趙志耀，張雪霞，趙文彬

(太原科技大學應用科學學院，太原 030024)

圓柱型層合柱是一類典型的復合材料,由于它的性能比較優(yōu)越因此在工程中有廣泛的應用。傳統(tǒng)且簡單的圓柱型層合柱是由均勻的兩種不同材料粘接而成，當界面四周存在應力集中時，常常是因為在外載荷的影響下。當界面出現(xiàn)開裂時，表明應力水平很高。在這方面，學術界早已構成定論[1-2]，此類界面表現(xiàn)出應力集中并且開裂的主要起因是材料性能參數(shù)在界面處沒有連續(xù)。近年來在工程設計中，創(chuàng)造出了功能梯度圓柱型層合住，其不同層的材料性能參數(shù)在界面處不斷過渡，因此具備更高的抗界面的開裂本領。郭道強，麻雙雙[3]研究的圓柱型各向異性材料關于界面比較不理想的螺旋位錯和環(huán)內有一些夾雜物的相互作用問題。對于圓形夾雜物和無限矩陣區(qū)域關于復勢函數(shù)的問題，是通過利用復變函數(shù)的方法來得到它的級數(shù)精確解。并且根據(jù) Peach-Koehler 公式把位錯力也叫像力的重要物理量精確表達出來。通過研究復勢函數(shù)的級數(shù)精確解和位錯力，分析了在圓柱型各向異性材料并且界面不理想的情況下，對于位錯力規(guī)律的作用。研究出來的結果是在各向異性材料中存在夾雜物時，以各向同性為基體材料有排斥位錯力的影響而且不理想界面對位錯的吸引效果也不是那么的明顯。李先芳[4]研究了雙材料界面處受剪切壓縮載荷作用的外圓裂紋。在光滑裂紋表面施加徑向剪切載荷的情況下，解決了外圓裂紋軸對稱問題。在接觸面上存在切向位移位移，無正常位移間隙。毛麗娟[5]功能梯度材料結構沿厚度方向的非均勻材料特性,使得夾緊和簡支條件的功能梯度梁有著相當不同的行為特征。該文給出了熱載荷作用下,功能梯度梁非線性靜態(tài)響應的精確解。李先芳研究了雙材料界面處受剪切壓縮載荷作用的外圓裂紋。在光滑裂紋的表面，對其施加徑向剪切載荷，解答了外接圓的裂紋軸對稱問題。在接觸面上存在切向位移且無正常位移間隙。首先將混合邊值問題轉變?yōu)閷ε挤e分方程，并且利用漢克爾變換技術得到了在界面處應力的封閉解。結果表明，剪切壓縮時界面裂紋前沿附近沒有振蕩奇異現(xiàn)象。徑向剪應力和正應力分別在Ⅰ型裂縫前緣和后緣表現(xiàn)出一般的平方根奇異性。得到了粘接件中軸線向粘接中心施加的壓應力的Ⅰ型和Ⅱ型應力強度因子的表達式。Ⅰ型應力強度因子與Ⅱ型應力強度因子成正比，它們與Dundurs參數(shù)是息息相關的。給出了外圓裂紋在壓縮力作用下的雙材料的數(shù)值結果，說明了雙材料性能對應力分布和應力強度分布的影響。李先芳分析了雙材料在剪切載荷作用下，對環(huán)形界面裂紋表面的應力強度因子以及尖端場問題進行了研究。因為裂紋的軸對稱，以及在混合邊界條件作用下，可以解出一組沒有振動奇點的封閉解。Yong-Dong Li,Kang Yong Lee[6-7]分析了層狀圓柱形壓電傳感器的弧形界面在沿軸方向的裂紋。對奇異積分方程數(shù)值結果的參數(shù)研究為軸向剪切試驗圓柱型壓電傳感器的優(yōu)化設計提供了三條準則,分別為半徑比的最優(yōu)值為1.1～1.5；硬的壓電層加上軟的中心圓柱形基板可在界面上產生良好的強度匹配；未電鍍而非電鍍的外表面有利于降低界面裂紋的應力強度因子。時朋朋[8-9]分析了在軸向剪切載荷作用下，扇形雙層板的弧形界面裂紋問題。在考慮了16種常見邊界條件的基礎上，首先用到的傅里葉變換法，在解決混合邊值的問題中，通過奇異積分方程的奇異性得到了解決。而對于應力強度因子，是進行了數(shù)值解法，并且對該方法的計算精度進行了收斂驗證。應力強度因子的計算結果表明，幾何參數(shù)和物理參數(shù)對界面斷裂行為有明顯的耦合作用，剛度比對界面斷裂行為的影響取決于邊界的選擇。

本文分析了在徑向載荷作用下，圓柱型功能梯度雙材料周期界面裂紋尖端場應力和位移的問題。針對內層為功能梯度材料并且外層也為功能梯度材料的圓柱型弧形界面周期裂紋問題，首先建立了內層和外層均為功能梯度材料的力學模型，然后在解決控制方程時，通過結合邊界條件，并且利用分離變量法和待定系數(shù)法，最終得到了圓柱型功能梯度雙材料周期界面裂紋尖端附近的應力強度因子。

