王 寧，朱 峰

鄭州大學(xué) 商學(xué)院，鄭州450001

1 引言

為了解決復(fù)雜多屬性決策中專家偏好的不一致性，Torra 等[1-2]提出了猶豫模糊集。近年來，國內(nèi)外學(xué)者對猶豫模糊集進(jìn)行了較為廣泛的研究和應(yīng)用，先后將猶豫模糊集拓展為區(qū)間猶豫模糊集[3]、對偶猶豫模糊集[4]、猶豫三角模糊集[5]等。在多屬性決策過程中，人們對評價(jià)方案的屬性常常難以給出準(zhǔn)確的數(shù)字度量，而利用語言評價(jià)或不確定語言評價(jià)能滿足這類決策的實(shí)際需求。Rodriguez 等[6]對猶豫模糊集進(jìn)行了拓展提出了猶豫模糊語言集。雖然猶豫模糊語言集允許一個(gè)元素屬于某個(gè)集合的語言術(shù)語可以是多個(gè)，但卻將每一個(gè)語言術(shù)語發(fā)生的概率看作是相同的。然而，在多屬性決策問題中，決策者通常會偏好一些語言術(shù)語，使得其具有不同的重要程度。因此，Pang 等[7]提出了概率語言集，不僅考慮到了不同的語言術(shù)語，而且給出了其各自發(fā)生的概率。目前，概率語言集的研究已引起了愈來愈多學(xué)者的關(guān)注[8-12]。在實(shí)際的決策過程中，由于專業(yè)知識和背景的不同，人們對評價(jià)對象的認(rèn)知存在著模糊現(xiàn)象，因而，更傾向于用不確定語言術(shù)語進(jìn)行決策分析。為此Lin 等[13]對概率語言集進(jìn)行了拓展提出了概率不確定語言集。

為了測量猶豫模糊集和區(qū)間猶豫模糊集的不確定性，猶豫模糊熵和區(qū)間猶豫模糊熵被引入到多屬性決策中。Xu等[14]將模糊熵、交叉熵推廣到猶豫模糊環(huán)境下，定義了猶豫模糊集的熵和交叉熵，并討論了兩者之間的關(guān)系。Farhadinia[15]基于猶豫模糊元的距離測度提出了多種猶豫模糊元的熵。Wei等[16]等結(jié)合猶豫模糊元的均值和方差提出了一系列的猶豫模糊熵。Hu等[17]基于猶豫模糊相似度，提出了新的猶豫模糊熵。Zhao等[18]從猶豫模糊元的模糊性和猶豫性兩個(gè)角度提出了猶豫模糊元的二元熵。李香英[19]首先提出了區(qū)間猶豫模糊集的熵和相似度，并分析了兩者之間的關(guān)系，Alonso 等[20]根據(jù)區(qū)間猶豫模糊集具有模糊性、猶豫性和信息不完全性的特點(diǎn)提出了區(qū)間猶豫模糊集的三元熵。

對于任意一個(gè)概率不確定語言集，其不確定語言術(shù)語的確定具有一定的模糊性。該語言集是由多個(gè)不同的不確定語言術(shù)語構(gòu)成，顯示了一定的猶豫性。其次，每一個(gè)不確定語言術(shù)語的概率不盡相同，具有一定的似然性。并且每一個(gè)不確定語言術(shù)語本身具有一定的信息不完全性，因此概率不確定語言集的不確定性主要包含模糊性、猶豫性、信息不完全性和似然性。目前關(guān)于概率不確定語言熵的多屬性決策的研究仍為鮮見。因此，為了測量概率不確定語言集的不確定性，本文首先提出了概率不確定語言集的模糊熵、猶豫熵和不完全信息熵的公理化定義以及相關(guān)測度，以分別測量概率不確定語言集的模糊性、猶豫性和信息不完全性。其次，為了能夠測量概率不確定語言集的整體不確定性，本文結(jié)合概率不確定語言集的模糊熵、猶豫熵和不完全信息熵，提出了概率不確定語言集總熵的公理化定義和相關(guān)測度。最后，本文將概率不確定語言熵與VIKOR 方法結(jié)合運(yùn)用到屬性權(quán)重未知的多屬性決策問題中，并通過具體案例進(jìn)行了驗(yàn)證分析。

