鄭義

排列與組合是高中數(shù)學中較為特殊的部分，特殊性在于它研究的對象以及研究的方法都和學生已掌握的數(shù)學知識很不相同，內容比較抽象，方法比較靈活。本文結合教學實際，討論如何引導學生理解和應用排列與組合。

一、選取模型

選取模型是人來選東西，我們通常說的爭冠軍、選代表、占位置等，通俗的理解就是搶東西模型，分為有放回和不放回兩種。有放回就是重復使用，不停地做同一件事，典型的模型有學生參加運動會的問題，如：學校運動會中，五名學生報名參加四項體育比賽，若五名學生同時參加這四項比賽，則獲得冠軍的可能有多少種？

為了讓學生弄清楚這個問題，筆者模擬了一次運動會，請一位學生來當裁判，另外請五位學生上來參加“比賽”。要怎樣解決問題呢？裁判說話了：“你們幾個站好了，現(xiàn)在我們比賽結束了，李三你是跳高冠軍，王二你是跑步冠軍……”話沒有說完，李三就不樂意了，大聲喊：“王二跑不贏我，跑步冠軍也是我?！睂W生哄堂大笑，王二也不服氣了：“這就是個游戲，跳高冠軍我也想要呢！”筆者乘機問學生：“現(xiàn)在怎么辦呢？都想要冠軍，但一個項目只有一個冠軍?！痹挍]有說完，裁判說：“我知道了，我們可以讓冠軍來選人，你們聽我指揮，第一個凳子代表跳高冠軍，你們誰想要？”五個人都站在了第一張凳子的前面，裁判在黑板上寫下數(shù)字5，“好，現(xiàn)在跑步冠軍呢？”五個人又齊刷刷地站在了第二張凳子前面，裁判再一次寫下5?！拔覀冎懒?，應該是5的四次方?！睂W生異口同聲地答。筆者滿意地點點頭：“大家都不錯，就是5的四次方。有沒有同學可以解釋清楚呢？”一名學生回答：“他們玩了4次，每次5人搶一個冠軍，這次搶了，不影響下一次，每次5種結果，4次就是4個5相乘，就是[54]?！?/p>

學生興趣高漲。筆者順勢拋出了不放回的例2：有3張電影票，5人同時被邀請去看電影，必須有人去，去幾個人自行決定，有多少種不同的安排方法？

這次有學生主動請纓：“現(xiàn)在我們要解決的是看電影的問題，問題的關鍵在于一定要有人去，但是不知道幾個人去，所以我們可以借助老師的辦法，請幾個同學來演一遍?！庇谑俏鍌€同學被選中了，“第一次去一個人，有5種方法，很清楚。第二次我們去兩個人，有幾種方法呢？”“[C25]”“[A25]”，兩種聲音出來了。“好，現(xiàn)在我們假定是李毅和鄭波去吧，那么他們兩個人需不需要排序呢？”“不需要?！薄八源鸢负芮宄?，是[C25]”。在學生的掌聲中，他高興地走下了講臺。看來學生已經(jīng)掌握了這種方法，能夠很熟練地運用了。

二、分配模型

分配問題的本質就是把東西按要求分好，通俗地理解就是分任務模型，分為分組和分配兩種類型。下面重點討論例4中的分組問題。

1.基本的分組問題

例如：六本不同的書，分為三組，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？

（1）每組兩本;

（2）一組一本，一組二本，一組三本;

（3）一組四本，另外兩組各一本。

這里的難點就是（1）中的平均分配問題。同時，分組與順序無關，是組合問題。筆者先請學生說出自己的想法與答案，果然大家都認可[C26][C24][C22]=90（種）。教師先請一位學生上來當裁判，請他找6位學生并給他們編號，在每位學生身上粘好號牌。兩個學生為一個組合，站在一起。大家記住組合編號，先不拆組，但是可以換順序①（1，2）（3，4）（5，6）;②（1，2）（5，6）（3，4）;③（3，4）（1，2）（5，6）;④（3，4）（5，6）（1，2）;⑤（5，6）（1，2）（3，4）;⑥（5，6）（3，4）（1，2）。寫了6種情況后，學生發(fā)現(xiàn)再寫就和上面一樣了。接下來重新組合一遍：⑦（1，2）（3，5）（4，6）……？（4，6）（3，5）（1，2）;到第12組完了之后，又要拆組合了？（1，2）（4，5）（3，6）……？（3，6）（4，5）（1，2）……雖然有90種，筆者只讓學生寫了30組。其他的依此類推，讓他們仔細觀察。

已知的30組是不是30種情況？如果不是，哪些是相同的，為什么？設紅藍隊辯論，紅隊認為是30組，藍隊認為是5組，核心在于1～6，7～12……是相同的還是不同的？關鍵是分組后有沒有順序，這里是沒有順序的。大家參加舞會跳舞的時候，挑好舞伴，跟隨音樂起舞，不停地跳，不停地換位置，但是舞伴并沒有換，所以關鍵是分組。1～6分組是一樣的，實際上就是一個分組。之前的分組方法實際上加入了組的順序，因此還應取消分組的順序，即除以組數(shù)的全排列數(shù)[A33]，所以分法是[C26C24C22A33]=15（種）。

學生提出疑問：（2）（3）非平均分配要除嗎？筆者馬上又接著剛才演一遍，（2）中個數(shù)完全不相同，分組后就不能換位置了，而（3）是兩組相同，所以還要除以[A22]。總之，分組時，平均分配可以交換，交換后結果相同，要除以組數(shù)全排列;非平均分配不能交換，沒有重復，不用除。

2.基本的分配問題

（一）定向分配問題：六本不同的書，分給甲、乙、丙三人，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？①甲兩本、乙兩本、丙兩本;②甲一本、乙兩本、丙三本;③甲四本、乙一本、丙一本。

（二）不定向分配問題：六本不同的書，分給甲、乙、丙三人，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？①每人兩本;②一人一本、一人兩本、一人三本;③一人四本、一人一本、一人一本。

學生通過以上分析不難得出解不定向分配題的一般原則：先分組后排列。

以上是教學排列組合的分析過程，排列、組合的問題復雜而有趣，教學中滲透了多種思維方法和技巧，對于難以理解的，盡量讓學生去演一遍，以加深理解。

（作者單位：武漢市蔡甸區(qū)漢陽一中）