王 慧，張雪霞，趙文彬，趙志耀

(太原科技大學應用科學學院，太原 030024)

功能梯度材料(Functionally Graded Materials)，是依據(jù)不同的用途，通過前沿的材料復合技術將不同性能的材料復合，使其組成和結構呈連續(xù)性梯度變化的一種新型復合材料。這種材料在很多領域都被廣泛應用，圓柱型復合材料作為一類典型的工程結構，被廣泛應用于不同的領域。在這種復合材料中，界面對于傳輸載荷來說很重要，但同時亦易于損壞。最嚴重的界面損壞就是脫離或者開裂，這種損壞可能會導致材料機械性能急劇下降，甚至導致材料結構發(fā)生突發(fā)性破壞。因此，為了提高機械性能，圓柱型復合材料有時被設計為功能梯度結構，其具有沿著某一方向連續(xù)變化的材料特性。隨著功能梯度材料在實踐中的應用，圓柱型功能梯度材料已經(jīng)吸引了許多人的關注。Li和Zou[1]運用改進的有限元方法，對圓柱型功能梯度材料內(nèi)外層之間的弧形裂紋的斷裂問題進行了分析。嵇醒[2]等對圓柱型界面裂紋進行了探討,得出了對于不存在裂紋尖端接觸區(qū)的圓柱型界面裂紋,裂紋尖端附近應力具有與平面界面裂紋情形相同的振蕩奇異性,如果裂紋尖端存在接觸區(qū),裂紋尖端附近應力不存在振蕩奇異性,而是通常的1/2奇異。Pan[3]等推導出關于各向同性材料與功能梯度材料組成的圓柱型結構在靜態(tài)應變條件下一個簡單的平面應變的解。張雪霞[4]，李俊林[5]等對正交異性雙材料Ⅱ型混合界面裂紋附近相關力學情況進行了分析，通過對相關應力函數(shù)的構造，推出了雙材料Ⅱ型界面裂紋尖端受面內(nèi)載荷作用下的位移場、應力場的理論公式，并對振蕩奇異性進行了說明。仲政[6]等對一種特殊分布的功能梯度材料進行了研究，表明材料梯度分布不同，圓柱型結構中應力和位移沿半徑方向有不同的變化規(guī)律，有的情況下規(guī)律完全不同。Yan和Gao[7]等用等參有限元方法對功能梯度壓電超導圓柱體的外部環(huán)形裂紋問題進行了分析，超導圓柱體由鉍和銀復合而成。通過定義裂紋參數(shù)范圍來反映磁感應強度和電流密度對裂紋的影響，獲得磁場不通過裂紋表面的條件和裂紋外部廣義臨界狀態(tài)模型，并得到分析零場冷卻和場冷卻活化過程的超導圓柱體的磁通密度分布。時朋朋[8-9]等人對功能梯度材料弱間斷界面的反平面裂紋問題以及壓電壓磁功能梯度雙材料的周期界面裂紋問題都進行了分析。Li和Lee[10-11]使用分離變量和積分方程的方法，研究了外層覆蓋功能梯度材料的實心圓柱，并且對在徑向載荷作用下的混合型界面裂紋問題進行了分析，將該圓柱型功能梯度材料結構設計的結果進行了優(yōu)化。Xian-Fang Li[12]等對雙材料在剪切力加載到環(huán)形界面裂紋表面時的應力強度因子以及尖端場問題進行了分析。根據(jù)裂紋的軸對稱問題得到了混合邊界條件，求解出一組沒有振蕩奇性的封閉解。

近年來，研究復合雙材料界面裂紋問題的文獻很多，但對于圓柱型功能梯度雙材料界面裂紋問題的研究較少，仍有許多問題需要做進一步研究。本文研究受軸向剪切力作用的圓柱型功能梯度雙材料界面裂紋尖端場問題。針對內(nèi)外兩層為功能梯度材料的圓柱型復合材料的弧形界面裂紋問題，建立力學模型。運用分離變量的方法，借助邊界條件和待定系數(shù)法，推導出圓柱型復合材料界面裂紋尖端附近的應力以及位移的表達式。

1 基本問題

圖1為分層的圓柱型復合材料的橫截面。該復合材料內(nèi)外兩層為同心的非均勻圓柱，內(nèi)層功能梯度材料半徑為r1，外層功能梯度材料半徑為r2.在兩層材料粘合處上有一條張開角度為2α的弧形裂紋，將圓柱型結構橫截面的圓心o作為原點，x軸型裂紋張開角度為2α，并且整個圓柱型結構關于x軸對稱。

圖1 含弧形界面裂紋的圓柱型復合材料

Fig.1 A cylindrical composite with an arc-shaped interface crack

經(jīng)過裂紋中心且垂直于裂紋面，y軸與x軸垂直，分別建立直角坐標系和對應的極坐標系，則圓弧假設圓柱型復合材料內(nèi)外兩層分別為功能梯度材料，則在軸向剪切力作用下，其切應力與軸向位移的關系可分別表示為：

(1)

(2)

式中：βi是功能梯度材料的非均勻性參數(shù)，并且是無量綱的。

在軸向剪切力作用下，其平衡方程分別為:

(3)

把式(1)代入式(3)，同時結合式(2)，圓柱型復合材料內(nèi)外兩層功能梯度材料的控制方程可表示為:

(4)

假設該裂紋的圓柱型復合材料受到軸向剪切力的作用，由于斷裂問題的對稱性，所以只研究x軸上半部分即可，則此問題的邊界條件和連續(xù)性條件可轉化為:

w1→有限值，r→0；

(5)

w2(r2,θ)=0,0≤θ≤π；

(6)

(7)

w2(r1,θ)=w1(r1,θ),α≤|θ|≤π；

(8)

τrz(r1,θ)=-τ0,0<|θ|<α.

