曹盼盼，趙西卿

(延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000)

對于任意正整數n，歐拉函數φ(n)定義為不大于n且與n互素的正整數的個數。歐拉函數在數論中有著重要的作用，近年來，有關歐拉函數的性質以及歐拉方程吸引了很多學者的興趣。如Guy討論了方程φ(x+y)=φ(x)+φ(y)的可解性[1]；張四寶，許霞等研究了方程φ(mn)=3(φ(m)+φ(n))，φ(mn)=4(φ(m)+φ(n))，φ(mn)=11(φ(m)+

φ(n))的可解性[2-5]；孫翠芳，王曦浛等分別討論了當m=2，4，5，6時，方程φ(xyz)=m(φ(x)+φ(y)+φ(z))的可解性，并給出了所有正整數解[6-10]；楊張媛研究了系數不同的方程φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+3φ(z)的可解性，并給出了所有正整數解[11]。由此，本文將在之前研究的基礎上，討論三個系數且系數各不相同的方程φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)的可解性，并給出其所有正整數解。

1 主要引理

引理1[11]對任意正整數m,n，(m,n)=d，則

引理2[11]對任意正整數n,n≥φ(n)。

引理3[11]對任意正整數n，n≥3時，φ(n)必為偶數。

引理4[11]方程φ(n)=14無正整數解；方程φ(n)=26無正整數解；φ(n)=34無正整數解；φ(n)=38無正整數解。

2 定理與證明

定理歐拉函數方程

φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)

(1)

的正整數解如下：

(x,y,z)=(5,2,4),(5,2,6),(8，1，4)，(8，1，6)，(8，2，3)，(10，1，4)，(10，1，6)，(10，2，3)，(12，1，4)，(9，1，3)，(9，1，6)，(9，2，3)，(18，1，3)，(13，1，3)，(13，1，4)，(13，1，6)，(13，2，3)，(21，1，4)，(26，1，3)，(28，1，3)，(3，2，12)，(6，1，12)，(3，4，4)，(4，3，4)，(4，4，3)，(12，1，9)，(7，1，15)，(7，1，16)，(7，1，20)，(9，1，16)，(9，1，20)，(3，7，4)，(4，7，3)，(3，3，7)，(3，3，14)，(4，3，9)，(6，3，7)，(3，4，9)，(3，6，7)。

證明由引理1知

由引理2可得φ(xyz)≥φ(x)φ(y)φ(z)，則有

φ(x)+2φ(y)+5φ(z)≥φ(x)φ(y)φ(z)，

即φ(x)[φ(y)φ(z)-1]≤2φ(y)+5φ(z)

(2)

由于φ(y)φ(z)>0，則可按φ(y)φ(z)的取值分以下幾種情況討論。

情況1 當φ(y)φ(z)=1時，有φ(y)=φ(z)=1，則有(y,z)=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)。又由(1)可得φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=7+

φ(x)，再由引理3可知，φ(x)=1，則有x=1,2，即

φ(xyz)=8，有xyz=15，16，20，24，30。經計算，方程無解。

情況2 當1<φ(y)φ(z)≤10，由(2)式可得

(3)

而又由(φ(y)-1)(φ(z)-1)≥0，可得

(4)

2.1 當φ(y)φ(z)=2時，有φ(y)=1，φ(z)=2，此時(y,z)=(1,3),(1,4),(1,6),(2,3),(2,4),(2,6)；或φ(y)=2，φ(z)=1，此時(y,z)=(3,1),(4,1),(6,1),(3,2),(4,2),(6,2)。又由(4)式可知φ(x)<15，則φ(x)=1，2，4，6，8，10，12。

(1)當φ(x)=1時，x=1,2，有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=13，由引理3可得此式不成立，方程無解；或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=10，有xyz=11,22，經計算，方程無解。綜上所述，方程(1)無正整數解。

(2)當φ(x)=2時，x=3，4，6，有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=14，由引理4得，此式不存在，方程無解；或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=11，由引理3可得此式不成立，方程無解。綜上所述，方程(1)無解。

(3)當φ(x)=4時，有x=5，8，10，12，有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=16，xyz=17，32，34，40，48，60，經計算，方程有解(x,y,z)=(5，2，4)，(5，2，6)，(8，1，4)，(8，1，6)，(8，2，3)，(10，1，