2 預(yù)備知識

定義1[13]設(shè)集合S={si|s0≤si≤sg,i=0.1,…,g}是一個(gè)粒度為g 的語言術(shù)語集，則概率不確定語言集（PULTS）可定義為：其中和分別是不確定語言術(shù)語的上界和下界。l 代表S(p)中元素的個(gè)數(shù)，而且pλ代表的概率。 S(p)的補(bǔ)集為，其中Lλ和Uλ分別代表和的下標(biāo)度。

當(dāng)概率不確定語言集S(p)包含不連續(xù)的不確定語言術(shù)語且它的概率滿足，例如S(p)={＜[s1,s2],0.4 ＞,＜[s1,s3],0.4 ＞}。為了計(jì)算的方便，文獻(xiàn)[13]提出一種可將其轉(zhuǎn)化為包含連續(xù)不確定且概率之和為1的語言術(shù)語的標(biāo)準(zhǔn)化處理方法。

首先，要求將不連續(xù)的不確定語言術(shù)語分成一定數(shù)量的連續(xù)不確定語言術(shù)語，并且將其概率平分。然后為了使概率不確定語言集中的概率和歸一化，按照以下方法對其進(jìn)行處理：

為了計(jì)算方便，本文中所有的概率不確定語言集都是經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化處理的。

定義2[13]設(shè)任意兩個(gè)經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化的概率不確定語言集S1(p),S2(p)，則稱

為兩個(gè)概率不確定語言集的距離。其中δ(λ):(1,2,…,l)→(1,2,…,l)是一種排列，且滿足

3 概率不確定語言熵

為了測量概率不確定語言集的模糊性、猶豫性、信息不完全性和整體不確定性。本文將分別提出概率不確定語言集的模糊熵、猶豫熵、不完全信息熵和總熵的公理化定義和一系列熵測度公式。

3.1 概率不確定語言集的模糊熵

定義3 設(shè)任意三個(gè)概率不確定語言集S(p),S1(p),S2(p)，其中，S1(p)=。一般稱函數(shù)EFp:S(p)→[0,1]為概率不確定語言集的模糊熵，且滿足以下性質(zhì)：

（1）EFp(S(p))=0當(dāng)且僅S(p)={＜s0,p ＞,＜sg,1-p ＞}。

（2）EFp(S(p))=1 當(dāng)且僅當(dāng)

（4）EFp(S(p))=EFp(Sc(p))。

為概率不確定語言S(p)的模糊熵。且函數(shù)f(x):[0,1]→[0,1]滿足：（1）f(x)=0 當(dāng)且僅當(dāng)x=0或x=1；（2）f(x)=1 當(dāng)且僅當(dāng)x=0.5；（3）f(1-x)=f(x)：（4）當(dāng)x ∈[0,0.5]時(shí)，f(x)關(guān)于x 為單調(diào)遞增，當(dāng)x ∈[0.5,1]時(shí)，f(x)關(guān)于x 為單調(diào)遞減。

由于篇幅有限，因此EFp(S(p))滿足定義3的證明過程省略。通過改變定理1 中f(x)的表達(dá)式可以獲得許多類型概率不確定語言集的模糊熵，如：

其中0 ＜t ≤1。

文獻(xiàn)[21]認(rèn)為一個(gè)新的熵可以由自變量為已知的熵的函數(shù)構(gòu)成。基于該思想，本文提出一種具有廣義形式的概率不確定語言集的模糊熵。相關(guān)表達(dá)式如下：

定理2 對于任意一個(gè)概率不確定語言集S(p)，設(shè)EFp1(S(p)),EFp2(S(p)),…,EFpn(S(p)) 是S(p) 的模糊熵，則稱