(9)

式中：-τ0為作用在裂紋面上等效切應力?？蓮膶嶋H作用的應力中通過疊加來確定。故討論圓柱型功能梯度雙材料界面裂紋尖端場問題被轉換為求解偏微分方程組式(4)-式(9)的邊值問題。

2 分離變量法

通過分離變量的方法求解方程組(4)，把位移函數(shù)wi(r,θ)寫成分離變量形式

wi(r,θ)=Ri(r)Φi(θ)

(10)

把式(10)代入到方程組(4),得到

(11)

式(11)兩邊同除以Ri(r)，整理可得

(12)

(13)

只有當n為整數(shù)時式(12)的解恒存在，在此條件下，式(12)有兩個線性無關的解是cos(nθ)和sin(nθ).由于此問題以θ=0的軸向截面對稱，只保留cos(nθ).最終位移函數(shù)wi(r,θ)可以用無窮級數(shù)表達如下：

(14)

(15)

其中：

(16a)

(16b)

把條件(5)代入式(14)，可以得到

Bn(n)=0

(17)

把條件(6)代入式(15)，可以得到

Dn(n)=Q1(n)Cn(n)

(18)

把條件(7)代入式(14)、式(15)，結合式(17)和式(18),可以得到

An(n)=Q2(n)Cn(n)

(19)

式中：Q1(n)和Q2(n)為已知函數(shù)，

為將式(8)和式(9)描述的混合邊值問題轉化為奇異積分方程，引入如下的位錯密度函數(shù)：

(20)

由式(8)和式(20)知位錯密度函數(shù)滿足：

(21)

根據(jù)式(14)、式(15)和式(20)可知，g(θ)為奇函數(shù)，因此有單值性條件g(0)=0.將式(14)和式(15)代入式(20)，利用有限傅里葉余弦變換，可得:

(22)

式中：Q3(n)為已知函數(shù)，

將式(22)代入應力場，再將結果代入邊界條件式(9)，得到如下積分方程：

(23)

式中：Q4(n)為已知函數(shù)，

基于Q4(n)的收斂性，積分方程式(23)進一步分離奇異性，化為Cauchy奇異積分方程，從而可求出g(s)的數(shù)值解。在此基礎上可以進一步求得裂紋尖端無量綱應力強度因子的數(shù)值解。

3 裂紋尖端應力場和位移場

將式(14)、式(15)結合式(2)代入式(1)，分別得到圓柱型功能梯度雙材料在裂紋尖端附近的位移和應力的表達式

(24)

Cn(n)cos(nθ)

(25)

(26)

sin(nθ)

(27)

(28)

(29)

其中：Cn(n)可由方程(22)解得。

4 結論

運用分離變量法和待定系數(shù)法，研究了內(nèi)外分別為功能梯度材料的圓柱型復合雙材料在徑向應力條件下的界面開裂問題，分析了圓柱型雙材料的界面裂紋尖端場。得到圓柱型雙材料界面裂紋尖端附近位移和應力的形式表達式。其結果可應用于受軸向剪切力作用圓柱型復合材料界面開裂問題的理論分析。

參考文獻：

[1] LI, C Y, ZOU, Z Z, DUAN Z P. Stress intensity factors for functionally graded solid cylinders[J]. Engineering Fracture Mechanics, 1999, 63： 735-749.

[2] 王清, 嵇醒, 王遠功. 纖維增強復合材料圓柱型界面裂紋分析 [J]. 力學學報, 1997, 29(4)： 421-428.

[3] PAN E, ROY A K. A simple plane strain solution for functionally graded multilayered isotropic cylinders.[J]. Engineering Fracture Mechanics, 2006, 24(6)： 727-740.

[4] 張雪霞, 崔小朝, 楊維陽, 等. 正交異性雙材料的Ⅱ型界面裂紋尖端場 [J]. 應用數(shù)學和力學, 2009, 30(12)： 1399-1414.

[5] 李俊林, 張少琴, 楊維陽. 雙材料混合型界面裂紋尖端應力場位移場 [J]. 太原科技大學學報, 2010, 31(5)： 406-412.

[6] 李婷, 仲政, 聶國雋. 一種特殊梯度分布的功能梯度圓柱殼的二維分析 [J]. 力學季刊, 2007, 28(4)： 549-556.

[7] YAN Z, GAO S W, FENG W J. Fracture problem for an external circumferential crack in a functionally graded superconducting cylinder subjected to a parallel magnetic field [J]. Physica C： Superconductivity and its applications, 2016, 521： 5-12.

[8] 時朋朋, 霍華頌, 李星. 功能梯度彈性材料弱間斷界面的周期反平面裂紋[J]. 寧夏大學學報, 2013, 34(1)： 16-21.

[9] 時朋朋, 霍華頌, 李星. 功能梯度壓電/壓磁雙材料的周期界面裂紋問題[J]. 力學季刊, 2013, 34(2)： 191-198.

[10] LI Y D, LEE K Y.Fracture analysis on the arc-shaped interface in a layered cylindrical piezoelectric sensor polarized along its axis [J]. Engineering Fracture Mechanics, 2009, 76(13)： 2065-2073.

[11] LI Y D, ZHANG N, LEE K Y.Fracture analysis on the arc-shaped interfacial crack between a homogeneous cylinder and its coating [J]. European Journal of Mechanics A/Solids, 2010, 29(5)： 794-800.

[12] XIAN-FANG LI, GUO-JIN TANG.Stress intensify factors for an external circular crack at the interface of a bi-material in shear-compression [J]. International Journal of Solids and Structures, 2015, (64-65)： 221-231.