趙旭升 楊建中 陳吉紅 Alexander FRADKOVOleg GRANICHIN 胡鵬程

1.華中科技大學國家數(shù)控系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心，武漢，430074 2.俄羅斯科學院機械工程研究所，圣彼得堡，199178 3.圣彼得堡國立大學數(shù)學與力學系，圣彼得堡，199034 4. 華中科技大學中歐清潔與可再生能源學院，武漢，430074

0 引言

葉片類零件作為航空發(fā)動機中加工難度最高、數(shù)目最多、生產(chǎn)工作量最大的關(guān)鍵零件之一，其生產(chǎn)工作量占到了整臺發(fā)動機的30%～40%，其加工質(zhì)量直接決定了航空發(fā)動機整體的制造水平和使用性能[1]，但高溫、高壓的惡劣服役環(huán)境易使葉片產(chǎn)生斷裂、損傷、掉塊等缺陷。葉片類零件由高溫合金材料制成，造價高，因此將破損葉片修復完整并再度利用具有很高的經(jīng)濟效益。

實際葉片區(qū)別于其原始設(shè)計模型的原因在于，葉片在生產(chǎn)過程中存在由定位、裝夾、測量等步驟引起的加工誤差，在服役過程中存在由高溫、高壓等惡劣條件引起的葉片服役變形，因此，葉片的原始設(shè)計模型將不再適用于其修復加工的過程，因而有必要構(gòu)建出葉片真實的模型并依據(jù)其真實模型完成損傷葉片的修復。服役破損葉片的自適應修復流程可以簡述為三個步驟：①檢測葉片變形；②采用逆向造型將葉片設(shè)計數(shù)模變形，以適應現(xiàn)有變形的葉片，得到用于數(shù)控加工編程的新的工藝數(shù)模；③在葉片的損失部位堆焊后，按新的工藝數(shù)模編程，將多余的焊瘤切除[2]。

目前，利用葉片截面曲線建模是破損葉片模型重構(gòu)工作普遍采用的方式。葉片的截面曲線即葉型曲線包含前緣、后緣、中弧線等葉型關(guān)鍵數(shù)據(jù)，文獻[3-6]研究了從葉片中提取此類信息的方式。獲取截面曲線的方式有兩種：一種根據(jù)葉片原始設(shè)計模型的截面線推導其實際截面線[7-10]，另一種將測量數(shù)據(jù)點插值為NURBS曲線，進一步重建其表面模型[11-12]。UNIGRAPHICS、Pro/Engineer、PolyWorks、CATIA等CAD/CAM軟件包含逆向工程造型模塊，可用于葉片的模型重構(gòu)[13-16]。針對葉尖的建模，WANG等[17]提出了一種在尖端小范圍的斷裂區(qū)域里重建葉片截面線的方法；GAO等[18]提出了一種表面擴展方法，通過B樣條曲線基函數(shù)的極值參數(shù)化來重構(gòu)扭曲的葉尖。

在定位、數(shù)控加工等過程中，自適應定位方法可用于葉片的建模并提取修復誤差[19]，可為每個零件自適應地生成優(yōu)化的刀具路徑。葉片的定位與重復裝夾也會引起加工誤差，為了避免此類誤差，國內(nèi)外已開展了葉片修復的自動化技術(shù)的探索，其自動化流程包括掃描、逆向建模、焊接、CNC加工等步驟，形成了一套集成修復策略[20-22]。

在葉片修復的專利方面，依據(jù)真實測量數(shù)據(jù)使設(shè)計模型變形的重構(gòu)方法同樣被大多數(shù)學者所采用[23-24]。常智勇等[25]提出了由測量球心點計算型面控制點來構(gòu)造葉片B樣條曲面的方法，解決了構(gòu)造葉片模型通常需要較多測量數(shù)據(jù)點的問題。葉片實際模型構(gòu)造完成之后，需要清理損傷缺口，將翼型的損壞部位加工成凹口或切口，從而有利于完成后續(xù)的焊接等步驟[26]。黃智等[27]設(shè)計出一種復合數(shù)控機床，來解決多次裝夾引起的切削余量殘留大、修復層易切傷、人工磨修精度不穩(wěn)定和低效率等問題。

