□ 文 宋家東 張芹娥 劉一丹 陳曙光

1 引言

PMI（Purchasing Manager’s Index）指數(shù)體系又稱采購經(jīng)理指數(shù)，是由中國物流與采購聯(lián)合會與國家統(tǒng)計局于2005年共同推出的指數(shù)體系，它在每個月的第一個工作日發(fā)布，具有及時性特征，PMI體系主要由新訂單、生產(chǎn)量、從業(yè)人員、供應(yīng)商配送以及原材料庫存等反應(yīng)制造企業(yè)生產(chǎn)活動的細(xì)分指標(biāo)構(gòu)成，是衡量我國工業(yè)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的主要指標(biāo)。該指數(shù)反映了世界各個國家的主要經(jīng)濟(jì)變化趨勢，是國際上通用的宏觀經(jīng)濟(jì)先行性指數(shù)，對經(jīng)濟(jì)活動的預(yù)測與監(jiān)測起到了重要作用。很多學(xué)者也都證明PMI對GDP有著很好的預(yù)測作用，而GDP則為評價和衡量國家經(jīng)濟(jì)狀況、經(jīng)濟(jì)增長趨勢以及社會財富的經(jīng)濟(jì)表現(xiàn)提供了最為綜合的尺度，是影響經(jīng)濟(jì)生活乃至社會生活最重要的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)。

然而，PMI依然存在以下問題值得進(jìn)一步研究和探討。其中一個較為突出的問題是PMI指數(shù)的計算方式完全依賴于5個指標(biāo)（訂單、生產(chǎn)、雇員、配送、存貨）以及5個經(jīng)驗(yàn)權(quán)重參數(shù)，而這5個經(jīng)驗(yàn)權(quán)重參數(shù)的給予是否合理，是否可以適應(yīng)并反映國家的調(diào)控政策依然是個研究的課題。

圍繞上述的現(xiàn)狀，本文首先將在第2部分分別對PMI指數(shù)和主流子空間算法PCA進(jìn)行闡述；在第3部分，將介紹基于嵌入PCA特征的PMI指數(shù)算法；在第4部分，對基于嵌入PCA特征的PMI指數(shù)（PCAPMI）與傳統(tǒng)PMI指數(shù)算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對比和分析；最后，在第5部分，對PCAPMI算法研究進(jìn)行歸納和總結(jié)。

2 相關(guān)算法

本章首先介紹傳統(tǒng)的PMI指數(shù)，并給出PMI指數(shù)的定義；其次將介紹傳統(tǒng)基于子空間技術(shù)的PCA算法，并詳細(xì)闡述PCA算法的定義以及公式推導(dǎo)過程。

2.1 PMI指數(shù)

PMI指數(shù)定義：PMI是一個綜合指數(shù)，由5個擴(kuò)散指數(shù)加權(quán)而成，即：產(chǎn)品訂貨（簡稱：訂單）、生產(chǎn)量（簡稱：生產(chǎn)）、生產(chǎn)經(jīng)營人員（簡稱：雇員）、供應(yīng)商配送時間（簡稱：配送）、主要原材料庫存（簡稱：存貨）。這5個指數(shù)是依據(jù)其對經(jīng)濟(jì)的先行影響程度而定，各指數(shù)的權(quán)重分別是：訂單30%，生產(chǎn)25%，雇員20%，配送15%，存貨10%。

令x=[x1,x2,x3,x4,x5]T,w=[w1,w2,w3,w4,w5]T其中，x為指標(biāo)參數(shù)向量，x1：訂單，x2：生產(chǎn)，x3：雇員，x4：配送，x5：存貨；w為權(quán)重因子參數(shù)向量，w1：30%，w2：25%，w3：20%，w4：15%，w5：10%。具體公式如（1）所示：

通常PMI指數(shù)會以0.5作為經(jīng)濟(jì)強(qiáng)弱的分界點(diǎn)，PMI高于50%時，反映經(jīng)濟(jì)總體擴(kuò)張；低于0.5，則反映經(jīng)濟(jì)總體收縮。