4)，(10，1，6)，(10，2，3)，(12，1，4)；或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=13，由引理3可得此式不成立，方程無解。綜上所述，方程(1)有解(x,y,z)=(5，2，4)，(5，2，6)，(8，1，4)，(8，1，6)，(8，2，3)，(10，1，4)，(10，1，6)，(10，2，3)，(12，1，4)。

(4)當φ(x)=6時，有x=7，9，14，18，有

φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=18，xyz=19，27，38，54，經計算，方程有解(x,y,z)=(9，1，3)，(9，1，6)，(9，2，3)，(18，1，3)；或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=15，由引理3可得此式不成立，方程無解。綜上所述，方程(1)有解(x,y,z)=(9，1，3)，(9，1，6)，(9，2，3)，(18，1，3)。

(5)當φ(x)=8時，有x=15，16，20，24，30，有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=20，xyz=25，33，44，50，66，經計算，方程無解；或φ(xyz)=φ(x)+

2φ(y)+5φ(z)=17，由引理3可得此式不成立，方程無解。綜上所述，方程(1)無解。

(6)當φ(x)=10時，有x=11,22，有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=22，xyz=23,46，經計算，方程無解；或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=19，由引理3可得此式不成立，方程無解。綜上所述，方程(1)無解。

(7)當φ(x)=12時，有x=13，21，26，28，36，42，有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=24，xyz=35，39，45，52，56，70，72，78，84，90，經計算，方程有解(x,y,z)=(13,1,3),(13,1,4),(13，1，6)，(13，2，3)，(21，1，4)，(26，1，3)，(28，1，3)；或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=21，由引理3可得此式不成立，方程無解。綜上所述，方程(1)有解(x,y,z)=(13，1，3)，(13，1，4)，(13，1，6)，(13，2，3)，(21，1，4)，(26，1，3)，(28，1，3)。

2.2 當φ(y)φ(z)=4時，有φ(y)=1，φ(z)=4，此時(y,z)=(1，5)，(1，8)，(1，10)，(1，12)，(2，5)，(2，8)，(2，10)，(2，12)；或φ(y)=2,φ(z)=2，此時(y,z)=(3，3)，(3，4)，(3，6)，(4，3)，(4，4)，(4，6)，(6，3)，(6，4)，(6，6)；或φ(y)=4,φ(z)=1，此時(y,z)=(5，1)，(8，1)，(10，1)，(12，1)，(5，2)，(8，2)，(10，2)，(12，2)，又由(4)式可知φ(x)≤8，則φ(x)=1，2，4，6，8。

(1)當φ(x)=1時，x=1，2，有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=23，由引理3可得此式不成立，方程無解；或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=15，由引理3可得經計算，方程無解；或者φ(xyz)=

φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=14，由引理4得，此式不存在，方程無解。綜上所述，方程(1)無正整數解。

(2)當φ(x)=2時，x=3，4，6，有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=24，xyz=35，39，45，52，56，70，72，78，84，90，經計算方程有解(x,y,z)=(3,2,12)，(6,1,12)；或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=16，xyz=17，32，34，40，48，60，經計算方程有解(x,y,z)=(3,4,4),(4,3,4),(4,4,3)；或者φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=15，由引理3得此式不成立，方程無解。綜上所述，方程(1)有解(x,y,z)=(3,2,12),(6,1,12),(3,4,4),(4,3,4),(4,4,3)。

(3)當φ(x)=4時，x=5，8，10，12，有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=26，由引理4得此式不存在，方程無解；或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=18，xyz=19，27，38，54，經計算方程無解；或者φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=17，由引理3得此式不成立，方程無解。綜上所述，方程(1)無解。

(4)當φ(x)=6時，x=7，9，14，18，有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=28，xyz=29，58，經計算方程無解；或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=20，xyz=25，33，44，50，66，經計算方程無解；或者φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=19，由引理3得此式不成立，方程無解。綜上所述，方程(1)無解。

(5)當φ(x)=8時，x=15，16，20，24，30，有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=30，xyz=31,62，經計算方程無解；或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=22，xyz=23，46，經計算方程無解；或者φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=21，由引理3得此式不成立，方程無解。綜上所述，方程(1)無解。

2.3 當φ(y)φ(z)=6時，有φ(y)=1，φ(z)=6，此時(y,z)=(1，7)，(1，9)，(1，14)，(1，18)，(2，7)，(2，9)，(2，14)，(2，18)；或φ(y)=6，φ(z)=1，此時(y,z)=(7，1)，(9，1)，(14，1)，(18，1)，(7，2)，(9，2)，(14，2)，(18，2)，又由(4)式可知φ(x)≤7，則φ(x)=1，2，4，6。

