黃 嬋, 王 偉*, 溫利民

基于投資衍生產(chǎn)品的繳費型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資策略

黃 嬋1, 王 偉1*, 溫利民2

（1.寧波大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 浙江 寧波 315211; 2.江西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 江西 南昌 330022）

研究確定繳費(DC)型養(yǎng)老金可投資衍生產(chǎn)品時的最優(yōu)投資問題. 假設(shè)在金融市場中有3種可投資產(chǎn)品, 包含1種無風(fēng)險資產(chǎn)、1種股票和1種金融衍生產(chǎn)品. 假定養(yǎng)老金管理者以最大化養(yǎng)老金的期末財富效用為目標(biāo), 運用動態(tài)隨機(jī)規(guī)劃原理, 分別得到了指數(shù)效用和冪效用2種情況下DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資策略的顯式解, 給出了風(fēng)險敞口的數(shù)值結(jié)果, 并分析了模型參數(shù)對風(fēng)險敞口的影響.

繳費型養(yǎng)老金; 動態(tài)規(guī)劃原理; 最優(yōu)投資; 衍生產(chǎn)品

由于養(yǎng)老金數(shù)額巨大, 養(yǎng)老金投資回報的好壞在很大程度上決定著投保人退休時的養(yǎng)老金水平, 所以關(guān)于養(yǎng)老金的資產(chǎn)配置是政府和養(yǎng)老金管理機(jī)構(gòu)非常重視的問題. 1952年, Markowitz[1]發(fā)表的“投資組合選擇”文章, 標(biāo)志了現(xiàn)代投資組合理論的創(chuàng)立. 在繳費(Defined Contribution, DC)型養(yǎng)老金最優(yōu)投資方面, Gao[2]以最大化終值財富的冪效用和指數(shù)效用為目標(biāo), 利用隨機(jī)控制理論得到DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資策略的解析解. 由于養(yǎng)老金屬于長期投資, Zhang等[3]進(jìn)一步考慮了通貨膨脹風(fēng)險下養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問題. 在國內(nèi), 殷俊等[4]考慮了隨機(jī)利率和通貨膨脹風(fēng)險下養(yǎng)老金的投資組合, 并給出常相對風(fēng)險規(guī)避型(Coefficient of Relative Risk Aversion, CRRA)效用函數(shù)下的最優(yōu)投資策略. 考慮到長壽風(fēng)險對養(yǎng)老金的重要影響, 王力平等[5]假定了死亡率服從指數(shù)分布, 以最大化養(yǎng)老金的期末財富效用為目標(biāo), 得到最優(yōu)投資策略, 并發(fā)現(xiàn)死亡率直接影響發(fā)放階段的最優(yōu)投資比例. 何林等[6]給出了積累期最優(yōu)投資策略的顯式解, 并分析了積累期繳費率、目標(biāo)替代率、人口老齡化程度等對養(yǎng)老金投資中風(fēng)險資產(chǎn)配置比例的影響. 岳公正等[7]以股票、基金、國債和1年期銀行存款為研究對象, 分析了這4種投資工具的風(fēng)險、收益及其投資組合, 發(fā)現(xiàn)與股市投資相比, 基金投資更有利于分散投資風(fēng)險. 此外,有實證研究表明[8], 風(fēng)險資產(chǎn)價格的波動并不是一個常數(shù). 因此, 王遠(yuǎn)野等[9]進(jìn)一步考慮了波動率風(fēng)險, 并假定DC型養(yǎng)老金具有保費返還條款, 研究了均值方差準(zhǔn)則下的最優(yōu)投資問題.

目前, 有關(guān)考慮DC型養(yǎng)老金可以用來投資金融市場中衍生產(chǎn)品的研究報道較為鮮見. Zeng等[10]假定養(yǎng)老金管理者不但可以投資金融市場中的股票, 還可以投資衍生產(chǎn)品, 得到了CRRA效用下DC型養(yǎng)老金的穩(wěn)健最優(yōu)投資策略. 與文獻(xiàn)[10]相比, 本研究考慮了指數(shù)效用和冪效用情況下DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問題, 設(shè)置冪效用的風(fēng)險厭惡系數(shù)為0與1之間的常數(shù). 利用隨機(jī)控制理論和分離變量法得到了指數(shù)效用和冪效用情況下的最優(yōu)投資策略的顯式解, 并通過數(shù)值結(jié)果對最優(yōu)投資策略進(jìn)行了敏感性分析.

1 金融市場模型

股票的動態(tài)價格過程滿足如下隨機(jī)微分方程:

2 財富動態(tài)過程

結(jié)合式(1)(2)和(5)可得:

其中:

定義上述問題的值函數(shù)為:

其中:

3 最優(yōu)投資策略

3.1 指數(shù)效用函數(shù)

對于養(yǎng)老基金管理者, 其目標(biāo)是使得終端財富的期望效用達(dá)到最大, 即

且滿足邊界條件:

定理1 在指數(shù)效用函數(shù)下, 最優(yōu)風(fēng)險敞口為:

最優(yōu)值函數(shù)為:

(18)

最優(yōu)投資策略為:

證明 首先猜測方程(14)解的形式為:

將方程(21)~(25)代入HJB方程(14)中, 可得:

3.2 冪效用函數(shù)

將式(31)~(36)代入方程(14), 則方程(14)可寫為:

注意

于是有:

則方程(37)滿足如下2個方程:

因此, 很容易得到方程(38)的解滿足:

