陳麗萍 ，李 晨 ，楊向群

(1.湖南財(cái)經(jīng)高等?？茖W(xué)校 基礎(chǔ)課部，長沙 410205；2.湖南農(nóng)業(yè)大學(xué) 東方科技學(xué)院，長沙 410128；3.湖南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，長沙 410081）

1 住房抵押貸款保證險(xiǎn)簡介

住房抵押貸款保證險(xiǎn)(以下簡稱保證險(xiǎn))包括兩種類型：全額擔(dān)保和部分擔(dān)保。將抵押貸款期限T劃分為n段承保區(qū)間，這里僅研究n=1的情形。

1.1 全額擔(dān)保

若借款人在t=T時(shí)刻違約，保險(xiǎn)公司可采取以下兩種方式履賠：

(1)保險(xiǎn)公司向貸款人支付全部未償貸款余額，并取得房產(chǎn)權(quán)由自己實(shí)現(xiàn)抵押權(quán)。

(2)貸款人保留房屋產(chǎn)權(quán)，實(shí)現(xiàn)抵押權(quán)后，不足以補(bǔ)償貸款余額的部分由保險(xiǎn)公司賠付。

無論哪種方式，保險(xiǎn)公司應(yīng)賠付金額均為：max(M(T)-αH(T)，0)。其中M(T)為T時(shí)刻未償付金額，H(T)為T時(shí)刻的房產(chǎn)價(jià)格，α為實(shí)現(xiàn)抵押權(quán)后所得住房價(jià)值比例，O為常數(shù)。貸款人持有的全額擔(dān)保保單到期收益為：

1.2 部分擔(dān)保

保險(xiǎn)公司為減少承擔(dān)的信用風(fēng)險(xiǎn)，只對抵押貸款余額的一定比例實(shí)施擔(dān)保，若借款人在t=T時(shí)刻違約，保險(xiǎn)公司可采取以下兩種方式履賠：

(1)保險(xiǎn)公司向貸款人支付全部未償貸款余額，并取得房產(chǎn)權(quán)由自己實(shí)現(xiàn)抵押權(quán)。賠付額為max(M(T)-αH(T)，0)。

(2)向貸款人賠付所擔(dān)保比例的貸款額，銀行仍保留房屋產(chǎn)權(quán)。賠付額為：γM(T)，其中γ代表承保比例。此時(shí)，貸款人持有的部分擔(dān)保保單到期收益為：

2 數(shù)理金融模型的建立

考慮連續(xù)時(shí)間的金融市場，時(shí)間區(qū)間為[0，T]，0表示現(xiàn)在，T表示到期日。給定某完備概率空間(Ω，F(xiàn)，P)。設(shè)了時(shí)刻的未償付額M(T)=M為常數(shù)(可由風(fēng)險(xiǎn)信用評(píng)估得到)，無風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)r，房產(chǎn)價(jià)格為H(t)滿足如下隨機(jī)微分方程：

其中，B={B（t）}0≤t≤T是定義在完備概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，(Ft)0≤t≤T為相應(yīng)的自然信息流，F(xiàn)t=F。 μ，a，σ 為常數(shù)，且 a＞0，σ＞0。

引理1[5]設(shè)房產(chǎn)價(jià)格滿足式(1)，則有

3 兩類保證險(xiǎn)的鞅定價(jià)

設(shè)市場完備、無套利，則可用鞅方法獲得保證險(xiǎn)的無套利定價(jià)。

定理1 設(shè)市場完備、無套利，承保期為[0，T]，到期現(xiàn)金流滿足式(1)，無風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)r，未償付額恒為常數(shù)M，房格H(t)滿足式(1)，則全額擔(dān)保保證險(xiǎn)的鞅定價(jià)公式(保費(fèi))為

綜上，定理得證。

定理2 設(shè)市場完備、無套利，承保期為[0，T)，到期現(xiàn)金流滿足式(2)，無風(fēng)險(xiǎn)利率常數(shù)r，未償付額恒為常數(shù)M，房產(chǎn)價(jià)格H(t)滿足式(3)，則部分擔(dān)保保證險(xiǎn)的鞅定價(jià)公式(保費(fèi))為

