郭靜

【摘要】“模型思想”是數(shù)學課程標準修訂過程中新增的一個核心詞，在小學階段怎樣實施數(shù)學模型教學，還處于起步和探索階段。如何根據(jù)教學實際深入理解模型思想的內(nèi)涵，從而把“模型思想”融入教學當中，還有很多問題值得探究。

【關鍵詞】概念 模型 構建

數(shù)學課程標準指出：模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。在小學階段，模型思想的主要教學形式是滲透。教師需綜合考慮，結合教學內(nèi)容，采用“教者有意、學者無心”的方式，引導學生由淺入深、由表及里地認識數(shù)學模型，感悟模型思想。本文以《認識射線、直線和角》一課的教學為例，淺談如何在概念教學中滲透模型思想。

一、舊知找準起點，初識概念模型

建構主義認為學習是學習者基于原有的知識經(jīng)驗生成意義、建構理解的過程。教學中，教師需要關注學生的“前概念”，找到新知與學生已有經(jīng)驗中的契合點，把它作為起點，在此基礎上進行概念的構建，建立起符合學生自己經(jīng)驗的概念模型。

【片段】

師：想一想：線段有什么特征？畫一條線段，并量一量有多長。

師（小結）：線段有長有短，但無論畫得有多長，我們都能用尺把它的長度量出來，在數(shù)學上叫作“有限長”。也就是說，線段是可測量、有限長的。

【評析】

在本環(huán)節(jié)中，教師引導學生一起復習了之前學過的有關線段的概念，通過看一看、畫一畫、說一說幫助學生抽象出線段是可測量、有限長的本質特征。為后面讓學生體會把線段的一端無限延長得到一條射線，把線段的兩端都無限延長得到一條直線，抽象出射線和直線區(qū)別于之前學的線段，是不可測量、無限長的這一概念模型做好鋪墊。

二、經(jīng)驗突破障礙點，辨識概念模型

認知心理理論認為，一切新的學習都是在原有學習的根基上產(chǎn)生的，新知總是通過與原有認知結構中的相關知識相互聯(lián)系、相互作用后獲得意義。學習和生活的所有活動都使得學生獲得了幾何圖形的最初步的概念，但有時這些概念都是模糊的，學生理解起來會有一定障礙，我們有必要把這些經(jīng)驗進行數(shù)學化，以形成新的經(jīng)驗，從而實現(xiàn)經(jīng)驗提升或重組。教學中，教師需準確把握學生在構建模型概念時的障礙所在，并通過一定的教學手段進行突破，從而引導學生準確地辨別概念模型。

【片段】（出示夜景圖）

師：這些燈射出的光線有什么共同的特點？

師：這些燈光都是從某一個光源射出去，而且都是沿著直的線往前，前面沒有遮擋的話一直會向無限的遠處射去，沒有終點。這些燈射出的光線，我們都可以看作是射線。（板書：射線）

【評析】

讓學生初步建立“無限”的概念是本課教學難點，也是學生概念構建中的一大障礙。在本環(huán)節(jié)中，教師引導學生從實際生活原型（光線）出發(fā)，引導學生運用觀察、比較、分析、抽象概括等數(shù)學活動，讓學生有意識地去掉數(shù)學問題中非本質的東西，從而辨識出射線這一概念模型。除此之外，教師還嘗試引導學生用數(shù)學語言來表述數(shù)學模型，學生在完整經(jīng)歷數(shù)學模型的抽象過程中不僅突破了障礙，而且還培養(yǎng)了數(shù)學語言的表達能力，一舉多得。

三、外顯生長點，共識概念模型

一般來說，學生對概念的理解都是個性化的，是學生思維過程的產(chǎn)物。在概念教學中，教師應該充分引導學生將抽象的思維過程轉化成看得見的直觀模型，把思維的空間留給學生，以學生經(jīng)歷知識的形成過程為主導，使思維外顯，從而抽象出概念的本質特征，形成共識，有效構建概念模型。

【片段】

師：你能憑著對射線的感覺，自己來畫一條線段嗎？（投影展示）

師：這幾位同學畫的線方向不同，看似有長有短，有什么相同的地方？

師（引導）：直;只有一個端點;表示一端無限長。

師（追問）：為什么只在一端畫端點，而另一端不畫？

師（說明）：數(shù)學上，在有限的紙上要表達無限長的概念，就是通過不畫端點來表示的。

【評析】

動手操作實踐是數(shù)學學習的重要途徑和方法，它能把抽象的數(shù)學知識變得看得明、說得清。學生通過動手、動腦、動口參與學習過程，使操作、思維、語言等有機結合，從而建立清晰的數(shù)學模型。在本環(huán)節(jié)中，教師先讓學生利用剛才看到的有關射線的實體模型，根據(jù)初步建立的表象，嘗試自己來畫一條射線。再通過投影展示、觀察、交流發(fā)現(xiàn)：射線是無限長的，在有限的紙上表達無限長的概念，就是通過不畫端點來表示的，從而達成共識，成功構建“射線有一個端點、無限長”這一概念模型。

