閆曉霞

（漢中職業(yè)技術(shù)學(xué)院 陜西漢中 723000）

我國古代著名數(shù)學(xué)書《孫子算經(jīng)》中，有這樣一道名題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?”這類問題一般是求滿足條件的最小數(shù)。它也是小學(xué)數(shù)學(xué)各類競賽的常見題型，在小學(xué)數(shù)學(xué)刊物或?qū)W生假期作業(yè)中，也常有“物不知其數(shù)”的求解問題。如：某校學(xué)生參加廣播體操比賽，四人一排余一人，五人一排余二人，七人一排余四人。問至少有多少人比賽?

這類問題通常用同余或不定方程求解比較簡便。但是，為了使問題能在小學(xué)數(shù)學(xué)知識范圍內(nèi)得到解決，下面介紹一種算術(shù)方法，供師生參考。

一、算術(shù)求法的依據(jù)——中國剩余定理

“物不知其數(shù)”的算術(shù)求法的依據(jù)是下面的兩個定理：

定理：被除數(shù)增加(或減少)除數(shù)的倍數(shù)，除數(shù)不變，余數(shù)也不變。即：a÷b=q如果(余r)

那么(a+nb)÷b=q+n(余r)(n為整數(shù))

定理2：被除數(shù)擴(kuò)大(或縮小)幾倍，除數(shù)不變，則余數(shù)也擴(kuò)大(或縮小)同數(shù)倍。

即：a÷b=q×n如果(余r)

那么(a×n)÷b=q×n(余r×n)(n 為整數(shù))

這兩個定理也叫中國剩余定理。證明從略。

二、算術(shù)求法的步驟——中國剩余定理的應(yīng)用

本文開頭的問題可譯為例1：某校學(xué)生參加體操比賽，人數(shù)除以4 余1，除以5 余2，除以7 余4，問至少有多少人參加比賽？

求解步驟如下：

①根據(jù)定理2，先求出滿足每個條件的數(shù)：

在5 與7 的公倍數(shù)中找滿足除以4 余1 的數(shù)：[5，7]=35，35÷4=8，(余3，不符合余數(shù)為1)。由定理2，(35×3)÷4=8×3(余3×3， 余 數(shù) 比 除 數(shù) 大 應(yīng) 繼 續(xù) 除)(3×3)÷4=2( 余1)， 即105÷4=26(余1)，得到105 是滿足被4 除余1 的數(shù)。

在4 與7 的 公 倍 數(shù) 中 找 滿 足 除 以5 余2 的 數(shù)：[4，7]=28，28÷5=5( 余3)， 根 據(jù) 定 理2：28×4÷5=5×4( 余3×4)，3×4÷5=2(余2)，即：112÷5=22(余2)，得到112 是滿足被5 除余2 的數(shù)。

在4 與5 的公倍數(shù)中找滿足除以7 余4 的數(shù)：[4，5]=20，20÷7=2( 余6)， 由 定 理2，(20×3)÷7=2×3( 余6×3)， 而18÷7=2(余4)，即：60÷7=8(余4)，所以60 是滿足被7 除余4的數(shù)。

②根據(jù)定理1，將符合每個條件的數(shù)相加，所得的和：

105+112+60=227，就是滿足除以4 余1，除以5 余2，除以7 余4 的數(shù)。這是因為227=105+(112+60)=105+4×(28+15)=105+4×43，因為105 被4 除余1，由定理1 知277 被4 除余1。同理，277 被5 除余2，被7 除余4。

③由于算得的和未必是最小數(shù)，如果不是，應(yīng)該從和中減去這幾個除數(shù)的最小公倍數(shù)的整數(shù)倍所得的差即為所求(請讀者想想為什么?);因為[4，5，7]=140，而277 大于140，于是：

277-140=137。所以參加比賽的最少人數(shù)是137 人。(其他可能的人數(shù)為137+140×n，n取自然數(shù))。

再舉一例

例2.一個數(shù)除以3 余2，除以5 余3，除以7 余4，求滿足條件的最小數(shù)。

解：[5，7]=35，35÷3=11(余2)，

所以35 是滿足除以3 余2 的數(shù)。

[3，7]=21，21÷5=4(余1)，根據(jù)定理2，(21×3)÷5=4×3(余1×3)即63÷5=12(余3)，

所以63 是滿足除以5 余3 的數(shù)。

[3.5]=15，15÷7=2(余1)，由 定 理2，(15×4)÷7=2×4(余1×4)即60÷7=8(余4)

所以60 是滿足除以7 余4 的數(shù)。

35+63+60=158，又因為[3，5，7]=105，158-105=53，

所以53 是滿足條件的最小數(shù)。( 其他可能的數(shù)為53+105×n，n取自然數(shù))

例3：用一輛卡車運貨物，如果每次運9 袋余1 袋，每次運8 袋余3 袋，每次運7 袋余2 袋，這批貨物至少有多少袋?

根據(jù)以上步驟，很容易解決這個實際問題。（答案：163 袋)

三、結(jié)束語

通過以上例子，我們總結(jié)出了“物不知其數(shù)”問題的算術(shù)求解方法，避開了同余或不定方程求解，使得該類問題能在小學(xué)數(shù)學(xué)知識范圍內(nèi)得到解決，也是中國剩余定理在生活中的一個具體應(yīng)用[1-3]。