其中，PMI單個指標(biāo)匯總一般涉及生產(chǎn)量、產(chǎn)品訂貨、出口訂貨、現(xiàn)有訂貨、產(chǎn)成品庫存、采購量、進(jìn)口、購進(jìn)價格、主要原材料庫存、生產(chǎn)經(jīng)營人員、供應(yīng)商配送時間等11個問題，而原材料訂貨提前的天數(shù)單獨(dú)處理，開放性問題不參加計算。它的匯總方法分為加權(quán)和不加權(quán)兩種方法。

采用加權(quán)計算百分比：以國家統(tǒng)計局《企業(yè)基本情況調(diào)查表》的上年營業(yè)收入作為權(quán)重，計算“增加”、“基本持平”、“減少”選項所占百分比。

采用不加權(quán)計算百分比：直接根據(jù)企業(yè)個數(shù)計數(shù)，計算“增加”、“基本持平”、“減少”所占的百分比。

計算各項（“增加”、“基本持平”、“減少”）百分比時，剔除掉無關(guān)的數(shù)據(jù)項（如：“不易預(yù)估”、“沒有出口”、“沒有進(jìn)口”等內(nèi)容），即“增加”、“基本持平”、“減少”三項的百分比之和為100%。

PMI指標(biāo)的計算方式采用擴(kuò)散指數(shù)法，即：正向回答的百分?jǐn)?shù)加上回答不變的百分?jǐn)?shù)的一半。計算公式如下：

圖1 PCAPMI算法流程圖

2.2 PCA算法

PCA算法是一種基于非監(jiān)督的算法，可以看作是在嵌入空間中尋找一個由k個包含數(shù)據(jù)最大方差方向組合的集合，即：Karhunen-Loève變換。

具體PCA算法如下：

首先，給出協(xié)方差矩陣，如（3）式所示：

其中，Xi代表第i個樣本矩陣，μ代表總均值矩陣。

然后，根據(jù)廣義Rayleigh商，如（4）式所示：

對（4）式使用拉格朗日乘數(shù)法求極值，得到PCA算法的特征方程式，如（5）式所示：

根據(jù)（5）式，求取PCA的特征值矩陣和特征向量矩陣。

3 PCAPMI算法

3.1 PCAPMI算法流程

PCAPMI算法流程如圖1所示：

Step1：使用式（2）匯總并計算x1：訂單，x2：生產(chǎn)，x3：雇員，x4：配送，x5：存貨，五項的PMI指標(biāo)值；

Step2：匯總收集上來的PMI指標(biāo)值并以x=[x1,x2,x3,x4,x5]T向量的方式進(jìn)行展示，并將采集樣本以x的方式進(jìn)行匯總，X=[x1,x2,x3,…,xn]；

Step3：對X采用歸一化處理，將值鎖定在[0-1]之間；

Step4：采用式（3），計算協(xié)方差矩陣C，并根據(jù)式（5）的方式計算，特征向量矩陣V以及特征值矩陣Λ；

Step5.1：取Λ特征值矩陣中最大特征值所對應(yīng)的特征向量v，忽略其他特征值以及其所對應(yīng)的特征向量，令為指標(biāo)向量的均值向量，采用式（6）的類歐式距離方式計算PCAPMIappro指數(shù)（即：近似的PCAPMI指數(shù)）；其中，PCAPMIappro指數(shù)高于0.5，反映經(jīng)濟(jì)總體擴(kuò)張；低于0.5，則反映經(jīng)濟(jì)總體收縮。

Step5.2：取Λ特征值矩陣中特征值大于零所對應(yīng)的特征向量V矩陣，忽略為特征值為零對應(yīng)的噪聲數(shù)據(jù)，令為指標(biāo)向量的均值向量，采用式（7）的類歐式距離方式計算PCAPMI指數(shù)；其中，PCAPMI指數(shù)高于0.5，反映經(jīng)濟(jì)總體擴(kuò)張；低于0.5，則反映經(jīng)濟(jì)總體收縮。

