王 麗

(曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 曲阜 273165)

0 引 言

本文研究下述分數(shù)階微分方程邊值問題

(0.1)

解的存在唯一性.其中

是α階Caputo型分數(shù)階導(dǎo)數(shù),φp(s)=|s|p-2s,p>1,f:(0,1)×[0,+)×(0,+)→[0,+),f(t,x,y)在y=0和t=0,1可以是奇異的.眾所周知,φp是可逆的,它的逆算子是φq,其中常數(shù)q>1滿足

近年來,分數(shù)階微分方程在數(shù)學(xué)及其應(yīng)用中都引起了廣泛的關(guān)注,特別是應(yīng)用于工程和科學(xué)研究的許多領(lǐng)域,如物理、化學(xué)、電力科學(xué)和生物學(xué)等,詳情參見文獻[1-7].帶有p-Laplacian算子的分數(shù)階微分方程的理論背景和應(yīng)用,詳情參見文獻[8-10].此外,在該類分數(shù)階微分方程中,其邊值條件是積分形式的情況也引起了許多的關(guān)注,詳情參見文獻[11-14].

文獻[10]研究了下列帶有p-Laplacian算子的分數(shù)階微分方程邊值問題.

解的存在唯一性.其中

文獻[14]研究了如下帶有積分邊值條件的非線性分數(shù)階微分方程

正解的存在性.其中2<α<3,0<λ<2,f:[0,1]×[0,+)→[0,+)是連續(xù)函數(shù).運用Guo-Krasnoselskii不動點定理證明了正解的存在性.

受以上文獻的啟發(fā),研究問題(0.1)解的存在性和唯一性,其證明的主要方法是運用混合單調(diào)算子的不動點定理.不同于以上其他文章,本文中的非線性項f包含了可奇異的點.

1 預(yù)備知識

下面介紹分數(shù)階微積分理論的相關(guān)定義和引理,其詳情參見文獻[1-3].

定義1.1函數(shù)u:[0,+)→R的α>0階Riemann-Liouville型分數(shù)階積分為

上式右端在R+內(nèi)是諸點定義的.其中Γ(α)是歐拉Gamma函數(shù),定義如下

定義1.2函數(shù)u:[0,+)→R的α>0階Caputo型分數(shù)階導(dǎo)數(shù)為

其中n=[α]+1.

引理1.1[1]設(shè)α>0,則分數(shù)階微分方程

cDαu(t)=0

有唯一解,其表達式為

引理1.3[1]若α>0,n=[α]+1及u∈ACn[0,1],則

定義1.3[3]定義算子A:P×P→P,若A(x,y)關(guān)于x遞增且關(guān)于y遞減,即當ui,vi(i=1,2)∈P,u1≤u2,v1≥v2時,有

A(u1,v1)≤A(u2,v2),

則稱A為混合單調(diào)算子.若A(x,x)=x.則稱元素x為A的一個不動點.

引理1.4[3]設(shè)Ph?P,若A:Ph×Ph→Ph是混合單調(diào)算子,并且滿足下列條件: 對于任意的u,v∈Ph和t∈(0,1),存在φ(t)∈(t,1),有

A(tu,t-1v)≥φ(t)A(u,v),

則算子方程A(x,x)=x有唯一正解x*∈Ph.同時,對于任意的初值x0,y0∈Ph,序列

xn=A(xn-1,yn-1),yn=A(yn-1,xn-1),n=1,2,…,

當n→時,有

2 主要結(jié)果

引理2.1設(shè)y∈C[0,1]∩L[0,1],2<α≤3,0<λ<2.則下列邊值問題

(2.1)

有唯一解

(2.2)

其中

(2.3)

證明對(2.1)的第一個方程在[0,t]上積分,得

對上式兩邊作用φq,得

根據(jù)引理1.3,對上式兩邊求α階積分,有

C0+C1t+C2t2.

(2.4)

再把u(0)=u″(0)=0帶入(2.4),得C0=C2=0,因此

(2.5)

對(2.5)在[0,1]上積分,即

(2.6)

(2.7)

把(2.7)帶入(2.5),可以得到邊值問題(2.1)的唯一解是

(2.8)

其中G(t,s)是(2.3)所示的格林函數(shù).證畢.