當前，國外大型的CAD/CAM企業(yè)、航空企業(yè)已研制了葉片自適應修復系統(tǒng)，修復技術(shù)多以集成的修復策略為主，例如檢測與焊接、檢測與磨削、激光熔覆與磨削的集成技術(shù)[28]。BCT機構(gòu)的軟件OpenARMS能補償葉片與理論模型的偏差和裝夾過程中的定位偏差，創(chuàng)建幾何自適應的NC程序并將實際零件的加工誤差保持在最小的范圍內(nèi)[29-30]。Starrag集團下的TTL機構(gòu)研制了一套自適應修復流程，CNC測量機配備條紋激光測量裝置，全自動掃描周期大約為2 min，由Adaptive Machining軟件生成每個組件獨有的五軸加工路徑，可以在2 min內(nèi)完成尖端焊接葉片的輪廓數(shù)字化、計算和恢復，并將誤差控制在0～0.02 mm。Renishaw機構(gòu)研發(fā)了用于葉盤和葉片的生產(chǎn)與修復的工具包SPRINT Blade Toolkit，可實現(xiàn)葉尖翻修、在機測量、葉根與葉盤的過渡變形。Delcam機構(gòu)開發(fā)了適用于修復尖端或邊緣受損的葉片的自適應加工方案，在坐標測量機或機床上采用On Machine Verification(OMV)檢查位于精密夾具中的葉片，使用基于約束擬合、非約束擬合的變形技術(shù)完成葉片的自適應建模。JONES等[28]綜合利用Delcam的PowerSHAPE、Fixture、PowerINSPECT、PowerMILL軟件與解決方法于葉尖的修復。

國內(nèi)外的研究機構(gòu)在破損葉片的模型重構(gòu)和修復加工方面雖有一定的研究，但主要針對頂端破損的葉片，缺乏針對邊緣破損的葉片的研究。筆者針對葉片的頂端破損與葉身的邊緣破損，研究修復流程中的葉片破損區(qū)域的重構(gòu)方法，給出了移除多余焊接材料的切削加工策略。

1 破損區(qū)域幾何重構(gòu)

頂端破損葉片與邊緣破損葉片如圖1所示。采用坐標測量機(coordinate measuring machine,CMM)對葉片掃描測量，如圖2a所示。因為實際破損葉片的缺陷位于不同部位，且破損區(qū)域存在多余的焊接材料，因此，掃描測量得到的表面數(shù)據(jù)點沒有覆蓋整個葉片區(qū)域。頂端破損的葉片的頂部沒有測量數(shù)據(jù)，中部邊緣破損的葉片的中間邊緣沒有測量數(shù)據(jù)，如圖2b所示。

(b) 尖端破損

(c) 邊緣破損

(a) CMM測量葉片

(b) 測量數(shù)據(jù)點分布

本節(jié)利用測量得到的有限數(shù)據(jù)點來重構(gòu)真實葉片的完整模型，并在此基礎(chǔ)上，利用邊界的測量數(shù)據(jù)點，提取完整模型的破損部位曲面即需要數(shù)控加工移除多余焊接材料的部位。

1.1 截面測量數(shù)據(jù)點的排序

截面上的測量數(shù)據(jù)點處于散亂狀態(tài)，需要將其按次序排列，以便于構(gòu)建截面曲線。每個數(shù)據(jù)點取用一次且保持每個數(shù)據(jù)點的位置不變，因此截面上數(shù)據(jù)點的排序問題可以轉(zhuǎn)化為平面的旅行商問題 (traveling salesman problem，TSP)即二維排序問題，利用貪心算法求解數(shù)據(jù)點的順序。

將數(shù)據(jù)點按其排列順序相連后，正確的排列順序應當保證數(shù)據(jù)點連接線互不相交，且連線符合葉型形狀，如圖3所示。將待排序的數(shù)據(jù)點集合中的原始起點作為排序后的起點P1，尋找與P1最近的數(shù)據(jù)點并將其作為排序后的下一個數(shù)據(jù)點，起始3個數(shù)據(jù)點的正確的順序為P1—Pn—Pm，如圖3所示。

