吳 放,常思江,李新華

(1.南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院,江蘇 南京 210094;2.西北工業(yè)集團(tuán)有限公司,陜西 西安 710043)

隨著現(xiàn)代防御系統(tǒng)興起[1],僅要求導(dǎo)彈以最小脫靶量擊中目標(biāo)的傳統(tǒng)制導(dǎo)律已不足以滿足現(xiàn)代戰(zhàn)爭需求。因此,需要研究一種能夠?qū)?dǎo)彈攻擊時(shí)間和攻擊角度進(jìn)行控制的制導(dǎo)律,以提升導(dǎo)彈的突防和毀傷能力。

攻擊時(shí)間和攻擊角度控制制導(dǎo)律最早由文獻(xiàn)[2]提出,隨后眾多學(xué)者基于不同理論對其進(jìn)行了研究[3-9]。文獻(xiàn)[3]采用模型預(yù)測靜態(tài)規(guī)劃算法,提出了能夠同時(shí)控制彈群攻擊時(shí)間和攻擊角度的協(xié)同制導(dǎo)方法。文獻(xiàn)[4]對網(wǎng)絡(luò)化導(dǎo)彈的協(xié)同攻擊問題進(jìn)行了研究,基于偏置比例導(dǎo)引法設(shè)計(jì)了帶落角約束和攻擊時(shí)間約束的制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[3-4]在設(shè)計(jì)制導(dǎo)指令時(shí)均需要估算導(dǎo)彈剩余飛行時(shí)間,而估算精度將對導(dǎo)彈命中精度造成不良影響[10-11]。為避免估算誤差對制導(dǎo)律的影響,文獻(xiàn)[5]基于成型理論,設(shè)計(jì)了無需剩余飛行時(shí)間的攻擊時(shí)間和攻擊角度控制制導(dǎo)律。

由于滑模控制理論具有抑制外界干擾且能夠使系統(tǒng)快速收斂的優(yōu)點(diǎn),在設(shè)計(jì)制導(dǎo)律時(shí)有較大優(yōu)勢,因此近年來被大量文獻(xiàn)應(yīng)用。文獻(xiàn)[6]通過構(gòu)造視線角速率表達(dá)式,基于二階滑模理論設(shè)計(jì)了攻擊時(shí)間和攻擊角度控制制導(dǎo)律,但其制導(dǎo)指令形式較為復(fù)雜。文獻(xiàn)[7]以實(shí)際攻擊時(shí)間與所需攻擊時(shí)間之差作為切換條件,將制導(dǎo)律在攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律和攻擊角度控制制導(dǎo)律間切換,實(shí)現(xiàn)了攻擊時(shí)間和攻擊角度控制,但由于需要估算剩余飛行時(shí)間,故存在一定誤差。

上述文獻(xiàn)均假設(shè)導(dǎo)彈速度恒定,但在實(shí)際工程應(yīng)用中,導(dǎo)彈速度往往難以保持恒定?，F(xiàn)有攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律或攻擊角度控制制導(dǎo)律對導(dǎo)彈速度變化的解決方法可分為兩種。第一種是設(shè)計(jì)導(dǎo)彈切向加速度,控制導(dǎo)彈速度變化。如文獻(xiàn)[12]基于理想比例導(dǎo)引法設(shè)計(jì)了導(dǎo)彈速度可控的攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律,并通過反饋線性化增加制導(dǎo)律的魯棒性。第二種是將導(dǎo)彈速度變化作為干擾項(xiàng),設(shè)計(jì)對其不敏感的制導(dǎo)律。如文獻(xiàn)[13]提出了一種僅需要導(dǎo)彈速度范圍的剩余時(shí)間估算方法,基于積分滑模理論設(shè)計(jì)了攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律。然而,現(xiàn)有文獻(xiàn)中對導(dǎo)彈速度變化時(shí)的攻擊時(shí)間和攻擊角度控制制導(dǎo)律研究較少,如文獻(xiàn)[9]根據(jù)所需攻擊時(shí)間與導(dǎo)彈實(shí)際速度構(gòu)造標(biāo)稱剩余航程,將導(dǎo)彈控制問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)彈實(shí)際剩余航程對標(biāo)稱剩余航程的跟蹤問題,從而實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈速度變化情況下攻擊時(shí)間和角度的控制。