四、反思鏈接點，甄識概念模型

數(shù)學概念之間具有聯(lián)系性，只有建立數(shù)學概念之間的聯(lián)系，建立數(shù)學概念的不同表示之間的聯(lián)系，才能透徹理解數(shù)學概念;概念學習實際上就是通過建立概念之間內(nèi)在的以及概念的不同表象之間的各種聯(lián)系，使之形成概念網(wǎng)絡。從數(shù)學建模的角度來說，“利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當?shù)臄?shù)學工具，構造相關數(shù)量之間的相等關系或其他數(shù)學結構”這一步至關重要。正因為如此，重視引導學生在探索新知的過程中，構造恰當?shù)年P系或結構，不僅有利于提高學生的分析能力，而且能使學生逐步增強數(shù)學意識、培養(yǎng)數(shù)學眼光、感受模型思想的應用價值。

【片段】

師：射線也可以從我們之前學過的線段變化而來，想想看，可以怎樣變？

（生畫后交流）

師：我們把有限長的線段的一端無限延長變化成了射線。怎樣把線段延長，得到一條直線？

（生畫后交流）

【評析】

在本環(huán)節(jié)中，教師引導學生回顧反思把線段的一端無限延長可以得到一條射線，再次體會從有限長到無限長的聯(lián)系與區(qū)別，突出射線的本質特征。在此基礎上，把線段的兩端都無限延長就得到一條直線。整個教學過程既溝通新舊知識之間的聯(lián)系，又注重引導區(qū)別，通過必要的手段幫助學生提升原有的認識，從而更加便捷地得到更具可遷移性的數(shù)學模型。本環(huán)節(jié)板書設計體現(xiàn)了教學內(nèi)容的系統(tǒng)性和概括性，還富有啟發(fā)性和示范性，一方面揭示知識的內(nèi)在規(guī)律，另一方面表明思路的來龍去脈，有利于學生理解線段、射線、直線這三個幾何概念的聯(lián)系與區(qū)別，有畫龍點睛的作用。

【板書】

五、溝通共同點，省識概念模型

荷蘭數(shù)學家弗賴登塔爾曾說過：“數(shù)學來源于現(xiàn)實，也必須扎根于現(xiàn)實，并且應用于現(xiàn)實?！彼裕攲W生建立數(shù)學模型以后，教師應該幫助學生構造數(shù)學現(xiàn)實，尋找兩者共同點，并在此基礎上發(fā)展他們的數(shù)學現(xiàn)實，及時引導學生在實際應用中解決新問題、同化新知識、拓展新認知，使數(shù)學模型成為溝通實際問題與數(shù)學知識的橋梁，從而幫助學生進一步提升數(shù)學模型的應用水平，積累模型經(jīng)驗，形成初步的模型思想。

【片段】

師（出示踐踏草坪的圖片）：誰用數(shù)學知識解釋一下這種行為？

生：從圖上位置到公交站臺兩點之間連線，線段的距離最短。

（師根據(jù)學生的回答，出示圖片，如下圖）

【評析】

為了讓數(shù)學服務生活的觀念真正落到實處，模型思維的應用更要重視生活的啟發(fā)，并與生活相關聯(lián)，達到相互指導的目的。有關踐踏草坪的此類問題在生活中十分常見，在學生的思維中構建“連接兩點的線中，線段最短”這樣的模型就可以幫助學生在日常生活中解決類似問題，從而使學生獲得更直觀的思維感受，提高數(shù)學應用能力，促進數(shù)學學科持續(xù)發(fā)展。

六、辨析共通點，洞識概念模型

布魯納認知觀點認為：學習過程是學生原有認知結構中有關知識與新學習內(nèi)容相互作用 ，形成新的認知結構的過程，學生從事對數(shù)學知識的提煉和組織——通過對低層次活動本身的分析，把低層次的知識變?yōu)楦邔哟蔚某ＷR，再經(jīng)過提煉和組織而形成更高層次的知識，如此循環(huán)往復。在此過程中，學生通過反復建立和求解一系列模型，能夠更加透徹地理解數(shù)學知識并能自我生成數(shù)學知識，進而感悟數(shù)學思想，把握數(shù)學本質，發(fā)展理性精神。

【片段】

師：大家回憶一下，角由哪幾部分組成？

師：角的兩條邊就是我們今天學的——射線，從一個點引出兩條射線可以組成角。

師：我們在畫角的時候，可以先畫出一個端點，也就是角的頂點，再從這個端點畫出兩條射線，也就是角的兩條邊，兩條射線所夾的部分組成一個角。（師示范畫角）

師：延長角的兩條邊，角的大小變了嗎？為什么？

師：角的兩條邊是兩條射線，而射線本來就是無限長的，角的大小與這兩條射線張開的大小有關。

【評析】

本環(huán)節(jié)中，教師引導學生發(fā)現(xiàn)：從一個點引出兩條射線可以組成角，角的兩條邊就是兩條射線。延長角的兩條邊，角變大了嗎？學生之前已經(jīng)有“角的兩條邊張開得越大角越大，張開得越小角越小”這一直觀經(jīng)驗，運用新知射線的特征進行解釋，整個過程，環(huán)環(huán)相扣，順利完成角的再認識。

模型思想的建立是一個循序漸進的過程，一方面需要教師在課堂教學中有意識地滲透，另一方面需要學生在數(shù)學學習過程中不斷反思、揣摩與領悟。教師只有基于自身對概念的深刻了解，在概念教學時才能從凸顯概念特征、溝通認知結點等方面來幫助學生實現(xiàn)概念的自我建構。只有這樣，學生對模型思想的認識和對數(shù)學的理解才能從“量的積累”達到“質的飛躍”。

【參考文獻】

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[3]史寧中.數(shù)學思想概論（第一輯）——數(shù)量與數(shù)量關系的抽象[M].長春：東北師范大學出版社，2008.