趙慧娟，董安強(qiáng)，李俊林，謝秀峰

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院,太原 030024)

1 問題的描述與求解

如圖1,正交異性壓電雙材料板含有長度為2a的反平面界面裂紋,xoy平面為正交異性界面,z軸為極化方向,受到無窮遠(yuǎn)處機(jī)械載荷σ0和面內(nèi)電載荷D0作用。

圖1 正交異性壓電雙材料板

正交異性雙材料反平面問題,其本構(gòu)方程為：

(1)

在不考慮體力和自由電荷的情況下,靜態(tài)平衡方程和電靜態(tài)下的Maxwell方程如下:

(2)

對反平面界面裂紋應(yīng)力分析時(shí),有:

將本構(gòu)方程(1)代入靜態(tài)Maxwell方程(2),有:

(3)

正交異性雙材料的邊界條件如下:

無窮遠(yuǎn)處邊界條件:

(4)

(5)

不可導(dǎo)通邊界條件:

假設(shè)二：假設(shè)總是有一種標(biāo)準(zhǔn)的消費(fèi)結(jié)構(gòu)與產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)的和諧狀態(tài)存在著?，F(xiàn)有的系統(tǒng)總是處于絕對不和諧與理想和諧狀態(tài)之間的某一狀態(tài)，對系統(tǒng)優(yōu)化的目標(biāo)是讓系統(tǒng)向著理想的和諧狀態(tài)轉(zhuǎn)化。

(6)

根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論,可知式(3)的位移、電勢函數(shù)有如下實(shí)值解析解[7]:

(7)

將位移、電勢函數(shù)表達(dá)式(7)帶入本構(gòu)方程(1)中,整理得:

(8)

在反平面無窮遠(yuǎn)處對稱機(jī)械載荷σ0,面內(nèi)對稱電載荷D0的共同作用下,選取如下函數(shù):

(9)

在邊界條件(4)時(shí),式(9)的函數(shù)表達(dá)式整理為

(10)

將式(10)代入式(8),整理后代入式(4),得到方程組,解方程組得:

在邊界條件(5)時(shí),式(9)的函數(shù)表達(dá)式整理為:

(11)

將式(11)代入式(8)整理后代入邊界條件(5),將式(11)代入式(8)整理后代入邊界條件(6),整理得到；

(12)

解方程組,解得：

定義反平面應(yīng)力強(qiáng)度因子為：

則在裂紋尖端附近,即z→a時(shí),

(13)

定義裂紋尖端應(yīng)變強(qiáng)度因子:

將式(13)代入上式,則:

機(jī)械能應(yīng)變釋放率:

從上可知,裂紋機(jī)械能應(yīng)變釋放率由材料參數(shù)和載荷共同決定。

裂紋尖端附近的應(yīng)力場和電位移場為:

2 數(shù)值算例分析

以正交各向異性壓電材料為例,利用機(jī)械能應(yīng)變釋放率表達(dá)式,數(shù)值分析材料參數(shù)的差異、裂紋長度和外加機(jī)電載荷對機(jī)械能應(yīng)變釋放率的影響[8-11]。材料常數(shù)列于表1.其中ε0=8.854×10-12.

表1 各材料相關(guān)參數(shù)
Tab.1Relatedparametersofvariousmaterials

材料參數(shù)c44/(1010Nm-2)e24/(Cm-2)ε22/(Fm-1)KNBO3[8]7.4311.7780ε0KTP[9]5.9190.40311.47ε0

續(xù)表1

材料參數(shù)c44/(1010Nm-2)e24/(Cm-2)ε22/(Fm-1)PMN-PT[10]6.711.19640ε0KTA[11]5.80.6512.2ε0

以正交各向異性壓電材料KNBO3、KTP、PMN-PT、KTA為例,利用機(jī)械能應(yīng)變釋放率表達(dá)式,數(shù)值分析材料參數(shù)的差異對機(jī)械能應(yīng)變釋放率的影響。