圖3 數(shù)據(jù)點的排序Fig.3 Sorting of data points

葉片前后緣相對較薄，若數(shù)據(jù)點較少，則直接搜尋最近的數(shù)據(jù)點可能引起順序相鄰的數(shù)據(jù)點分布于葉盆和葉背，導致排序錯誤，如圖3中的順序P1-Pj-Pi。因此添加角度限定，設(shè)定角度閾值αr，構(gòu)建集合W用于存儲排序錯誤的數(shù)據(jù)點，詳細步驟如下：

(1)對于已排序的起始數(shù)據(jù)點P1、P2、P3，計算向量P1P2和向量P2P3之間的夾角，夾角大于αr說明此時的排序情況錯誤(類似于圖3中的順序P1-Pj-Pi)，則取消已排順序中的P2、P3并將P2、P3計入集合W。在不同于P1點并且不屬于集合W的數(shù)據(jù)點中，重新尋找與當前點最近的點并將其作為P2，以同樣的方式繼續(xù)確定P3。

(2) 對于后續(xù)的數(shù)據(jù)點P4、P5、…，重置集合W，計算向量P2P3和向量P3P4之間的夾角，夾角大于αr說明P4排序有誤，則取消已排順序中的P4并將P4計入集合W。在不同于P1、P2、P3并且不屬于集合W的數(shù)據(jù)點中，重新尋找與當前點最近的點并將其作為P4。依此不斷地尋找后續(xù)的數(shù)據(jù)點。

采用此排序方式將所有截面數(shù)據(jù)點排序。為使后續(xù)插值于數(shù)據(jù)點的所有截面曲線的方向相同，調(diào)整所有層面上的數(shù)據(jù)點的順序使其一致。為了避免葉型因不同位置的凸凹性不同造成的后續(xù)順序判斷有誤，在此，依據(jù)截面數(shù)據(jù)點構(gòu)造凸包，由于葉盆形狀凹陷，因此位于葉盆部位的數(shù)據(jù)點將進入凸包內(nèi)部，如圖4a所示。在相鄰截面S1與S2上，按照截面上的數(shù)據(jù)點排列的順序，依次取出位于凸包邊界上的任意3個數(shù)據(jù)點，由前兩個數(shù)據(jù)點和后兩個數(shù)據(jù)點分別構(gòu)造向量并計算所構(gòu)造的兩個向量的向量積，令與截面S1和S2對應的向量積分別為V1與V2，如圖4b所示，若V1與V2同向，則認為2個截面上的數(shù)據(jù)點的順序相同；若V1與V2反向，則說明數(shù)據(jù)點的順序相反，將S2截面的數(shù)據(jù)點反向排列，以數(shù)據(jù)點的逆序代替原來的排序。

(a) 構(gòu)造凸包

(b) 構(gòu)造向量積

1.2 截面測量數(shù)據(jù)點的光順處理

本小節(jié)利用能量最小化原理對排序之后的截面數(shù)據(jù)點進行光順處理。令P={p0,p1, …,pn}為待光順的數(shù)據(jù)點點集，Q={q0,q1, …,qn}為已光順的數(shù)據(jù)點點集，如圖5所示。

圖5 光順前后數(shù)據(jù)點的位置Fig.5 Position of data points before and after smoothing process

將點集P和Q視為一個系統(tǒng)，且假設(shè)數(shù)據(jù)點pi和qi之間均有一個彈簧連接，此系統(tǒng)含有兩部分能量[31]，一部分為途經(jīng)數(shù)據(jù)點q0、q1、…、qn的樣條曲線的應變能Es：

(1)

式中，α為樣條曲線剛度系數(shù)；k為曲率。

Es表示曲線的光順程度，Es越小，局部曲線越接近于直線。另一部分為光順前后對應的數(shù)據(jù)點pi與qi之間的彈性勢能Ee：

(2)

式中，β為數(shù)據(jù)點向量pi和qi之間的彈簧的彈性系數(shù)。

Ee表示光順前后對應數(shù)據(jù)點的偏離程度，Ee越小，光順后的曲線越貼近光順前的曲線。

整個系統(tǒng)的能量E=Es+Ee，則光順問題可以轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的優(yōu)化問題，優(yōu)化目標為整體能量E最小化，物理意義為光順后的曲線貼近光順前的曲線，且光順后的曲線的各個局部位置都有較好的平滑度。將E表示為3次B樣條曲線的控制點v0、v1、v2、…、vn+2的函數(shù)，將E對每個控制點求導可得n+2個方程，未知數(shù)(控制點數(shù))的數(shù)量是n+2，未知數(shù)的數(shù)量與方程的數(shù)量相同，求解這n+2個方程可解得控制點vi(i= 1, 2,…,n)的坐標，并依此可得數(shù)據(jù)點qi的坐標。