注1引理2.1中的邊值問題與文獻[14]中的邊值問題方程不同,但是部分邊值條件相同,使得所求的格林函數(shù)相同.所以本文中的格林函數(shù)與文獻[14]中的格林函數(shù)具有相同的性質(zhì).

引理2.2[14]由(2.3)定義的格林函數(shù)G(t,s)滿足下列性質(zhì):

(1)對于任意的s∈(0,1),λ∈(0,2),有G(1,s)>0;

(2)對于任意的t,s∈(0,1),λ∈(0,2),有G(t,s)>0;

(3)對于任意的t,s∈(0,1),λ∈(0,2),有J(s)t≤G(t,s)≤K(s)t,

其中

J(s)=G(1,s),

設(shè)Banach空間E=C[0,1],E中的范數(shù)是

定義E中的錐P為

P={u∈E:u(t)≥0,對任意的t∈[0,1]},

并定義

(2.9)

其中h(t)=t,t∈(0,1).

在空間E中有錐P導(dǎo)出的如下偏序關(guān)系

x,y∈E,x≤y?x(t)≤y(t),對任意的t∈[0,1].

給出下列假設(shè):

(H1)對任意的t∈(0,1),f(t,x,y)關(guān)于x遞增且關(guān)于y遞減;

(H2)對任意的x∈[0,+),y∈(0,+),t∈(0,1),存在γ∈(0,p-1),當0

f(t,rx,r-1y)≥rγf(t,x,y);

(H3)對任意的t∈(0,1),有f(t,0,1)?0并且

注2由(H2)可以推出,當r≥1時,有f(t,rx,r-1y)≤rγf(t,x,y);由(H1)知f(t,0,1)

定理2.1設(shè)(H1)—(H3)成立,則問題(0.1)有唯一正解u*∈Ph.對于任意的初值u0,v0∈Ph,序列

n=0,1,2,…,

當n→時,

證明考慮下列積分方程

(u∈Ph)

正解的存在性,其中G(t,s)是(2.3)所示的格林函數(shù). 為此,定義算子A:Ph×Ph→P,其表達式為

首先,證明算子A:Ph×Ph→P是良定義的.對于任意的u∈Ph,v∈Ph,由引理2.2和條件(H1)—(H3),有

h(τ))dτ)ds

(2.10)

那么,算子A:Ph×Ph→P是良定義的.

其次,證明算子A:Ph×Ph→Ph.對于任意的u∈Ph,v∈Ph,取

由(2.10)有

≤Qu,vt=Qu,vh(t);

由條件(H2)和引理2.2,得

A(u,v)(t)

所以,有

從而得到算子A:Ph×Ph→Ph.

另一方面,驗證算子A滿足引理1.4的所有條件.

首先,證明A是混合單調(diào)算子.事實上,對于任意的ui,vi∈Ph,i=1,2,設(shè)u1≥u2,v1≤v2.由條件(H1)和φq的單調(diào)遞增性,有

=A(u2,v2)(t).

因此,A是混合單調(diào)算子.

對于任意的u,v∈Ph,r∈(0,1),由條件(H2),可以得到

A(ru,r-1v)(t)

=(rγ)q-1A(u,v)(t),

設(shè)φ(t)=(tγ)q-1,t∈(0,1),由0<γ(q-1)<1,可知對任意的t∈(0,1),都有φ(t)∈(t,1).所以,

A(tu,t-1v)(t)≥φ(t)A(u,v)(t).

從而滿足引理1.4的所有條件,那么,存在u*∈Ph,使得A(u*,u*)=u*.同時,對于任意的初值u0,v0∈Ph,序列

un+1=A(un,vn),vn+1=A(vn,un),n=0,1,2,…,

當n→時,

更確切地,當n→時,有

3 例 子

考慮下列例題

(3.1)

通過簡單的計算得q=3.

可以驗證,f(t,x,y)滿足條件(H1).

那么,條件(H2)滿足.

f(t,rx,r-1y)

因此,它滿足定理2.1的所有條件.那么,問題(3.1)有唯一的正解u*∈Ph,其中h(t)=t,t∈(0,1).并且,對于任意的初值u0,v0∈Ph,序列

其中G(t,s)是(2.3)定義的格林函數(shù),當n→時,