陳文文 張文歡 汪一航 朱俏俐

淺水波方程的一類改進(jìn)的格子Boltzmann模型

陳文文1, 張文歡1,2*, 汪一航1,2, 朱俏俐1

（1.寧波大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,浙江 寧波 315211; 2.寧波市非線性海洋與大氣災(zāi)害系統(tǒng)協(xié)同創(chuàng)新中心,浙江 寧波 315211）

提出了一種改進(jìn)的格子Boltzmann模型來模擬淺水流動(dòng). 新模型通過在演化方程中添加修正項(xiàng),一個(gè)可調(diào)參數(shù)被引入到黏性系數(shù)與無量綱松弛時(shí)間的關(guān)系中,從而使得無量綱松弛時(shí)間的值在黏性系數(shù)固定時(shí)是可調(diào)的. 為了驗(yàn)證模型的精確性與穩(wěn)定性,對(duì)圓柱繞流、流量驅(qū)動(dòng)無外力淺水流進(jìn)行了模擬. 數(shù)值結(jié)果表明,相較于以往模型,新提出模型在提高精度的同時(shí),計(jì)算效率和穩(wěn)定性也得到了改善.

格子Boltzmann方法; 淺水波方程; 無量綱松弛時(shí)間; 穩(wěn)定性; 邊界條件

近幾十年來, 格子Boltzmann方法(LBM)由于計(jì)算簡(jiǎn)單、并行性好、易于處理復(fù)雜不規(guī)則的邊界及能簡(jiǎn)單方便地考慮源項(xiàng)等優(yōu)勢(shì), 已經(jīng)發(fā)展成為求解淺水波方程(SWEs)的一種新方法. Salmon[1]最先成功將LBM應(yīng)用于模擬風(fēng)力驅(qū)動(dòng)的海洋環(huán)流.馮士德等[2]將旋轉(zhuǎn)流中存在的哥氏力效應(yīng)引入到SWEs的格子Boltzmann(LB)模型的研究中,并在理想邊界條件下模擬了北半球的大氣環(huán)流. Zhou[3]則較系統(tǒng)地闡述了SWEs的LBM理論, 并對(duì)一些經(jīng)典淺水波問題進(jìn)行了驗(yàn)證. Th?mmes等[4]采用LBM對(duì)直布羅陀海峽中的潮流進(jìn)行了模擬. Klar等[5]開展了在復(fù)雜幾何地形中通過LB模型對(duì)污染物擴(kuò)散的潮流問題的實(shí)際研究. 接著, Liu等[6]成功將LBM應(yīng)用于白洋淀的風(fēng)力驅(qū)動(dòng)水流模擬.以上研究表明, LBM具有良好模擬各種流體動(dòng)力學(xué)情況下淺水流動(dòng)的能力.

近年來, 為了進(jìn)一步提高LBM模擬淺水流的精確性和穩(wěn)定性, 不少學(xué)者也進(jìn)行了改進(jìn). Zhou[7]采取了一種新穎方式將床層結(jié)合到格子Boltzmann方程(LBE)中, 消除了以往模型中底面坡度涉及到一階導(dǎo)數(shù)的差分計(jì)算問題. Li等[8]提出了一種改進(jìn)的淺水波LB模型, 其基本思想是將二次深度項(xiàng)從平衡態(tài)分布函數(shù)(EDF)中去除, 以避免EDF中二次深度項(xiàng)系數(shù)與LBE源項(xiàng)中的床斜率項(xiàng)系數(shù)之間的匹配要求. Peng等[9]分別使用具有單個(gè)松弛時(shí)間和多個(gè)松弛時(shí)間(MRT)碰撞項(xiàng)的LBM以求解SWEs, 并將力矩項(xiàng)的加權(quán)中心方案與河床坡度項(xiàng)中的水深結(jié)合, 以改進(jìn)模型來模擬具有不連續(xù)床的淺水流. Peng等[10]指出具有單個(gè)松弛時(shí)間的LBE不太穩(wěn)定, 并提出了SWEs的九速方格(D2Q9)上的具有2個(gè)松弛時(shí)間(TRT)的LBM以期能改進(jìn)模型的穩(wěn)定性.