當n較大時，此計算方法的復雜度高，LI等[6]利用相鄰數(shù)據(jù)點qi-1、qi、qi+1的函數(shù)簡化表示Es中的曲率k，將E轉(zhuǎn)化為數(shù)據(jù)點qi的函數(shù)，以此降低運算復雜度。這里采用LI等[6]提出的改進計算方法對數(shù)據(jù)點進行光順處理。

1.3 截面曲線對齊

光順之后的數(shù)據(jù)點可用于構(gòu)建樣條曲線。不同截面上的樣條曲線的起點不一致，在放樣建模后將引起沿葉高方向的曲面等參數(shù)線扭曲，導致葉片產(chǎn)生扭曲，如圖6所示。針對此問題，提出一種利用截面曲線的曲率變化趨勢一致性，依次將相鄰截面曲線對齊的方法。

圖6 重建模型扭曲Fig.6 Distortion of reconstructed model

假設(shè)有2條相鄰的截面曲線a與b，如圖7a所示。算法以a為依據(jù)，將b與a對齊，調(diào)整b的起點位置使其與a相對一致，目標位置如圖7b所示。

(a) 對齊調(diào)整前

(b) 對齊調(diào)整后

按照等弧長取點的方式，基于曲線構(gòu)建n個離散數(shù)據(jù)點。由于葉片的前緣、后緣位置的曲率較大，而前緣、后緣占截面曲線總長度的比例很小，為了前緣、后緣能夠取得較多數(shù)據(jù)點，n應當取較大值，然后計算截面曲線在每個離散點位置的曲率。

構(gòu)建X-Y坐標系，X坐標值為序號1、2、… 、n，Y坐標值為曲線在離散點位置的曲率，從曲線起點開始依次獲得離散點的曲率，從而得到曲線的曲率隨著位置的變化關(guān)系。前緣、后緣位置的曲率較大，在曲率曲線上形成2個波峰(前緣、后緣的曲率半徑不同，曲線的波峰值大小也不同)，其他位置的曲率較小。

若2個相鄰截面上的截面曲線的起點位置不一致，則截面曲線在曲率圖上會出現(xiàn)X向偏差，如圖8所示，此時應將截面曲線b的曲率曲線向左平移，使其與截面曲線a的曲率曲線的波峰與波谷的X向相對位置保持一致。

圖8 截面曲線對齊Fig.8 Aligning process of section curvatures

相關(guān)系數(shù)ρ可反映變量之間的相關(guān)關(guān)系密切程度，其取值范圍為[-1,1]。ρ>0表示2個變量的變化趨勢一致，且同向變動幅度越接近，ρ越趨近1；ρ<0表示兩個變量的變化趨勢相反；ρ=0表示2個變量沒有線性相關(guān)性。

引入相關(guān)系數(shù)ρ來描述截面曲線的對齊問題：對于截面曲線b和a，以a為基準，重新選擇b的起點，使a與b的曲率變化曲線的變化趨勢的一致程度達到最大，此時ρ有最大值。令圖8中截面曲線a和b的曲率即縱坐標值分別為Ya和Yb，則相關(guān)系數(shù)ρ為

(3)

Cov(Ya,Yb)=E(YaYb)-E(Ya)E(Yb)

(4)

如圖8所示，曲率曲線a與b均包含n個離散點，令截面曲線b的總長度為C，則b的曲率曲線需要移動tC/n的長度才能與曲線a的曲率曲線對齊(相關(guān)系數(shù)達到最大)，此時，t∈{0，1，2，…，n-1}。將截面曲線b的起點移動tC/n以重新決定其起點位置，當t依次為{0,1,2,…,n}中的一個整數(shù)時，有一個E(YaYb)與之對應。以E(YaYb)為縱坐標，t為橫坐標，得到n個坐標點，將這些坐標點插值成三次樣條函數(shù)，如圖9所示。