針對上述問題,本文對導(dǎo)彈速度可控的攻擊時(shí)間和攻擊角度控制問題進(jìn)行了研究?？紤]導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系,設(shè)計(jì)了導(dǎo)彈的切向加速度以控制導(dǎo)彈速度變化。利用成型理論設(shè)計(jì)同時(shí)滿足攻擊時(shí)間和攻擊角度控制的理想視線角變化律,基于非奇異終端滑模理論設(shè)計(jì)制導(dǎo)指令使實(shí)際視線角按照理想規(guī)律變化,從而實(shí)現(xiàn)對攻擊時(shí)間和攻擊角度的控制。

1 問題描述

考慮導(dǎo)彈與目標(biāo)的二維運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系,如圖1所示,圖中,下標(biāo)M,T分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo);下標(biāo)R表示相對量。假定導(dǎo)彈速度為vM,法向加速度為aM,切向加速度為aτ,目標(biāo)速度為vT,導(dǎo)彈與目標(biāo)相對速度為vR。r,γ,θ,φ分別為彈目距離、彈道角、視線角和前置角;θf為導(dǎo)彈擊中目標(biāo)時(shí)所需的攻擊角度。所有角度以逆時(shí)針方向?yàn)檎?/p>

圖1 導(dǎo)彈與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系

導(dǎo)彈與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系為

(1)

(2)

(3)

(4)

由圖1還可得如下關(guān)系:

vR=vM-vT

(5)

φR=γR-θ

(6)

(7)

(8)

aM=cos(γR-γM)aR

(9)

根據(jù)式(5)、式(6)所示的相對關(guān)系,可將式(1)、式(2)簡化為如下形式[14]:

(10)

(11)

若通過合理控制導(dǎo)彈的切向加速度aτ,改變導(dǎo)彈速度vM,則能夠保持相對速度vR不變。此時(shí)可將運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的制導(dǎo)問題轉(zhuǎn)化為靜止目標(biāo)的制導(dǎo)問題。導(dǎo)彈切向加速度表達(dá)式為

(12)

綜上,本文研究的問題可以描述為設(shè)計(jì)導(dǎo)彈切向加速度和法向速度,使導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對速度保持不變,并在所需攻擊時(shí)間td以所需攻擊角度θf擊中目標(biāo),即滿足如下關(guān)系式:

(13)

2 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

本文將成型理論和非奇異終端滑模理論結(jié)合,設(shè)計(jì)了滿足攻擊時(shí)間和攻擊角度同時(shí)控制的制導(dǎo)律,設(shè)計(jì)思路如下:

①基于成型理論設(shè)計(jì)同時(shí)滿足攻擊時(shí)間和攻擊角度控制的理想視線角多項(xiàng)式,并通過優(yōu)化理論計(jì)算出多項(xiàng)式的系數(shù),從而確定理想視線角的具體表達(dá)式;

②以實(shí)際視線角與理想視線角之差作為狀態(tài)變量,利用非奇異終端滑模理論,設(shè)計(jì)制導(dǎo)指令使導(dǎo)彈實(shí)際視線角按照理想視線角變化,從而實(shí)現(xiàn)攻擊時(shí)間和攻擊角度的同時(shí)控制。

2.1 理想視線角設(shè)計(jì)

在設(shè)計(jì)理想視線角表達(dá)式之前,需要說明的是,式(8)、式(10)～式(11)均為關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù),為便于問題研究,本節(jié)需將其轉(zhuǎn)換為關(guān)于水平位置x的導(dǎo)數(shù)。對任意變量a的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下:

(14)

根據(jù)式(14)所示轉(zhuǎn)換關(guān)系,可將式(8)、式(10)～式(11)改寫為

(15)

(16)

(17)

基于成型理論設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的主要思想是找到一個(gè)理想的視線角變化曲線,通過增大或減小視線角以改變導(dǎo)彈彈道,使導(dǎo)彈能夠在所需的攻擊時(shí)間以所需的攻擊角度擊中目標(biāo)。在設(shè)計(jì)理想視線角變化規(guī)律的多項(xiàng)式時(shí),存在多種滿足期望條件的候選函數(shù)[5-6,10-11]。為簡單起見,本文設(shè)計(jì)如下理想視線角速率多項(xiàng)式:

(18)

式中:σi(i=1,2,…,5)為常數(shù),x0為導(dǎo)彈與目標(biāo)初始水平距離。

對式(18)積分,得到理想視線角多項(xiàng)式為

(19)

對式(18)關(guān)于xR求導(dǎo)數(shù),得:

(20)