電極或者儀表的基本設(shè)定參數(shù)包括： 溫度補(bǔ)償曲線、電導(dǎo)電池常數(shù)，溫度偏置等；校準(zhǔn)歷史包括： 儀表零點校準(zhǔn)、斜率校準(zhǔn)、驗證測量、離線手工取樣等操作的執(zhí)行時間、記錄結(jié)果等。

其中:

根據(jù)Girsanov定理, 可得:

通過Feynman-Kac公式, 方程(42)的解滿足:

其中:

此外, 令

其中:

證明 令

則需要滿足以下2個方程:

再定義方程(52)的判別式為:

則

定理2 最優(yōu)值函數(shù)滿足:

4 數(shù)值算例

圖1 指數(shù)效用下利率和風(fēng)險厭惡系數(shù)對風(fēng)險敞口的影響

圖2 冪效用下利率和風(fēng)險厭惡系數(shù)對風(fēng)險敞口的影響

圖3 指數(shù)和冪效用下繳費率對風(fēng)險敞口的影響

5 結(jié)語

本文主要研究了冪效用和指數(shù)效用2種情形下確定繳費型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問題, 得到了最優(yōu)投資策略和最優(yōu)風(fēng)險敞口的顯示解. 研究結(jié)果表明: 無論是冪效用還是指數(shù)效用, 隨著市場利率和風(fēng)險厭惡系數(shù)的增加, 市場風(fēng)險敞口和波動率風(fēng)險敞口的絕對值都是減少的; 而隨著養(yǎng)老金繳費率的增加, 市場風(fēng)險敞口和波動率風(fēng)險敞口的絕對值是增加的. 在后續(xù)工作中, 我們將進(jìn)一步研究含通貨膨脹風(fēng)險和衍生產(chǎn)品情形下確定繳費型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問題. 此外, 本文中假定利率是常數(shù), 后續(xù)將進(jìn)一步研究當(dāng)利率滿足隨機(jī)利率的情況.

[1] Markowitz H. Portfolio selection[J]. The Journal of Finance, 1952, 7(1):77-91.

[2] Gao J W. Optimal portfolios for DC pension plans under a CEV model[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2009, 44(3):479-490.

[3] Zhang A H, Ewald C O. Optimal investment for a pension fund under inflation risk[J]. Mathematical Methods of Operations Research, 2010, 71(2):353-369.

[4] 殷俊, 李媛媛. 基于隨機(jī)利率和通貨膨脹的繳費確定型養(yǎng)老金計劃最優(yōu)資產(chǎn)配置策略[J]. 當(dāng)代經(jīng)濟(jì)科學(xué), 2013, 35(2):11-20; 124.

[5] 王力平, 張元萍. 考慮死亡率的DC型養(yǎng)老金資產(chǎn)配置研究的統(tǒng)一框架[J]. 保險研究, 2014(4):121-127.

[6] 何林, 梁宗霞. DC型養(yǎng)老金積累期最優(yōu)資產(chǎn)配置問題研究[J]. 保險研究, 2016(6):102-111.

[7] 岳公正, 王俊停. 我國社會養(yǎng)老保險基金組合投資風(fēng)險比較分析[J]. 統(tǒng)計與決策, 2018(8):156-159.

[8] Heston S L. A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options[J]. The Review of Financial Studies, 1993, 6(2):327-343.

[9] 王遠(yuǎn)野, 樊順厚, 常浩. 通脹風(fēng)險與波動風(fēng)險環(huán)境下帶有保費返還條款的DC型養(yǎng)老金計劃[J]. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué), 2018, 38(4):423-437.

[10] Zeng Y, Li D P, Chen Z, et al. Ambiguity aversion and optimal derivative-based pension investment with stochastic income and volatility[J]. Journal of Economic Dynamics and Control, 2018, 88:70-103.

[11] Liu J, Pan J. Dynamic derivative strategies[J]. Journal of Financial Economics, 2003, 69(3):401-430.

Optimal investment strategies for defined contribution pension with a financial derivative

HUANG Chan1, WANG Wei1*, WEN Limin2

( 1.School of Mathematics and Statistics, Ningbo University, Ningbo 315211, China; 2.School of Mathematics and Information Science, Jiangxi Normal University, Nanchang 330022, China )

The optimal investment problem for DC pension with a financial derivative is studied. We assume that there are three assets in a financial market, including a risk-free asset, a stock and a financial derivative. Assuming that the pension manager aims to maximize the expected utility of the terminal wealth, we use the dynamic stochastic programming principle to obtain the closed-form solutions of the optimal strategies of DC pension fund in both the exponential utility and the power utility. The numerical results of risk exposure and the effect of model parameters on risk exposure are analyzed.

defined contribution fund; dynamic programming principle; optimal investment; derivative

O211.9

A

1001-5132（2020）01-0080-08

2018?11?07.

寧波大學(xué)學(xué)報（理工版）網(wǎng)址: http://journallg.nbu.edu.cn/

教育部人文社科基金（15YJA910004, 18YJC910012）; 浙江省自然科學(xué)基金（LY17G010003）.

黃嬋（1994－）, 女, 山西大同人, 在讀碩士研究生, 主要研究方向: 金融數(shù)學(xué). E-mail: hotop2015@163.com

王偉（1982－）, 男, 安徽安慶人, 博士/副教授, 主要研究方向: 金融數(shù)學(xué). E-mail: wangwei2@nbu.edu.cn

（責(zé)任編輯 史小麗）