為S(p) 的模糊熵，其中函數(shù)Φ(x1,x2,…,xn):[0,1]n→[0,1]滿足以下三個(gè)性質(zhì)：

（1）當(dāng)xi∈[0,1](i=1,2,…,n)時(shí)，Φ關(guān)于xi單調(diào)遞增。

（2）當(dāng)函數(shù)值Φ(x1,x2,…,xn)=1 時(shí)僅當(dāng)xi=1(i=1,2,…,n)。

（3）當(dāng)函數(shù)值Φ(x1,x2,…,xn)=0 時(shí)僅xi=0(i=1,2,…,n)。

關(guān)于Φ(x1,x2,…,xn)的表達(dá)式本文給出一些簡單的例子，例如：

3.2 概率不確定語言集的猶豫熵

猶豫熵的本質(zhì)是描述概率不確定語言集的不確定語言術(shù)語的離散程度。本文認(rèn)為一個(gè)概率不確定語言集的猶豫性可以從以下方面考慮：（1）當(dāng)不確定語言術(shù)語保持不變，而其對應(yīng)的概率越接近時(shí)，則表示不確定語言術(shù)語的猶豫性越大；（2）當(dāng)不確定語言術(shù)語的概率保持不變，而它們彼此差異程度越大時(shí)，其猶豫性越大。基于以上分析，本文提出了概率不確定語言集的猶豫熵公理化定義和對應(yīng)的熵測度。

定義4 任意三個(gè)概率不確定語言集S(p),S1(p),S2(p)，一般稱函數(shù)EHp:S(p)→[0,1]為概率不確定語言集的猶豫熵，而且需要滿足以下性質(zhì)：

（1）EHp(S(p))=0 當(dāng)且僅當(dāng)S(p)={＜[sL,sU],1 ＞},sL,sU∈S。

（2）EHp(S(p))=1當(dāng)且僅S(p)={＜s0,0.5 ＞,＜sg,0.5 ＞}。

（4）EHp(S(p))=EHp(Sc(p))。

為S(p)的猶豫熵，其中：

同時(shí)函數(shù)g(x):[0,1]→[0,1]滿足以下3個(gè)性質(zhì)：

（1）g(x)=0 當(dāng)且僅當(dāng)x=0。

（2）g(x)=1 當(dāng)且僅當(dāng)x=1。

（3）g(x)關(guān)于x 為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)。

同樣關(guān)于EHp(S(p))滿足定義4的證明過程省略。

通過改變g(x)的表達(dá)式可以獲得許多類型概率不確定語言集的猶豫熵，如：

本文基于文獻(xiàn)[21]的思想，提出具有廣義形式的概率猶豫模糊元的猶豫熵，定義如下：

定理4 對于任意一個(gè)概率不確定語言集S(p)，設(shè)EHp1(S(p)),EHp2(S(p)),…,EHpn(S(p))為S(p)的猶豫熵，則稱

為S(p)的猶豫熵，其中函數(shù)Φ(x1,x2,…,xn)同樣滿足定理2中3個(gè)性質(zhì)。

3.3 概率不確定語言集的不完全信息熵

不完全信息熵是描述概率不確定語言集的不確定語言術(shù)語所包含決策信息的不完全性。本文認(rèn)為一個(gè)概率不確定語言集的信息不完全性可以從兩個(gè)方面考慮：（1）當(dāng)不確定語言術(shù)語的概率保持不變而其下界和上界的差異程度越大，則不確定語言術(shù)語包含決策信息的不完全性越大；（2）當(dāng)不確定語言術(shù)語下界和上界的差異程度保持不變，且其差異程度較大的概率越大，差異程度較小的概率越小，則不確定語言術(shù)語的不完全信息越多?；谝陨蟽牲c(diǎn)，本文提出了概率不確定語言集的不完全信息熵，其公理化定義和對應(yīng)的熵測度定義如下：

定義5 任意三個(gè)概率不確定語言集S(p),S1(p),S2(p)，一般稱函數(shù)EGp:S(p)→[0,1]為概率不確定語言集的不完全信息熵，且滿足以下性質(zhì)：

（1）EGp(S(p))=0 當(dāng)且僅當(dāng)

（2）EGp(S(p))=1 當(dāng)且僅當(dāng)S(p)={＜[s0,sg],1 ＞}。

（4）EGp(S(p))=EGp(Sc(p))。（5）若和，則EGp(S1(p))≤EGp(S2(p))。

為S(p)的不完全信息熵，其中函數(shù)h(x):[0,1]→[0,1]滿足以下3條性質(zhì)。

（1）h(x)=0 當(dāng)且僅當(dāng)x=0。

（2）h(x)=1 當(dāng)且僅當(dāng)x=1。

（3）h(x)關(guān)于x 為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)。

同樣關(guān)于EGp(S(p))滿足定義5的證明過程省略。

通過改變h(x)的表達(dá)式可以獲得許多類型概率不確定語言集的不完全信息熵，如：

根據(jù)已知的概率不確定語言集的不完全信息熵可以得到具有廣義形式的新不完全信息熵，相關(guān)定義如下：

定理6 對于任意一個(gè)概率不確定語言集S(p)，設(shè)EGp1(S(p)),EGp2(S(p)),…,EGpn(S(p)) 為S(p) 的不完全信息熵，則稱