與標(biāo)準(zhǔn)單松弛(LBGK)模型相比, TRT模型與MRT模型雖然在數(shù)值穩(wěn)定性上有較大的優(yōu)勢(shì)[10-11], 但由于不止一個(gè)松弛時(shí)間, 在模擬計(jì)算中更加復(fù)雜. LBGK模型的穩(wěn)定性很大程度上取決于無量綱松弛時(shí)間, 而無量綱松弛時(shí)間又與流體黏度或擴(kuò)散系數(shù)有關(guān). 如果無量綱松弛時(shí)間的值太大或太小(接近0.5), LBGK模型將很不穩(wěn)定, 進(jìn)而會(huì)因?yàn)閿?shù)值不穩(wěn)定而無法完成計(jì)算, 這極大地限制了模型在復(fù)雜流體流動(dòng)研究中的應(yīng)用. 為了克服LBGK模型在無量綱松弛時(shí)間方面存在的不足, 學(xué)者們進(jìn)行了許多改進(jìn). Xiang等[12]在研究對(duì)流擴(kuò)散方程的LBGK模型時(shí), 將參數(shù)引入二階矩條件中進(jìn)行修正, 使得無量綱松弛時(shí)間的值在調(diào)整參數(shù)后不接近0.5. 盡管使用該方法可以提高LBGK模型穩(wěn)定性, 但改進(jìn)效果并不顯著. Inamuro[13]提出了一種具有傳熱的不可壓縮流體流動(dòng)的晶格動(dòng)力學(xué)方案(LKS). 在此方案中, 通過在平衡態(tài)分布函數(shù)中添加一個(gè)與應(yīng)力張量(或熱通量)有關(guān)的離散量, 無量綱松弛時(shí)間的值被固定為1.0. 然而, Yang等[14]指出LKS不滿足質(zhì)量守恒定律, 并針對(duì)求解不可壓Navier-Stokes方程的LBGK模型提出了一種修正方案. 該方案通過在演化方程中加入修正項(xiàng)作為外力項(xiàng)或源項(xiàng), 引入一個(gè)使松弛時(shí)間可調(diào)的參數(shù), 無量綱松弛時(shí)間的選取更自由, 因此模型的穩(wěn)定性得到提高.

本文基于Yang的改進(jìn)模型思想, 提出針對(duì)二維淺水波方程的一種改進(jìn)的LBGK模型來模擬淺水流動(dòng). 通過Chapman-Enskog多尺度分析, 所提出的改進(jìn)模型可準(zhǔn)確地恢復(fù)至二維淺水波方程. 新模型通過在源項(xiàng)中添加修正項(xiàng), 在流體黏性系數(shù)與松弛時(shí)間的關(guān)系中引入一個(gè)可調(diào)參數(shù), 此參數(shù)使得無量綱松弛時(shí)間的值可以保持在一個(gè)適當(dāng)范圍內(nèi), 從而提高了模型的穩(wěn)定性.

1 淺水波方程(SWEs)

二維(2D)深度平均淺水波方程可用下式表示:

2 求解SWEs的改進(jìn)LB模型的建立

針對(duì)求解2D淺水波方程的D2Q9-LBGK模型做出改進(jìn). 其中, 改進(jìn)的演化方程如下:

在D2Q9模型中, 離散速度定義如下:

通過Chapman-Enskog多尺度分析[3,14], 該改進(jìn)模型從演化方程(3)正確恢復(fù)至二維淺水波方程. 其中, 黏性系數(shù)定義為:

3 流入和流出的邊界條件

3.1 考慮外力影響的進(jìn)、出口邊界條件

在入口邊界由式(7)和(8), 可得以下3個(gè)方程:

3.2 入口邊界恒定流量

在模擬流動(dòng)時(shí), 通常設(shè)定入口邊界條件為恒定流量, 入口處的速度和水深未知, 因此上述方案不再適用. Liu[16]提出了一種方法來處理這種入口邊界, 即在水流方向上將恒定流量添加到動(dòng)量方程中. 新方案以質(zhì)量和動(dòng)量守恒為基礎(chǔ), 同時(shí)包括以下2個(gè)步驟.

因此, 式(15)相應(yīng)變?yōu)?

入口處的拐角點(diǎn)需要特殊處理. 以入口底部的拐角點(diǎn)為例, 分2種情形來討論.

類似的過程可解出入口的頂部拐角點(diǎn)和出口的頂、底部拐角點(diǎn)的未知分布函數(shù).

3.3 出口邊界固定水深

4 數(shù)值模擬

分別對(duì)圓柱繞流和流量驅(qū)動(dòng)無外力淺水流進(jìn)行數(shù)值模擬, 并將計(jì)算結(jié)果與其他數(shù)值方法結(jié)果對(duì)比, 以驗(yàn)證本文所提出模型的精確性和穩(wěn)定性.