(1)當φ(x)=1時，x=1,2，有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=33，由引理3可得此式不成立，方程無解；或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=18，有xyz=19，27，38，54，經計算，方程無解。綜上所述，方程(1)無正整數解。

(2)當φ(x)=2時，x=3，4，6，有φ(xyz)=

φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=34，由引理4可得此式不存在，方程無解；或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=19，由引理3可得此式不成立，方程無解。綜上所述，方程(1)無正整數解。

(3)當φ(x)=4時，x=5，8，10，12，有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=36，xyz=37，57，63，74，76，108，114，126，經計算方程有解(x,y,z)=(12,1,9)；或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=21，由引理3可得此式不成立，方程無解。綜上所述，方程(1)有正整數解(x,y,z)=(12，1，9)。

(4)當φ(x)=6時，x=7，9，14，18，有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=38，由引理4可得，此式不存在，方程無解；或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=23，由引理3可得此式不成立，方程無解。綜上所述，方程(1)無正整數解。

2.4 當φ(y)φ(z)=8時，有φ(y)=1，φ(z)=8，此時(y,z)=(1，15)，(1，16)，(1，20)，(1，24)，(1，30)，(2，15)，(2，16)，(2，20)，(2，24)，(2，30)；或φ(y)=2,φ(z)=4，此時(y,z)=(y,z)=(3,5)，(3，8)，(3，10)，(3，12)，(4，5)，(4，8)，(4，10)，(4，12)，(6，5)，(6，8)，(6，10)，(6，12)；或φ(y)=4,φ(z)=2，此時(y,z)=(5，3)，(8，3)，(10，3)，(12，3)，(5，4)，(8，4)，(10，4)，(12，4)，(5，6)，(8，6)，(10，6)，(12，6)；或φ(y)=8,φ(z)=1，此時(y,z)=(15,1)，(16，1)，(20，1)，(24，1)，(30，1)，(15，2)，(16，2)，(20，2)，(24，2)，(30，2)。又由(4)式可知φ(x)≤6，則φ(x)=1，2，4，6。

(1)當φ(x)=1時，x=1,2，有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=43，由引理3可得此式不成立，方程無解；或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=25，由引理3可得此式不成立，方程無解；或者φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=19，由引理3得，此式不成立，方程無解；或者φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=22，xyz=23，46，經計算，方程無解。綜上所述，方程(1)無正整數解。

(2)當φ(x)=2時，x=3,4,6，有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=44，xyz=69，92，110，138，經計算，方程無解；或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=26，由引理4可得此時不存在，方程無解；或者φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=20，xyz=25，33，44，50，66，經計算，方程無解；或者φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=23，由引理3可得，此式不成立，方程無解。綜上所述，方程(1)無正整數解。

(3)當φ(x)=4時，x=5，8，10，12，有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=46，xyz=47，94，經計算，方程無解；或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=28，xyz=29,58，經計算，方程無解；或者φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=22，xyz=23,46，經計算，方程無解；或者φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=25，由引理3可得，此式不成立，方程無解。綜上所述，方程(1)無正整數解。

(4)當φ(x)=6時，x=7，9，14，18，有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=48，xyz=65，104，105，112，130，140，144，156，168，180，經計算，方程有解(x,y,z)=(7，1，15)，(7，1，16)，(7，1，20)，(9，1，16)，(9，1，20)；或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=30，xyz=31，62，經計算，方程無解；或者φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=24，xyz=35，39，45，52，56，70，72，78，84，90，經計算，方程無解；或者φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=27，由引理3可得，此式不成立，方程無解。綜上所述，方程(1)有解(x,y,z)=(7,1,15)，(7，1，16)，(7，1，20)，(9，1，16)，(9，1，20)。

2.5 當φ(y)φ(z)=10時，有φ(y)=1，φ(z)=10，此時(y,z)=(1，11)，(1，12)，(2，11)，(2，22)；或φ(y)=10，φ(z)=1，此時(y,z)=(11，1)，(22，1)，(11，2)，(22，2)，又由(4)式可知φ(x)≤6，則φ(x)=1，2，4，6。

(1)當φ(x)=1時，x=1，2，有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=53，由引理3可得此式不成立，方程無解；或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=26，由引理4可得此式不存在，方程無解。綜上所述，方程(1)無正整數解。