圖9 期望值和相關(guān)系數(shù)的變化Fig.9 Change of expectation and correlation coefficient

Emax(YaYb)對應相關(guān)系數(shù)ρ的最大值ρmax，如圖9所示，令此時的t為tmax，將截線曲線b的起點移動tmax個C/n的弧長，使截面曲線b對齊于截面曲線a。按此方式，將相鄰的截面曲線從葉片底部到頂部依次兩兩對齊，對齊之后結(jié)果如圖10所示。

圖10 截面曲線對齊之后的建模效果Fig.10 Reconstructed model after section curves alignment

1.4 葉片模型的重構(gòu)

1.4.1葉片中部邊緣破損模型的重構(gòu)

由于邊緣數(shù)據(jù)點的缺失，葉身中段部分的數(shù)據(jù)點無法構(gòu)造完整的截面曲線。令破損位置上部的截面線為Su1、Su2、…，破損位置下部的截面線為Sd1、Sd2、…，如圖11a所示，利用Su1、Su2、…和Sd1、Sd2、…與中部不完整數(shù)據(jù)點，重構(gòu)真實葉片的完整模型，建模具體步驟如下：

(1)對Su1、Su2、…和Sd1、Sd2、…進行初步放樣，構(gòu)建葉片初步模型Ma，如圖11b所示。

(a) 上下方的截面線

(b) 葉片初步放樣

(2)構(gòu)造橫截面，使其高度與中部不完整數(shù)據(jù)點的高度一致，截取Ma得到一組初步截面線Sm1、Sm2、…，如圖12a所示。

(3)每個截面存在不完整的測量數(shù)據(jù)點和初步截面線Sm，將測量數(shù)據(jù)點投影至初步截面線Sm，構(gòu)造一組與測量數(shù)據(jù)點數(shù)量相等的投影數(shù)據(jù)點，如圖12b所示。令測量數(shù)據(jù)點的點集為A，投影數(shù)據(jù)點的點集為B，利用迭代最近點(iterative closest point，ICP)算法，計算B向A匹配的姿態(tài)變換矩陣R與位置變換矩陣T，接著，將初步截面線Sm按照R與T分別進行姿態(tài)變換與位置變換，使其在截面內(nèi)進行位置細微調(diào)整。依此方法，調(diào)整所有的初步截面線，依次得到位置調(diào)整之后的截面線S′m1、S′m2、…。

(a) 構(gòu)造平面與截取初步放樣模型

(b) 調(diào)整初步截面線

(4)利用截面線Su1、Su2、…和Sd1、Sd2、…，以及位置調(diào)整之后的截面線S′m1、S′m2、…再次進行放樣，構(gòu)建模型M′a(真實葉片的完整模型)。

1.4.2葉片頂端破損模型的重構(gòu)

頂端破損葉片由于頂部數(shù)據(jù)點的缺失，頂部無法構(gòu)造截面曲線，依據(jù)現(xiàn)有的截面曲線與葉片CAD模型重構(gòu)真實葉片的完整模型，建模具體步驟如下：

(1) 利用原有的頂部以下的截面曲線S1、S2、…初步放樣，構(gòu)造葉片的初步模型Mb。

(2) 沿著葉高的方向，延伸初步模型的曲面得到曲面Se。

(3) 在頂部創(chuàng)建截面，截取延伸曲面Se得到截面曲線Ce，同時，截取CAD模型得到截面曲線Cc，如圖13a所示。

(4) 如圖13b所示，按照等弦公差、角公差取點的方式，基于截面曲線Ce構(gòu)建數(shù)據(jù)點集Pi，運用與中部邊緣破損葉片相同的配準方法，調(diào)整截面曲線Cc的位置，令位置調(diào)整后的截面曲線為C′c。

(a) 構(gòu)造平面與截取模型

(b) 調(diào)整初步截面曲線

(5) 將截面曲線C′c作為頂部截線曲線，利用原有的頂部以下的截面曲線S1、S2、…和構(gòu)造的頂部截線曲線C′c再次進行放樣，構(gòu)造模型M′b即真實葉片完整模型。

完整葉片的建模結(jié)果如圖14所示。

(a) 邊緣破損葉片

(b) 頂端破損葉片

1.5 破損區(qū)域提取

完成葉片整體模型的構(gòu)建之后需要在葉片破損區(qū)域進行焊接修補，并移除多余的焊接材料。本小節(jié)結(jié)合測量數(shù)據(jù)點，在葉片整體模型上劃分葉片的破損區(qū)域并將其作為待加工區(qū)域。

