■浙江省紹興市上虞區(qū)職教中心

縱觀近年來全國各地高考壓軸試題,導數(shù)解答題以對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù),以及一次函數(shù)、二次函數(shù)、高次函數(shù)中的兩個或三個為背景,組成一個具有鮮明特征的超越函數(shù),研究該超越函數(shù)性質離不開其單調性,求導也自然成為同學們首要的操作步驟。實際上,我們遇到的函數(shù)比較復雜,同學們往往在求導后,不知所措? 下面介紹幾種通過求導來求解單調區(qū)間的方法,供同學們學習時參考。

一、分解因式

一般地,單調區(qū)間的求解過程：已知y=f(x),(1)分析y=f(x)的定義域;(2)求導數(shù)y'=f'(x);(3)解不等式f'(x)＞0,解集在對應區(qū)域內的部分為增區(qū)間;(4)解不等式f'(x)＜0,解集在對應區(qū)域內的部分為減區(qū)間。顯然,分解因式是求解代數(shù)不等式的有力武器。因此,對導函數(shù)分解因式是解這類題的首選。

例1(2019 年浙江省高考試題)已知實數(shù)a≠0,設函數(shù)x＞0,當時,求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間。

分析：所給函數(shù)比較復雜,可先求出導函數(shù),然后利用常規(guī)手段即分解因式解不等式f'(x)＞0或f'(x)＜0。

表1

所以,函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為(0,3),單調遞增區(qū)間為(3,+∞)。

點評：要順利求解復雜函數(shù)的單調區(qū)間,首先必須會準確求解函數(shù)的導數(shù),其次要會熟練求解各類不等式：根式不等式、指數(shù)不等式、對數(shù)不等式。

二、分類討論

一般地,當導函數(shù)中含有參數(shù)時,可將問題轉化為求解含參不等式,需對參數(shù)進行分類討論。

例2(2019 年高考全國Ⅲ卷理數(shù))已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+b。

(1)討論f(x)的單調性。

(2)是否存在a,b,使得f(x)在區(qū)間[0,1]的最小值為-1且最大值為1? 若存在,求出a,b的所有值;若不存在,說明理由。

分析：對函數(shù)f(x)=2x3-ax2+b求導,即得f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a),要確定f'(x)＞0,需對a分類討論。

解：(1)f'(x)=6x2-2ax=2x(3xa)。

令f'(x)=0,得x=0或

若a=0,f'(x)在(-∞,+∞)單調遞增。

(2)滿足題設條件的a,b存在。

(i)當a≤0時,由(1)知,f'(x)在[0,1]上單調遞增,所以f'(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(0)=b,最大值為f(1)=2-a+b。此時a,b滿足題設條件當且僅當b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1。

(ii)當a≥3時,由(1)知,f'(x)在[0,1]上單調遞減,所以f'(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值為f(0)=b,最小值為f(1)=2-a+b。此時a,b滿足題設條件當且僅當2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1。

(iii)當0＜a＜3 時,由(1)知,f'(x)在[0,1]上的最小值為,最大值為b或2-a+b。

綜上,當且僅當a=0,b=-1 或a=4,b=1時,f'(x)在[0,1]上的最小值為-1,最大值為1。

點評：分類討論是一種邏輯方法,是一種重要的數(shù)學思想,同時也是一種重要的解題策略,它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性,能訓練同學們思維的條理性和概括性。

三、零點法

當不等式f'(x)＞0為超越不等式時,可采用零點法即先觀察或求出導函數(shù)的零點,然后根據(jù)導函數(shù)的單調性寫出f'(x)＞0的解集即原函數(shù)的單調區(qū)間。

例3已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m)。設x=0是f(x)的極值點,求m的值,并討論f(x)的單調性。

分析：根據(jù)x=0是f(x)的極值點確定m值,但發(fā)覺不等式f'(x)＞0 是超越不等式,即無法求解該不等式,需探究新的方法處理。

解：f'(x)=,由x=0是的極值點,得f'(0)=0,解得m=1。

于是f(x)=ex-ln(x+1),它的定義域為

點評：如果導函數(shù)存在零點,但令導函數(shù)為零后,出現(xiàn)超越方程,直接求解比較困難,此時可先用特殊值試探出方程的一個根,再通過研究其單調性說明其是唯一的。一般地,當導數(shù)式含有l(wèi)nx時,可試根1,e或等,當導數(shù)式含有ex時,可試根1或0等。

四、二次求導

令導函數(shù)為零后,出現(xiàn)復雜超越方程,直接求解零點比較困難或能求出特殊零點但不清楚零點個數(shù)即確定不了導函數(shù)的單調性,可實施二次求導。

例4(2018 年高考全國Ⅲ卷理數(shù)改編)已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x。若a=0,證明：當-1＜x＜0 時,f(x)＜0;當x＞0時,f(x)＞0。

分析：求導后,f'(x)=ln(1+x)-顯然f'(x)＞0為超越不等式,雖然可以觀察到函數(shù)f'(x)的零點,但函數(shù)f'(x)的單調性不確定,故需二次求導。

