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        關于CopositivePlus張量及其互補問題的研究

        2020-01-09 03:20:30
        關鍵詞:張量定理證明

        劉 康

        (天津大學數學學院,天津 300350)

        0 引 言

        隨著現代科學技術的發(fā)展,張量(超矩陣)作為矩陣的高階推廣,在化學、醫(yī)學與神經科學、社會網絡分析、高光譜圖像以及人臉識別等方面都有著廣泛應用.張量互補問題(TCP)作為互補問題的一個特定子類,也引起了廣泛關注和研究.

        有許多文獻對TCP解集的理論性質展開研究,包括解的存在性[1-6]、解的全局唯一性[3,7]、解集的有界性[8]和稀疏解的存在性[2]等.Huang和Qi在文獻[9]中給出了張量互補問題的一個重要應用,為TCP的進一步研究提供了動力.

        在TCP的研究中,結構張量扮演了重要的角色.很多結構張量已經被引入和研究,其中,具有廣泛應用的Copositive張量得到了很多研究[10-14],文獻[14]中給出了Copositive張量在物理和超圖領域的應用.特別地,在文獻[15]中,作者對Copositive張量的理論、方法及其應用進行了綜述.

        在以往關于結構張量的研究中,大多數都是將結構矩陣的概念、相關的理論與方法延伸到張量情況.由于張量遠比矩陣復雜,有很多矩陣相關的理論不能延伸到張量情況.在本文中,CopositivePlus矩陣的概念被延伸到高階張量,即引入了CopositivePlus張量的概念,然后討論了CopositivePlus張量的性質,以及對應張量互補問題解集的性質.

        1 預備知識

        一個m階n維張量A=(ai1…im)可以看作是元素ai1…im的多重線性排列,其中ij∈{1,2,…,n},j∈{1,2,…,m}.如果張量的元素都為實數,則稱該張量為實張量;所有m階n維實張量的集合記作R[m,n].如果任意置換元素ai1…im的下標i1,…,im,其值保持不變,則張量A=(ai1…im)稱為對稱張量;如果任意置換元素ai1…im的下標i2,…,im,其值保持不變,則張量A=(ai1…im)稱為偏對稱張量.

        Qi在文獻[16]中提出了對稱張量特征值的概念,并討論了相關的性質.從此,掀起了張量譜理論的研究熱潮.之后,結構張量、張量互補問題相繼引起人們的關注和研究.

        對于任意的張量A∈R[m,n]和任意的x∈Rn,Axm-1∈Rn被定義如下:

        ?i∈{1,2,…,n}.

        對于給定的映射F:Rn→Rn,且q∈Rn,經典互補問題是找到一個x∈Rn使得

        x≥0,F(x)+q≥0,xT(F(x)+q)=0.

        (1)

        本文主要考慮問題(1)在F(x)=Axm-1,A∈R[m,n]的情形.此時問題(1)具體化為

        x≥0,Axm-1+q≥0,xT(Axm-1+q)=0,

        這被稱為張量互補問題,簡寫為TCP(A,q),記TCP(A,q)的解集為SOL(A,q).

        定義1.1[1]稱張量A∈R[m,n]是Q張量,當且僅當對于所有q∈Rn,張量互補問題TCP(A,q)有解.

        在上式中,如果取t=0,稱張量A是R0張量.

        2 主要結論

        2.1 CopositivePlus張量的性質

        定義2.1.1[17]矩陣M稱為CopositivePlus的,如果下列條件成立:

        (1)x≥0,有xTMx≥0;

        (2)x≥0,xTMx=0,有(M+MT)x=0.

        引理2.1.1[17]如果一個對稱Q矩陣是CopositivePlus的,那么它一定是嚴格Copositive矩陣.

        引理2.1.2[17]如果一個矩陣M是CopositivePlus的,那么下列命題等價:

        (A)M∈Q;(B)M∈R;(C)M∈R0.

        由定義2.1.1引入CopositivePlus張量的概念.

        定義2.1.2假設A∈R[m,n]是一個偏對稱張量,則A是CopositivePlus張量當且僅當下列條件成立:

        由定義2.1.2、引理2.1.1和引理2.1.2有如下定理:

        定理2.1.1假設A∈R[m,n]是一個Q張量,如果A是CopositivePlus的,并且TCP(A,0)有非零解,則A不是嚴格Copositive張量.

