劉太素,錢林方,陳光宋,林 通,羊 柳

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,江蘇 南京 210094)

輸彈協(xié)調(diào)機(jī)構(gòu)是中大口徑火炮自動裝填系統(tǒng)中的關(guān)鍵部件之一,其作用是接收取彈機(jī)構(gòu)傳送的彈丸,并將彈丸協(xié)調(diào)至一定的角度位置(與身管軸線對齊)以便進(jìn)行輸彈動作[1]。在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計階段,輸彈協(xié)調(diào)機(jī)構(gòu)存在眾多不確定性輸入?yún)?shù),這些不確定性輸入?yún)?shù)對協(xié)調(diào)到位精度造成了一定的影響,如何合理設(shè)計輸彈協(xié)調(diào)機(jī)構(gòu)中的不確定性參數(shù),并高效準(zhǔn)確地分析不確定性輸入?yún)?shù)對協(xié)調(diào)到位精度的影響,以期提高輸彈協(xié)調(diào)機(jī)構(gòu)的到位精度,是實(shí)際工程應(yīng)用中的一大難題。

針對上述問題,石海軍等[2]基于區(qū)間不確定性對輸彈協(xié)調(diào)機(jī)構(gòu)的不確定性輸入?yún)?shù)進(jìn)行了保性能優(yōu)化;高學(xué)星等[3]提出了一種間接提高定位精度可靠性的優(yōu)化方法,具有較好的優(yōu)化效果和較高的計算效率。在工程設(shè)計階段,為了提高輸彈協(xié)調(diào)機(jī)構(gòu)對不確定性輸入?yún)?shù)的穩(wěn)健性,穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計是一種較好的解決方法,然而在每次優(yōu)化迭代過程中,都需要調(diào)用輸彈協(xié)調(diào)機(jī)構(gòu)的動力學(xué)模型計算響應(yīng),時間成本較高。代理模型技術(shù)特點(diǎn)能夠很好地解決此類問題[4],例如響應(yīng)面法、Kriging插值、混沌多項式展開等。然而,對于含有眾多不確定性輸入?yún)?shù)的輸彈協(xié)調(diào)機(jī)構(gòu),隨著不確定性參數(shù)維數(shù)的增加和非線性程度的增加,構(gòu)建代理模型所需的樣本量會呈指數(shù)級增加,難以得到高效準(zhǔn)確的解決。針對高維問題,SOBOL證明了任意可積函數(shù)在積分空間內(nèi)存在唯一的、可以擴(kuò)展的高維模型表達(dá)技術(shù)[5],該模型利用確定的階數(shù)精確地表達(dá)高維可積函數(shù),并將計算時間由原來的指數(shù)級增長轉(zhuǎn)化為多項式增長。之后,RABITZ和ALIS[6]證明了只有低階項對輸出響應(yīng)影響較大,由此出現(xiàn)了不同的HDMR模型,例如Cut-HDMR[6],RS-HDMR(random sampling-HDMR)[7],FHDMR(factorized HDMR)[8]等。針對工程實(shí)際問題的高維問題建模,出現(xiàn)了基于不同代理模型的高維模型表達(dá),SHAN和WANG[9]發(fā)展了RBF-HDMR方法,湯龍等[10]基于Kriging代理模型技術(shù)研究了Kriging-HDMR方法,李偉平等[11]基于誤差反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(BPNN)提出一種BPNN-HDMR方法,并證明了各自方法的有效性和實(shí)用性。

