郭 鵬

(上海電機學(xué)院 商學(xué)院, 上海 201306)

Riccati方程有很多重要的應(yīng)用，如在現(xiàn)代的控制理論中，一個線性二次型的最優(yōu)控制問題中，最優(yōu)反饋增益矩陣就是通過求解Riccati方程獲得的。李權(quán)等[1]研究了基于Riccati方程的復(fù)合控制導(dǎo)彈自動駕駛儀設(shè)計，童俊等[2]基于Riccati方程和Kuhn-Munkres算法研究了多傳感器跟蹤資源分配，徐啟華等[3]研究了基于Riccati方程的航空發(fā)動機的魯棒控制。

從這類方程的提出至今已有300余年，早在1841年，法國數(shù)學(xué)家Liouville就證明了，Riccati方程一般情況下沒有初等解法，即一般情況下無法用積分法來求解此類方程。Riccati方程的求解，自該方程誕生以來，一直受到很多學(xué)者的關(guān)注。鐘萬勰[4]給出了關(guān)于Riccati方程的精細(xì)積分，楊云路等[5]研究了一類Riccati方程特解的求法，王明建等[6]研究了用一階方程組求Riccati方程的特解。如果已經(jīng)知道Riccati方程的一個根，將Riccati方程轉(zhuǎn)化為Bernouli方程，對于Bernoulli方程，我們可以求解，這樣即可給出Riccati方程的解。關(guān)于Riccati方程的研究，還可以參考文獻[7-13]。

對于Riccati方程的一些特殊情況，已經(jīng)證明了Riccati方程可以用初等方法給出解析解，但是像這類能給出解析解的Riccati方程畢竟是有限的，絕大部分的Riccati方程還是很難求解的。因此，對于一般情況下的Riccati方程，如何給出其近似解也是值得探討的。

1 Adomian算子分裂法

Adomian算子分裂法是一類解決非線性方程的有效方法[14-15]。下面針對Adomian方法的具體實現(xiàn)過程給出一個簡單介紹。對于每一個非線性方程，可以將之分解為如下形式：

L(u)+R(u)+N(u)=g

(1)

式中：L(u)為方程最高階算子的線性部分；R(u)為線性部分的余項；N(u)為非線性項；g為右端項。

在一般意義上，算子L是可逆的，如果將L-1同時作用在式(1)的兩側(cè)，即可以得到

u=-L-1R(u)-L-1N(u)+L-1g+φ

(2)

式中：φ同時滿足初始條件和Lφ=0；L-1的形式取決于算子L，如果L是一階導(dǎo)數(shù)，那么L-1就是一重積分，如果L是二階導(dǎo)數(shù)，那么L-1就是二重積分。

(3)

式中：n∈N。顯然對于前幾項Adomian多項式，可以寫出具體的對應(yīng)關(guān)系：

(4)

將式(4)代入式(2)，即有

(5)

如果將u0取為u0=L-1g+φ，這時可以獲得如下的關(guān)系：

(6)

理論上來說，有了上述的遞推關(guān)系，就可以求出所有的ui(i=1，2，…)，進而給出方程解的具體表達式。求出所有項然后再給出解的表達式顯然是不可能完成的，但是Adomian多項式一般有著良好的收斂性，通常情況下，只需要計算出有限的幾項，就可以給出收斂精度較好的結(jié)果。關(guān)于Adomian方法的收斂性，Cherruault等[16]給出了一系列證明。

2 數(shù)值實驗

例1研究的非線性Riccati方程，形式如下：

(7)

該方程滿足的初始條件y|t=0=2。

為了便于討論，將方程(7)寫成如下形式：

(8)

在這里L(fēng)是一階導(dǎo)數(shù)，則L-1為一重積分，線性項為(2t-1)y，非線性項為(1-t)y2，右端項為t。為了更直觀說明計算過程，接下來取n=3，按照所給的格式，可以得到如下一系列表達式：

(9)

上面的這幾項即為我們研究的Riccati方程級數(shù)形式解的前幾項，如果將所得到的這幾項相加，即有如下的近似解：

(10)