圖2 Gm與a的關(guān)系

圖3 Gm與σ0的關(guān)系

圖4 Gm與D0的關(guān)系

由圖2-圖4可知,同樣條件下,四種材料中,機(jī)械能應(yīng)變釋放率從小到大排列為:KNBO3、PMN-PT、KTP、KTA,即材料性能上KNBO3最有利于抑制裂紋擴(kuò)展,KTA最不利于抑制裂紋擴(kuò)展。正電場作用下的機(jī)械能應(yīng)變釋放率比負(fù)電場作用下的機(jī)械能應(yīng)變釋放率大,即正電場促進(jìn)裂紋擴(kuò)展,負(fù)電場抑制裂紋的擴(kuò)展。分析材料參數(shù)的差異有利于工程上選擇材料。

以正交各向異性壓電材料KNBO3為例,利用機(jī)械能應(yīng)變釋放率表達(dá)式,數(shù)值分析裂紋長度和外加機(jī)電載荷對機(jī)械能應(yīng)變釋放率的影響。

圖5 Gm與a的關(guān)系

如圖5所示,在固定機(jī)電載荷作用下,機(jī)械能應(yīng)變釋放率與裂紋長度呈線性變化規(guī)律,即隨著裂紋長度增加,機(jī)械能應(yīng)變釋放率增大。σ0、D0越大,直線斜率越大,裂紋長度對機(jī)械能應(yīng)變釋放率的影響越大,反之,裂紋長度對機(jī)械能應(yīng)變釋放率的影響越小。比較在正負(fù)電場作用下的機(jī)械能應(yīng)變釋放率與裂紋長度之間的變化曲線可知,正電場作用下的機(jī)械能應(yīng)變釋放率比負(fù)電場作用下的機(jī)械能應(yīng)變釋放率大,即裂紋長度對機(jī)械能應(yīng)變釋放率的影響在正電場比在負(fù)電場大。這與周振功[12]的結(jié)論一致。

圖6呈現(xiàn)了機(jī)械能應(yīng)變釋放率隨σ0的變化曲線。機(jī)械能應(yīng)變釋放率隨著σ0的增大而增大,即應(yīng)力總是促進(jìn)裂紋擴(kuò)展。從圖中可知,裂紋長度a越大,Gm隨σ0的變化越劇烈,即Gm隨著σ0的增大變得越來越大;比較負(fù)電場下的Gm與σ0的關(guān)系曲線和正電場下的Gm與σ0的關(guān)系曲線可知,負(fù)電場作用下的機(jī)械能應(yīng)變釋放率小于相同正電場作用下的機(jī)械能應(yīng)變釋放率,即負(fù)電場載荷作用下的機(jī)械能應(yīng)變釋放率Gm隨σ0的變化的影響小于正電場載荷作用下影響。

如圖7顯示了機(jī)械能應(yīng)變釋放率Gm余D0的關(guān)系,電載荷的大小與方向影響機(jī)械能應(yīng)變釋放率,且機(jī)械能應(yīng)變釋放率隨著D0的增大而增大。正電場對機(jī)械能應(yīng)變釋放率的影響大于負(fù)電場,即正電場促進(jìn)裂紋擴(kuò)展,負(fù)電場抑制裂紋的擴(kuò)展[13]。

3 結(jié)論

在反平面無窮遠(yuǎn)處機(jī)械載荷和面內(nèi)電載荷作用下,利用復(fù)合函數(shù)法,研究了正交異性壓電雙材料反平面界面裂紋應(yīng)力,得到應(yīng)力強(qiáng)度因子、電位移強(qiáng)度因子、應(yīng)力場、電位移場、能量釋放率的表達(dá)式并通過數(shù)值算例,得到應(yīng)力強(qiáng)度因子、電位移強(qiáng)度因子和能量釋放率與力電載荷、裂紋長度有關(guān);機(jī)械能應(yīng)變釋放率與材料參數(shù)的差異、裂紋長度、外加機(jī)電載荷之間的關(guān)系,裂紋長度越大,外加機(jī)電載荷越大,機(jī)械能應(yīng)變釋放率越大,正電場促進(jìn)裂紋擴(kuò)展,負(fù)電場抑制裂紋擴(kuò)展。