為S(p)的不完全信息熵，其中函數(shù)Φ(x1,x2,…,xn)同樣滿足定理2中的三個(gè)性質(zhì)。

3.4 概率不確定語言集的總熵

由上文可知模糊熵、猶豫熵和不完全信息熵僅代表了概率不確定語言集的模糊性、猶豫性和信息不完全性。為了全面地考慮概率不確定語言集信息的不確定性，本文根據(jù)定義3、定義4和定義5提出概率不確定語言集的總熵以及對應(yīng)公理化定義。

定義6 設(shè)任意三個(gè)概率不確定語言集S(p)、S1(p)、S2(p)，函數(shù)EˉFp為概率不確定語言集的模糊熵，函數(shù)EˉHp為概率不確定語言集的猶豫熵，函數(shù)EˉGp為概率不確定語言集的不完全信息熵。一般稱函數(shù)ETp:S(p)→[0,1]為概率不確定語言集的總熵，而且ETp需要滿足以下性質(zhì)：

（1）當(dāng)ETp(S(p))=0 時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)S(p)={＜s0,1 ＞}或者S(p)={＜sg,1 ＞}。

（2）當(dāng)ETp(S(p))=1 時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)S(p)={＜[s0,sg],1 ＞}或S(p)={＜s0,0.5 ＞,＜sg,0.5 ＞}。

（4）ETp(S(p))=ETp(Sc(p))。

定理7 對于任意一個(gè)概率不確定語言集h(p)，則稱為概率不確定語言集的總熵。同時(shí)函數(shù)F(x,y,z):[0,1]3→[0,1]滿足以下4個(gè)性質(zhì)：

（1）F(x,y,z)=0 當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=0。

（2）F(1,0,0)=F(0,1,0)=F(0,0,1)=1。

（3）設(shè)x′,y′,z′是x,y,z的任意位置互換，則F(x,y,z)=F(x′,y′,z′)。

（4）當(dāng)y,z 不變時(shí)，函數(shù)F(x,y,z)隨著x 的遞增而遞增的；當(dāng)x,z 不變時(shí)，函數(shù)F(x,y,z)隨著y 的遞增而遞增的；當(dāng)x,y 不變時(shí)，函數(shù)F(x,y,z)隨著z 的遞增而遞增的。

關(guān)于定理7滿足定義6的證明過程略。通過改變定理7中的函數(shù)F 表達(dá)形式，可以獲得許多類型的概率不確定語言總熵，例如：

根據(jù)已知的概率不確定語言集的總熵可以得到具有廣義形式的新概率不確定語言集的總熵，相關(guān)定義如下：

定理8 對于任意一個(gè)概率不確定語言集S(p)，設(shè)為S(p)的總熵，其中函數(shù)Φ(x1,x2,…,xn)同樣滿足定理2中的三個(gè)性質(zhì)。

4 基于概率不確定語言熵的多屬性決策模型

利用上述概率不確定語言集的模糊熵、猶豫熵、不完全信息熵和總熵，下面將建立基于四種不確定概率語言熵的多屬性決策模型。

對某一概率不確定語言多屬性決策問題，語言術(shù)語集S={si|s0≤si≤sg,i=0,1,…,g} ，設(shè) 方 案 集X={xi|i=1,2,…,m} 、屬性集A={aj|j=1,2,…,n} 和屬性權(quán)重集w=(w1,w2,…,wn)T，其中方案集和屬性集已知，而屬性權(quán)重集未知，則決策步驟如下：

步驟1 首先獲得專家的決策結(jié)果，其次由于多屬性決策問題中屬性存在兩種類型，即利益型和成本型，前者的屬性值越大越好，而后者的屬性值越小越好。兩種屬性值無法進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，因此需要按照以下規(guī)則進(jìn)行處理：（1）對于利益型屬性，其屬性值保持不變；（2）對于成本型屬性，需要將其轉(zhuǎn)化為利益型屬性，即Sij(p)?，最終獲得了決策矩陣M=(Sij(p))m×n。