4.1 圓柱繞流

為驗(yàn)證模型的精確性, 分別使用Li等[8]和本文提出的模型對(duì)圓柱繞流進(jìn)行模擬, 各種參數(shù)的設(shè)置與Zhou[3]的模擬保持一致. 模擬的流道長4m, 寬2m, 位于流道中心的是半徑為0.11m的圓柱體, 左端為入口, 流入的流量及出口的水位皆為定值.

圖2顯示了本文模型在模擬達(dá)到穩(wěn)定后圓柱體附近的流動(dòng)特性, 這與zhou[3]繪制的圖3有較好的一致性. 圖4為Zhou和本文模型模擬得到的沿流道中心線上的水位結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比. 其中, 本文所用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)是使用圖像數(shù)據(jù)化軟件(GetData Graph Digitizer)從參考文獻(xiàn)[17]的圖中獲取. 由圖5可知, 在圓柱后, 本文模型的模擬結(jié)果與Zhou模型的模擬結(jié)果很接近, 且都與實(shí)測(cè)結(jié)果吻合很好; 但在圓柱前, 本文模型的模擬結(jié)果與實(shí)測(cè)的結(jié)果更為接近. 為了定量比較2種模型模擬的精度的不同, 定義水位的相對(duì)誤差為:

式中, 為實(shí)測(cè)值的數(shù)量; 和分別為水位的模擬值與實(shí)測(cè)值.經(jīng)計(jì)算, 得出本文模型模擬水位的相對(duì)誤差為1.16%, Zhou模型模擬水位的相對(duì)誤差為1.65%, 說明本文模型在模擬圓柱繞流時(shí)的精度比Zhou模型更高. 值得注意的是, Li模型在進(jìn)口流量m?s-1時(shí)計(jì)算收斂, 但當(dāng)進(jìn)口流量增大為m?s-1時(shí)計(jì)算發(fā)散, 這說明Li模型的穩(wěn)定性沒有本文提出的模型和Zhou模型的好.另外,由于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)是在進(jìn)口流量m?s-1的工況下采集, 而Li模型無法模擬得出此工況下的流速和水深數(shù)據(jù), 因此文中沒有展現(xiàn)有關(guān)Li模型的圖表數(shù)據(jù)對(duì)比.

4.2 流量驅(qū)動(dòng)的無外力淺水流

表1 入口流量為Qin=0.02 m3?s-1, 3種模型皆達(dá)到R=1×10-8時(shí)所用的計(jì)算步數(shù)和時(shí)間

表2 入口流量為Qin=0.024 m3?s-1,計(jì)算步數(shù)分別為50萬、80萬和100萬步時(shí)的全局相對(duì)誤差

表3 入口流量為Qin=0.0261 m3?s-1,計(jì)算步數(shù)分別為50萬、80萬和100萬步時(shí)的全局相對(duì)誤差

5 結(jié)論

Yang等[14]針對(duì)求解不可壓Navier-Stokes方程的LBGK模型提出了一種修正方案, 本文借鑒其改進(jìn)模型的思路提出了一種求解二維淺水波方程的LBGK模型改進(jìn)方案, 將一個(gè)修正項(xiàng)添加在標(biāo)準(zhǔn)LBGK模型的演化方程中, 作為源項(xiàng)的一部分, 使得在恢復(fù)宏觀方程后流體黏性系數(shù)與無量綱松弛時(shí)間的關(guān)系中被引入了一個(gè)可調(diào)參數(shù). 通過調(diào)節(jié)該參數(shù)的值, 無量綱松弛時(shí)間的值可保持在一個(gè)使計(jì)算穩(wěn)定的范圍內(nèi), 從而提高了模型的穩(wěn)定性, 研究得出以下結(jié)論:

(1)在提出的改正模型正確恢復(fù)至二維淺水波方程的過程中, 應(yīng)變率張量的計(jì)算采用了一個(gè)高效的局部計(jì)算格式. 梯度的計(jì)算僅通過局部信息便可得出, 避免了差分運(yùn)算, 使得改進(jìn)的LBGK模型保持了天然的并行性, 且易于處理具有復(fù)雜邊界的物理問題.

[1] Salmon R. The lattice Boltzmann method as a basis for ocean circulation modeling[J]. Journal of Marine Research, 1999, 57(3):503-535.

[2] 馮士德, 趙穎, 蔦原道久, 等. 旋轉(zhuǎn)流場(chǎng)中的格子波耳茲曼模型[J]. 地球物理學(xué)報(bào), 2002, 45(2):170-175.

[3] Zhou J G. Lattice Boltzmann Methods for Shallow Water Flows[M]. Berlin: Springer, 2004:7-18.