本文針對某輸彈協(xié)調(diào)機(jī)構(gòu)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計中存在的高維建模問題,提出一種基于稀疏混沌多項式展開(sparse polynomial chaos expansions,SPCE)的高維模型表達(dá)技術(shù)(high dimensional model representation,HDMR),即SPCE-HDMR方法,用于提高輸彈協(xié)調(diào)機(jī)構(gòu)的到位精度?；贑ut-HDMR思想建立輸彈協(xié)調(diào)機(jī)構(gòu)的高維模型擴(kuò)展結(jié)構(gòu),采用優(yōu)化拉丁超立方技術(shù)對各輸入?yún)?shù)進(jìn)行采樣,基于稀疏混沌多項式展開方法構(gòu)建輸彈協(xié)調(diào)機(jī)構(gòu)的分量函數(shù),并判斷一階分量函數(shù)的線性和二階分量函數(shù)的耦合性,減少了樣本的計算費(fèi)用,通過典型算例驗(yàn)證了算法的有效性和正確性,最后,利用輸彈協(xié)調(diào)機(jī)構(gòu)的SPCE-HDMR模型進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計研究,得到降低協(xié)調(diào)到位精度敏感性的最優(yōu)輸入?yún)?shù)組合,為輸彈協(xié)調(diào)機(jī)構(gòu)的工程設(shè)計和其他工程機(jī)構(gòu)的設(shè)計提供了理論參考。

1 輸彈協(xié)調(diào)機(jī)構(gòu)模型描述

某輸彈協(xié)調(diào)機(jī)構(gòu)如圖1所示,協(xié)調(diào)臂安裝在耳軸上,在液壓缸的驅(qū)動下繞著耳軸旋轉(zhuǎn),液壓缸一端安裝在架體上,相對架體旋轉(zhuǎn),另一端安裝在協(xié)調(diào)臂上,相對協(xié)調(diào)臂旋轉(zhuǎn)。在一定的協(xié)調(diào)油缸壓力作用下,將協(xié)調(diào)臂旋轉(zhuǎn)到一定的角度,完成輸彈協(xié)調(diào)動作。但是由于模型中存在不確定性參數(shù),包括協(xié)調(diào)臂的質(zhì)量、慣量、協(xié)調(diào)油缸的壓力與時間的關(guān)系(如圖2)、鉸的相對位置、結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù),環(huán)境、氣象參數(shù)等參數(shù)。這些不確定性參數(shù)使得協(xié)調(diào)臂的到位精度發(fā)生變化,為了能夠降低協(xié)調(diào)到位精度對不確定性輸入?yún)?shù)的敏感性,首先應(yīng)明確不確定性輸入?yún)?shù)及其取值范圍。

圖2中,t1為壓力變化到最大的時間節(jié)點(diǎn),t2為壓力從恒定不變到開始變小的時間節(jié)點(diǎn),t3為壓力變?yōu)?的時間節(jié)點(diǎn)。

圖1 輸彈協(xié)調(diào)機(jī)構(gòu)示意圖

圖2 輸彈壓力隨時間的變化

由于輸彈協(xié)調(diào)機(jī)構(gòu)存在眾多不確定性輸入?yún)?shù),有些參數(shù)對輸出響應(yīng)的影響較小,根據(jù)模型分析和工程需要,篩選并明確不確定性輸入?yún)?shù)如表1所示。

表1 輸彈協(xié)調(diào)過程不確定性輸入?yún)?shù)

為了進(jìn)行協(xié)調(diào)到位精度的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計,需要對上述不確定性輸入?yún)?shù)進(jìn)行分類,分為可控參數(shù)W和不可控參數(shù)P,根據(jù)工程實(shí)際中設(shè)計、加工的難易程度來區(qū)分,可控參數(shù)指的是在工程實(shí)際中通過設(shè)計、加工等手段可以改變的參數(shù),不可控參數(shù)指的是在工程實(shí)際中不可改變或難以改變的參數(shù)。其中,可控參數(shù)又分為非隨機(jī)變化的值Wc和隨機(jī)變化的值Wv,不可控參數(shù)又分為非隨機(jī)變化的值Pc和隨機(jī)變化的值Pv。根據(jù)工程實(shí)際,協(xié)調(diào)過程的參數(shù)中,Wc=(L1L2)T,Wv=(p1t1t2t3)T,Pv=(mbIzzH1H2)T。

根據(jù)輸彈協(xié)調(diào)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)和動作,基于相對坐標(biāo)原理[12],經(jīng)過推導(dǎo)可以得到輸彈協(xié)調(diào)機(jī)構(gòu)的動力學(xué)方程為

(1)