針對中部邊緣破損的葉片，采用以下方法提取破損區(qū)域：

(1) 確定不完整測量數(shù)據(jù)點在葉片修補部位的邊界點，依次從低到高插值邊界點，構(gòu)造樣條曲線C1、C2，令不完整測量數(shù)據(jù)點沿葉高方向所在的高度最大值為hmax，高度最小值為hmin。以hmax創(chuàng)建平面并截取葉片模型構(gòu)造截面線C3，以hmin創(chuàng)建平面并截取葉片模型構(gòu)造截面線C4，如圖15a所示。

(2) 測量數(shù)據(jù)點中的邊界點靠近局部破損區(qū)域，而破損區(qū)域的周邊存在形變，邊界點靠近形變部位而包含測量誤差，因此設(shè)置偏置值δ并偏置樣條曲線C1、C2與截面曲線C3、C4。

計算最高位置的邊界數(shù)據(jù)點在C3上對應的參數(shù)值u1并按u1在C′3上取點Po1；計算最低位置的邊界數(shù)據(jù)點在C4上對應的參數(shù)值u2并按u2在C′4上取點Po2。沿C1的法向偏置全部的邊界數(shù)據(jù)點，如圖15b所示。依次從低到高連接Po2、Po1和其余的偏置數(shù)據(jù)點構(gòu)建偏置曲線C′1。以相同的方法構(gòu)建偏置曲線C′2。

(a) 邊界點構(gòu)造樣條曲線

(b) 偏置樣條曲線

以高度h′max=hmax+δ構(gòu)造截面，截取模型得到截面線C′3。以高度h′min=hmin-δ構(gòu)造截面，截取模型得到截面線C′4。

(3) 葉片曲面可由4條偏置曲線C′1、C′2、C′3、C′4劃分為多個部分，利用布爾運算提取4條偏置曲線所包圍的部分(待加工區(qū)域)。

對于頂部破損的葉片，測量數(shù)據(jù)點所在的最高截面以上的曲面區(qū)域為待加工區(qū)域。

2 加工刀路規(guī)劃

破損葉片經(jīng)過焊接修復過后，破損部位存在焊瘤，需要合理地規(guī)劃數(shù)控加工刀路以移除多余的焊接材料。本節(jié)基于自由曲面生成刀路的等參數(shù)法，以待加工區(qū)域曲面為對象，生成兩種破損葉片的加工刀路。

2.1 中部邊緣破損葉片的規(guī)劃刀路

對于邊緣破損的葉片，根據(jù)已經(jīng)劃分出的邊緣待加工部位，沿著曲面外法向創(chuàng)建偏置曲面，如圖16a所示，分別在待加工部位曲面和偏置曲面上規(guī)劃加工刀路，逐層地切削多余的焊接金屬，偏置曲面采取粗加工策略，待加工部位曲面采取精加工策略。本小節(jié)針對葉片邊緣待加工部位曲面的精加工步驟，給出了球頭刀zigzag形刀路生成方法，如圖16b所示。

(a) 生成偏置面

(b) zigzag形刀路

利用等參數(shù)法[32]將等v參數(shù)線作為刀觸點曲線，如圖17所示。當?shù)毒哐刂鴨螚l等參數(shù)線運動結(jié)束時，由于葉盆和葉背為凹凸曲面，為避免刀具繼續(xù)運動而與葉片產(chǎn)生干涉，指定刀具沿著每條等參數(shù)線運動結(jié)束之后繼續(xù)沿著給定的圓弧運動，利用圓弧的軌跡使刀具迅速遠離葉片表面。相鄰的圓弧用曲線橋接過渡，使刀具沿著過渡曲線平滑地運動至另一段圓弧軌跡，繼續(xù)運動到下一條等參數(shù)線，具體步驟如下。

圖17 曲面等參數(shù)線及刀路Fig.17 Isocurves and tool path on the surface

(1) 將v=0的等參數(shù)曲線作為第一條刀觸點曲線Cv1，利用等參數(shù)法逐步生成等v參數(shù)線Cv2、Cv3、…，直至v=1的等參數(shù)曲線，如圖17所示。