[4] Th?mmes G, Sea?d M, Banda M K. Lattice Boltzmann methods for shallow water flow applications[J]. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 2007, 55(7):673-692.

[5] Klar A, Sea?d M, Th?mmes G. Lattice Boltzmann simulation of depth-averaged models in flow hydraulics [J]. International Journal of Computational Fluid Dynamics, 2008, 22(7):507-522.

[6] Liu H F, Li M, Zhao Y W. Application of the lattice Boltzmann method in shallow water lake[J]. Advanced Materials Research, 2011, 356:2333-2337.

[7] Zhou J G. Enhancement of the LABSWE for shallow water flows[J]. Journal of Computational Physics, 2011, 230(2):394-401.

[8] Li S T, Huang P, Li J M. A modified lattice Boltzmann model for shallow water flows over complex topography [J]. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 2015, 77(8):441-458.

[9] Peng Y, Zhou J G, Zhang J M, et al. Lattice Boltzmann modeling of shallow water flows over discontinuous beds[J]. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 2014, 75(8):608-619.

[10] Peng Y, Zhang J M, Zhou J G. Lattice Boltzmann model using two relaxation times for shallow-water equations[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 2016, 142(2):5017- 5025.

[11] Lallemand P, Luo L S. Theory of the lattice Boltzmann method: Dispersion, dissipation, isotropy, Galilean invariance and stability[J]. Physical Review E, 2000, 61(6):6546-6562.

[12] Xiang X, Wang Z, Shi B. Modified lattice Boltzmann scheme for nonlinear convection diffusion equations[J]. Communications in Nonlinear Science & Numerical Simulation, 2012, 17(6):2415-2425.

[13] Inamuro T. A lattice kinetic scheme for incompressible viscous flows with heat transfer[J]. Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 2002, 360(1792):477- 484.

[14] Yang X G, Shi B C, Chai Z H. Generalized modification in the lattice Bhatnagar-Gross-Krook model for incompressible Navier-Stokes equations and convection- diffusion equations[J]. Physical Review E, 2014, 90(1): 13309-13326.

[15] Zou Q, He X. On pressure and velocity boundary conditions for the lattice Boltzmann BGK model[J]. Physics of Fluids, 1997, 9(6):1591-1598.

[16] Liu H F. Lattice Boltzmann simulations for complex shallow water flows[J]. Clinical Infectious Diseases, 2009, 28(3):560-571.

[17] Yulistiyanto B, Zech Y, Graf W H. Flow around a cylinder: Shallow-water modeling with diffusion- dispersion[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 1998, 124(4):419-429.

[18] Mei Q Y, Zhang W H, Wang Y H, et al. Lattice Boltzmann study on seawall-break flows under the influence of breach and buildings[J]. Communications in Theoretical Physics, 2017, 68(4):525-535.

A modified lattice Boltzmann model for shallow water flows

CHEN Wenwen1, ZHANG Wenhuan1,2*, WANG Yihang1,2, ZHU Qiaoli1

( 1.School of Mathematics and Statistics, Ningbo University, Ningbo 315211, China; 2.Ningbo Collaborative Innovation Center of Nonlinear Hazard System of Ocean and Atmosphere, Ningbo 315211, China )

A modified lattice Boltzmann model is proposed to simulate shallow water flows. The new model introduces an adjustable parameter in the relationship between the viscosity coefficient and the dimensionless relaxation time by adding a correction term to the evolution equation, so that the dimensionless relaxation time is adjustable when the viscosity coefficient is fixed. In order to verify the accuracy and stability of the model, the flow around the cylinder and the discharge-driven shallow water flow without external force is simulated.The numerical results show that compared with the previous approaches, the proposed model is improved not only in accuracy, but also in computational efficiency and stability.

lattice Boltzmann model; shallow water equations; dimensionless relaxation time; stability; boundary conditions

TV131.2

A

1001-5132（2020）01-0072-08

2019?06?21.

寧波大學(xué)學(xué)報(bào)（理工版）網(wǎng)址: http://journallg.nbu.edu.cn/

寧波市自然科學(xué)基金（2016A610075）.

陳文文（1994－）, 女, 安徽六安人, 在讀碩士研究生, 主要研究方向: 格子Boltzmann建模. E-mail:2514805223@qq.com

張文歡（1986－）, 男, 湖北黃岡人, 博士/講師, 主要研究方向: 格子Boltzmann建模. E-mail: zhangwenhuan@nbu.edu.cn

（責(zé)任編輯 章踐立）