步驟2 首先根據(jù)式（6）、式（15）和式（21）計(jì)算概率不確定語言集Sij(p) 的模糊熵、猶豫熵和不完全信息熵。根據(jù)式（25）確定概率不確定語言集Sij(p)的總熵。若屬性權(quán)重完全未知，則由信息熵理論可知，熵值越小，相應(yīng)的評價(jià)指標(biāo)越重要；反之熵值越大，則該評價(jià)指標(biāo)越不重要，則屬性aj的權(quán)重wj的計(jì)算公式如下：

如果決策者根據(jù)經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蛱峁┎糠謱傩詸?quán)重信息，設(shè)部分屬性權(quán)重信息集合為Δ，則可以將決策者提供的部分主觀權(quán)重信息作為優(yōu)化模型的約束條件，此外屬性的權(quán)重應(yīng)當(dāng)使得信息熵越小越好[22]，因此建立一個(gè)有主觀權(quán)重信息約束的屬性權(quán)重確定模型（M-1）：

步驟3 根據(jù)式（1）分別計(jì)算每一個(gè)概率不確定語言集Sij(p)與正理想概率不確定語言集S+(p)={＜[sg,sg],p1＞,＜[sg,sg],p2＞,…,＜[sg,sg],plij＞}、負(fù)理想概率不確定語言集S-(p)={＜[s0,s0],p1＞,＜[s0,s0],p2＞,…,＜[s0,s0],plij＞} 的距離dp(Sij(p),S+(p))、dp(Sij(p),S-(p))，S-(p),S+(p)中的元素個(gè)數(shù)會隨著每一個(gè)概率不確定語言集Sij(p)中元素的個(gè)數(shù)而定，而且概率pλ(λ=1,2,…,lij)與概率不確定語言集Sij(p)中隸屬度的所有概率相等。

步驟4 根據(jù)改進(jìn)VIKOR 方法[23]、屬性權(quán)重集w=(w1,w2,…,wn)T，dp(Sij(p),S+(p))和dp(Sij(p),S-(p))，計(jì)算每一個(gè)方案xi(i=1,2,…,m)的群體效益值、個(gè)體遺憾值和綜合評價(jià)值計(jì)算公式分別是：

步驟5 分別根據(jù)MSi、MRi和MQi對方案進(jìn)行升序排列，得到三個(gè)排序，其中MSi和MRi數(shù)值越小，MQi數(shù)值越大代表方案越優(yōu)。

步驟6 確定妥協(xié)方案。設(shè)MQi按照升序排列得到的結(jié)果為x(1),x(2),…,x(m)，如果x(1)同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件，則為妥協(xié)方案：

（2）在依據(jù)MSi和MRi進(jìn)行排列時(shí)，x(1)至少有一個(gè)依然排列為最小值。

如果上述條件不能同時(shí)滿足，則可以依據(jù)以下情況分別得到妥協(xié)方案：如果不滿足條件（2），則x(1)和x(2)均為妥協(xié)方案；如果不滿足條件（1），則妥協(xié)方案為x(1),x(2),…,x(m)，其中

5 案例分析

為了便于與已有的方法進(jìn)行比較，本文選取了文獻(xiàn)[13]采用的案例。

5.1 問題描述

假設(shè)一家公司邀請五位專家ek(k=1,2,…,5)根據(jù)成本a1、可靠性a2、安全性a3、可用性a4和功能a5這五個(gè)屬性對四種云存儲服務(wù)xi(i=1,2,3,4)進(jìn)行評估，并且從中選擇最佳的服務(wù)。其中a1是屬于成本型其他屬性均為利益型，五位專家的權(quán)重相等，其評估結(jié)果用概率不確定語言集的形式表示。其中專家采取的語言術(shù)語集為S={s0：極其差，s1：非常差，s2：差，s3：稍差，s4：一般，s5：稍好，s6：好，s7：非常好，s8：極其好}。表1～5分別表示五位專家對這四種云存儲服務(wù)的評估。