(2) 在每條等參數(shù)線的兩端添加圓弧，圓弧起點端的切線方向與等參數(shù)線端點位置的切線方向一致，且圓弧位于由等參數(shù)線端點位置的切線與曲面的法線構(gòu)成的平面內(nèi)，如圖17所示。

(3) 添加曲線，橋接等參數(shù)線兩端的圓弧。橋接曲線的添加位置根據(jù)等參數(shù)線的序號的奇偶性判斷，如圖17所示，在Cv1與Cv2末端的圓弧位置添加橋接曲線，在Cv2與Cv3起始端的圓弧位置添加橋接曲線，從而將等參數(shù)線、圓弧相連，構(gòu)成一條完整的刀路軌跡。

上述步驟可保證圓弧上的刀具姿態(tài)和與圓弧連接的刀觸點曲線的端點位置上的刀具姿態(tài)一致，且刀具姿態(tài)在橋接曲線上沿著曲線的弧長均勻過渡。隨后，計算刀位點與刀軸矢量。

2.2 頂端破損葉片規(guī)劃刀路

頂端破損的葉片頂部的全部區(qū)域為待加工區(qū)域。創(chuàng)建頂部偏置曲面，如圖18a所示，同樣地逐層規(guī)劃加工刀路，外層采用粗加工策略，最內(nèi)層采用精加工策略。本小節(jié)針對葉片頂部待加工部位曲面的精加工步驟，給出了球頭刀螺旋形刀路生成方法，如圖18b所示。

(a) 生成偏置面

(b) 螺旋形刀路

令葉片整個曲面v向參數(shù)域的范圍為[0, 1]，由于待加工區(qū)域位于頂部，令其參數(shù)域范圍為[vt, 1]，則需要在[vt, 1]對應的葉片曲面上生成刀路。

采用等參數(shù)法生成等參數(shù)線，令其中相鄰的2條等參數(shù)線的參數(shù)v=v1，v2，等參數(shù)線v=v1上的刀觸點映射到參數(shù)域內(nèi)的坐標點存在于參數(shù)域內(nèi)的水平線v=v1上。重新推算刀觸點u、v的參數(shù)值，在參數(shù)域內(nèi)將v=v1上的刀觸點的參數(shù)值轉(zhuǎn)化到的水平線v=v1與v=v2之間的斜直線上，如圖19a所示，相應地，刀觸點將轉(zhuǎn)化為圍繞葉身的螺旋線上的點，如圖19b所示。

(a) 參數(shù)域

(b) 對應刀路形狀

依此方法，在[vt, 1]的參數(shù)域推算所有刀觸點所對應的u、v，計算刀觸點的坐標，并依次將所有刀觸點插值為樣條曲線，以構(gòu)造螺旋狀的刀觸點曲線。隨后，計算刀位點與刀軸矢量。

3 實驗與分析

本節(jié)首先進行葉片變形處理并創(chuàng)建模擬測量數(shù)據(jù)點，根據(jù)模擬數(shù)據(jù)點，以提出的葉片模型重構(gòu)方法和其他方法重建真實葉片模型，對比分析所建模型的曲面質(zhì)量，驗證所提出刀路方法的可行性。

將葉片CAD模型進行扭轉(zhuǎn)，模擬真實變形葉片，如圖20a所示；采用布爾運算刪除變形的葉片邊緣局部區(qū)域，模擬破損變形葉片，如圖20b所示；截取破損變形葉片，構(gòu)建數(shù)據(jù)點并添加隨機誤差，作為CMM測量數(shù)據(jù)點，如圖20c所示。

(a)扭曲變形葉片與CAD模型的對比

(b) 去除邊緣局部區(qū)域

(c) 構(gòu)建數(shù)據(jù)點

分別利用本文方法、文獻[16]、文獻[17]的方法重建葉片的模型，3種方法所建曲面與CAD模型曲面的高斯曲率見圖21。測量數(shù)據(jù)點到本文方法、文獻[16]、文獻[17]的方法重構(gòu)平面的平均偏差分別為3.51 μm、4.76 μm和10.25 μm。