1 基本問題

假設，圓柱型雙材料的內層和外層均為同心的非均勻實心圓柱，內層的半徑為r1，外層的半徑為r2，在內層材料和外層材料的粘接處都有m段弧形裂紋，每段裂紋所對應的圓心角均為2α，如圖1所示(圖1為m=5的情形)。圓柱型橫截面是以圓心O作為坐標原點，令x軸通過界面裂紋的對稱中心，建立如圖所示的直角坐標系和極坐標系，那么通過x軸的弧形裂紋所對應的極角取值范圍為[-α,α]，并且整個模型是以橫坐標x軸為對稱軸的。圓柱型復合雙材料用上標或者下標1表示內層材料的幾何量和物理量，用上標或者下標2來表示外層材料的幾何量和物理量。

圖1 含弧形界面周期裂紋的圓柱型復合材料

假設，圓柱型復合雙材料內層為功能梯度材料，外層也為功能梯度材料，在平面應變問題下，內層和外層的位移與應力的關系為[10]：

(1)

(2)

式中：βk為非均勻的功能梯度材料參數(shù)，且無量綱。

在軸向剪切力作用下，其平衡方程分別為：

(3)

(4)

將式(1)代入式(3)、式(4)的平衡方程，并且結合式(2)的剪切模量，圓柱型復合材料的內層控制方程為：

內層為：

(5)

圓柱型復合材料的外層控制方程為：

外層為：

(6)

假設，圓柱型復合材料在裂紋的情況下并且在軸向有剪切力的作用下，明顯所設模型是關于x軸對稱性的，所以研究0≤θ≤π/m部分即可，并且圓柱型復合材料在含裂紋的情況下的邊界條件和連續(xù)性條件可表示為：

w1→有限值，r→0

(7)

w2(r2,θ)=0,0<θ<π/m

(8)

w1(r1,θ)=w2(r1,θ),α<θ<π/m

(9)

(10)

τrz(k)(r1,θ)=-τ0,0<θ<α(k=1,2)

(11)

式中：-τ0為作用在內層和外層裂紋面上的軸向切應力。于是通過求解偏微分方程組式(5)、式(6)的邊值問題來討論圓柱型功能梯度雙材料界面裂紋尖端場問題。

根據(jù)分離變量的方法來求解方程式(5)、式(6)，這樣把位移函數(shù)wk(r,θ)寫成式(12)的分離變量表達式：

wk(r,θ)=Rk(r)Φk(θ)(k=1,2)

(12)

把式(12)分別代入到方程式(5)、式(6),得到：

r2Rk′′(r)Φk(θ)+Rk(r)Φk″(θ)+

(βk+1)rRk′(r)Φk(θ)=0

(13)

方程兩邊同除以Rk(r)，整理可得：

即：

(14)

n2m2Rk(r)=0

(15)

只有當nm為整數(shù)時式(14)的解恒存在，最終式(14)有兩個線性無關的解分別是cos(nmθ)和sin(nmθ).由于此問題以θ=0的軸向截面對稱，只保留cos(nmθ).于是位移函數(shù)wk(r,θ)可以用無窮級數(shù)的形式表達[12]：

(16)

(17)

其中：

根據(jù)條件(7)-(9)結合式(16)，式(17)可以得到：

Bn(n)=0

(18)

(19)

An(n)=Q1(n)Cn(n)

(20)

其中：

Q1(n)=-μ2/μ1

(21)

為了導出奇異積分方程，引入了位錯密度函數(shù)：

(22)

根據(jù)方程(9)、(16)、(17)可以得到：

g(θ)=0,α<θ<π/m

(23)

(24)

由于對稱性，位錯密度函數(shù)θ是一個奇函數(shù)，等價地表示為：

g(0)=0

(25)

將式(16)、式(17)代入式(22)，對其進行傅里葉余弦變換，可以得到如下關系：

(26)

其中Q2(n)是無量綱函數(shù)，且：

(27)

分別將式(1)、式(2)代入邊界條件式(11)，考慮等式(16)、(17)、(26)，可以導出一個積分方程：

(28)

這里Q3(n)是已知函數(shù)：

(29)

當n→

(30)

(31)

其中：

ζ=cos(s),ν=cos(θ),a=cos(α),f(ζ)=g(s)

(32)

R(ν,ζ)=

(33)

定義：

a0=(1-a)/2，c0=(1+a)/2

(34)

(35)

將奇異積分方程分離奇異性，將式(31)可寫成柯西奇異積分方程表示如下：

(36)

式中：

根據(jù)奇異積分方程理論，式(36)的解具有如下形式:

(37)

-h,(l=1,2,…,m)

(38)

ψ(0)=0

式中h為求積節(jié)點數(shù)，需根據(jù)數(shù)值計算的收斂性來確定,

β0=βh=1/2,β1=β2=…=βn-1=1

(39)

那么，在裂紋尖端的應力強度因子表達式可表示為：

(40)

裂紋尖端的剪應力θ→α+為：

(41)

根據(jù)式(36)可將式(41)改寫為：

(42)

式(42)可分成兩項:

(43)

對于滿足赫爾德的函數(shù)連續(xù)性條件，式(43)的第一項是非奇異的。那么，裂紋尖端的奇異應力θ→α+可以表示為:

(44)

將式(44)代入(40)得：

(45)

(46)