劉 康

(天津大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，天津 300350)

0 引 言

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，張量(超矩陣)作為矩陣的高階推廣，在化學(xué)、醫(yī)學(xué)與神經(jīng)科學(xué)、社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析、高光譜圖像以及人臉識(shí)別等方面都有著廣泛應(yīng)用．張量互補(bǔ)問(wèn)題(TCP)作為互補(bǔ)問(wèn)題的一個(gè)特定子類(lèi)，也引起了廣泛關(guān)注和研究．

有許多文獻(xiàn)對(duì)TCP解集的理論性質(zhì)展開(kāi)研究，包括解的存在性[1-6]、解的全局唯一性[3,7]、解集的有界性[8]和稀疏解的存在性[2]等．Huang和Qi在文獻(xiàn)[9]中給出了張量互補(bǔ)問(wèn)題的一個(gè)重要應(yīng)用，為T(mén)CP的進(jìn)一步研究提供了動(dòng)力．

在TCP的研究中，結(jié)構(gòu)張量扮演了重要的角色．很多結(jié)構(gòu)張量已經(jīng)被引入和研究，其中，具有廣泛應(yīng)用的Copositive張量得到了很多研究[10-14]，文獻(xiàn)[14]中給出了Copositive張量在物理和超圖領(lǐng)域的應(yīng)用．特別地，在文獻(xiàn)[15]中，作者對(duì)Copositive張量的理論、方法及其應(yīng)用進(jìn)行了綜述．

在以往關(guān)于結(jié)構(gòu)張量的研究中，大多數(shù)都是將結(jié)構(gòu)矩陣的概念、相關(guān)的理論與方法延伸到張量情況．由于張量遠(yuǎn)比矩陣復(fù)雜，有很多矩陣相關(guān)的理論不能延伸到張量情況．在本文中，CopositivePlus矩陣的概念被延伸到高階張量，即引入了CopositivePlus張量的概念，然后討論了CopositivePlus張量的性質(zhì)，以及對(duì)應(yīng)張量互補(bǔ)問(wèn)題解集的性質(zhì)．

1 預(yù)備知識(shí)

一個(gè)m階n維張量A=(ai1…im)可以看作是元素ai1…im的多重線性排列，其中ij∈{1,2,…,n}，j∈{1,2,…,m}．如果張量的元素都為實(shí)數(shù)，則稱(chēng)該張量為實(shí)張量；所有m階n維實(shí)張量的集合記作R[m,n]．如果任意置換元素ai1…im的下標(biāo)i1,…,im，其值保持不變，則張量A=(ai1…im)稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)張量；如果任意置換元素ai1…im的下標(biāo)i2,…,im，其值保持不變，則張量A=(ai1…im)稱(chēng)為偏對(duì)稱(chēng)張量．

Qi在文獻(xiàn)[16]中提出了對(duì)稱(chēng)張量特征值的概念，并討論了相關(guān)的性質(zhì)．從此，掀起了張量譜理論的研究熱潮．之后，結(jié)構(gòu)張量、張量互補(bǔ)問(wèn)題相繼引起人們的關(guān)注和研究．

對(duì)于任意的張量A∈R[m,n]和任意的x∈Rn，Axm-1∈Rn被定義如下：

?i∈{1,2,…,n}．

對(duì)于給定的映射F:Rn→Rn，且q∈Rn，經(jīng)典互補(bǔ)問(wèn)題是找到一個(gè)x∈Rn使得

x≥0,F(x)+q≥0,xT(F(x)+q)=0.

(1)

本文主要考慮問(wèn)題(1)在F(x)=Axm-1,A∈R[m,n]的情形．此時(shí)問(wèn)題(1)具體化為

x≥0,Axm-1+q≥0,xT(Axm-1+q)=0，

這被稱(chēng)為張量互補(bǔ)問(wèn)題，簡(jiǎn)寫(xiě)為T(mén)CP(A,q)，記TCP(A,q)的解集為SOL(A,q)．

定義1.1[1]稱(chēng)張量A∈R[m,n]是Q張量，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于所有q∈Rn，張量互補(bǔ)問(wèn)題TCP(A,q)有解．

在上式中，如果取t=0，稱(chēng)張量A是R0張量．

2 主要結(jié)論

2.1 CopositivePlus張量的性質(zhì)

定義2.1.1[17]矩陣M稱(chēng)為CopositivePlus的，如果下列條件成立：

(1)x≥0,有xTMx≥0；

(2)x≥0，xTMx=0，有(M+MT)x=0．

引理2.1.1[17]如果一個(gè)對(duì)稱(chēng)Q矩陣是CopositivePlus的，那么它一定是嚴(yán)格Copositive矩陣．

引理2.1.2[17]如果一個(gè)矩陣M是CopositivePlus的，那么下列命題等價(jià)：

(A)M∈Q;(B)M∈R;(C)M∈R0．

由定義2.1.1引入CopositivePlus張量的概念．

定義2.1.2假設(shè)A∈R[m,n]是一個(gè)偏對(duì)稱(chēng)張量，則A是CopositivePlus張量當(dāng)且僅當(dāng)下列條件成立：