2 輸彈協(xié)調(diào)過程穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計

2.1 輸彈協(xié)調(diào)機(jī)構(gòu)的高維模型表達(dá)(HDMR)

輸彈協(xié)調(diào)機(jī)構(gòu)存在大量不確定性輸入?yún)?shù),采用常規(guī)的代理模型技術(shù)會面臨維度災(zāi)難問題,難以高效準(zhǔn)確地得到代理模型。HDMR可解決此問題,其具體描述為:對于輸彈協(xié)調(diào)機(jī)構(gòu)中給定的n=10個不確定性輸入?yún)?shù)(如表1所示),定義參數(shù)序號1～10分別為x1～x10,記為X=(x1x2…xi…x10)T∈R10,對應(yīng)的輸出為f(x1,x2,…,xi,…,x10),用HDMR結(jié)構(gòu)表示輸入和輸出之間的映射關(guān)系為

(2)

式中:f0為零階項;fi(xi)為一階分量函數(shù),即單個變量對輸出的影響;fij(xi,xj)為二階分量函數(shù),即兩變量耦合對輸出的影響,類似地,f1,2,…,10(x1,x2,…,x10)為10階分量函數(shù),即10個變量耦合對輸出的影響。

根據(jù)文獻(xiàn)[6],在輸彈協(xié)調(diào)過程的代理模型中只考慮零階項、一階分量函數(shù)和二階分量函數(shù),代理模型為

(3)

基于Cut-HDMR理論,各分量函數(shù)為

f0=f(Xc)

(4)

fi(xi)=f(xi,Xc,i)-f0

(5)

fij(xi,xj)=f(xi,xj,Xc,ij)-fi(xi)-fj(xj)-f0

(6)

式中:f(Xc)為各輸入?yún)?shù)取中心點(diǎn)時的響應(yīng);f(xi,Xc,i)為輸入?yún)?shù)xi變化,其他輸入?yún)?shù)取中心點(diǎn)時的響應(yīng);f(xi,xj,Xc,ij)為輸入?yún)?shù)xi和xj同時變化,其他輸入?yún)?shù)取中心點(diǎn)時的響應(yīng)。

2.2 基于SPCE的輸彈協(xié)調(diào)過程分量函數(shù)構(gòu)建

(7)

將輸彈協(xié)調(diào)過程的分量函數(shù)(假定為y=f(X))用有限階的級數(shù)q展開成輸入?yún)?shù)正交多項式和的形式為

(8)

‖ue‖1≤q

(9)

計算可得PCE總項數(shù)s為

(10)

(11)

(12)

2.3 基于SPCE-HDMR的輸彈協(xié)調(diào)過程代理模型建模算法

基于Cut-HDMR思想以及SPCE的求解策略,提出一種基于SPCE-HDMR的輸彈協(xié)調(diào)過程高維代理模型建模算法,具體過程如下。

①確定中心點(diǎn)。確認(rèn)xi(1≤i≤n)的中心位置點(diǎn)xc,i,記為Xc=(xc,1…xc,i…xc,n),并得到函數(shù)輸出中心點(diǎn)f0=f(Xc),以f0作為以下所有代理模型的中心點(diǎn)的理論值;

⑥重復(fù)步驟②至步驟⑤,直至所有10個自變量都建模完畢,進(jìn)入步驟⑦;

⑩重復(fù)步驟⑦至步驟⑨,直到所有的兩變量組合全部構(gòu)建完成。

高維模型構(gòu)建時的精確度準(zhǔn)則和收斂準(zhǔn)則都是通過相對誤差來定義的。對于精度較高計算,ε1,ε2,ε4和ε5一般取0.001,ε3和ε6一般取0.99;對于工程問題,ε1,ε2,ε4和ε5一般取0.01,ε3和ε6一般取0.9[11]。

2.4 基于SPCE-HDMR的輸彈協(xié)調(diào)過程穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計

