鄧新，桂代運(yùn)，許志才

(滁州學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，安徽 滁州 239000)

0 引言

考慮如下帶有重復(fù)測(cè)量的非參數(shù)回歸模型：

Y(j)(xni)=g(xni)+e(j)(xni)，j=1,2,…,m

(1)

其中g(shù)(·)是定義在[0,1]上的未知回歸函數(shù)，Y(j)(xni)是在xni處的第j次觀測(cè)值，0≤xn1≤…≤xnn≤1，e(j)(xni)是均值為0的隨機(jī)誤差，m為試驗(yàn)次數(shù).

沿用文獻(xiàn)[1]中方法，定義g(·)的小波估計(jì)：

(2)

其中Ai=[si-1,si]是區(qū)間[0,1]上的一個(gè)劃分，xni∈Ai，1≤i≤n，并且k=k(n)>0是僅依賴于n的整數(shù). 小波核Ek(x,s)定義如下：

其中Z是整數(shù)集，φ(·)是尺度函數(shù).

在很多統(tǒng)計(jì)問題中，一般假定隨機(jī)誤差是獨(dú)立的，但在實(shí)際應(yīng)用中是不合理的，本文中主要討論較為廣泛的相依誤差結(jié)構(gòu)——NOD(negatively orthant dependent)隨機(jī)誤差，在這種誤差下，研究非參數(shù)模型(1)中未知函數(shù)g(·)的小波估計(jì)(2)的強(qiáng)相合性. 下面給出NOD序列的概念.

NOD序列是一類包含獨(dú)立和NA(negatively associated)序列在內(nèi)的、更弱的負(fù)相依序列，其研究成果也相當(dāng)豐富. 比如，Volodin[2]建立了Kolmogorov不等式，Asadian等[3]得到了Rosenthal型不等式，Chen等[4]及Wu等[5]研究了完全收斂性及完全矩收斂性，Wang等[6]討論了非參數(shù)回歸模型中估計(jì)量的完全相合性，等等. 本研究將利用NOD序列的Rosenthal型矩不等式和Kolmogorov強(qiáng)大數(shù)定律，建立NOD誤差下模型(1)中小波估計(jì)的強(qiáng)相合性，所得結(jié)果推廣了Zhou等[7]中關(guān)于NA誤差的相應(yīng)結(jié)果.

接下來，給出本文中用到的隨機(jī)控制的定義.

定義2稱隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1}是被隨機(jī)變量X隨機(jī)控制的，如果存在正常數(shù)C，使得對(duì)任意的n≥1和?x≥0，有P(|Xn|>x)≤CP(|X|>x).

1 假設(shè)條件及主要引理

首先給出如下假設(shè)條件.

A3)g(·)滿足γ>0階Lipschitz條件；

為證明主要結(jié)果，需要下面的重要引理.

引理1[9]設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn是NOD的，f1,f2,…,fn都是非降(或非增)函數(shù)，則隨機(jī)變量f1(X1),f2(X2),…,fn(Xn)是NOD的.

引理5[1]若假設(shè)A4)、A5)成立，h(x)滿足A2)、A3)，則

2 主要結(jié)果及其證明

定理1的證明首先，借助于凸函數(shù)性質(zhì)及引理4，容易驗(yàn)證

(3)

然后，注意到

(4)

(5)

類似可得

(6)

最后，所證結(jié)果由(3)、(4)式得到.

定理2的證明注意到

(7)

取0<θ<1，對(duì)于1≤j≤m，令

從而，由Borel-Cantelli引理，立得I1→0 a.s.，m→∞.

由此，(7)式成立，該定理得證.

注2定理2中結(jié)果也同樣適用于獨(dú)立和NA隨機(jī)誤差情形.