對于Adomian算子分裂法，理論上計算項數(shù)越多，近似效果越好。對于n較大時，近似解的表達式也可類似給出，一般表達式比較繁瑣，這里略去。本文中的關(guān)于解析近似解的計算都是在Maple12上進行的，關(guān)于數(shù)值計算的結(jié)果都是在Matlab上計算的。圖1中給出了Riccati方程精確解與n取不同值時，所得近似解。由圖可見，“*”型線表示的是n=9時的近似解，非常明顯，n=9時的近似解比n=3和n=6時的近似解更接近精確解。當(dāng)n越大時，近似解越接近精確解。

圖1 當(dāng)n取不同值時，Riccati方程近似解與精確解的比較

表1給出了當(dāng)n=9時，自變量t取不同值時，Riccati方程近似解，精確解及絕對誤差。從絕對誤差一欄可以看出，算子分裂法在計算Riccati方程的近似解的誤差是比較小的，如果將n取得更大一些，絕對誤差還會更小。

表2中給出n取不同值時，分別給出所得到近似解與精確解之間的誤差。從絕對誤差結(jié)果中，可以看出t取不同值時，n越大，絕對誤差越小，這也從實驗上驗證了算子分裂法的收斂效果。如果希望得到誤差更小的近似解，只需將n取大一些，多計算幾項即可。

表1 當(dāng)n=9時，Riccati方程近似解及絕對誤差

例2下面研究的非線性Riccati方程形式如下：

(11)

該方程滿足的初始條件y|t=0=2。

在這里，線性項為-2e2ty，非線性項為ety2，右端項為et-e3t。當(dāng)選取n=3時，給出該方程級數(shù)形式解的前幾項的具體表達式如下：

(12)

由此可得當(dāng)n=3時解析近似解的表達式：

(13)

也可得當(dāng)n=6時解析近似解的表達式：

(14)

當(dāng)n=6時，從解的形式上明顯能夠看出，解的表達式比n=3要復(fù)雜一些。當(dāng)n=6時，解的表達式的精確度要比n=3時的解析解的精確度要好(見表3、圖2)。解析解精確度的增加是以計算量的增加為代價的，越高的精確度也就意味著計算量的增加。類似的，還可給出當(dāng)n=9時的解析近似解的表達式，由于當(dāng)n=9時的表達式太冗長，表達式的具體形式從略。

表3 當(dāng)n取不同值時，Riccati方程近似解與精確解的絕對誤差

圖2 當(dāng)n取不同值時，Riccati方程近似解與精確解的比較

在圖2中，給出了n=6，9，12時，精確解與解析近似解的比較。由圖2可見當(dāng)n=12時“□”線型所表示的解析近似解最接近精確解，而n=6時“○”線型所表示的解析近似解與精確解的誤差最大。

表3中給出了n取不同值時，所得到近似解與精確解之間的誤差。從絕對誤差結(jié)果中可以看出，t取不同值時，n越大，絕對誤差越小，同時也能夠看出精確度的增加是以計算量的增加為代價的。理論上來說計算的項數(shù)越多，所得結(jié)果的精確度也就越高。

3 結(jié) 語

本文首先介紹了Adomian算子分裂法，并給出了該算子分裂法的一般計算過程，結(jié)合Adomian多項式，給出了解析近似解的遞推關(guān)系。其次，針對很難給出解析解的Riccati方程，將Adomian算子分裂法引入計算，將Riccati方程分為線性部分、非線性部分、右端項等。緊接著，在第一個例題中給出了Riccati方程，當(dāng)n=3時的解析近似解的具體表達式，并探討了當(dāng)n=3，6，9時，解析解與精確解的誤差。在第2個例子中，不僅給出了當(dāng)n=3時的解析近似解的具體表達式，還給出了當(dāng)n=6時的解析近似解，對于n=6，9，12時，也給出了解析近似解與精確解的誤差。

從實驗結(jié)果中發(fā)現(xiàn)，n取得越大，解的精度就越高，理論上來說，只要n取得足夠大，就能夠得到任意的精度。但是獲得的精度越高，計算量也就越大，計算機就需要花費很多內(nèi)存來保存解析近似解。最后通過數(shù)值實驗，我們只選取了有限的幾項，驗證了算子分裂法的收斂效果，數(shù)值實驗的結(jié)果充分表明，該方法對于求解Riccati方程非常有效。

在后續(xù)的工作中，我們將嘗試把Adomian算子分裂法引入到求解其他類型的微分方程，同時還將考慮引用改進的Adomian算子分裂法，以期在計算相同項數(shù)的同時獲得更高的計算精度。