協(xié)調(diào)到位穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計是通過優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的方差來提高協(xié)調(diào)到位的精度和降低其對不確定性輸入?yún)?shù)的敏感性?；赟PCE-HDMR建立的協(xié)調(diào)過程不確定性分析模型,在可控隨機(jī)參數(shù)Wv和不可控隨機(jī)參數(shù)Pv變化的情況下,求取協(xié)調(diào)到位精度的目標(biāo)函數(shù),即協(xié)調(diào)到位角度θ的均方差σθ,得到可控參數(shù)W的最優(yōu)解,以此建立協(xié)調(diào)到位精度的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計模型為

式中:Wl和Wu分別為可控參數(shù)的下界和上界向量。

遺傳算法(GA)是一種應(yīng)用廣泛的全局優(yōu)化算法,具有全局尋優(yōu)的特點(diǎn),但尋優(yōu)結(jié)果不夠精確,計算量大;序列二次規(guī)劃(SQP)算法是一種局部優(yōu)化算法,將復(fù)雜的非線性約束最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為比較簡單的二次規(guī)劃(QP)問題求解的算法,能夠在參數(shù)空間給定的局部區(qū)域快速尋優(yōu)。因此,本文結(jié)合GA和SQP的優(yōu)點(diǎn),采用組合優(yōu)化算法求解協(xié)調(diào)到位精度的穩(wěn)健結(jié)果。

3 算例分析

3.1 函數(shù)算例

算例1為高維非線性模型精度測試。

為了驗(yàn)證該算法的有效性,一般取復(fù)相關(guān)系數(shù)R2、相對平均絕對誤差RAAE和相對最大絕對誤差RMAE綜合評判模型的精度[10-11],首先,取高維非線性函數(shù)進(jìn)行測試。函數(shù)1、函數(shù)2和函數(shù)3分別為

在相同的計算費(fèi)用的情況下,通過SPCE-HDMR算法和PCE方法得到的高維模型計算得到評價指標(biāo)結(jié)果對比如表2所示。

表2 函數(shù)測試精度

由表2可以看出,基于SPCE-HDMR建立的代理模型的測試精度R2都在0.99以上,相對PCE得到的代理模型精度較高,RAAE和RMAE的值都在0.1以下,比PCE得到的結(jié)果較小,說明本方法得到的代理模型符合精度要求。

算例2為建模效率測試。

為了說明本方法的效率,取不同的維數(shù)進(jìn)行測試,函數(shù)為

式中:m為函數(shù)的維數(shù),分別取10,30,50等不同的值,假設(shè)每個分量函數(shù)的采樣點(diǎn)數(shù)為k=8(經(jīng)過驗(yàn)算,該采樣點(diǎn)數(shù)得到的分量函數(shù)擬合結(jié)果符合精度要求),得到不同模型的計算費(fèi)用如表3所示。

表3 各階HDMR建模費(fèi)用比較

3.2 工程算例

算例3為協(xié)調(diào)到位穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計結(jié)果分析。

為了進(jìn)行協(xié)調(diào)到位穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計,首先明確輸入?yún)?shù)的取值及范圍如表4所示。

表4 不確定性輸入?yún)?shù)的取值范圍

根據(jù)2.3節(jié)中的算法,建立輸彈協(xié)調(diào)過程的高維代理模型,經(jīng)分析,零階分量函數(shù)的值為0.872 7,參數(shù)mb、Izz和H1的一階分量函數(shù)為線性模型,二階耦合項理論組合為45項,根據(jù)算法判斷只有10項,因此大大減小了建模的工作量。

隨機(jī)取k=50組樣本作為預(yù)測參數(shù),分別代入?yún)f(xié)調(diào)過程的SPCE-HDMR模型和原動力學(xué)模型,分別得到SPCE-HDMR模型的計算結(jié)果θ和原動力學(xué)模型的計算結(jié)果θ對比如圖3所示,根據(jù)3.1節(jié)中的評價函數(shù)得到測試結(jié)果:R2=0.989 7,RAAE=0.093 6,RMAE=0.193 5。

圖3 輸彈協(xié)調(diào)SPCE-HDMR測試結(jié)果

可見,由SPCE-HDMR得到的輸彈協(xié)調(diào)過程代理模型的R2>0.9,RAAE的值很小,RMAE的值也比較小,擬合精度相對較高,符合工程要求,可以作為代理模型進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計的求解。