綜上，定理得證。

4 兩類保證險(xiǎn)的保險(xiǎn)精算定價(jià)

定義 2 設(shè) C（K，T）和 P（K，T）分別表示標(biāo)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格為H（t），執(zhí)行價(jià)格為K，到期日為T的歐式買權(quán)和賣權(quán)在現(xiàn)在時(shí)刻的價(jià)值，則

這一定價(jià)方法稱為期權(quán)的保險(xiǎn)精算定價(jià)方法。

定理3 設(shè)承保期為[0，T]，到期現(xiàn)金流滿足（1），無風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù) r,未償付額恒為常數(shù) M，房產(chǎn) H（t）滿足（3）,則金額擔(dān)保保證險(xiǎn)的保險(xiǎn)精算定價(jià)（保費(fèi)）為

綜上，定理得證。

定理 4 承保期為[0，T]，到期現(xiàn)金流為(2)，未償付額恒為常數(shù)M，房產(chǎn)價(jià)格H(t)滿足(3)的部分擔(dān)保保證險(xiǎn)的保費(fèi)為

下面將分別給出上式中三項(xiàng)期望的值。由于η～N(0，1)，于是有

綜上，定理得證。

5 兩種定價(jià)結(jié)果的比較

本文引入期權(quán)定價(jià)思想，分別利用傳統(tǒng)的鞅定價(jià)方法和保險(xiǎn)精算定價(jià)方法，探討了兩類住房抵押貸款保證險(xiǎn)的定價(jià)問題，并且分別給出了兩種方法下保證險(xiǎn)的定價(jià)公式。

將定理1與定理3、定理2與定理4進(jìn)行對比，可以看出：在相同的市場模型下，保險(xiǎn)精算定價(jià)和傳統(tǒng)的鞅定價(jià)(又稱無套利定價(jià))有明顯區(qū)別。當(dāng)房產(chǎn)價(jià)格服從指數(shù)O-U過程時(shí)，保險(xiǎn)精算定價(jià)與房產(chǎn)預(yù)期收益率非線性漂移系數(shù)α和波動(dòng)率σ有關(guān)，無套利定價(jià)僅與波動(dòng)率σ有關(guān)，而與預(yù)期收益率無關(guān)。由于等價(jià)鞅測度存在且唯一，所以保證險(xiǎn)有唯一的無套利定價(jià)，因此這里的保險(xiǎn)精算定價(jià)實(shí)質(zhì)上是有套利定價(jià)。

可見，當(dāng)房產(chǎn)價(jià)格服從一般的隨機(jī)過程時(shí)，保險(xiǎn)精算方法給出的保證險(xiǎn)定價(jià)與傳統(tǒng)的鞅方法給出的定價(jià)(無套利定價(jià))可能是不一致的。雖然用保險(xiǎn)精算方法也能證明B-S公式，但對一般的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格模型，其定價(jià)可能是有套利的。

[1]侯新華，田策.住房抵押貸款保證險(xiǎn)研究[J].中國房地產(chǎn)金融,2002，(11).

[2]錢乃余.發(fā)展我國住房抵押貸款保險(xiǎn)之構(gòu)想[J].濟(jì)南金融,200l，(6).

[3]陳麗萍，楊向群.房價(jià)服從非時(shí)齊Poisson住房抵貸款保證險(xiǎn)的定價(jià)[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì),2007,23(4).

[4]李晨，陳麗萍，楊向群.隨機(jī)波動(dòng)率與跳擴(kuò)散相結(jié)合的保證險(xiǎn)的鞅定價(jià)[J].系統(tǒng)工程，2009,27(3).

[5]閆海峰，劉三陽.廣義Black-Scholes模型期權(quán)定價(jià)新方法保險(xiǎn)精算方法[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2003,24(7).