù)主要是為了確定函數(shù)的極值和拐點(diǎn).

第六步：找極值點(diǎn)

函數(shù)的極值不僅是函數(shù)圖像中非常重要的特殊點(diǎn)，而且是求解函數(shù)最值的基礎(chǔ)，同時(shí)，在局部范圍內(nèi)反映了函數(shù)變化趨勢(shì)（即在極大值附近函數(shù)左增右減，在極小值附近函數(shù)左減右增）.之后，根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)位置，在坐標(biāo)軸中描出函數(shù)在極值點(diǎn)附近變化趨勢(shì).

第七步：找拐點(diǎn)

根據(jù)函數(shù)拐點(diǎn)附近凹凸性變化情況[即當(dāng)f″（xg）=0且f（xg）>0時(shí)，在xg附近左凸右凹;當(dāng)f″（xg）=0且f（xg）<0時(shí)，在xg附近左凹右凸].然后，根據(jù)函數(shù)拐點(diǎn)位置，在坐標(biāo)軸中描出函數(shù)在拐點(diǎn)附近變化趨勢(shì).

第八步：連線

用平滑曲線根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和凹凸性，由函數(shù)起始位置到結(jié)束位置將函數(shù)極值點(diǎn)和拐點(diǎn)連接起來，得到多項(xiàng)式函數(shù)圖像.

五、結(jié)論與反思

本文主要給出了兩個(gè)最高次項(xiàng)系數(shù)為正的函數(shù)作圖步驟，實(shí)際應(yīng)用時(shí)，多項(xiàng)式函數(shù)最高次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)的情況同樣也適用.本文根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，通過研究函數(shù)性質(zhì)，作出了函數(shù)圖像.在根據(jù)實(shí)際問題，提煉函數(shù)特征（如單調(diào)性、極值、拐點(diǎn)等），選擇合適的函數(shù)，得到函數(shù)表達(dá)式方面還有所欠缺.

【參考文獻(xiàn)】

[1] 郝旭嵐.冀教版初中數(shù)學(xué)教材學(xué)科核心素養(yǎng)探索[J].教育實(shí)踐與研究，2017（02）：19-21.

[2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）：第4版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]技術(shù)專業(yè)數(shù)學(xué)-北威州應(yīng)用科技大學(xué)入學(xué)考試[M].柏林：Cornelsen出版社.