解：當a=0時,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f'(x)=ln(1+x)-

設函數(shù)g(x)=f'(x)=ln(1+x)-

當-1＜x＜0時,g'(x)＜0;

當x＞0時,g'(x)＞0。

故當x＞-1時,g(x)≥g(0)=0,從而f'(x)≥0,且僅當x=0時,f'(x)=0。所以f(x)在(-1,+∞)上單調遞增。

又f(0)=0,故當-1＜x＜0時,f(x)＜0;當x＞0時,f(x)＞0。

點評：當無法采用零點法時,可對導函數(shù)y=f'(x)再次求導,以期求出導數(shù)的零點及判斷單調性。此時,一定要清楚求導的目的,即利用導數(shù)的符號,判斷原函數(shù)的單調性。

五、設而不求

在解決解析幾何問題時,我們常常把題目中某些相關的點的坐標先設出來,但在解題中并不求出它的具體值,只把它作為解題過程中的“橋梁”,使問題快速獲解,這便是我們常說的“設而不求”的數(shù)學思想。在導函數(shù)中,我們如果能確定其零點存在,但又無法用顯性的代數(shù)式進行表達,即所謂的“隱零點”,則可采用形式上虛設,運算上代換的方法。

例5已知函數(shù)f(x)=x+xlnx。

(1)求函數(shù)f(x)的圖像在點(1,1)處的切線方程;

(2)若k∈Z,且k(x-1)＜f(x)對任意x＞1恒成立,求k的最大值。

分析：對于(1)直接按切線定義可得。對于(2),恒成立問題首先考慮分離參數(shù),即則只需借助導數(shù)求出函數(shù)g(x)的最小值,但求導后發(fā)現(xiàn),其導函數(shù)對應的方程為超越方程,無法求得極值點和單調區(qū)間,解題陷入困境。此時,若果斷設函數(shù)的極值點,則可“柳暗花明”,豁然開朗。

解：(1)因為f'(x)=lnx+2,所以f'(1)=2。

函數(shù)f(x)的圖像在點(1,1)處的切線方程y=2x-1。

(2)由(1)知,f(x)=x+xlnx,所以k(x-1)＜f(x)對任意x＞1恒成立,即k＜對任意x＞1恒成立。

因為h(3)=1-ln 3＜0,h(4)=2-2ln 2＞0,所以方程h(x)=0 在(1,+∞)上存在唯一實根x0,且滿足x0∈(3,4)。

當1＜x＜x0時,h(x)＜0,即g'(x)＜0;當x＞x0時,h(x)＞0,即g'(x)＞0。所以函數(shù)在(1,x0)上單調遞減,在(x0,+∞)上單調遞增。

因此,k＜[g(x)]min=x0∈(3,4),整數(shù)k的最大值是3。

點評：當導函數(shù)存在零點,但零點式子非常煩瑣或無法求解時,可考慮虛設零點x0,再對f'(x0)=0 進行合理的變形與代換,將超越式化為普通式,從而達到化簡f(x0)的目的。

六、不等式放縮

眾所周知,如果能順利求解不等式f'(x)＞0(＜0),那么導函數(shù)的問題都可迎刃而解。因此,將復雜的超越不等式放縮為普通的代數(shù)不等式的方法應運而生。

例6設函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2。

(1)若a=0,求f(x)的單調區(qū)間;

(2)當x≥0時,f(x)≥0,求a的取值范圍。

分析：對于(1)直接求導可順利解得。對于(2),根據(jù)ex≥x+1 可得不等式f'(x)≥x-2ax=(1-2a)x,從而可知1-2a≥0,即時,f'(x)≥0,判斷出函數(shù)f(x)的單調性,得到答案。

解：(1)a=0 時,f(x)=ex-1-x,f'(x)=ex-1。當x∈(-∞,0)時,f'(x)＜0;當x∈(0,+∞)時,f'(x)＞0。故f(x)在(-∞,0)上單調遞減,f(x)在(0,+∞)單調遞增。

(2)f'(x)=ex-1-2ax,由(1)可知ex≥1+x當且僅當x=0時等號成立。

故f'(x)=ex-1-2ax≥x-2ax=(1-2a)x,從而當1-2a≥0,即時,f'(x)≥0(x≥0)。而f(0)=0,于是當x≥0時,f(x)≥0。由ex＞1+x(x≠0)可得e-x＞1-x(x≠0),從而當1-2a＜0,即時,f'(x)=ex-1-2ax＜ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a)。

故當x∈(0,ln 2a)時,f'(x)＜0。而f(0)=0,于是當x∈(0,ln 2a)時,f(x)＜0。

綜上可得a的取值范圍為

點評：由于放縮過程并非等價變換,因此要注意放縮求解的格式。常用的放縮公式有：(1)放縮成一次函數(shù)：

lnx≤x-1,lnx＜x,ln (1+x)≤x,ex≥x+1,ex＞x,ex≥ex;

(2)放縮成二次函數(shù)：