張恒璟，陸帝，文漢江，程鵬飛，崔東東

(1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 測(cè)繪與地理科學(xué)學(xué)院，遼寧 阜新 123000；2.中國(guó)測(cè)繪科學(xué)研究院，北京 100036)

0 引言

對(duì)IGS站坐標(biāo)時(shí)間序列的分析表明，在水平方向上時(shí)間序列主要表現(xiàn)出線性運(yùn)動(dòng)的特征，在高程方向則存在著復(fù)雜的周期性運(yùn)動(dòng)和非線性運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)特征在不同的IGS站上有著不同的表現(xiàn)[1-2]。對(duì)于IGS站高程時(shí)間序列的非平穩(wěn)非線性信號(hào)，在使用周期擬合模型去除序列的非平穩(wěn)性時(shí)，難免會(huì)使序列的分析結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤。

在處理與分析非線性非平穩(wěn)的信號(hào)時(shí)，希爾伯特-黃變換[3]通過使用自適應(yīng)的方法避免了以往方法的缺點(diǎn)。經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法(empirical mode decomposition，EMD)分解，會(huì)因?yàn)椴糠中盘?hào)中斷而導(dǎo)致混疊模態(tài)分量問題[4-5]；整體經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法(ensemble empirical mode decomposition，EEMD)通過引入大量的白噪聲來協(xié)助分析時(shí)間序列，利用整體平均的思想很好地解決了混疊模態(tài)的問題[6-7]。然而，引入大量白噪聲協(xié)助分析，使得求整體均值的過程繁瑣，導(dǎo)致了計(jì)算困難和費(fèi)時(shí)的問題；同時(shí)，引入大量噪聲對(duì)原始序列存在一定的破壞，且引入的噪聲經(jīng)處理后會(huì)有殘留。本文引入互補(bǔ)集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法(complementary ensemble empirical mode decomposition，CEEMD)，該方法通過引入獨(dú)立分布的N對(duì)正、負(fù)輔助白噪聲[8]，減少EEMD方法在信號(hào)重構(gòu)時(shí)導(dǎo)致的噪聲殘留量，提高信號(hào)重構(gòu)的效果。

1 EEMD和CEEMD分解

1.1 EEMD分解

EEMD算法解決了EMD方法中的因信號(hào)中斷導(dǎo)致的混疊模態(tài)分量問題。EEMD分解算法是通過將高斯白噪聲均勻地添加到時(shí)間序列信號(hào)中去，在有限次添加白噪聲之后進(jìn)行EMD分解。參考文獻(xiàn)[6-7]的分解過程如下；

(1)

②假設(shè)高斯白噪聲的添加次數(shù)為M，對(duì)經(jīng)過M次噪聲添加并經(jīng)EMD分解過后的IMF分量進(jìn)行求整體均值，作為EEMD分解的IMF分量

(2)

③整體均值計(jì)算后得到各階IMF分量及剩余量，原信號(hào)即可寫為：

(3)

EEMD在進(jìn)行整體平均時(shí)，默認(rèn)每次經(jīng)噪聲添加再分解所得到的都是等幅度的IMF分量，但由于實(shí)際信號(hào)中存在著一定的間歇性高頻分量，導(dǎo)致混疊高頻分量信號(hào)，這樣得到的EEMD分解結(jié)果中存在著未消除的之前添加的白噪聲信號(hào)，噪聲在分解結(jié)果中殘留量較大，會(huì)降低序列信號(hào)的重構(gòu)效果[9]。

1.2 CEEMD分解

CEEMD的分解過程與EEMD相比，改進(jìn)之處在于在序列信號(hào)進(jìn)行EMD分解前，向待處理的序列信號(hào)中加入正負(fù)相對(duì)的白噪聲序列信號(hào)[10]。過程如下：

①在原始序列信號(hào)xt中添加n組幅值相同、相位角相差180°的白噪聲，得到新的2組信號(hào)，即

(4)

式中：xt為原始信號(hào)；xn為白噪聲；X1，X2為得到的新的信號(hào)。由此可得信號(hào)集合中的數(shù)量為2n組。

元代聲律學(xué)家周德清在《中原音韻》中，對(duì)宮調(diào)的聲情特色作出歸納，其中有“仙呂調(diào)清新綿邈，黃鐘宮富貴纏綿”，與姜夔“清空峭拔”詞風(fēng)相偕，本詞的宮調(diào)應(yīng)合仙呂調(diào)。不論是否入樂，“燕”作去聲時(shí)似乎更能將音韻延長(zhǎng)，以達(dá)“綿邈”，且“燕子”輕靈之感亦增清新面貌。姜夔頗曉音律，對(duì)平仄音節(jié)應(yīng)較為敏感?！把唷弊髌铰晻r(shí)，與“雁”字連讀，則似有不順，略為拗口。盡管“燕地”渺遠(yuǎn)，有似開拓意境之嫌，但既思之意境，何不用“幽雁”“北雁”呢？

②對(duì)新得到的信號(hào)X1和X2分別使用EMD方法進(jìn)行分解，將分解后得到的每組信號(hào)記為IMF1和IMF2。

③將CEEMD分解的最終結(jié)果記為Xi，Xi的值為每組IMF1和IMF2分量的均值，即：

(5)

CEEMD分解充分保留了EEMD的優(yōu)點(diǎn)，解決了混疊模態(tài)的現(xiàn)象，相對(duì)于EEMD算法，CEEMD方法節(jié)省了信號(hào)處理時(shí)間，并且隨著白噪聲添加的數(shù)量增加，最后重構(gòu)出的信號(hào)數(shù)據(jù)中噪聲的殘留量減小，最終的噪聲殘留量可以忽略不計(jì)，提高了信號(hào)重構(gòu)的效果。