        定理2.1.2假設A∈R[m,n]是一個Q張量,并且是CopositivePlus的,如果m≥3,那么A不一定是R張量.

        證明:設張量A=(ai1i2i3)∈R2×2×2為一個3階2維張量,其元素為a111=a211=a122=a222=1,a121=a112=a221=a212=-1.

        Ax3=(x1+x2) (x1-x2)2.

        由定義2.1.2,知A是CopositivePlus的.首先證明A是Q張量.

        假設a,b為任意非負實數,就以下幾種情形展開證明.

        (1)令q=(a2,b2)T,取x=(0,0)T,顯然為TCP(A,q)的解.

        (2)令q=(a2,-b2)T,取x=(0,b)T,滿足

        (3)令q=(-a2,b2)T,取x=(a,0)T,滿足

        綜上,A是Q張量,且A是CopositivePlus的.

        另一方面,由q的任意性,取q=(0,0)T,容易驗證x*=(1,1)T為解之一,于是有(Ax2)i=0,xi≥0,i=1,2,即x=(1,1)T,t=0為方程組

        的解.由定義1.4,可知A不是R張量.

        定理2.1.3假設A∈R[m,n]是一個Q張量,且是CopositivePlus的,如果m≥3,那么A不一定是R0張量.

        證明:同定理2.1.2,取A=(ai1i2i3)∈R2×2×2為一個元素為a111=a211=a122=a222=1,a121=a112=a221=a212=-1的三階張量.由定理2.1.2,知A是Q張量且是CopositivePlus的.

        由q的任意性,取q=(0,0)T,容易驗證x*=(2,2)T也為解之一,可知x=(2,2)T為方程組

        的一個解.根據定義1.4,可知A不是R0張量.

        2.2 CopositivePlus張量互補問題

        基于CopositivePlus矩陣的線性互補問題,Danao[18]證明了其解集的非空有界性,而對于CopositivePlus張量,其相應的張量互補問題未必有界.

        首先,本研究將Danao[18]的結論列舉如下.

        引理2.2.1[18]如果一個Q矩陣是CopositivePlus的,那么它對應的互補問題的解集一定非空有界.

        由引理2.2.1,關于張量互補問題,有如下定理:

        定理2.2.1假設A∈R[m,n]是一個Q張量,并且是CopositivePlus的,如果m≥3,那么其解集SOL(A,q)不一定有界.

        證明:舉一個解集無界的例子進行反證.

        設張量A=(ai1i2i3)∈R2×2×2為一個3階2維張量,其元素為a111=a211=a122=a222=1,a121=a112=a221=a212=-1.故有

        由定理2.1.2的證明,知A是Q張量且是CopositivePlus的.

        另一方面,由q的任意性可知,取q=(0,0)T,此時,對任意滿足(t,t)T,t≥0的向量均為張量互補問題的解,故SOL(A,q)無界,結論得證.

        根據定理2.2.1,如果A是Q張量且是CopositivePlus的,那么在什么條件下,一定能保證SOL(A,q)非空有界呢?

        不妨假設A的每一個元素都為嚴格正,下面證明此時SOL(A,q)非空有界.

        定理2.2.2假設A∈R[m,n]是Q張量,并且是CopositivePlus的,如果其元素嚴格正,則其解集SOL(A,q)有界.

        證明:利用反證法證明該結論的正確性.

        首先假設SOL(A,q)無界. 即存在一個非負向量列{xi},i=1,2,…,xi≠0,‖xi‖→∞使得

        3 總 結

        本文給出了CopositivePlus張量的定義,并對這類新定義的結構張量的性質進行了研究.對于張量互補問題解集的研究方面,本文也證明了CopositivePlus張量在為Q張量且每一個元素都為嚴格正時,它對應的張量互補問題的解集是有界的.當然,CopositivePlus張量作為CopositivePlus矩陣在高階張量的自然推廣,作為Copositive張量的一個子類,具有很好的理論性質,理論上還有很多相應的結論值得延伸和探索.

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