由定義2.1.2、引理2.1.1和引理2.1.2有如下定理：

定理2.1.1假設(shè)A∈R[m,n]是一個(gè)Q張量，如果A是CopositivePlus的，并且TCP(A,0)有非零解，則A不是嚴(yán)格Copositive張量．

定理2.1.2假設(shè)A∈R[m,n]是一個(gè)Q張量，并且是CopositivePlus的，如果m≥3，那么A不一定是R張量．

證明：設(shè)張量A=(ai1i2i3)∈R2×2×2為一個(gè)3階2維張量，其元素為a111=a211=a122=a222=1，a121=a112=a221=a212=-1．

Ax3=(x1+x2) (x1-x2)2．

由定義2.1.2，知A是CopositivePlus的．首先證明A是Q張量．

假設(shè)a,b為任意非負(fù)實(shí)數(shù)，就以下幾種情形展開(kāi)證明．

(1)令q=(a2,b2)T，取x=(0,0)T，顯然為T(mén)CP(A,q)的解．

(2)令q=(a2,-b2)T，取x=(0,b)T，滿(mǎn)足

(3)令q=(-a2,b2)T，取x=(a,0)T，滿(mǎn)足

綜上，A是Q張量，且A是CopositivePlus的．

另一方面，由q的任意性，取q=(0,0)T，容易驗(yàn)證x*=(1,1)T為解之一，于是有(Ax2)i=0,xi≥0,i=1,2，即x=(1,1)T，t=0為方程組

的解．由定義1.4，可知A不是R張量．

定理2.1.3假設(shè)A∈R[m,n]是一個(gè)Q張量，且是CopositivePlus的，如果m≥3，那么A不一定是R0張量．

證明：同定理2.1.2，取A=(ai1i2i3)∈R2×2×2為一個(gè)元素為a111=a211=a122=a222=1，a121=a112=a221=a212=-1的三階張量．由定理2.1.2，知A是Q張量且是CopositivePlus的．

由q的任意性，取q=(0,0)T，容易驗(yàn)證x*=(2，2)T也為解之一，可知x=(2,2)T為方程組

的一個(gè)解．根據(jù)定義1.4，可知A不是R0張量．

2.2 CopositivePlus張量互補(bǔ)問(wèn)題

基于CopositivePlus矩陣的線性互補(bǔ)問(wèn)題，Danao[18]證明了其解集的非空有界性，而對(duì)于CopositivePlus張量，其相應(yīng)的張量互補(bǔ)問(wèn)題未必有界．

首先，本研究將Danao[18]的結(jié)論列舉如下．

引理2.2.1[18]如果一個(gè)Q矩陣是CopositivePlus的，那么它對(duì)應(yīng)的互補(bǔ)問(wèn)題的解集一定非空有界．

由引理2.2.1，關(guān)于張量互補(bǔ)問(wèn)題，有如下定理：

定理2.2.1假設(shè)A∈R[m,n]是一個(gè)Q張量，并且是CopositivePlus的，如果m≥3，那么其解集SOL(A,q)不一定有界．

證明：舉一個(gè)解集無(wú)界的例子進(jìn)行反證．

設(shè)張量A=(ai1i2i3)∈R2×2×2為一個(gè)3階2維張量，其元素為a111=a211=a122=a222=1，a121=a112=a221=a212=-1．故有

由定理2.1.2的證明，知A是Q張量且是CopositivePlus的．

另一方面，由q的任意性可知，取q=(0,0)T，此時(shí)，對(duì)任意滿(mǎn)足(t,t)T，t≥0的向量均為張量互補(bǔ)問(wèn)題的解，故SOL(A,q)無(wú)界，結(jié)論得證．

根據(jù)定理2.2.1，如果A是Q張量且是CopositivePlus的，那么在什么條件下，一定能保證SOL(A,q)非空有界呢？

不妨假設(shè)A的每一個(gè)元素都為嚴(yán)格正，下面證明此時(shí)SOL(A,q)非空有界．

定理2.2.2假設(shè)A∈R[m,n]是Q張量，并且是CopositivePlus的，如果其元素嚴(yán)格正，則其解集SOL(A,q)有界．

證明：利用反證法證明該結(jié)論的正確性．

首先假設(shè)SOL(A,q)無(wú)界． 即存在一個(gè)非負(fù)向量列{xi},i=1,2,…，xi≠0，‖xi‖→∞使得

3 總 結(jié)

本文給出了CopositivePlus張量的定義，并對(duì)這類(lèi)新定義的結(jié)構(gòu)張量的性質(zhì)進(jìn)行了研究．對(duì)于張量互補(bǔ)問(wèn)題解集的研究方面，本文也證明了CopositivePlus張量在為Q張量且每一個(gè)元素都為嚴(yán)格正時(shí)，它對(duì)應(yīng)的張量互補(bǔ)問(wèn)題的解集是有界的．當(dāng)然，CopositivePlus張量作為CopositivePlus矩陣在高階張量的自然推廣，作為Copositive張量的一個(gè)子類(lèi)，具有很好的理論性質(zhì)，理論上還有很多相應(yīng)的結(jié)論值得延伸和探索．