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        不定方程x2+4096=4y11的整數(shù)解

        2019-12-31 06:06:42姜美楊
        關(guān)鍵詞:數(shù)論整數(shù)代數(shù)

        姜美楊,高 麗

        (延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西 延安 716000)

        設(shè)C,D,E∈N,C為無平方因子,關(guān)于不定方程

        Cx2+D=Eyn(x,y,n∈N,n≥2)

        的求解問題是數(shù)論中的一個(gè)重要問題,許多研究者發(fā)現(xiàn)若是用代數(shù)數(shù)論的方法解決這類不定方程,會(huì)取得較好的結(jié)果:Ledesgue[1]證明了C=1,D=1時(shí)無整數(shù)解;Nagell[2]證明了當(dāng)C=2,D=1,n=5時(shí)僅有整數(shù)解(x,y)=(±11,3);2008年高麗和馬永剛[3]證明了C=1,D=16,E=1,n=7時(shí)無整數(shù)解;2014年安曉峰[4]證明了當(dāng)C=1,D=64,E=1,n=11時(shí)無整數(shù)解;2015年孫樹東[5]證明了當(dāng)C=1,D=64,E=1,n=13時(shí)無整數(shù)解;2017年尚旭[6]證明了C=1,D=44,45,46,E=1,n=13時(shí),當(dāng)D=44,45時(shí)無整數(shù)解,當(dāng)D=46時(shí)僅有整數(shù)解(x,y)=(±64,2);2018年鄭璐等[7]證明了當(dāng)C=1,D=1024,E=1,n=11時(shí)僅有整數(shù)解(x,y)=(±32,2);申江紅等[8]證明了當(dāng)C=1,D=1024,E=4,n=9時(shí)僅有整數(shù)解(x,y)=(±32,2)。當(dāng)C=1,D=4096,E=4,n=11,13的情形目前還沒有進(jìn)行討論,本文運(yùn)用同余理論以及代數(shù)數(shù)論[9]等方法證明了不定方程x2+4096=4y11有且僅有整數(shù)解(x,y)=(±64,2)。

        1 主要引理

        引理1[10]設(shè)M是唯一分解整環(huán),α,β∈M,(α,β)=1,若αβ=γk,γ∈M,正整數(shù)k≥2,則

        α=ε1μk,β=ε2υk,μυ∈M,

        其中ε1,ε2是M中的單位元素,并且ε1ε2=εk,ε為單位元素。

        引理2[7]不定方程

        x2+1024=y11

        僅有整數(shù)解(x,y)=(±32,2)。

        2 定理及證明

        定理不定方程

        x2+4096=4y11

        (1)

        僅有整數(shù)解(x,y)=(±64,2)。

        證明分兩種情況討論

        (1)當(dāng)x≡1(mod2)時(shí),在Z[i]中,(1)式可寫為

        (x+64i)(x-64i)=4y11,x,y∈Z。

        設(shè)δ=(x+64i,x-64i),由δ|(2x,128i)=2,得δ只能取1,1+i,2。因x≡1(mod2),有x+64i≡

        1(mod2),所以δ≠2。如果δ=1+i,那么有

        N(1+i)|N(x+64i),即2|x2+4096,

        然而這與x≡1(mod2)矛盾,所以δ=1。

        因而由引理1可知

        x+64i=4(a+bi)11,x,a,b∈Z,

        所以

        x=4(a11-55a9b2+330a7b4-462a5b6+

        165a3b8-11ab10)

        (2)

        64=4b(11a10-165a8b2+462a6b4-330a4b6+

        55a2b8-b10)

        (3)

        因此b=±1,±2,±4,±8,±16。

        當(dāng)b=1時(shí),由(3)式可知

        64=

        4(11a10-165a8+462a6-330a4+55a2-1),

        17=11(a10-15a8+42a6-30a4+5a2),

        要使上式成立,那么必須使得11|17,矛盾,因此b≠1。

        當(dāng)b=-1時(shí),由(3)式可知,

        -15=11(a10-15a8+42a6-30a4+5a2),

        即11|15,矛盾,因此b≠-1。

        當(dāng)b=2時(shí),由(3)式可知,

        210+8=

        11(a10-60a8+672a6-1920a4+1280a2),

        要使上式成立,那么必須使得11|210+8,矛盾,因此b≠2。

        當(dāng)b=-2時(shí),由(3)式可知,

        210-8=

        11(a10-60a8+672a6-1920a4+1280a2),

        上式若要成立,那么必須使得11|210-8,矛盾,因此b≠-2。

        當(dāng)b=4時(shí),由(3)式可知,

        410+4=11(a10-240a8+10752a6-

        12880a4+32768a2),

        上式若要成立,那么必須使得11|410+4,矛盾,因此b≠4。

        當(dāng)b=-4時(shí),由(3)式可知,

        410-4=11(a10-240a8+10752a6-

        12880a4+32768a2),

        上式若要成立,那么必須使得11|410-4,矛盾,因此b≠-4。

        當(dāng)b=8時(shí),由(3)式可知

        810+2=11(a10-960a8+172032a6-

        7864320a4+83886080a2),

        上式若要成立,那么必須使得11|810+2,矛盾,所以b≠8。

        當(dāng)b=-8時(shí),由(3)式可知

        810-2=11(a10-960a8+172032a6-

        7864320a4+83886080a2),

        上式若要成立,那么必須使得11|810-2,矛盾,因此b≠-8。

        當(dāng)b=16時(shí),由(3)式可知

        1610+1=11(a10+3840a8+2752512a6-

        503316480a4+21474836480a2),

        上式若要成立,那么必須使得11|1610+1,矛盾,因此b≠16。

        當(dāng)b=-16時(shí),由(3)式可知

        1610-1=11(a10+3840a8+2752512a6-

        503316480a4+21474836480a2),

        99955602525=a10-3840a8+2752512a6-

        503316480a4+21474836480a2,

        99955602525=52×3×17×31×41×61681=

        a2(a8-3840a6+2752512a4-503316480a2+

        21474836480),

        上式若要成立,則a2=1或a2=25。

        當(dāng)a2=1,代入上式

        a2(a8-3840a6+2752512a4-503316480a2+

        21474836480)=20974268673≠99955602525,

        所以a2≠1。

        當(dāng)a2=25時(shí),代入

        a2(a8-38340a6+2752512a4-503316480a2+

        21474836480)=263815877625≠99955602525,

        所以a2≠25,即當(dāng)x≡1(mod2)時(shí),不定方程(1)無整數(shù)解。

        (2)在x≡0(mod2)時(shí),可以得出x為偶數(shù)。

        由引理2知不定方程(1)有整數(shù)解(x,y)=(±64,2)。

        綜上所述,可得不定方程x2+4096=4y11僅有整數(shù)解(x,y)=(±64,2)。

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