圖2 PCAPMI、PCAPMIappro算法指數(shù)、PMI指數(shù)對比

圖3 PCAPMI指數(shù)與傳統(tǒng)PMI指數(shù)存在正相關(guān)關(guān)系

4 實(shí)驗(yàn)

本節(jié)首先介紹實(shí)驗(yàn)環(huán)境以及所采用的數(shù)據(jù)庫；其次，將對比傳統(tǒng)PMI指數(shù)與PCAPMI、PCAPMI算法指數(shù)，并闡述基于PCAPMI算法的優(yōu)越性。

4.1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境

實(shí)驗(yàn)采用2017年01月至2018年09月的歷史PMI指數(shù)數(shù)據(jù)作為目標(biāo)數(shù)據(jù)，2017年01月至2018年09月各省企業(yè)提交的問卷并整理的指標(biāo)數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，訓(xùn)練數(shù)據(jù)的指標(biāo)包括：產(chǎn)品訂貨（簡稱：訂單）、生產(chǎn)量（簡稱：生產(chǎn)）、生產(chǎn)經(jīng)營人員（簡稱：雇員）、供應(yīng)商配送時間（簡稱：配送）、主要原材料庫存（簡稱：存貨）。

4.2 實(shí)驗(yàn)分析

如圖2所示，為了較為明顯的表現(xiàn)PCAPMI算法指數(shù)與傳統(tǒng)PMI指數(shù)的差異，以及影響PCA算法原本的計算能力，本實(shí)驗(yàn)沒有針對PCAPMI指數(shù)算法進(jìn)行最后的歸一化處理，直接針對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行操作，基于PCAPMI以及PCAPMIappro計算的指數(shù)相對于傳統(tǒng)PMI指數(shù)對數(shù)據(jù)更加敏感，峰值起伏相對PMI影響也較大，另一方面，從圖中可以看出，基于PCAPMI以及PCAPMIappro算法的指數(shù)相對于傳統(tǒng)PMI指數(shù)具有一定的前置性，能夠提前較好地提醒指數(shù)的使用者對未來經(jīng)濟(jì)進(jìn)行防范和指導(dǎo)相關(guān)的決策。

如圖3所示，其中散點(diǎn)圖的x軸代表官方發(fā)布的傳統(tǒng)PMI指數(shù)，散點(diǎn)圖的y軸代表未經(jīng)預(yù)處理計算出的PCAPMI指數(shù)的統(tǒng)計指數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)，PCAPMI指數(shù)與傳統(tǒng)PMI指數(shù)存在正相關(guān)的邏輯關(guān)系，因此以PCAPMI指數(shù)來代替PMI指數(shù)從業(yè)務(wù)上是可行的。

5 結(jié)束語

本文提出了一種新穎的嵌入PCA特征的PMI指數(shù)算法（即：PCAPMI），并將其應(yīng)用到采購經(jīng)理指數(shù)領(lǐng)域中。通過實(shí)驗(yàn)和相關(guān)的理論證明，可以歸納出PCAPMI算法具有以下幾個方面的優(yōu)勢：

首先，采用嵌入PCA特征的統(tǒng)計算法解決了PMI依賴于先天經(jīng)驗(yàn)權(quán)值的問題，并以方差矩陣最大的方向作為評定的標(biāo)準(zhǔn)。

其次，采用嵌入PCA特征的統(tǒng)計算法可以在一定意義上屏蔽采集來的噪聲數(shù)據(jù)進(jìn)行過濾以及壓縮，實(shí)驗(yàn)也證明PCAPMI算法計算出來的指數(shù)與傳統(tǒng)PMI指數(shù)數(shù)據(jù)是正相關(guān)的。

最后，PCAPMI提供了剔除先天經(jīng)驗(yàn)權(quán)值的一種方法，但是否能夠最優(yōu)表達(dá)PMI的空間數(shù)據(jù)還是未知的，除了嵌入對應(yīng)的方差特征，是否可以嵌入其他的特征也是未知的，如：分類特征、關(guān)聯(lián)特征等，之后將針對其他子空間方法如：LDA、CCA等進(jìn)行嵌入以及組合嵌入，以嘗試找到最優(yōu)的解決方案?！?/p>