綜合考慮計算效率和精度,設(shè)置GA優(yōu)化算法參數(shù):種群數(shù)為50,交叉系數(shù)為0.8,變異系數(shù)為0.05,進(jìn)化代數(shù)為20;SQP算法參數(shù)設(shè)置為:最大迭代步數(shù)500。首先利用GA優(yōu)化算法對穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計模型進(jìn)行全局尋優(yōu),得到全局最優(yōu)參數(shù)組合后,再利用SQP優(yōu)化算法對穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計模型進(jìn)行局部最優(yōu)的求解,優(yōu)化流程如圖4所示。

為了得到不同的優(yōu)化參數(shù)組合,方便設(shè)計人員選用,進(jìn)行了多次優(yōu)化,如表5所示為8組優(yōu)化的結(jié)果。

由表5可以看出,經(jīng)過穩(wěn)健優(yōu)化后的可控參數(shù)組合一致性較好,初始均方差指優(yōu)化設(shè)計過程中第一次尋優(yōu)的參數(shù)組合,最大均方差指在優(yōu)化設(shè)計過程中出現(xiàn)的最惡劣參數(shù)組合,優(yōu)化后的均方差是指在表5所示的可控參數(shù)組合下得到的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù),經(jīng)過穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計,協(xié)調(diào)到位的均方差較最大均方差相比減小了35.96%(8組平均結(jié)果),較初始均方差相比減小了22.70%(8組平均結(jié)果),降低了協(xié)調(diào)到位精度對不確定性輸入?yún)?shù)的敏感度,從而為設(shè)計提供了理論參考。以第8組優(yōu)化結(jié)果為例,對參數(shù)進(jìn)行圓整處理,圓整后的參數(shù)為9.7,0.115,0.235,0.335,187.0,182.0,以此作為名義值代替表4中的相關(guān)參數(shù)的名義值,其他參數(shù)如表4,采樣后代入原模型計算系統(tǒng)輸出的均方差,結(jié)果為0.045 7,與優(yōu)化后的均方差相比稍微變大,滿足精度要求,因此第8組優(yōu)化參數(shù)可以作為設(shè)計的參考。

圖4 輸彈協(xié)調(diào)到位穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計流程圖

表5 輸彈協(xié)調(diào)到位穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計結(jié)果

4 結(jié)束語

針對工程設(shè)計階段某輸彈協(xié)調(diào)過程穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計中存在的參數(shù)眾多,計算工作量大的問題,本文提出了一種基于SPCE-HDMR的高維代理模型建模方法,以此提高輸彈協(xié)調(diào)機(jī)構(gòu)的到位精度。采用SPCE代理模型技術(shù),結(jié)合優(yōu)化拉丁超立方采樣能夠得到高精度的輸彈協(xié)調(diào)過程分量函數(shù),基于Cut-HDMR理論建立了高效高精度的輸彈協(xié)調(diào)過程高維代理模型,可以得到如下結(jié)論:

①通過SPCE-HDMR建模算法,可以有效地判斷不確定性輸入?yún)?shù)相對輸出響應(yīng)的線性關(guān)系以及輸入?yún)?shù)之間的耦合性,減少了分量函數(shù)構(gòu)建的樣本點(diǎn)數(shù),節(jié)約了計算成本;

②通過高維非線性函數(shù)算例分析,將建立高維代理模型的計算費(fèi)用由維數(shù)的指數(shù)級增長降為多項式增長,有效地解決了高維建模的維度災(zāi)難問題;

③通過輸彈協(xié)調(diào)過程的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計分析,在保證模型精度的情況下極大地提高了穩(wěn)健優(yōu)化的計算效率,解決了輸彈協(xié)調(diào)過程穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計計算費(fèi)用大的問題,高效準(zhǔn)確地提高了輸彈協(xié)調(diào)機(jī)構(gòu)的到位精度,說明了該方法的有效性,為輸彈協(xié)調(diào)過程的工程設(shè)計和其他工程設(shè)計提供了理論參考。