高斯曲率體現(xiàn)了曲面彎曲程度，高斯曲率的絕對值越小意味著曲面的光順程度越高。測量數(shù)據(jù)點位于葉片曲面上，其分布體現(xiàn)了真實葉片的變形情況，測量數(shù)據(jù)點和重構(gòu)的模型之間的平均偏差越小，重構(gòu)的模型越逼近測量數(shù)據(jù)點，可認為重構(gòu)的模型越逼近真實變形的葉片。因此，從重構(gòu)曲面的高斯曲率、數(shù)據(jù)點距離重構(gòu)曲面的平均偏差來分析以上的結(jié)果，具體如下：

(1) 由圖21可知，3種重建模型與CAD模型在葉盆葉背曲面的光順程度較高，而邊緣部位的曲面的光順程度相對較低。CAD模型表面高斯曲率范圍為-0.239～0.248，以此范圍作為對比

(a) CAD模型

(b) 文獻[17]方法

(c) 文獻[16]方法

(d) 本文方法

的基準。用4次多項式曲線[17]擬合葉盆葉背的截面數(shù)據(jù)點，將與葉盆葉背曲線相切的圓弧作為前緣后緣，采用文獻[17]方法所建模型邊緣位置的高斯曲率因截面曲線的非G2連續(xù)，出現(xiàn)了明顯的變化，所建模型高斯曲率范圍為-0.697～1.139，超過CAD模型的高斯曲率范圍。利用樣條曲線表示截面曲線，重構(gòu)葉片截面曲線并重構(gòu)曲面，能夠保證曲面的光順性較好，采用文獻[16]方法排除中部測量數(shù)據(jù)點，利用上部和下部截面曲線所建模型的高斯曲率范圍為-0.288～0.218。本文方法所建模型與文獻[16]方法所建模型具有近似的曲面光順性，高斯曲率范圍為-0.290～0.217，可知文獻[16]方法和本文方法重建模型的曲面光順程度和CAD模型接近。

(2) WANG等[17]將截面曲線處理為4次多項式曲線，依據(jù)已有的多項式曲線參數(shù)推導缺失的相鄰多項式曲線的參數(shù)，依據(jù)參數(shù)創(chuàng)建出多項式曲線并將其作為相鄰缺失的截面曲線，構(gòu)造的截面曲線由于無法準確地匹配數(shù)據(jù)點而存在一定的誤差，所建模型的平均偏差為10.25 μm；文獻[16]方法所建模型平均偏差為4.76 μm，本文方法所建模型平均偏差為3.51 μm，均小于文獻[17]方法。文獻[16]方法未考慮中部測量數(shù)據(jù)點，而本文方法結(jié)合中部測量數(shù)據(jù)點重構(gòu)中部截面線，并綜合利用整體截面線建模，與整體測量數(shù)據(jù)點的貼近程度更高，進一步地逼近真實模型。

綜上所述，本文提出的葉片模型重建方法在滿足表面光順性要求的前提下，可保證重構(gòu)模型與測量數(shù)據(jù)點更逼近，即更逼近真實變形的葉片，具有較好效果。

利用本文所提出的方法，針對邊緣破損與頂端破損的葉片，分別提取破損區(qū)域并生成針對此區(qū)域的加工刀路，結(jié)果如圖22、圖23所示。

圖22 葉身邊緣破損葉片zigzag形刀路生成結(jié)果Fig.22 Results of zigzag tool path generation ofedge-damaged blade

圖23 頂端破損葉片螺旋刀路生成結(jié)果Fig.23 Results of spiral tool path generation oftip-damaged blade

4 結(jié)論

(1)針對常見的葉身頂部破損和邊緣破損，研究了葉身修復過程中的破損區(qū)域幾何重構(gòu)方法，并給出了相應的數(shù)控加工刀路生成方法，以用于破損葉片的自適應修復。

(2)引入相關(guān)系數(shù)來描述葉片截面曲線的曲率隨著弧長的變化趨勢的一致性，用來對齊葉片相鄰的截面線，解決了葉片建模形狀扭曲的問題，具有良好的效果。

(3)為驗證提出的葉片模型曲面重構(gòu)方法，展開了葉片模型重構(gòu)對比試驗，以高斯曲率與數(shù)據(jù)點距離所建曲面的平均偏差為評價指標，對比分析不同方法所建葉片模型的曲面質(zhì)量。試驗結(jié)果表明，利用本文方法所建模型與CAD模型具有相近的曲面光順程度，且更逼近真實葉片的變形情況。