θd(xR=0)=θ0

(21)

(22)

為保證導(dǎo)彈擊中目標(biāo),視線角速率必須在導(dǎo)彈到達(dá)目標(biāo)位置時(shí)為0,故有:

(23)

為滿足攻擊角度控制,在擊中目標(biāo)時(shí),視線角應(yīng)滿足如下條件:

θd(xR=x0)=θf

(24)

將式(21)～式(24)所示邊界條件代入式(18)～式(19),解得:

(25)

σ1取任意值時(shí),根據(jù)式(25)所示的多項(xiàng)式系數(shù)計(jì)算理想視線角,若導(dǎo)彈按照理想視線角飛行,則能夠以所需的攻擊角度擊中目標(biāo)。為了保證導(dǎo)彈在所需攻擊時(shí)間擊中目標(biāo),本文通過調(diào)整σ1值,以調(diào)整視線角變化規(guī)律,從而滿足:

timp→td

式中:timp為導(dǎo)彈擊中目標(biāo)時(shí)的飛行時(shí)間,td為導(dǎo)彈所需攻擊時(shí)間。

為確定σ1的取值,可采用單純形法等優(yōu)化方法求解最優(yōu)σ1值。設(shè)計(jì)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)如下:

J=|timp-td|

在優(yōu)化過程中,當(dāng)J<0.01 s時(shí)終止優(yōu)化。對于本文算例,取σ1的初值為0.001,得到最優(yōu)σ1值的平均優(yōu)化迭代次數(shù)為12次。由于優(yōu)化迭代次數(shù)較少,優(yōu)化速度快,因此在實(shí)際工程應(yīng)用中,可在線計(jì)算σ1值。

2.2 制導(dǎo)指令設(shè)計(jì)

以實(shí)際視線角θ與所設(shè)計(jì)視線角θd之差作為狀態(tài)變量,即:

e=θ-θd

根據(jù)非奇異終端滑模理論[15]設(shè)計(jì)滑模切換面為

(26)

式中:β>0;p和q為正奇數(shù),p>q。

對式(26)關(guān)于x求導(dǎo)數(shù),得:

(27)

(28)

將式(28)代入式(27),得:

(29)

(30)

(31)

式中:M為設(shè)計(jì)參數(shù),取M>0。sgn(·)為符號函數(shù),定義為

由式(30)、式(31)可得滿足攻擊時(shí)間和攻擊角度控制的相對加速度為

(32)

將式(32)代入式(9),可得導(dǎo)彈的法向加速度指令為

2.3 穩(wěn)定性證明

為證明在所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律作用下,導(dǎo)彈能夠?qū)崿F(xiàn)攻擊時(shí)間和攻擊角度控制,本節(jié)將證明制導(dǎo)律在Lyapunov意義下的穩(wěn)定性。

選擇如下Lyapunov函數(shù):

(33)

對式(33)關(guān)于x求導(dǎo),得:

(34)

將式(29)、式(32)代入式(34),得:

(34)

(35)

圖2 系統(tǒng)的相軌跡

綜上可知,本文制導(dǎo)律滿足Lyapunov穩(wěn)定性條件,系統(tǒng)能在有限時(shí)間內(nèi)收斂,導(dǎo)彈視線角按理想視線角變化,能夠?qū)崿F(xiàn)攻擊時(shí)間和攻擊角度控制。

3 數(shù)值仿真

本節(jié)將選擇不同攻擊時(shí)間和不同攻擊角度,對所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律進(jìn)行數(shù)值仿真,以驗(yàn)證其有效性。在進(jìn)行數(shù)值仿真前需要說明,為避免加速度指令因符號函數(shù)sgn(·)的不連續(xù)而產(chǎn)生抖動(dòng),采用連續(xù)函數(shù)sgmf(·)代替符號函數(shù)sgn(·),定義如下:

式中:b為正常數(shù),本文取b=0.1。

數(shù)值仿真基本參數(shù)如下:導(dǎo)彈初始位置(xM0,yM0)=(0,0),目標(biāo)初始位置(xT0,yT0)=(7 km,7 km),導(dǎo)彈初始速度vM0=300 m/s,目標(biāo)速度vT=150 m/s,導(dǎo)彈初始彈道角γM0=45°,目標(biāo)初始彈道角γT0=10°,導(dǎo)彈最大加速度aMmax=100 m/s2。