(2)當φ(x)=2時，x=3，4，6，有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=54，xyz=81，162，經計算，方程無解；或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=27，由引理3可得此式不成立，方程無解。綜上所述，方程(1)無正整數解。

(3)當φ(x)=4時，x=5，8，10，12，有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=56，xyz=87，1，6，174，經計算，方程無解；或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=29，由引理3可得此式不成立，方程無解。綜上所述，方程(1)無正整數解。

(4)當φ(x)=6時，x=7，9，14，18，有φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=58，xyz=59,118，經計算，方程無解；或φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)=31，由引理3可得此式不成立，方程無解。綜上所述，方程(1)無正整數解。

3.1 當φ(x)=1時，有

φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)≥φ(y)φ(z)，即

φ(y)φ(z)≤1+2φ(y)+5φ(z)<

1+5(φ(y)+φ(z))，

從而φ(y)φ(z)-5(φ(y)+φ(z))-1<0，即(φ(y)-5)(φ(z)-5)<26。因此，可以繼續(xù)分以下情況討論。

(1)當φ(y)=1時，φ(z)>10，有φ(xyz)=1+2×1+5φ(z)=3+5φ(z)，此時φ(z)=1與φ(z)>10矛盾，所以方程(1)無正整數解。

(2)當φ(y)=2時，φ(z)≥6，有φ(xyz)=1+2×2+5φ(z)=5+5φ(z)≥2φ(z)，經計算，方程無解。所以方程(1)無正整數解。

(3)當φ(y)=4時，φ(z)≥4，有φ(xyz)=1+2×4+5φ(z)=9+5φ(z)，此時φ(z)=1與φ(z)≥4矛盾，所以方程(1)無正整數解。

(4)當φ(y)=6時，φ(z)=6，8，10，12，16，18，20，22，24，28，有φ(xyz)=1+2×6+5φ(z)=13+5φ(z)，顯然，此式不成立，所以方程(1)無正整數解。

(5)當φ(y)=8時，φ(z)=6，8，10，12，有φ(xyz)=1+2×8+5φ(z)=17+5φ(z)，顯然，此式不成立，所以方程(1)無正整數解。

(6)當φ(y)=10時，φ(z)=6,8，有φ(xyz)=1+2×10+5φ(z)=21+5φ(z)，顯然，此式不成立，所以方程(1)無正整數解。

(7)當φ(y)=12時，φ(z)=6,8，有φ(xyz)=1+2×12+5φ(z)=25+5φ(z)，顯然，此式不成立，所以方程(1)無正整數解。

(8)當φ(y)=16時，φ(z)=6，有φ(xyz)=1+2×16+5φ(z)=33+5φ(z)，顯然，此式不成立，所以方程(1)無正整數解。

(9)當φ(y)=18時，φ(z)=6，有φ(xyz)=1+2×18+5φ(z)=37+5φ(z)，顯然，此式不成立，所以方程(1)無正整數解。

(10)當φ(y)=20時，φ(z)=6，有φ(xyz)=1+2×20+5φ(z)=41+5φ(z)，顯然，此式不成立，所以方程(1)無正整數解。

(11)當φ(y)=22時，φ(z)=6，有φ(xyz)=1+2×22+5φ(z)=45+5φ(z)，顯然，此式不成立，所以方程(1)無正整數解。

(12)當φ(y)=24時，φ(z)=6，有φ(xyz)=1+2×24+5φ(z)=49+5φ(z)，顯然，此式不成立，所以方程(1)無正整數解。

(13)當φ(y)=28時，φ(z)=6，有φ(xyz)=1+2×28+5φ(z)=57+5φ(z)，顯然，此式不成立，所以方程(1)無正整數解。

(14)當φ(y)≥30時，φ(y)-5≥25>24與(φ(y)-5)(φ(z)-5)<26矛盾，所以方程(1)無正整數解。

(15)當φ(z)=1時，φ(y)>10，有φ(xyz)=1+2φ(y)+5×1=6+2φ(y)，此式(x,z)=(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)。

取(x,z)=(1,1)時，有φ(y)=1+2φ(y)+5×1=6+2φ(y)，顯然，此式不成立，方程無解。

取(x,z)=(2,1)時，有φ(2y)=1+2φ(y)+5×1=6+2φ(y)，同上可得，方程無解。

φ(y)=3，此式不存在，方程無解。

(16)當φ(z)=2時，φ(y)≥6，有φ(xyz)=1+2φ(y)+5×2=11+2φ(y)，顯然，此式不成立，方程無解。

(17)當φ(z)=4時，φ(y)>2，有φ(xyz)=1+2φ(y)+5×4=21+2φ(y)，顯然，此式不成立，方程無解。

3.2 當φ(x)=2時，有φ(xyz)=2+2φ(y)+5φ(z)≥2φ(y)φ(z)，即

2φ(y)(φ(z)-1)≤2+5φ(z)