2 信號(hào)分析結(jié)果評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

IGS站高程時(shí)間序列信號(hào)分析效果可從以下兩方面進(jìn)行考慮：

一是重構(gòu)后信號(hào)的信噪比(signal-to-noise ratio，SNR)，這里采用的信噪比計(jì)算方法為：

(6)

二是重構(gòu)信號(hào)的均方根誤差(root mean square error，RMSE)。利用降噪后的時(shí)間序列Xi和原始時(shí)間序列xt定義RMSE為：

(7)

RMSE表現(xiàn)出了重構(gòu)信號(hào)和原始信號(hào)的區(qū)別，RMSE值越小，則表明重構(gòu)后的信號(hào)質(zhì)量越好，精度越高。反之，RMSE值越大，重構(gòu)效果越不理想。

3 實(shí)驗(yàn)分析

本文實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采用BJFS站2000—2018年和SHAO站2000—2013年的高程時(shí)間序列作為原始信號(hào)，數(shù)據(jù)來源于SOPAC網(wǎng)站，利用3倍中誤差剔除數(shù)據(jù)中的粗差，同時(shí)剔除序列均值、同震與非地震跳變的影響。時(shí)間序列如圖1、圖2所示。

圖1 BJFS站高程時(shí)間序列

圖2 SHAO站高程時(shí)間序列

3.1 分界點(diǎn)n的判定

對(duì)得到的BJFS站和SHAO站的數(shù)據(jù)進(jìn)行CEEMD分解，得到時(shí)間序列的IMF分量圖，如圖3、圖4所示。

圖3 BJFS站分解的IMF分量

圖4 SHAO站分解的IMF分量

IGS站高程時(shí)間序列信號(hào)經(jīng)分解后為一系列從高頻到低頻排列的IMF分量[11]，為使重構(gòu)后的信號(hào)達(dá)到更好的效果，如何正確識(shí)別噪聲與信號(hào)的分界點(diǎn)是關(guān)鍵[12]。Wu和Huang等提出了一種使用平均周期與能量密度乘積來判定噪聲與信號(hào)分界點(diǎn)的方法，當(dāng)某一IM-F分量的平均周期與能量密度的乘積發(fā)生顯著變化時(shí)即為噪聲與信號(hào)的分界點(diǎn)n[13-15]，然后從該分界點(diǎn)的下一IMF分量進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)[16]。

定義IMF分量平均周期與能量密度乘積為：

(8)

表1 BJFS站部分IMF分量平均周期與能量密度乘積

表2 SHAO站IMF分量平均周期與能量密度乘積

BJFS站：IMF1～I(xiàn)MF4的CONST均值為0.046 9，IMF1～I(xiàn)MF4與其均值偏差不超過84%，而IMF5的CONST值為0.128 5，大約是IMF1～I(xiàn)MF5均值的2倍，故可認(rèn)為IMF1～I(xiàn)MF4為噪聲模態(tài)分量，分界點(diǎn)為5?？烧J(rèn)為IMF1～I(xiàn)MF4均為噪聲分量，其余為信號(hào)分量。

SHAO站：IMF1～I(xiàn)MF3的CONST均值為0.070 3，IMF1～I(xiàn)MF3與其均值偏差不超過44%，而IMF4的CONST值為0.227 2，其與IMF1～I(xiàn)MF4的均值0.109 5偏差2倍以上，故可認(rèn)為IMF1～I(xiàn)MF3為噪聲模態(tài)分量，分界點(diǎn)為4。舍棄噪聲分量IMF1～I(xiàn)MF3，對(duì)剩余的信號(hào)分量進(jìn)行重構(gòu)。

3.2 信號(hào)重構(gòu)分析

對(duì)經(jīng)過分界點(diǎn)n識(shí)別并去除噪聲分量的余下信號(hào)分量進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)效果如圖5和圖6所示。

圖5 BJFS站信號(hào)重構(gòu)圖

圖6 SHAO站信號(hào)重構(gòu)圖

根據(jù)信噪比和均方根誤差的重構(gòu)評(píng)價(jià)指標(biāo)如表3、表4所示。

表3 BJFS站信號(hào)重構(gòu)評(píng)價(jià)指標(biāo)

表4 SHAO站信號(hào)重構(gòu)評(píng)價(jià)指標(biāo)

分析表3、表4可見：

BJFS站：對(duì)使用CEEMD方法分解后的信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，其信噪比相比較于EEMD分解和EMD分解分別提高了17%和27%，均方根誤差指標(biāo)分別降低了41%、55%。

SHAO站：對(duì)使用CEEMD方法處理后的信號(hào)進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)的信噪比比EEMD、EMD分別提高了19%、32%，均方根誤差相比于EEMD、EMD分別降低了20%、37%。

4 結(jié)束語

采用CEEMD方法分解高程時(shí)間序列信號(hào)避免了EMD分解的混疊模態(tài)分量問題。相較于EEMD分解，CEEMD通過添加獨(dú)立同分布的、正負(fù)相對(duì)的互補(bǔ)白噪聲序列，提高了計(jì)算效率，減弱了EEMD由于添加大量白噪聲對(duì)原始序列的破壞并減少了噪聲的殘留量。

使用CEEMD方法對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行處理，并進(jìn)行噪聲的識(shí)別和舍去，對(duì)剩余的信號(hào)分量進(jìn)行重構(gòu)，其重構(gòu)效果相比較于EEMD、EMD方法在信噪比上有明顯的提高，在均方根誤差上有明顯的降低。可以看出，CEEMD分解和重構(gòu)效果優(yōu)于EEMD和EMD，為后續(xù)對(duì)CORS站高程時(shí)間序列的研究提供了思路。但對(duì)于序列含有色噪聲影響的問題還需作進(jìn)一步的研究。