表1 專家e1 的評價(jià)結(jié)果矩陣

表2 專家e2 的評價(jià)結(jié)果矩陣

表3 專家e3 的評價(jià)結(jié)果矩陣

表4 專家e4 的評價(jià)結(jié)果矩陣

表5 專家e5 的評價(jià)結(jié)果矩陣

由于專家們的權(quán)重一樣，根據(jù)3.1 小節(jié)中對不確定概率語言集的標(biāo)準(zhǔn)化方法對五位專家的評價(jià)結(jié)果進(jìn)行處理，然后形成了概率不確定語言決策矩陣，如表6 所示。

5.2 屬性權(quán)重的確定

5.3 評估方案排序

本文取θ=0.5，根據(jù)式（28）、（29）和（30）計(jì)算所有概率不確定語言集Sij(p)(i=1,2,3,4,j=1,2,…,5)的群體效益值MSi、個(gè)體遺憾值MRi和綜合評價(jià)值MQi。

根據(jù)表7 和步驟6 可以得到對于方案x2，條件1：

表7 各方案的量值及排序

5.4 敏感性分析

在式（30）中偏好系數(shù)θ 的取值可能會影響最終的排序結(jié)果，因此通過對θ 取不同的數(shù)值進(jìn)行敏感性分析。將偏好系數(shù)θ 從區(qū)間[0，1]范圍內(nèi)以步長為0.1 取值，分析四種云存儲服務(wù)評價(jià)結(jié)果的排序情況。計(jì)算結(jié)果如圖1所示。

圖1 θ 值對妥協(xié)方案的影響

根據(jù)圖1的結(jié)果可見，隨著偏好系數(shù)θ 的改變排序結(jié)果始終是x2?x1?x3?x4，且經(jīng)過計(jì)算最終得到的妥協(xié)方案始終為x1和x2，與上文的決策結(jié)果是一致的。由此可見，排序結(jié)果對偏好系數(shù)θ 的變動(dòng)不敏感。

5.5 比較分析

為了說明本文模型的有效性，運(yùn)用文獻(xiàn)[13]的方法對評價(jià)結(jié)果進(jìn)行比較分析。其中文獻(xiàn)[13]分別提出了概率不確定語言TOPSIS（PUL-TOPSIS）法和基于概率不確定語言加權(quán)平均算子（PULWA）的多屬性決策方法。將以上兩種方法的計(jì)算結(jié)果與本文的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，其結(jié)果如表8所示。

表8 三種方法的結(jié)果比較

根據(jù)表8的結(jié)果可知：雖然本文模型得到的結(jié)果與文獻(xiàn)[13]中的結(jié)果存在部分差異，但本文模型具有以下優(yōu)勢：（1）文獻(xiàn)[13]的方法采取離差最大化確定屬性權(quán)重，而在本文模型中決策者可根據(jù)自身偏好選擇合適的熵測度進(jìn)行確權(quán)，具有較大的靈活性；（2）文獻(xiàn)[13]中的方法假設(shè)決策者是完全理性的，而在本文模型中決策者可根據(jù)自身偏好選擇合適的偏好系數(shù)θ 進(jìn)行決策分析，充分考慮了決策者的心理偏好，更加符合決策者的實(shí)際經(jīng)歷；（3）文獻(xiàn)[13]的方法并未考慮屬性的類型，而本文模型中考慮了屬性存在成本型和利益型，因此得到的結(jié)果更加合理；（4）文獻(xiàn)[13]的方法只適用于屬性權(quán)重完全未知的情況，而本文模型不僅適用于屬性權(quán)重完全未知，也適用于屬性權(quán)重部分未知的情況，適用范圍更廣。

6 結(jié)論

面對概率不確定語言多屬性決策的實(shí)際需求和概率不確定語言熵的研究仍為鮮見的現(xiàn)狀，本文指出了概率不確定語言集的不確定性包括模糊性、猶豫性、信息不完全性和似然性，提出了測量概率不確定語言集模糊性、猶豫性和信息不完全性的模糊熵、猶豫熵和不完全信息熵，并結(jié)合猶豫熵、模糊熵和不完全信息熵提出了全面測量概率不確定語言集不確定性的總熵。針對屬性權(quán)重完全未知的概率不確定語言多屬性決策問題，本文應(yīng)用這四種概率不確定語言熵建立了決策模型，研究結(jié)果表明了該決策模型的有效性。在后續(xù)的研究中，將關(guān)注概率不確定語言集的其他類型的集結(jié)算子。