(5)

因此，可以分以下幾種情況討論。

(1)當φ(z)=1時，有φ(xyz)=2+2φ(y)+5×1=7+2φ(y)，顯然，此式不成立，方程無解。

(2)當φ(z)=2時，此式(x,z)=(3，3)，(3，4)，(3，6)，(4，3)，(4，4)，(4，6)，(6，3)，(6，4)，(6，6)代入(5)式得2φ(y)≤12，則φ(y)≤6。又

φ(y)φ(z)≥12，所以有φ(y)=6，此時φ(xyz)=24，xyz=35，39，45，52，70，72，78，84，90，經計算，方程有解(x,y,z)=(3，7，4)，(4，7，3)。

(3)當φ(z)=4時，代入(5)式得6φ(y)≤22，則φ(y)≤2。又φ(y)φ(z)≥12與其矛盾，所以方程無解。

(4)當φ(z)=6時，此時(x,z)=(3，7)，(3，9)，(3，14)，(3，18)，(4，7)，(4，9)，(4，14)，(4，18)，(6，7)，(6，9)，(6，14)，(6，18)，代入(5)式得10φ(y)≤32，則φ(y)≤2。又φ(y)φ(z)≥12，所以有φ(y)=2，此時φ(xyz)=36，xyz=37，57，63，74，76，108，114，126，經計算，方程有解(x,y,z)=(3，3，7)，(3，3，14)，(4，3，9)，(6，3，7)，(3，4，9)，(3，6，7)。

(5)當φ(z)=8時，此時(x,z)=(3，15)，(3，16)，(3，20)，(3，24)，(3，30)，(4，15)，(4，16)，(4，20)，(4，24)，(4，30)，(6，15)，(6，16)，(6，20)，(6，24)，(6，30)，代入(5)式得14φ(y)≤42，則φ(y)≤2。又φ(y)φ(z)≥12，所以有φ(y)=2，此時φ(xyz)=46，xyz=47，94，經計算，方程無解。

(6)當φ(z)=10時，此時(x,z)=(3，11)，(4，11)，(6，11)，(3，22)，(4，22)，(6，22)，代入(5)式得18φ(y)≤52，則φ(y)≤2。又φ(y)φ(z)≥12，所以有φ(z)=2，此時φ(xyz)=56，xyz=87，116，174，經計算，方程無解。

(7)當φ(z)≥12時，由(5)式可得

即2φ(y)<6，則φ(y)<3，所以φ(y)=1，2。

取φ(y)=1時，由

φ(x)φ(y)φ(z)≤φ(x)+2φ(y)+5φ(z)，

可得2φ(z)≤4+5φ(z)，經計算，方程無解。

取φ(y)=2時，由

φ(x)φ(y)φ(z)≤φ(x)+2φ(y)+5φ(z)，

可得4φ(z)≤6+5φ(z)，經計算，方程無解。

3.3 當φ(x)=4時，有

φ(xyz)=4+2φ(y)+5φ(z)≥4φ(y)φ(z)，即

2φ(y)(2φ(z)-1)≤4+5φ(z)

(6)

因此，可以分以下幾種情況討論。

(1)當φ(z)=1時，有φ(xyz)=4+2φ(y)+5×1=9+2φ(y)，顯然，此式不成立，所以方程無解。

(2)當φ(z)=2時，代入(6)式得6φ(y)≤14，則φ(y)≤2。又φ(y)φ(z)≥12與其矛盾，所以方程無解。

(3)當φ(z)=4時，代入(6)式得14φ(y)≤24，則φ(y)≤1。又φ(y)φ(z)≥12與其矛盾，所以方程無解。

(4)當φ(z)=6時，代入(6)式得22φ(y)≤34，則φ(y)≤1。又φ(y)φ(z)≥12與其矛盾，所以方程無解。

(5)當φ(z)=8時，代入(6)式得30φ(y)≤44，則φ(y)≤1。又φ(y)φ(z)≥12與其矛盾，所以方程無解。

(6)當φ(z)=10時，代入(6)式得38φ(y)≤54，則φ(y)≤1。又φ(y)φ(z)≥12與其矛盾，所以方程無解。