制導(dǎo)參數(shù)M=300,p=5,q=3,β=1。仿真曲線如圖3和圖4所示。定義攻擊時(shí)間誤差εtd為實(shí)際攻擊時(shí)間與所需攻擊時(shí)間之差的絕對值,攻擊角度誤差εθf為實(shí)際攻擊角度與所需攻擊角度之差的絕對值。表1和表2為不同條件下的攻擊時(shí)間誤差和攻擊角度誤差。

圖3 θf=-60°時(shí)的仿真曲線

圖4 td=50 s,θf=±45°,±60°時(shí)的仿真曲線

表1 θf=-60°時(shí)不同攻擊時(shí)間的攻擊時(shí)間誤差和攻擊角度誤差

表2 td=50 s時(shí)不同攻擊角度的攻擊時(shí)間誤差和攻擊角度誤差

圖3為θf=-60°,td=45 s,55 s,60 s,65 s時(shí)的數(shù)值仿真曲線。表1為攻擊時(shí)間誤差和攻擊角度誤差。由仿真結(jié)果可知,導(dǎo)彈在本文制導(dǎo)律的作用下,均以所需攻擊時(shí)間和攻擊角度擊中目標(biāo)。圖3(a)給出了導(dǎo)彈和目標(biāo)的飛行軌跡。如圖所示,增大所需攻擊時(shí)間,會(huì)導(dǎo)致導(dǎo)彈彈道軌跡的曲率增加,導(dǎo)彈需要增加飛行距離以增大飛行時(shí)間。彈目距離隨時(shí)間的變化如圖3(b)所示。圖3(c)給出了導(dǎo)彈視線角的變化規(guī)律,由圖可知,擊中目標(biāo)時(shí)導(dǎo)彈的視線角符合所需攻擊角度的要求。導(dǎo)彈的速度變化曲線如圖3(d)所示。導(dǎo)彈速度均先增大后減小,不同的是,所需攻擊時(shí)間越大,速度達(dá)到最大值所需的時(shí)間越長。導(dǎo)致速度變化的切向加速度如圖3(e)所示,其變化規(guī)律符合導(dǎo)彈的速度變化規(guī)律,達(dá)到最大速度之前,攻擊時(shí)間越大,則導(dǎo)彈切向加速度越小。圖3(f)所示為導(dǎo)彈法向加速度曲線,由圖可知,導(dǎo)彈法向加速度均為超過最大加速度限制,且在擊中目標(biāo)時(shí)收斂為0。

圖4所示的為td=50 s,θf=±45°,±60°時(shí)的數(shù)值仿真曲線,表2為攻擊時(shí)間誤差和攻擊角度誤差。仿真結(jié)果表明,導(dǎo)彈均以所需條件擊中目標(biāo),驗(yàn)證了本文制導(dǎo)律的有效性。導(dǎo)彈切向加速度在所需攻擊角度θf為負(fù)時(shí)的變化幅度小于θf為正時(shí)的變化幅度。在切向加速度的作用下,當(dāng)θf為負(fù)時(shí),導(dǎo)彈速度先增大后減小;當(dāng)θf為正時(shí),導(dǎo)彈速度進(jìn)行了兩次先增后減。由于導(dǎo)彈初始前置角為正,故θf為正時(shí),導(dǎo)彈需要更大的機(jī)動(dòng)能力調(diào)整彈道以滿足所需攻擊時(shí)間和攻擊角度,由圖4(f)可知,θf=45°,60°時(shí)的控制能量大于θf=-45°,-60°時(shí)的控制能量,但法向加速度均在擊中目標(biāo)時(shí)收斂為0。

4 結(jié)束語

針對考慮導(dǎo)彈速度變化的攻擊時(shí)間和攻擊角度控制問題,本文將成型理論和非奇異終端滑模理論相結(jié)合,設(shè)計(jì)了一種能夠控制攻擊時(shí)間和攻擊角度的制導(dǎo)律,同時(shí)對導(dǎo)彈的速度進(jìn)行了控制。所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律無需估算剩余飛行時(shí)間,避免了估算產(chǎn)生的誤差,適用性更強(qiáng)。通過理論推導(dǎo),證明了該制導(dǎo)律滿足攻擊時(shí)間和攻擊角度控制的Lyapunov穩(wěn)定性條件。針對不同所需攻擊時(shí)間和攻擊角度進(jìn)行了數(shù)值仿真,結(jié)果表明,該制導(dǎo)律能夠較好地實(shí)現(xiàn)攻擊時(shí)間和攻擊角度控制。